Diseño mecánico de elementos sometidos a esfuerzos

Elab
C
borado po
U
FA
CARRERA IN
CON
TEX
DIS
or: Ing.
UNIVERSIDA
ACULTAD NA
NGENIERÍA
N ACREDITA
XTO D
SEÑO
ME
Miguel A
ORU
AD TÉCNICA
ACIONAL D
MECÁNICA
ACIÓN INTE
DE LA M
O MEC
EC 22
A. Ruiz O
URO – BOL
2008
A DE ORUR
DE INGENIER
A – ELECTR
RNACIONA
MATE
CAN
240
Orellana
LIVIA
RO
RÍA
ROMECÁNIC
L AL
ERIA
NICO
CA

MEC 2240 Diseño Mecánico
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1
DISEÑO MECANICO
MEC 2240
1.- IDENTIFICACION
CARRERA : INGENIERIA DE PROCESOS QUÍMICOS (MATERIA
DE SERVICIO QUE BRINDA LA CARRERA DE
INGENIERIA MECANICA)
ASIGNATURA : DISEÑO MECANICO
SIGLA : MEC 2240
DURACION : UN SEMESTRE
HORAS POR SEMANA: 6 HORAS
2.- OBJETIVOS:
Al finalizar el semestre, el alumno tendrá una visión general de todos los tipos de
elementos de máquinas y será capaz de diseñar elementos de máquinas sencillos y
sistemas mecánicos, haciendo uso de los principios de la mecánica de materiales, el
conocimiento de materiales y las normas vigentes para el Diseño Mecánico.
3.- CONTENIDO MINIMO
1. Resistencia de materiales
2. Estados tensiónales e hipótesis de resistencia
3. Diseño térmico
4. Diseño mecánico de equipos térmicos
5. Normalización
6. Flexión en vigas
7. Torsión en elementos mecánicos
8. Recipientes de paredes delgadas – Normalización
9. Proyecto de curso

4.-BIBLIOGRAFÍA
- FAIRES, V. 1995. Diseño de Elementos de Máquinas. Lima. Ed. Limusa.
- BEER, F. y JONSON, R.1993. Mecánica de Materiales. Colombia. McGraw Hill.
- SHIGLEY, R. 2006. Diseño de Ingeniería Mecánica. México. McGraw Hill
- HIBBELER, R. 1998. Mecánica de Materiales. México. Prentice Hall.
- RILEY, W. y MORRIS, D. 2002. Mecánica de Materiales. México. Limusa.
- GERE, J. 2006. Mecánica de Materiales. Mexico. Ed. Thomson
- MOTT, R. 1996. Resistencia de Materiales Aplicada. México. Prentice Hall.

CONTENIDO ANALÍTICO MEC 2240
CAP. 1 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE LOS
MATERIALES
OBJETIVOS:
- Establecer los principios y definiciones básicas de la Resistencia
de Materiales
- Establecer las propiedades geométricas de las secciones
TEMAS:
1.1. Definición de tensión o esfuerzo
1.2. Clases de tensiones simples
1.3. Deformación unitaria
1.4. Curva Tensión-Deformación
1.5. Ley de Hooke
1.6. Modulo de elasticidad
1.7. Resistencia de materiales
1.8. Factor de seguridad
1.9. Tensiones admisibles
1.10. Perfiles estructurales
1.11. Propiedades de las secciones
1.12. Peso de los perfiles
CAP. 2 : DISEÑO DE MIEMBROS EN TRACCIÓN Y
COMPRESIÓN SIMPLES
OBJETIVOS:
- Iniciar al estudiante en el diseño de elementos simples que
soporten esfuerzos sencillos de tracción o compresión.
TEMAS:
2.1. Tracción simple
2.2. Compresión simple
2.3. Tensión admisible
2.4. Diseño en tracción o compresión
2.5. Diseño basado en la deformación
2.6. Tensiones debidas a temperatura uniforme

CAP. 3 DISEÑO DE MIEMBROS EN CORTADURA PURA
OBJETIVOS:
- Establecer el diseño de los elementos sometido a tensión de
cortadura pura
TEMAS:
3.1. Generalidades
3.2. Hipótesis
3.3. Tensión de cizalladura
3.4. Diseño a la cizalladura
3.5. Relación entre el módulo de elasticidad, el módulo de
elasticidad al cortante y el coeficiente de Poisson
CAP. 4 DISEÑO DE MIEMBROS EN FLEXIÓN
OBJETIVOS:
- Introducir al estudiante en el diseño de elementos sometidos a
tensiones de flexión.
TEMAS:
4.1. Definición de viga
4.2. Cortadura
4.3. Convención de signos para la cortadura
4.4. Diagrama de cortantes
4.5. Momento flector
4.6. Convención de signos para los momentos flectores
4.7. Diagrama de momentos flectores
4.8. Punto de contra flexión
4.9. Relación entre fuerza cortante, momento flector y carga
distribuida
4.10. Teoría de la flexión simple
4.11. Módulo de sección
4.12. Deflexión en vigas
4.13. Tensión de cortadura en vigas
4.14. Tensiones admisibles en vigas
4.15. Deformaciones admisibles en vigas
4.16. Diseño de vigas

CAP. 5 DISEÑO DE MIEMBROS EN TORSIÓN
OBJETIVOS:
- Demostrar la ecuación de la tensión de torsión, su aplicación y
diseño de miembros sometidos a tensiones de torsión
TEMAS:
5.1. Teoría de torsión simple
5.2. Deformación angular
5.3. Tensión de torsión
5.4. Módulo de rigidez
5.5. Tensión de torsión admisible
5.6. Módulo de sección polar
5.7. Deformación angular admisible
5.8. Potencia transmitida por los ejes
5.9. Diseño de miembros en torsión
CAP. 6 DISEÑO DE COLUMNAS HORAS
OBJETIVOS:
- Establecer las tensiones presentes en miembros esbeltos,
producidos por cargas de compresión y que originas tensiones de
pandeo
- Diseñar columnas
TEMAS:
6.1. Introducción
6.2. Teoría de Euler - Pandeo elástico
6.3. Columnas con extremos articulados
6.4. Columnas con un extremos fijo y otro libre
6.5. Columnas con extremos fijos
6.6. Columnas con un extremo fijo y el otro guiado
6.7. Longitud de pandeo equivalente
6.8. Límite de validez de la fórmula de Euler
6.9. Columnas cortas
6.10. Diseño de columnas

CAP. 7 TENSIONES COMPLEJAS HORAS
OBJETIVOS:
- Introducir al estudiante en el diseño de elementos de máquinas
sometidos a estados tensionales complejos
TEMAS:
7.1. Tensión sobre un plano oblicuo
7.2. Material sujeto a cortadura pura
7.3. Material sujeto a dos tensiones directas mutuamente
perpendiculares
7.4. Material sujeto a tensiones directa y de cortadura combinados
7.5. Circulo de Mohr - solución gráfica
CAP. 8 RECIPIENTES DE PARED DELGADA HORAS
OBJETIVOS:
- Establecer las tensiones presentes en recipientes de pared
delgada.
- Diseñar los recipientes de pared delgada
TEMAS:
8.1. Cilindros de pared delgada bajo presión interna
8.2. Tensión circunferencial o tangencial
8.3. Tensión longitudinal
8.4. Esfera de pared delgada, sometida a presión interna
CAP. 9 METODOLOGIAS DE DISEÑO INDUSTRIAL HORAS
OBJETIVOS:
- Establecer las principales metodologías de diseño industrial.
- Ejercitar la estructuración de proyectos de diseño industrial.
TEMAS:
9.1 Metodologías de diseño industrial.
9.2 Trabajos de Aplicación.

CAP. 10 PRINCIPIOS DE SOLDADURA HORAS
OBJETIVOS:
- Dar las bases de cálculo y consideraciones para soldadura.
TEMAS:
9.3 Tipos de Soldadura.
9.4 Cálculo de Soldadura.

CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, son pequeñas y en
general pueden ser detectadas solamente con instrumentos especiales. Las
deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del
movimiento del sólido. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones sería
imposible resolver un problema de gran importancia practica como es el de determinar
las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza.
La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y
las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores.
La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de
cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más
frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientos
aproximados.
La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas prácticos nos
obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser justificadas comparando los
resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más exactas,
las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas.
A nivel de investigación y de diseño detallado, en la actualidad se utiliza el método de
elementos finitos para la obtención de resultados más exactos; sin embargo el empleo
de estos métodos extiende el tiempo de cálculo de elementos que no precisan mucha
exactitud, por lo que con cálculos simplificados cubrimos la necesidad.
Los problemas a resolver haciendo uso de la resistencia de materiales son de dos
tipos:
a) Dimensionamiento
b) Verificación
En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones más
adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido:
• Con seguridad
• En perfecto estado
• Con gastos adecuados

El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es
necesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones
actuantes.
Observemos la tolva, que grosor de plancha debe usar y de que tamaño deben ser las
vigas que lo sostiene?. ¿Aguantará igual si estaba diseñada para almacenar fideos y
luego se lo utiliza para almacenar harina?
1. DEFINICIÓN DE TENSIÓN O ESFUERZO
Que pasa cuando una persona jala de un cable?. Seguramente esta persona está
ejerciendo una fuerza externa sobre ese cable. Esta fuerza externa aplicada a la
sección transversal (interna) del cable producirá un esfuerzo o tensión interna.
Ahora bien, puede que si esa persona jala con mucha fuerza por ejemplo 50 kgf, el
cable se rompa, pero si coloco dos o tres o mas cables y jalo con la misma fuerza
puede que estos nos se rompan, entonces que ha pasado? Ha tenido que
aumentar la sección del cable para que soporte la fuerza; es así como se define
la resistencia de un material, haciendo una relación entre la fuerza y la sección,
definida esta propiedad como tensión.
σ = F / A

La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres
parámetros: intensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene
es la de una fuerza por unidad de área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg/cm2
(KN/cm2)
2. CLASES DE TENSIONES SIMPLES
Existen básicamente dos tipos de tensiones en los elementos:
• Tensión axial
o Tracción y Compresión
o Flexión
o Esfuerzo de aplastamiento
• Tensión de corte
o Esfuerzo cortante
o Esfuerzo por torsión

Diagrama Resumen de la descripción de los tipos básicos de esfuerzos.
2.1 Esfuerzo Normal
Cuando las fuerzas están dirigidas a lo largo de la barra del eje, decimos
que la barra está sometida a una carga axial, por tanto el esfuerzo
correspondiente es un esfuerzo normal al plano o sección transversal a lo
largo de toda la barra.
F
Sección tranversal
Por tanto la ecuación para el esfuerzo de la misma será:
A
F
=
σ
donde:
F: Fuerza solicitante
A: Área transversal de la barra
TIPOS DE
ESFUERZO
ESFUERZO
AXIAL
ESFUERZO
CORTANTE
TRACCION Y
COMPRESION
FLEXION CIZALLADURA TORSION
APLASTAMIENTO

Ejercicio 1
100 kgf
1000 kgf
A=0.1cm2
A=10cm2
Por ejemplo en el ejercicio anterior, la columna de la izquierda tiene una carga de
100kgf y una sección de 0.1 cm2, y la columna de la derecha tiene una carga de
1000 kgf con una sección de 10 cm2, las tensiones de ambos serán
respectivamente:
Con lo que se comprueba que no es la carga la que define la tensión de un
elemento, sino la relación entre la tensión y la sección de área del mismo.
σ1
100kgf
0.1cm
2
:= σ1 1000
kgf
cm
2
=
σ2
1000kgf
10cm
2
:= σ2 100
kgf
cm
2
=

Ejercicio 2.- Dimensionar la cadena de una bicicleta con un coeficiente de seguridad s y
suponiendo todo el peso del ciclista sobre uno de los pedales.
AREA CRITICA
FUERZAS DE TRACCION

RESOLUCION
Para dimensionar la cadena pedida, primero podemos examinar el eslabón, en la cual se
ubica el área crítica (la parte central), y reconociendo el esfuerzo al cual es sometido
(tracción) se realiza el análisis siguiente.
σ
F
Area
de donde se tiene el esfuerzo admisible
σadm 360MPa
=
de la figura de a lado, se obtiene por medio de una sumatoria de momentos en el centro la
fuerza de tracción en la cadena, así:
0
M
∑ 0 P R
⋅ F
D
2
⋅
− 0
P 800N
= R 200mm
= D 200mm
=
de donde:
F
2 P
⋅ R
⋅
D
= F 1600N
=
El área del eslabón presenta dos incógnitas, por diseño podemos asumir una relación, por
ejemplo, que la altura sea 5 veces el espesor, entonces:
h 5 esp
⋅ Area h esp
⋅
σadm
F
h esp
⋅
esp buscar esp
( )
=
esp 0.89 mm
=
por cuanto se asume: esp 1mm
= h 5 esp
⋅ 5 mm
=
=
Cálculo del diámetro del pasador
El diámetro del pasador estará sometido a esfuerzo cortante, entonces:
V
V
F/2
F/2
FH
∑ 0
F
2
F
2
+ 2 V
⋅
− 0 V
F
2
800N
=
=

2.2 Esfuerzo Cortante
Cuando se aplica fuerzas transversales a una barra o pieza, esta
experimenta fuerzas internas en el plano de la sección cuya
resultante es P. Estas fuerzas internas son llamadas fuerzas
cortantes. Dividiendo esta fuerza por el área de la sección afectada
se obtiene el esfuerzo cortante.
F
P
Fuerza cortante "P"
La ecuación que define este esfuerzo se puede escribir de la
siguiente manera:
El área del pasador
Ap
π dp
2
⋅
4
El esfuerzo cortante admisible siempre: τadm 0.57 σadm
⋅
Para el pasador nos da un: σadm 260MPa
= τadm 0.57 σadm
⋅ 148.2 MPa
=
=
entonces se escribe:
τadm
V
π dp
2
⋅
4
dp buscar dp
( )
= dp 2.62 mm
=
Normalizando dp 3mm
=

A
P
=
τ
donde:
P: Fuerza cortante
A: Área transversal
Existe una circunstancia común en los esfuerzos cortantes, y es
cuando existen varios puntos de corte, por ejemplo la sujeción
siguiente habitual en empalmes de estructuras.
En este caso por ejemplo se tendrá:
A
P
*
2
=
τ
Por que se tiene doble sección de contacto.
P
F
F

Ejercicio 1: El grillete de anclaje soporta la fuerza de 600 lbf. Si el pasador tiene un
diámetro de ¼” pulg. Determinar el esfuerzo cortante promedio.
Ejercicio 2: La rueda soporte se mantiene en su lugar bajo la pata de un andamio por
medio de un pasador de 4 mm de diámetro. Si la rueda esta sometida a una fuerza de
3 kN. Determinar el esfuerzo
cortante promedio.
Ejercicio Propuesto
Datos
Fc 600lbf
:= dp
1
4
in
:=
Sumatoria de fuerzas:
Fc 2 V
⋅
− 0
de donde;
V
Fc
2
:= V 1334.47N
=
El esfuerzo cortante:
τ
V
π
dp
2
4
⋅
:= τ 42.14MPa
=

Ejercicio 3: Suponga que para generar un agujero en la placa de 8 mm se usa un
punzón de d=20mm tal como se muestra en la figura. Si se requiere una fuerza de 110
kN para realizar el agujero. ¿Cual es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el
esfuerzo de compresión en el punzón?
DATOS
es 8mm
:=
Para el esfuerzo de la placa debemos dividir la fuerza solicitante y el área en la cual la
placa es solicitada, así:
Área solicitada:
Para el esfuerzo de compresión, el elemento que se comprimirá será el propio punzón,
por tanto:
dp 20mm
:=
Pp 110kN
:=
As π dp
⋅ es
⋅
:= As 502.65mm
2
=
Esfuerzo de corte: τ
Pp
As
:= τ 218.84MPa
=
área a compresión:
Ac π
dp
2
4
⋅
:= Ac 314.16mm
2
=
σc
Pp
Ac
:=
Esfuerzo de compresión: σc 350.14MPa
=

2.3 Esfuerzo de aplastamiento
Los elementos que sirven para las uniones como el caso de los pernos,
pasadores u otros, crean esfuerzos en la superficie de aplastamiento.
La superficie de aplastamiento se la define como aquella área resultante
de la proyección del pasador en la superficie de contacto.
Por consiguiente el esfuerzo de aplastamiento viene dado al dividir la
fuerza sobre el área proyectada.
El esfuerzo de aplastamiento tiene vital importancia al establecer la
distancia mínima entre los elementos de sujeción y los bordes de
planchas.
d
e
P
b
*
=
σ
donde:
P: Fuerza cortante
e: espesor de la plancha
d: diámetro del perno
El esfuerzo de compresión desarrollado entre dos cuerpos en su superficie
de contacto se llama esfuerzo de aplastamiento.

Como se ve en la figura, al estar traccionadas las placas con la fuerza P, el perno al
apoyarse en ellas las aplasta con un área de contacto igual a su diámetro por el
espesor de la placa.
Ejercicio 1: Un perno de ¾” se usa para
unir dos placas de 3/8” de espesor, como
se observa en la figura. Determinar el
esfuerzo de aplastamiento entre el perno
y la placa.
Ejercicio 2: Dos pernos de ¾” se usan para unir tres placas, determinar el esfuerzo de
aplastamiento entre las placas, además del esfuerzo cortante en los pernos.
Ejercicio propuesto.
σ
P
A
σ
4000lbf
3
4
in
3
8
in
⋅
:= σ 14222.22
lbf
in
2
=

Ejercicio 3
La figura muestra un guinche para levantar una bomba de 500 kg de peso, calcular:
a) El diámetro del pasador de las ruedas
b) El espesor de la plancha que sostiene el pasador de las ruedas
c) El diámetro del gancho inferior
Se considera la resistencia del material de 940 kgf/cm^2.

Ejercicio 4
Del ejercicio de la figura es el esquema de un columpio al cual se ha subido una
joven que pesa 40 kg. Cuando el columpio llega a la posición vertical este alcanza
su máxima velocidad horizontal que es de 1m/s. el material de las cuerdas es pita
plástica y el material de los soportes triangulares es acero ANSI 1020. Calcular:
a) El diámetro de la pita (a corte)
b) La tensión interna de la Pita en su sección central si esta mide 2 m.
c) El diámetro de las varillas metálicas.

