1. Republica bolivariana de venezuela.
Instituto universitario politécnico Santiago Mariño
extensión valencia.
Ecuaciones diferenciales
Autor : Luis montes de oca
CI.:21020777
Esc.:42
Prof.: Pedro Beltrán
Asignatura.: Matemática IV
2. Introducción
En el presente capitulo se estudiara el calculo de las ecuaciones
diferenciales, donde se aprecian los tipos y llegar a determinar ,orden,
grado.
Utilizando los métodos de solución de separación de variables,
homogéneas y exactas .
3. Ecuación diferencial
Definimos una Ecuación diferencial como una ecuación que
relaciona una función y su variable con sus derivadas.
Si una ecuación diferencial contiene derivadas respecto a una sola
variable independiente se llama ecuación diferencial ordinaria. Si
contiene derivadas parciales respecto a dos o más variables
independientes, se llama ecuación en derivadas.
4. Ejemplo de ecuaciones diferenciales
dydt=3y2sen(t+y)dydt=3y2sen(t+y)
d3ydt3=e(−y)+t+d2ydt2)d3ydt3=e(−y)+t+d2ydt2)
f′′(x)−5=0f″(x)−5=0
f′′(x)+6f′(x)+3f(x)+2=0f″(x)+6f′(x)+3f(x)+2=0
La forma general de las ecuaciones diferenciales ordinarias es:
F(x,f(x),f′(x),f′′(x),...,fn(x))=0
5. Orden de una E.D
El orden de la derivada máxima que interviene en la
ecuación se define como orden de la ecuación.
Por ejemplo:
6. Grado de una E.D
Se llama grado de la ecuación diferencial al máximo
exponente al que se encuentra elevada la máxima derivada,
aunque en numerosas ocasiones sea 1, como en los dos
ejemplos de arriba, éste puede ser cualquier número entero.
Por ejemplo:
7. Ejemplos
Supongamos la ecuación diferencial de segundo orden (grado 1):
Como pronto veremos, su solución general puede ser expresada en
la forma:
y(x) = C1 sen x + C2 cos x
8. comprobemos que esto en efecto es así:
y" = -C1 sen x - C2 cos x
al sustituir estos resultados de y", y en la ecuación
diferencial, nos encontramos con la identidad:
lo cual nos asegura que esta y(x) es en efecto la solución
general.
9. Ecuaciones diferenciales de primer orden (grado 1)
Se trata de ecuaciones de la forma F(x, y(x), y’(x))=0 . Su
solución general es de la forma y=f(x, C), aunque no siempre
es posible expresar esta solución resuelta respecto a x, en
muchas ocasiones la solución simplemente quedará
como f(x, y,C)=0 que dibujadas gráficamente forman toda
una familia de curvas en el plano OXY.
10. Las condiciones iníciales -una sola condición en este caso-
viene dada por:
y(xo) = xo
lo cual geométricamente equivale a dar un punto Po(xo, yo) ,
por el cual sólo pasa una única curva (una solución
particular) de la familia de curvas dada por la solución
general.
11. Ejemplo
consideremos la ecuación diferencial
su solución general es:
Esta solución es toda una familia de curvas
12. Matemáticamente esto lo haríamos sustituyendo en la
solución general los valores x=1, y=4:
por tanto, C = 4, y la solución particular con la condición y(1)
= 4 es:
13. Ecuaciones diferenciales de variables separadas
Ec. Dif. Variables separadas: Se trata de ecuaciones de la
forma:
es decir, en el miembro de la izquierda aparece y', en el de la
derecha aparece un producto de dos funciones: una
dependiente sólo de la x, otra dependiente sólo de las y. Un
ejemplo de este tipo es:
14. Método de resolución.
Se trata de arreglar de tal forma la expresión que nos quede
en un miembro solamente las x, y en el otro miembro sólo
las y.
A continuación integramos ambos miembros, para así
obtener la solución general:
15. Ejemplo
Sea la ecuación diferencial:
que puede ser expresada en la forma:
y ahora integramos los dos miembros:
es decir, y - 3 Ln y = Ln x + Ln C (note cómo cuando
aparecen logaritmos es conveniente expresar la
constante de integración en la forma Ln C). Lo cual en
forma más simple: y = LnCx y3 , o sea, la solución
general es: ey = C x y3
16. Ecuaciones diferenciales homogéneas.
Función homogénea: Una función f(x,y) decimos que
es homogénea de grado n, si para cualquier l (distinto de 0) se
cumple: f(lx, ly) = ln f(x, y)
Se trata de una ecuación diferencial con la forma:
siendo f(x,y) una función homogénea de grado 0.