1.3 Deformación Unitaria
Cuando se tiene un alargamiento o acortamiento de un segmento de un cuerpo
sometido a una fuerza, y lo relacionamos esa deformación por unidad de longitud,
encontramos su deformación unitaria.
L
δ
ε =
donde:
cuerpo
del
Longitud
L
n
deformació
unitaria
n
deformació
=
=
=
δ
ε
Desde otro punto de vista, como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las
fibras longitudinales están estiradas uniformemente. Podemos entonces establecer el
cociente entre el desplazamiento δ y la longitud L de la barra cuando está descargada,
a este cociente se define como “deformación unitaria o especifica”.
“Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, este tiende a cambiar la forma y el
tamaño del cuerpo; a esos cambios se les denomina deformación”….Hibbeler.

Revisemos algunos conceptos respondiéndonos estas preguntas:
• La deformación de una barra de longitud “L” es “x”, ¿cuanto se deformará una
barra de longitud “2L”?
• Influye el grosor (área transversal) de la barra su deformación? ¿Por qué?
1.4 Diagrama Esfuerzo – deformación
Este viene como resultados de las pruebas de tracción a las que se somete los
distintos materiales para obtener sus propiedades mecánicas básicas.
1.4.1 Ensayo de Tracción.
Consiste en someter una probeta con una sección F0 y con una longitud inicial
L0; L0=5,65*(Fo)^1/2 ; a un esfuerzo axial de tracción, creciente generalmente
hasta la rotura y con una longitud final Lu.
Fig. 1.4.1. Probeta tipo
1.4.2 Diagrama Esfuerzo – Deformación
A partir de los ensayos de tracción es posible calcular varios valores del
esfuerzo empleado en la probeta, y a la vez registrar las deformaciones para
cada esfuerzo. Graficando estos datos se obtiene un diagrama, el de esfuerzo
– deformación.

Por ejemplo en la figura se observa el diagrama esfuerzo deformación para el
acero ST- 42 (es decir de 42 kgf/cm^2 de tensión admisible).
1.5 LA LEY DE HOOK
1.5.1 DEFORMACION AXIAL
Se la enuncia a partir del diagrama tensión – deformación. La pendiente antes
de llegar al punto de proporcionalidad expresa una relación entre la tensión y la
deformación, esta relación se llama modulo de elasticidad “E”, así:
De donde se deduce:
ε
σ ⋅
= E
que es la ecuación conocida como la ley de Hook.
De las relaciones obtenidas anteriormente se puede expresar lo siguiente:
L
E
A
F δ
σ ⋅
=
=
Ordenando los términos se obtendrá:
E
L
E
A
L
F ⋅
=
⋅
⋅
=
σ
δ
La cual relaciona la deformación con la fuerza aplicada, la longitud y área de la
barra, y el módulo de elasticidad. Sin embargo se recuerda que la expresión
anterior tiene validez bajo las siguientes hipótesis:
• La carga ha de ser axial.
• La barra debe ser homogénea y de sección constante.
• La tensión no debe pasar el límite de proporcionalidad.
E
=
=
ε
σ
α
tan

Para el caso del acero, volviendo a la gráfica se tendrá:
a) Período elástico
Este período queda delimitado por la tensión σe (límite de elasticidad). El límite
de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se
comporta elásticamente, es decir que producida la descarga, la probeta
recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se considera como tal
cuando en la descarga queda una deformación especifica remanente igual al
0.001 %.
Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el σp (límite de
proporcionalidad), dónde el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre
σp y σe, si bien es elástica, no manifiesta proporcionalidad entre tensiones y
deformaciones.
b) Período elasto-plástico
Para valores de tensión superiores al límite elástico, la pieza si fuera
descargada no recobraría su dimensión original, apreciándose una deformación
remanente acorde con la carga aplicada. A medida que aumenta la solicitación,
la gráfica representativa es la de una función para la cual disminuye el valor de
su Tangente, tendiendo a anularse en el tramo final del período, al cual se llega
con un valor de tensión que se indica como σf (tensión de fluencia).
c) Período plástico (fluencia)
Una vez arribado al valor de tensión σf (límite de fluencia), el material fluye, es
decir, aumentan las deformaciones sin que existe aumento de tensión. En
realidad este fenómeno no es tan simple, ya que puede verse que la tensión
oscila entre dos valores límites y cercanos entre sí, denominados límites de
fluencia superior e inferior, respectivamente.
La tensión de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la
tensión de fluencia.
Las investigaciones demuestran que durante la fluencia se producen
importantes deslizamientos relativos entre los cristales. Como consecuencia de
estos deslizamientos, en la superficie de la probeta aparecen las llamadas
líneas de Chernov - Lüders, que forman con el eje de la misma un ángulo de
45º.
El Módulo de Elasticidad “E”, también se conoce con el nombre de Módulo de
Young, en honor al cientifico que formulo el mismo Thomas Young. Las
dimensiones del módulo de elasticidad están expresadas en unidades de esfuerzo

d) Período de endurecimiento y de estricción
Como consecuencia de un reacomodamiento cristalográfico, luego de la
fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que le confiere la capacidad de
incrementar la resistencia, es decir, puede admitir un incremento de carga. Sin
embargo en este período las deformaciones son muy pronunciadas.
La tensión aumenta hasta alcanzar un valor máximo σR, denominado “tensión
de rotura”, a partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una
determinada deformación de rotura, produciéndose la rotura física.
La tensión σR no es en realidad la máxima tensión que se origina en la probeta
sometida a carga. En efecto, alcanzado el valor de la deformación especifica
correspondiente a σR, comienza a manifestarse en la probeta un fenómeno
denominado “estricción”.
Este consiste en la reducción de una sección central de la pieza. Esta
reducción, progresiva con el aumento de la carga, hace que las tensiones
aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar su
concavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión en las vecindades de σR
y cambia su curvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la
deformación de rotura εR.
Debido a lo que hemos mencionado recientemente el diagrama que acabamos
de ver suele denominarse “diagrama convencional σ - ε”, ya que los cálculos de
las tensiones se realizan siempre sobre la base de suponer la sección
transversal constante, con área igual a la inicial.
Ejercicio 5
Determinar las deformaciones totales de la probeta de la figura.
Si se quiere reducir la deformación a un tercio con la el doble de fuerza,
¿Cuánto sería la sección?
Ejercicios 6,7 y 8
F=80 kip
Sección tranversal
1,5
m
d=25 mm

1.6 Tensiones Admisibles y Últimas
Si se vuelve ha analizar el diagrama de tensión deformación, se puede
reconocer una diferencia considerable entre el límite de fluencia o tensión de
fluencia σf y el limite de resistencia última del material σu antes de que este se
ropa. Muchas veces y sobre todo cuando se trata de diseños estáticos, se
puede tomar como la tensión de diseño a la tensión de fluencia, entendiendo a
esta como la tensión admisible para el diseño, admitiendo además que se da la
diferencia σu / σf como un factor de seguridad.
1.7 Factor de Diseño
El factor de diseño es una medida de seguridad relativa de un componente que
soporta una carga. Este se denotará con “Ns”. La utilización de un factor de
diseño viene dado por varias razones, entre las más importantes:
a) Las variaciones en las propiedades del material.
b) Tipos de carga al que esta sometido el componente.
c) Cargas inesperadas a futuro.
d) Fallas imprevistas debido a la naturaleza del material.
e) Incertidumbre debido a los métodos de análisis.
f) Condiciones de trabajo del equipo.
Los factores de diseño toman distintos valores, de acuerdo a las condiciones
que se presenten, por ejemplo:
• Para el caso de estructuras metálicas estáticas, Ns=2
• Cuando las estructuras son de material quebradizo, Ns=3
u
σ

• Para elementos de máquinas con condiciones de cargo y/o material no
definido, Ns=3
• Elementos de máquinas con material quebradizo, Ns=4
• Cuando los elementos de máquinas deben asegurar las vidas humanas,
Ns=5
El ingeniero a cargo del diseño debe seleccionar el factor de diseño de acuerdo
a las circunstancias que se encuentren.
1.8 Tensión de Diseño
La tensión de diseño será aquella con la que se comparará las tensiones
solicitantes o de la cual se apoyara el ingeniero en los cálculos para obtener las
secciones requeridas.
La tensión de diseño en su forma más general se define así:
s
u
d
N
σ
σ =
Ejercicio 9
La viga rigida BCD está unida por pernos a una barra de control en B, a un cilindro
hidráulico en C y a un soporte fijo en D. los diámetros de los pernos db=dd=3/8”, y dc=
½” . Cada una trabaja con una doble cortante y tiene unos esfuerzos de σu=60 ksi y
τs=40 ksi. La barra AB tiene un diámetro de 7/16”. Si las condiciones de carga no se
conocen muy bien, halle la máxima fuerza hacia arriba que se puede aplicar al cilindro
en C.

CAPITULO 2
DISEÑO DE MIEMBROS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN SIMPLES
Fig. 2.a
Cuando se estudia el fenómeno que ocasionan las fuerzas normales a la sección
transversal de un elemento, se puede encontrar dos tipos de esfuerzos, una es el de
tracción y otro es el de compresión.
2.1. Tracción simple
Cuando la fuerza solicitante se aleja del elemento solicitado se
considera que es una fuerza de tracción que produce esfuerzos de
tracción.
Por ejemplo en el brazo hidráulico mostrado en la figura, los elementos
A – B se encuentran en tracción por efecto del peso del motor.
Ejercicio 2.1
La barra compuesta de acero A-36 mostrada consta de dos segmentos
AB y BD, cuyas áreas transversales son AAB = 1 in2
y ABD = 2 in2
.
Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el desplazamiento
de B respecto de C.

Fig. 2.1
DATOS
RESOLUCION
A1 1in
2
:= A2 2in
2
:= L1 2ft
:= L2 1.5ft
:= L3 1.5ft
:=
Ea 29000ksi
:=
Para resolver el ejercicio, se va a realizar cortes, comenzando de la parte superior, en los
cuales efectuando una sumatoria de fuerzas verticales, se encontrará la magnitud y sentido de
la fuerza solicitante que afectara a ese tramo, pudiendo ser que el tramo analizado este en
tracción o compresión.
Tramo 1
Fv
∑ 0 R1 15kip
− 0 R1 15kip
:=
δ1
R1 L1
⋅
A1 Ea
⋅
:= δ1 0.315mm
=
Tramo 2
Fv
∑ 0 R2 15kip
− 8kip
+ 0 R2 7kip
:=
δ2
R2 L2
⋅
A2 Ea
⋅
:= δ2 0.055mm
=
Tramo 3
Fv
∑ 0 R3 15kip
− 8kip
+ 16kip
+ 0 R3 9
− kip
:=

Se aprecia de la ecuación del esfuerzo de tracción que cuanto mayor
sea el área de la sección menor será la tensión en el elemento.
L
E
A
F δ
σ ⋅
=
=
Además de la ecuación de la deformación se observa también que
cuanto mayor sea el área de la sección menor será la deformación.
E
L
E
A
L
F ⋅
=
⋅
⋅
=
σ
δ
∑
=
E
A
L
F
T
*
*
δ
δ3
R3 L3
⋅
A2 Ea
⋅
:=
La deformación total del punto A, se obtiene sumando las deformaciones parciales:
δtot δ1 δ2
+ δ3
+
:= δtot 0.3mm
=
Por cuanto se define que en elementos que presentan
distintas secciones se encontrará la deformación sumando
las deformaciones pertinentes a cada sección y a cada
tramo de sección cuando este presente fuerzas solicitantes
distintas.
δ3 0.071
− mm
=

E
A
L
F
E
A
L
F
E
A
L
F
T
*
*
*
*
*
*
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
2
1 +
+
=
+
+
= δ
δ
δ
δ
Ejercicio 2.2
Determinar el diámetro “d” de los pernos de acero para una prensa cuyo esfuerzo
máximo es de P=50000 kgf, si el esfuerzo admisible para el acero es de σf=1000
kgf/cm2
, determinar además el alargamiento máximo de
los pernos si su longitud máxima es de 1,5 m.
Fig. 2.2
Ejercicio 2.3
1.- En el mástil de la figura se sabe que la tensión 1 es 25% mayor que la tensión 2
Suponiendo que en un día ventoso la t2=85N/mm^2:
¿Que sección de un tubo circular hueco de acero st-42 se necesita, si la
relación de dext=1.1dint?
¿Cuanto será la deformación en el masti?
El cable tensor tiene un diámetro de 5mm.

Diagrama de Cuerpo Libre
T2
T2
T1
T1
T2
T2y
T2x

T2 85
N
mm
2
:=
T2y T2 cos 19deg
( )
⋅
:= T2y 80.37MPa
=
T2x T2 sin 19deg
( )
⋅
:= T2x 27.67MPa
=
T1 1.25T2
:= T1 106.25MPa
=
T1y T1 cos 14.5deg
( )
⋅
:= T1y 102.87MPa
=
T1x T1 sin 14.5deg
( )
⋅
:= T1x 26.6MPa
=
El área del cable tensor es: Ac
dc
2
4
π
⋅
:= Ac 19.63mm
2
=
La fuerza vertical en el punto 2 será:
Fv2 T2y Ac
⋅
:= Fv2 1578.04N
=
La fuerza vertical en el punto 1 será:
Fv1 T1y Ac
⋅
:= Fv1 2019.76N
=
En este caso la reacción será la fuerza máxima sobre el mastil:
Rmas Fv1 Fv2
+
:= Rmas 3597.81N
=
La sección del mastil:
σst42
Rmas
Atubo
given
σst42
Rmas
π
4
dext
2
0.9 dext
⋅
( )2
−
⎡
⎣
⎤
⎦
⋅
dext find dext
( )
:= dext 16.37mm
=
dext 18mm
:= dint 0.9 dext
⋅
:= dint 16.2mm
=
Amas
π
4
dext
2
dint
( )2
−
⎡
⎣
⎤
⎦
⋅
:= Amas 48.35mm
2
=
La deformación del mastil a compresión será:
δmastil δ1 δ2
+

2.2. Compresión simple
En el caso de la compresión, se tiene que la fuerza solicitante al elemento
en dirección al eje axial del mismo tiene sentido negativo o de
aproximación al elemento, hecho que genera una deformación negativa o
de compresión, es decir reduciendo la longitud del componente.
El fenómeno de la compresión no tiene mucha incidencia en elementos
cortos pues si en tracción se producen fallos por estiramiento esto pasa
por el desgarre de las pequeñas irregularidades superficiales o de los
pequeños poros presentes; sin embargo en caso del fenómeno de
compresión no es probable que se desgarren los poros al ser
comprimidos, a no ser a una muy alta solicitación, pero eso si, si la
longitud de los elementos sometidos es larga, las fuerzas de compresión
generan un fenómeno de pandeo (deformación lateral) que es muy
riesgosa y debe ser estudiada cuando el caso amerite.
En la figura 2.1 el elemento C-D se encuentra solicitado a compresión.
δ1
Fv1 1000
⋅ mm
Amas E42
⋅
:= δ1 0.2mm
=
δ2 0.23mm
=
δ2
Fv2 1500
⋅ mm
Amas E42
⋅
:=
δmastil δ1 δ2
+
:= δmastil 0.43mm
=

2.3 Miembro cargado axialmente Estáticamente Indeterminado
Cuando una barra se encuentra fija en ambos extremos, entonces se
tienen dos reacciones axiales desconocidas y solo se puede plantear
una ecuación estática. En este caso se precisa auxiliar con ecuaciones
de desplazamientos de los elementos para encontrar las incógnitas.
Se aprovecha la geometría de la deformación de la barra para plantear
la ecuación de desplazamiento que se la llama frecuentemente
condición de compatibilidad.
La condición de compatibilidad en caso de una barra fija en ambos
extremos es:
0
=
δ
Por cuanto el extremo A y el extremo B podrán igualarse a cero
planteándose estas como ecuaciones de desplazamientos, así:
0
*
*
*
*
=
−
C
A
L
F
E
A
L
F BC
B
AC
A
De esa manera se ha programado una segunda ecuación que permite
resolver el problema.
LAC LBC
A B
RA RB
F
C
Ejercicio 2.3
La barra de acero mostrada en la figura tiene un diámetro de 5 mm. Está
empotrada en la pared A y antes de cargarla se tiene una holgura de
1mm entre la pared en B y la barra. Determine las reacciones en A y en B
Se dice que un problema es estáticamente indeterminado
cuando tiene más incógnitas que el número de ecuaciones
posibles de plantear en base al equilibrio estático.

8 kN
8 kN
A B C
300 mm 700 mm
cuando la barra se somete a una fuerza axial de P=20 kN. Considere
EAC=200 GPa.
Ejercicio 2.4
El tubo de acero mostrado en la figura tiene un radio exterior de 20 mm y
un radio interior de 15 mm. Si entra justamente entre las paredes fijas
antes de ser cargado determine la reacción en las paredes cuando se
somete a la carga. Considere EAC=200 GPa.

L
δ
Deformación δ por
cambio de
2.3 Esfuerzos Térmicos
Un cambio de temperatura ocasiona normalmente en los materiales un
incremento en sus dimensiones, siendo que por el contrario la
disminución de temperatura conlleva una disminución de las dimensiones
del material.
Esta relación estará dada según:
L
T
T *
*Δ
= α
δ
Donde: α= coeficiente lineal de dilatación térmica [1/ºC]
ΔT=Diferencia de Temperatura
L=longitud del elemento
Si un material se dilata en un espacio abierto (libre de restricciones), entonces el
material no experimenta ningún esfuerzo; sin embargo si el elemento que sufre una
dilatación térmica se encuentra restringido, la deformación restringida produce
esfuerzos térmicos que se describen en las ecuaciones siguientes:
E
A
T
F *
*
*Δ
= α
E
T *
*Δ
= α
σ

2.5 Método de superposición
De forma general para la resolución de problemas hiperestáticos, se
suele utilizar el método de superposición, que consiste en sobreponer
las deformaciones debido a fuerzas externas y las deformaciones
debido a fuerzas internas e igualarlas a la magnitud de la deformación
total, así:
F
Sección tranversal
RB
A
B
F
A
B
δ
δF
A
B
δ
δB
RB
B
F
T δ
δ
δ +
=
Ejercicio 2.5
Tres barras de material diferente están conectadas entre si y situadas entre dos muros
a una temperatura de 12 ºC. Determine la fuerza ejercida sobre el soporte cuando la
temperatura es de 18 ºC.