ejemplos de ellas:
17. MÉTODO DE RESOLUCIÓN:
Se trata de apoyar en la propiedad de homogeneidad grado
0 de f(x, y):
f(lx, ly) = f(x, y)
si tomamos como l= 1/x, entonces tenemos: f(1, y/x) = f(x,
y)
El siguiente paso es hacer el cambio u = y/x, o lo que es lo
mismo y = u . x , por tanto la y' podrá expresarse así:
18. En definitiva, la ecuación diferencial aprovechando la
homogeneidad de f puede ponerse:
y sustituyendo el valor de y' obtenida en :
Arreglando la E.D nos queda :
19. Ejemplo
Sea la ecuación diferencial:
Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales homogéneas,
partiremos de la expresión:
que para este caso nos queda:
siendo u = y/x. A continuación se separan variables y se integra:
20. la solución general de la ecuación es:
donde finalmente debemos sustituir u por su valor, y/x:
21. Ecuaciones diferenciales totales (exactas)
Se trata de ecuaciones en la forma:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
siendo M(x,y), N(x,y) funciones de las variables x, y, tales que se
verifica:
En este caso, el miembro izquierdo de podrá expresarse como la
diferencial de una cierta función u(x,y), es decir, se tendrá la
identidad:
22. la razón de ello es que podemos realizar la siguiente
identificación:
y entonces la condición {26} equivale a la igualdad de las
derivadas mixtas:
23. En definitiva, si podemos hallar una función u(x,y) que cumpla las
dos condiciones , entonces la ecuación diferencial podrá
expresarse simplemente:
du = 0
y su solución general será simplemente:
u(x,y) = C
24. Método de resolución
Para una ecuación diferencial exacta, hallar la solución general se
reduce a hallar la función u(x,y) de {29} . Esta función la hallaremos
según los dos siguientes pasos:
i) Partimos de la primera condición esto es :
de donde tenemos: du = M dx, expresión que pasamos a integrar:
25. aunque hay que tener en cuenta que al integrar respecto a
x una función de dos variables, tal como la M(x,y), las "y" se
comportan como una constante, por tanto, en lugar de
aparecernos una constante de integración C, en este caso
nos aparecerá una función en y, que la expresaremos
por j(y). Para expresar esto podemos escribir:
Para conocer esta j(y) debemos dar el siguiente paso…..
26. ii) A partir de la segunda condición, esto es:
igualamos N(x,y) a la derivada respecto de y de la
función u(x,y) tal como la tenemos:
Finalmente despejaríamos de aquí j‘(y),
supongamos j‘(y)=F(x,y), para luego poder
hallar j(y) integrando esta función F:
sí que tendríamos completamente determinada la
función u(x, y), entonces la solución general de la ecuación
diferencial total es:
u(x, y) = C
27. Ejemplo
Sea la ecuación: (4 x3 y3 - 2 xy) dx + (3 x4 y2 - x2 ) dy = 0
En primer lugar debemos comprobar si esta ecuación diferencia es
exacta (es exacta o total si cumple
Para esta ecuación tenemos M = 4x3y3-2xy, N = 3x4y2-x2 , y por
tanto:
que son iguales, por tanto la ecuación es diferencial exacta.
28. Ahora debemos hallar la función u(x,y) tal que:
es decir, que podemos identificar:
según la primera, podemos poner:
du = (4x3y3-2xy) dx ,
e integrar:
29. A continuación hallamos j(y) según la condición (2) de
arriba, la derivada de u respecto de y es:
que tiene que ser igual a N:
Ahora despejamos j‘(y), en este caso queda j‘(y)=0, y la
integración del número 0 es una constante, por tanto ya
tenemos que :
j(y) = C.
Y la función u(x,y) que buscábamos es:
u = x4y3-x2y+C1
30. la solución general es u = C, esto es:
x4y3-x2y+C1 = C2
Aunque las dos constantes pueden agruparse en una y poner
simplemente:
x4y3-x2y = C
31. Conclusión
Es preciso indicar la importancia que tiene las
ecuaciones diferenciales ya que de ello depende la
interpretación y hallar calculo de variables con distintos
métodos.
Para ello es necesario el conocimiento previo de
derivación e integración cuando así lo requieran.
32. Bibliografía
Ecuaciones diferenciales disponible en:
https://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-
ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-
resueltos/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-
ejemplos-resueltos.shtml [consulta el 22 de marzo 2019].
Ecuaciones diferenciales disponible en
:http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/ec_diferen
ciales.htm [consulta el 22 de marzo 2019].