Ejercicio 2.6
Una barra que sirve de atiesador entre dos planchas ubicadas en un horno, se
encuentra fija y sin holgura entre ambas a 20ºC. Si el horno alcanza una temperatura
de 150ºC,
¿Cuanto será la tensión termica generada por la barra?
¿Si las planchas pueden deformarse 1mm entre ambas, cuanto disminuirá la tensión
térmica?
La barra es de un acero AISI 1030
σy 38000
lbf
in
2
:= Tensión a la fluencia del material
σy 262.001
N
mm
2
= en otras unidades
E1030 29 10
6
⋅
lbf
in
2
:= Modulo de elasticidad
α 14 10
6
−
⋅
m
m ºC
⋅
:= Coeficiente de dilatación termica
Long 65cm
:= Longitud de la varilla
φv 5mm
:= Diámetro de la varilla
T1 20ºC
:= Temperatura inicial
T2 150ºC
:= Temperatura máxima del horno

Ejercicio 2.7
La parrilla mostrada en la figura es parte de un horno que trabaja hasta una
temperatura de 350 ºC. Las varillas miden 5mm de diámetro y son de acero st 70.
a) Averiguar sus propiedades térmicas y calcular la tensión térmica que se
genera hacia ambos lados.
b) Si por razones constructivas la plancha lateral del horno será delgada (no
resistente) cual será la holgura mínima que se debe dar entre la parrilla y las
planchas laterales del horno?

MEC 2240 DISEÑO MECANICO
CAP. 4
DISEÑO DE MIEMBROS EN FLEXIÓN
OBJETIVOS:
Introducir al estudiante en el diseño de elementos sometidos a
tensiones de flexión y capacitarlo en el diseño de vigas a flexión.
TEMAS:
4.1. Definición de viga
4.2. Cortadura
4.3. Convención de signos para la cortadura
4.4. Diagrama de cortantes
4.5. Momento flector
4.6. Convención de signos para los momentos flectores
4.7. Diagrama de momentos flectores
4.8. Punto de contra-flexión
4.9. Relación entre fuerza cortante, momento flector y carga
distribuida
4.10. Teoría de la flexión simple
4.11. Módulo de sección
4.12. Deflexión en vigas
4.13. Tensión de cortadura en vigas
4.14. Tensiones admisibles en vigas
4.15. Deformaciones admisibles en vigas
4.16. Diseño de vigas

MEC
Doce
4.1.
2240 DISEÑ
nte: Ing. Mig
Definició
Las viga
se pued
(sujeta d
una viga
viga con
pasador.
Los mi
a sus e
ÑO MECANIC
guel A. Ruiz O
ón de una
as se clasific
e apreciar
de un lado
a en voladiz
n voladizo
.
embros lig
ejes longitu
O
Orellana
viga
can de acu
en la sigu
por un pas
zo (fija por
(presenta
eros que so
udinales se
erdo a la m
uiente figura
sador y apo
un lado y
un extrem
oportan ca
llaman viga
manera de s
a una viga
oyada librem
sin apoyo
o con vola
rgas aplica
as.
sujeción qu
a en simple
mente en e
por el otro
adizo y el
adas perpen
e esta tiene
emente apo
el otro extre
extremo) y
otro sujeto
ndicularme
2
e, así
oyada
emo),
y una
o con
nte

MEC
Doce
4.2.
2240 DISEÑ
nte: Ing. Mig
El diseñ
importan
desnivel
Para el d
y los mo
las grafic
esta man
Cortadu
ÑO MECANIC
guel A. Ruiz O
ño de las v
ntes de res
del piso se
diseño de u
omentos flec
ca y se obt
nera la secc
ura y Mome
O
Orellana
vigas repre
solver en la
e encuentra
na viga, lo
ctores que
tiene los m
ción transve
ento flector
esenta uno
a industria.
soportado
que se prec
las cargas
áximos y m
ersal suficie
r
o de los pr
Normalme
por una o v
cisa es enc
aplicadas g
mínimos de
ente para qu
roblemas m
nte todo eq
varias vigas
contrar las fu
generan. Po
la misma,
ue soporte a
más comun
quipo ubica
s.
uerzas corta
osteriormen
encontrand
a estas carg
3
nes e
ado a
antes
nte se
do de
gas.

La fuerza cortante viene como resultado de la proyección en la sección transversal de
análisis de las fuerzas solicitantes a la viga, como se puede apreciar en la figura
anterior.
De forma semejante, las fuerzas solicitantes multiplicadas por las distancias a los
planos de análisis (cortes transversales) dan como resultado los momentos flectores.
4.3 Convección de signos para la cortadura
La convección de signos a cortadura nos sugiere una regla o norma que nos guía para
la graficación de las fuerzas cortantes a lo largo de una viga.
De forma general…
La ejemplificación gráfica de lo mencionado se muestra en la figura siguiente:
En lo que se refiere a los momentos flectores, la regla de signos de estos simplemente
corrobora la de las fuerzas cortantes, por lo que se puede afirmar que:
…cuando se realiza un corte en la viga, y las fuerzas cortantes hasta la
sección de análisis tienden a llevar el tramo hacia arriba, por cuanto la
fuerza V(x) que compensa ese impulso va en dirección contraria (hacia
abajo), entonces esas fuerzas cortantes se consideran positivas.
…un momento flector se considera positivo cuando provoca la
compresión de las fibras de la viga en su parte superior.

MEC
Doce
4.4
2240 DISEÑ
nte: Ing. Mig
Diagram
Para rea
seguir lo
Ejemplo
Realizar
mostrada
ÑO MECANIC
guel A. Ruiz O
mas de Fue
alizar los dia
os siguientes
1) Obte
2) Reali
carac
aplica
suma
3) Grafi
dista
cada
4) Grafi
o 4.1
el diagram
a a continua
Ra
O
Orellana
rzas Corta
agramas de
s pasos:
ner las reac
izar un c
cterísticos
ación de n
ar las fuerza
car las fue
ncia y en e
corte.
car los mom
ma de fuer
ación:
L / 2
ntes y Mom
e fuerzas co
cciones del
corte trans
a la mism
uevas fuerz
as verticale
erzas coloc
el de las or
mentos con
rzas cortan
L
P
mentos Fle
ortantes y m
sistema.
sversal a
ma (cambio
zas, cambio
s y momen
cando en e
rdenadas a
las mismas
tes y mom
ectores
momentos fl
la viga e
os de secc
o de mater
tos hasta e
l eje de la
las fuerza
s considera
mentos flect
Rb
lectores se
en los lug
ción, punto
rial de la vi
se punto.
as abscisas
s resultante
aciones.
tores de la
5
debe
gares
os de
ga) y
s a la
es de
a viga

Desarrollo:
Primero se calcula las reacciones:
Sumatoria de fuerzas verticales
Sumatoria de Momentos en A
de donde se obtiene:
Análisis del tramo 1:
Una vez obtenida las ecuaciones, corresponde graficar ambos tramos seguidos, para
poder obtener la gráfica completa, cada tramo se evalua con sus ecuaciones
respectivas.
Si se cuenta con auxilio de un sistema informático, se pude juntar las ecuaciones de
los dos tramos en una sola para obtener una función única.
Ra Rb
+ P
− 0
Rb L
⋅ P
L
2
⋅
− 0
Ra Rb
P
2
0 x
<
L
2
≤
V1 x
( ) Ra
M1 x
( ) Ra x
⋅
L
2
x
< L
≤
V2 x
( ) Ra P
−
M2 x
( ) Ra x
⋅ P x
L
2
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
−
M x
( ) M1 x
( ) 0 x
<
L
2
≤
if
M2 x
( )
L
2
x
< L
≤
if

Por ejemplo, si damos valores a P y L obtendremos:
V x
( ) V1 x
( ) 0 x
<
L
2
≤
if
V2 x
( )
L
2
x
< L
≤
if
P 1500kgf
:=
L 1.2m
:=
Ra
P
2
:=
Rb
P
2
:=
0 x
<
L
2
≤
V1 x
( ) Ra
:=
M1 x
( ) Ra x
⋅
:=
L
2
x
< L
≤
V2 x
( ) Ra P
−
( )
:=
M2 x
( ) Ra x
⋅ P x
L
2
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
−
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
:=
M x
( ) M1 x
( ) 0 x
<
L
2
≤
if
M2 x
( )
L
2
x
< L
≤
if
:=
V x
( ) V1 x
( ) 0 x
<
L
2
≤
if
V2 x
( )
L
2
x
< L
≤
if
:=

Ejercicio 4.2.-
OBJETIVO
Graficar los diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes, además de
encontrar el momento flector máximo de la viga mostrada.
ANALISIS
Diagrama de Cuerpo libre.
Cálculo de las reacciones.
Análisis de momentos y cortantes por tramos.
Determinación del momento máximo.
0 0.5 1
2 10
3
×
4 10
3
×
Diagrama de Momentos Flectores
Longitud
Momentos
M x
( )
x
0 0.5 1 1.5
1
− 10
4
×
5
− 10
3
×
5 10
3
×
Diagrama de Fuerzas cortantes
Longitud
Fuerzas
Cortantes
V x
( )
x

DATOS
1 ton
2 ton/m
5000.0 1000.0
[Carga distribuida]
[Carga Puntual]
Cálculo de las Reacciones
Sumatoria de fuerzas
Momentos en A
Analisis por tramos
Tramo 1
F1 1tonf
:= q 2
tonf
m
:= qe q 6
⋅ m
:= L1 5m
:= L2 6m
:=
Ra 1N
:= Rb 1N
:=
Dado
Ra Rb
+ qe
− F1
− 0
qe
L2
2
⋅ F1 L2
⋅
+ Rb L1
⋅
− 0
Ra
Rb
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Find Ra Rb
,
( )
40923.64
74730.12
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
N
=
:=
0 x
< L1
≤
V1 x
( ) Ra q x
⋅
−
:=
M1 x
( ) Ra x
⋅ q
x
2
2
⋅
−
:=

Tramo 2
Las funciones generales:
El momento máximo será:
L1 x
< L2
≤
V2 x
( ) Ra q x
⋅
− Rb
+
:=
M2 x
( ) Ra x
⋅ q
x
2
2
⋅
− Rb x L1
−
( )
⋅
+
:=
V x
( ) V1 x
( ) 0 x
< L1
≤
if
V2 x
( ) L1 x
< L2
≤
if
:=
M x
( ) M1 x
( ) 0 x
< L1
≤
if
M2 x
( ) L1 x
< L2
≤
if
:=
0 2 4 6
2
− 10
4
×
2 10
4
×
4 10
4
×
6 10
4
×
M x
( )
x
0 2 4 6
6
− 10
4
×
2
− 10
4
×
2 10
4
×
6 10
4
×
V x
( )
x
Ra q x
⋅
− 0
x
M1
d
d
0
xx 1mm
:=

Dado
Ra q xx
⋅
− 0
xx Find xx
( )
:=
xx 2.30m
=
M 2.3m
( ) 47062.18N m
⋅
⋅
=

L
Ra
q [C a rg a d is trib u id a ]
Mo
Vigas en voladizo
Las vigas en voladizo presentan un tratamiento algo especial. Por ejemplo en la figura
adjunta se muestra una viga en voladizo con carga distribuida. Si analizamos el
comportamiento de la viga, su extremo derecho
de la misma se flexionará libremente (sin
cortantes ni momentos opositores), pues no
tienen ningún soporte o apoyo que genere una
reacción opositora a la carga; sin embargo en el
extremo izquierdo, está sujetando a toda la vigas más la carga que está soportando,
por cuanto el extremo izquierdo presentará una reacción igual a toda la carga de la
viga más un momento flector opuesto al generado por la carga de esta.
Realizando su diagrama de cuerpo libre se tendrá:
Entonces para facilitar el análisis de la viga realizando cortes por tramos desde el lado
izquierdo, se tendrá que dar la vuelta al diagrama para que los momentos flectores
máximos resulten a derecha (a medida que crezca “x”), así:
L
Ra
q
[Carga distribuida]
Mo

Ejemplo
Planteamiento del Problema
Se quiere saber a cuanto asciende las fuerzas cortantes y momentos flectores de la
viga en voladizo con carga distribuida (correspondiente a un motor mas reductor) y
una carga puntual (polea).
Objetivo
Graficar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores de la viga en voladizo.
Datos
Según gráfica.
Análisis
1. Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre.
2. Se obtiene las reacciones de la viga.
3. Se obtiene las ecuaciones de fuerzas cortantes y momentos flectores.
4. Se grafica las ecuaciones.
Desarrollo
Diagrama de cuerpo libre:
2.5m
Ra
[Carga distribuida]
Mo
A q=30kN/m
4 kN
2.0m
2.5m
Ra
Mo
A
4 kN
2.0m
Tramo 2
Tramo 1

Cálculo de las reacciones
Sumatoria de fuerzas verticales:
Sumatoria de Momentos:
Analisis por tramos:
tramo 1:
tramo 2:
Las funciones generales:
L1 0.5m
= L2 2m
= q 30
kN
m
= qe q 2
⋅ m 60000N
=
= F1 4kN
=
v
Fv
∑ 0
= Ra qe
− F1
− 0
= Ra F1 qe
+
= Ra 64kN
=
M
Mo
∑ 0
=
F1 2.5
⋅ m qe 1
⋅ m
+ Ma
− 0
= Ma 70 kN m
⋅
⋅
=
0m x
< 0.5m
≤
V1 x
( ) F1
=
M1 x
( ) F1 x
⋅
=
0.5m x
< 2.5m
≤
V2 x
( ) F1 q x 0.5m
−
( )
⋅
+
=
M2 x
( ) F1 x
⋅
q x 0.5m
−
( )
2
⋅
2
+
=
V x
( ) V1 x
( ) 0 x
< 0.5m
≤
if
V2 x
( ) 0.5m x
< 2.5m
≤
if
=
M x
( ) M1 x
( ) 0 x
< 0.5m
≤
if
M2 x
( ) 0.5m x
< 2.5m
≤
if
=

0 1 2 3
20000
40000
60000
80000
Diagrama de fuerzas cortantes
Longitud de la viga [m]
Fuerzas
cortantes
[N]
V x
( )
x
0 1 2 3
2 10
4
×
4 10
4
×
6 10
4
×
8 10
4
×
Diagrama de momentos flectores
Momentos
flectores
[N*m]
M x
( )
x

Vigas en Voladizo con carga variable
La resolución de este tipo de vigas, esigual que en el anterior caso, sin embargo se
debe encontrar primero la función de distribución de carga sobre la viga.
Ejercicio
Planteamiento del Problema
Se quiere conocer las ecuaciones y graficas de las fuerzas cortantes y momentos
flectores de la viga en voladizo.
Objetivo
Obtener las ecuaciones y Graficar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos
flectores de la viga en voladizo.
Datos
Según gráfica.
Análisis
1. Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre.
2. Se obtiene las reacciones de la viga.
3. Se obtiene las ecuaciones de fuerzas cortantes y momentos flectores.
4. Se grafica las ecuaciones.
Desarrollo
Diagrama de cuerpo libre:
DATOS
La ecuación de la recta será por semejanza de triángulos:
L1 8m
= q 200
lbf
ft
= qe q 8
⋅ m 23350.24N
=
=
q
q(x)
L
x
q x
( )
x
q
L
= q x
( )
q x
⋅
L
=

L
Ra
q
Mo
L
Ra
q
Mo
q=-200lb*pie
qo=0 lb*pie
L/3
q (x)
Tramo 1
Cálculo de las reacciones
Sumatoria de fuerzas verticales:
Sumatoria de Momentos:
v
Fv
∑ 0
=
Ra qe
− 0
= Ra
q L1
⋅
2
= Ra 11.68 kN
=
M
Mo
∑ 0
=
qe
L1
3
⋅ Ma
− 0
= Ma
q L1
2
⋅
6
= Ma 31.13kN m
⋅
=

Analisis por tramos:
tramo 1:
La altura del triángulo en cualquier punto será:
0m x
< L1
≤ x 0m 0.1m
, 8m
..
=
V1 x
( )
base altura
⋅
2
=
q x
( )
q x
⋅
L1
=
V1 x
( ) x
−
q x
⋅
L1
1
2
⋅
= M1 x
( )
q
− x
2
⋅
2 L1
⋅
x
3
⋅
=
0 2 4 6 8
10000
−
5000
−
Diagrama de fuerzas cortantes
Fuerzas
cortantes
[N]
V1 x
( )
x
0 2 4 6 8
40000
−
30000
−
20000
−
10000
−
Diagrama de momentos flectores
Momentos
flectores
[N*m]
M1 x
( )
x

DISEÑO DE VIGAS
Las tensiones normales que se presentan en una viga por una solicitación cualquiera
que produzca flexión, puede resolverse por la ecuación:
Donde:
s: Tensión de flexión.
M: Momento flexionante
c: Distancia desde el eje neutro hasta el punto de análisis.
I: Momento de Inercia en el eje transversal a la carga
Normalmente se anota:
o
Por tanto, la ecuación se convierte en:
o despejando
Con ese valor de Wxx, conocido como módulo de sección, es como se elige
normalmente de tablas los perfiles para que resistan cierta solicitación.
EJERCICIO 4.5
Dadas las figuras y datos, calcular las dimensiones necesarias de la sección circular,
cuadrada y rectangular, la relación de pesos de las secciones y la tensión máxima en
el punto C que esta a 1.5m.
DATOS
σ
M c
⋅
I
Ixx
c
Wxx
Iyy
c
Wyy
σ
M
Wxx
Wxx
M
σ
q 600
kgf
m
:= σy 1600
kgf
cm
2
:= γ a 7.85
kgf
dm
3
:=
P 1000kgf
:= L1 1.8m
:= L2 1.2m
:=
qe q 3
⋅ m 1800 kgf
⋅
=
:=

DESARROLLO
1) Cálculo de las reacciones:
Tramo 1
Tramo 2
1.2m
3m
P=1000kgf
q=600kgf/m
Dado
Ra Rb
+ P
− qe
− 0
Rb 3
⋅ m P 1.8
⋅ m
− qe 1.5
⋅ m
− 0
Ra
Rb
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Find Ra Rb
,
( )
:=
Ra
Rb
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
12748.65
14709.98
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
N
=
0 x
< 1.8m
≤
V1 x
( ) Ra q x
⋅
−
:=
M1 x
( ) Ra x
⋅
q x
2
⋅
2
−
:=
1.8m x
< 3m
≤

Para obtener el momento máximo derivamos M1, obteniendo
Evaluamos la ecuación en x=1.8m
El modulo de sección necesario será:
Calculamos las secciones minimas necesarias
Sección circular:
V2 x
( ) Ra P
− q x
⋅
−
:=
M2 x
( ) Ra x
⋅ P x 1.8m
−
( )
⋅
−
q x
2
⋅
2
−
:=
x1 1.8m
:=
M x
( ) M1 x
( ) 0 x
< 1.8m
≤
if
M2 x
( ) 1.8m x
< 3m
≤
if
:=
M x1
( ) 13415.5N m
⋅
⋅
=
Mmax M 1.8m
( ) 13415.5N m
⋅
⋅
=
:=
Wxx
Mmax
σy
:=
Wxx 85.5 cm
3
⋅
=
Wxxc
Ixx
c
π diam
4
⋅
64
diam
2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
Wxxc
π diam
3
⋅
32
Wxxc Wxx
:=
diam 1mm
:=
Dado
Wxxc
π diam
3
⋅
32

Sección cuadrada:
Sección rectangular:
diam Find diam
( ) 95.5 mm
⋅
=
:=
Wxxcu
Ixx
c
b h
3
⋅
12
h
2
Wxxcu
b
3
6
Wxxcu Wxx
:=
b 1mm
:=
Dado
Wxxcu
b
3
6
b Find b
( ) 80.05 mm
⋅
=
:=
Wxxr
Ixx
c
b h
3
⋅
12
h
2
Wxxr
b h
2
⋅
6
Wxxr Wxx
:=
b1 1mm
:= h 1mm
:=
Dado
Wxxr
b1 2 b1
⋅
( )
2
⋅
6
b1 Find b1
( )
:=
b1 50.43 mm
⋅
=
h 2 b1
⋅ 100.86 mm
⋅
=
:=

Pesos
Circular:
Cuadrada:
Rectangular:
La tensión en el punto "C" será:
Ac
π diam
2
⋅
4
:=
Volc Ac 3
⋅ m
:=
Pesc Volc γ a
⋅ 168.68 kgf
⋅
=
:=
Acu b b
⋅
:=
Volcu Acu 3
⋅ m
:=
Pescu Volcu γ a
⋅ 150.92 kgf
⋅
=
:=
Ar b1 h
⋅
:=
Volr Ar 3
⋅ m
:=
Pesr Volr γ a
⋅ 119.78 kgf
⋅
=
:=
σC
M 1.5m
( )
Wxx
:=
σC 1491.23
kgf
cm
2
⋅
=
0 1 2 3
5 10
3
×
1 10
4
×
1.5 10
4
×
M x
( )
1.8
0.5
x

FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Cuando existen cargas elevadas cerca de los apoyos de las vigas, o cuando el
material de las vigas presenta baja resistencia a esfuerzos cortantes (por ejemplo en el
caso de la madera), además de calcular a flexión, se debe verificar a esfuerzos
cortantes.
La deducción de la ecuación de esfuerzos cortantes, considera idealizar una sección
de la viga, tal cual la figura de abajo. En esta, la sección analizada tiene un ancho “b” y
un largo “dx”. Si esta sección se encuentra en la parte superior de una viga en flexión,
sufrirá compresión de sus extremos derecho e izquierdo, por lo que para equilibrar las
fuerzas de compresión, las fuerzas producto de los esfuerzos cortantes internos se
sumará a estas fuerzas externas al volumen de control, pudiendo escribir:
Por sumatoria de fuerzas horizontales en el volumen de control:
siendo la tensión:
además la fuerza debido al esfuerzo cortante viene dado por:
reemplazando:
por definición:
h
Fh
∑ 0
dF H2 H1
−
dF
y1
c
A
σ2
⌠
⎮
⎮
⌡
d
y1
c
A
σ1
⌠
⎮
⎮
⌡
d
−
σ
M y
⋅
I →
dF
y1
c
A
M2 y
⋅
I
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
d
y1
c
A
M1 y
⋅
I
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
d
−
dF
M2 M1
−
I
y1
c
A
y
⌠
⎮
⎮
⌡
d
⋅
dM M2 M1
−
dF τ b
⋅ dx
⋅
τ
dM
I b
⋅ dx
⋅
y1
c
A
y
⌠
⎮
⎮
⌡
d
⋅
dM
dx
V
τ
V
I b
⋅
y1
c
A
y
⌠
⎮
⎮
⌡
d
⋅

La expresión:
representa el momento estático del área analizada, pudiéndose escribir:
Q: momento estático del área.
yc: distancia desde la linea neutra
hasta el centroide de la sección analizada.
A: el área de la sección analizada.
y1
c
A
y
⌠
⎮
⎮
⌡
d
Q
y1
c
A
y
⌠
⎮
⎮
⌡
d yc A
⋅

En el caso de secciones rectangulares uniformes, donde:
se tiene:
La tensión cortante horizontal máxima se da en la Linea Neutra "y=0"
Con lo que se comprueba que el simple análisis de cortantes verticales en una viga,
puede no satisfacer una condición segura en el diseño.
I
b h
3
⋅
12
yc y
1
2
h
2
y
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
+ A b
h
2
y
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
τ
V
2 I
⋅
h
2
4
y
2
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
τmax
3
2
V
A
⋅

DELFLEXION EN VIGAS - ECUACION ELÁSTICA DE LA VIGA
La mayor parte del proceso de diseño de vigas, se define por la rigidez que esta
presenta. Realizando una observación a priori, se puede apreciar que muchas de las
vigas comunes a nuestro medio (galerías de madera, rieles de cortinas, tuberías
colgadas, etc), si bien resisten a las cargas solicitantes, estas se deforman curvándose
en sentido de la carga, muchas veces de forma exagerada; en el campo industrial la
aplicación de las vigas es común al utilizarlas como elementos base para montaje de
piezas de mayor peso encima como ser tanques, motores, reductores, mezcladoras,
etc., por cuanto en estos casos, si bien la exigencia de resistencia a la solicitación se
cumple, se debe verificar que la viga sufra una mínima deformación, pues la holgura a
la deformación para montar los equipos industriales suele ser de milímetros.
A continuación se da como referencia algunos valores sugeridos de deformaciones
máximas para aplicaciones usuales:
Vigas de techos y pisos Ymax=1/360 luz del techo
Piezas de máquinas en general Ymax=0.00005…0.003 mm/mm
Piezas de precisión moderada Ymax=0.00001…0.0005 mm/mm
Piezas de alta precisión Ymax=0.000001…0.00001 mm/mm
L
L/2
Ra Rb
P
Ymax
Ecuación de
la elástica

Para obtener la ecuación de la elástica, es decir la ecuación de la curva de
deformación, deducimos la relación entre la deformación y el momento flexionante en
la viga, del gráfico siguiente y relacionando las variables se tiene:
de la relación del sector circular:
despejando dθ:
despues de operaciones:
si dx se toma como la longitud del segmento (o como si fuera "L"):
dx ρ dθ
⋅
dθ
dx
ρ
dx δ
+
ρ c
+
c
ρ
δ
dx
δ
L
ε
c
ρ
ε
σ
E

Que resulta ser la ecuación diferencial que define la curva elástica de una viga,
recordando que el momento está en función de la posición de "x".
Cada punto sobre la elástica de la viga tendrá una deflexión particular "y", y una
pendiente particular "dy/dx".
La relación de las expresiones matemáticas con el concepto físico derivadas de la
ecuación de la elástica se expresa de la siguiente forma:
además como:
simplificando:
Por calculo integral, se tiene que la ecuación del radio de curvatura de un
arco es:
la derivada al cuadrado se desprecia por ser un valor pequeño
conjuncionando las ecuaciones anteriores:
σ
M c
⋅
I
c
ρ
M c
⋅
I E
⋅
1
ρ
M
I E
⋅
1
ρ
2
x
y
d
d
2
1
x
y
d
d
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
2
+
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
3
2
1
ρ 2
x
y
d
d
2
E I
⋅
2
x
y
d
d
2
⋅ M x
( )

PROCEDIMIENTO DE DOBLE INTEGRACION
Luego de analizar las cargas de una viga, obtener las ecuaciones y gráficas de fuerzas
cortantes y momentos flectores, se está en capacidad de encontrar la ecuación de la
elástica utilizando la ecuación de momentos flectores obtenidos y reemplazando en la
ecuación diferencial correspondiente.
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la elástica para la viga mostrada en la figura.
L
L/2
Ra Rb
P
Ymax
Ecuación de
la elástica
la deflexión:
la pendiente:
el momento flector:
la cortante:
la carga distribuida:
y
θ
x
y
d
d
M
E I
⋅ 2
x
y
d
d
2
3
x
y
d
d
3 dM
dx
1
E I
⋅
⋅
V
E I
⋅
4
x
y
d
d
4 dV
dx
1
E I
⋅
⋅
q
E I
⋅

Resolviendo las ecuaciones para obtener las reacciones se tiene:
La ecuación del momento flector será:
El momento máximo se produce en el punto medio (para este caso):
cuando x=L/2
reemplazamos en la ecuación diferencial
Integrando la ecuacion anterior:
con apoyo de las condiciones iniciales, encontramos las constantes de integración:
cuando
finalmente
para el momento máximo en x=L/2
Ra Rb
P
2
M x
( )
P x
⋅
2
M x
( )
P L
⋅
4
M E I
⋅
2
x
y
d
d
2
⋅
→
P x
⋅
2
E I
⋅
2
x
y
d
d
2
⋅
x
2
x
y
d
d
2
⌠
⎮
⎮
⎮
⎮
⌡
d
P
2 E
⋅ I
⋅
x
x
⌠
⎮
⎮
⌡
d
⋅
→ x
y
d
d
P x
2
⋅
4 E
⋅ I
⋅
C1
+
x
x
y
d
d
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
d x
P x
2
⋅
4 E
⋅ I
⋅
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
d x
C1
⌠
⎮
⎮
⌡
d
+
→
y x
( )
P x
3
⋅
12 E
⋅ I
⋅
C1 x
⋅
+ C2
+
x 0 y 0 → C2 0
x
L
2 x
y
d
d
0
→
C1
P
− L
2
⋅
16 E
⋅ I
⋅
y x
( )
P x
3
⋅
12 E
⋅ I
⋅
P
− L
2
⋅
16 E
⋅ I
⋅
x
⋅
+
y x
( )
P
− L
3
⋅
48 E
⋅ I
⋅

DEFLEXION DE VIGAS - FUNCIONES DE SINGULARIDAD
El proceso de obtención de la ecuación de la elástica de una viga, cuando esta
presenta muchas discontinuidades debido a cambios de carga, deriva en la
formulación y resolución de muchas ecuaciones, que a la vez incrementan la
probabilidad de cometer errores en los cálculos.
El matemático alemán A. Clebsch planteó la resolución de las ecuaciones de la
elástica utilizando las funciones de Singularidad, así la base lógica de estas funciones
permite analizar la respuesta transitoria de un circuito, que en este caso se convierte
en la respuesta transitoria (en el tramo) de la ecuación de deflexión de una viga.
Una particularidad de estas funciones es que nos permite establecer una sola función
de deflexión para toda la viga, con lo que se anula la necesidad de establecer
condiciones de coincidencia (condiciones de frontera) para cada ecuación en cada
tramo.
De forma general se puede exponer las siguientes relaciones:
0
0
Cuando n>0 y x>=x0
Cuando n>0 y x< x0
1
0
Cuando x>=x0
Cuando x< x0
1
1
Cuando n>=0
Cuando n>=1
La expresión general de las funciones de singularidad se escriben como: <x-x0>n
donde:
n: cualquier entero (positivo o negativo).
x0: el valor de x en la frontera del intervalo.
x: el valor de la longitud de análisis.
Los corchetes se reemplazan por paréntesis algebraicos (susceptibles de evaluación)
cuando se cumple x =>x0, y por "0" cuando x<x0.

Para entender mejor el planteamiento de la ecuación, se analiza la viga siguiente:
Ra Rb
P
q
x1
x2
x3
L
Ahora planteando una sola ecuación de singularidad:
para 0<x<L
La ecuación de momentos por tramos sería:
Tramo 1
Tramo 2
Tramo 3
0 x
< x1
<
M1 x
( ) Ra x
⋅
x1 x
< x2
<
M2 x
( ) Ra x
⋅ P x x1
−
( )
−
x2 x
< x3
<
M3 x
( ) Ra x
⋅ P x x1
−
( )
− q
x x2
−
( )2
2
⋅
−

Ejemplo: encontrar la deflexión en el punto medio entre los dos apoyos:
Ra
Rb
P
q
x1
x4
L
x2
x3
2m 6m 4m 6m
Para encontrar la ecuación de los momentos en la viga, se utilizará un artificio de
física, en la cual la carga distribuida se extenderá hasta el final de la viga, restándola
la misma en toda la longitud extendida, asegurando asi no cambien las condiciones
iníciales.
Ra
Rb
P
q
x1
x4
L
x2
x3
DATOS
Por sumatoria de fuerzas horizontales y sumatoria de momentos se tiene las
reacciones:
q 60
kgf
m
:=
P 120kgf
:= E 29000ksi
:=
Ra 150kgf
:= Rb 330kgf
:=

realizando un único corte en el extremo derecho:
Las condiciones iniciales en los extremos:
Por cuanto para obtener la flecha en el punto x=6m, evaluamos la ecuación, sin
embargo por la regla de las funciones de singularidad, los términos (x-8)4 y (x-12)3, no
se evalúan pues se hacen cero, así:
E I
⋅
2
x
y
d
d
2
⋅ M 150 x
⋅
60
2
x 2
−
( )
2
⋅
−
60
2
x 8
−
( )
2
⋅
+ 330 x 12
−
( )
⋅
+
E I
⋅
x
y
d
d
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅ 75 x
2
⋅ 10 x 2
−
( )
3
⋅
− 10 x 8
−
( )
3
⋅
+ 165 x 12
−
( )
2
⋅
+ C1
+
E I
⋅ y
⋅ 25 x
3
⋅
10
4
x 2
−
( )
4
⋅
−
10
4
x 8
−
( )
4
⋅
+
165
3
x 12
−
( )
3
⋅
+ C1 x
⋅
+ C2
+
x 0 → y 0 → C2 0
x 12 → y 0
0 25 12
( )
3
⋅
10
4
12 2
−
( )
4
⋅
−
10
4
12 8
−
( )
4
⋅
+
165
3
12 12
−
( )
3
⋅
+ C1 12
( )
⋅
+
C1 1570
−
:= kgf m
3
⋅
E I
⋅ y
⋅ 25 6
( )
3 10
4
6 2
−
( )
4
⋅
− 1570 6
( )
⋅
−
x 6m
:=
y x
( )
1
E I
⋅
25kgf x
3 10kgf
4 m
⋅
x 2m
−
( )
4
⋅
−
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
⋅
:=
y x
( ) 66.703mm
=

MEC 2240 DISEÑO MECANICO CASOS DE ESTUDIO DE VIGAS
DEFLEXION EN VIGAS
ENUNCIADO
Para el sistema de puente grua, se quiere verificar si se puede cargar un peso total de 3,5ton,
además de averiguar la deflexión en los apoyos y el medio de la viga.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Se requiere conocer el esfuerzo máximo generado por la carga y si este es menor que el
admisible del material, además de verficar las deflexiones en el extremo y medio de la viga.
OBJETIVO
Calcular la tensión máxima en la viga en voladizo.
1.
Calcular la deflexión en los extremos y en el centro de la viga.
2.
DATOS
P 3.5tonf
:= L1 2m
:= L2 2.5m
:=
Material de la viga en voladizo
Concreto armado :
σycon 0.9ksi
:= Econ 250000
kgf
cm
2
:= b 16.6cm
:=
h 12.3cm
:=
Material de la viga del puente
grua, acero de construcción :
Perfil Número "I" 6"x6"x1/8in
σy36 36ksi
:= E36 29000ksi
:= Ixx 942cm
4
:=
ANALISIS
Para resolver el problema de ingenieria, seguimos los siguientes pasos:
Diagrama de cuerpo libre.
1.
Obtenemos las reacciones.
2.
La ecuacion de momentos.
3.
La reemplazamos en la ecuación de la elástica.
4.
Integramos y encontramos las constantes.
5.
Obtenemos el valor de "y" maximo y comparamos con los admisibles de la norma.
6.
DESARROLLO
1) Diagrama de cuerpo libre
31,1
25
12,3
2m 2,5m
P=3.5 ton
16,6
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 7

Las reacciones para este caso obtenemos de tablas:
La reacción máxima en los apoyos: R1
P L2
⋅
L1 L2
+
1763.97 kgf
=
:=
El momento máximo Mmax
P L1
⋅ L2
⋅
L1 L2
+
3.53 10
5
× kgf cm
⋅
=
:=
La deformación máxima:
δmax
P L2
⋅ L1 L2
+
( )2
L2
2
+
⎡
⎣
⎤
⎦
3
2
⋅
9 3
⋅ E36
⋅ Ixx
⋅ L1 L2
+
( )
⋅
80.37 mm
=
:=
CÁLCULO PARA LA VIGA EN VOLADIZO
Tomamos la reacción máxima como fuerza vertical en el voladizo, así:
31,1
25
12,3
P=R1
Ra
Ma
Entonces el momento en la raiz del voladizo será:
Ma R1 25
⋅ cm 440.99 mkgf
=
:=
Ra R1 1763.97 kgf
=
:=
Por ecuaciones:
Icon
b h
3
⋅
12
2574.2 cm
4
=
:=
δmax
R1 25cm
( )
3
⋅
3 Econ
⋅ Icon
⋅
mm
=
:=
Su tensión máxima será:
σmax
Ma
h
2
⋅
Icon
105.36
kgf
cm
2
=
:= σycon 63.28
kgf
cm
2
=

PARA LA VIGA DEL PUENTE
Verificamos los datos obtenidos por deflexión:
La ecuación general de momentos será:
M x
( ) R1 x
⋅ P x L1
−
( )
⋅
−
=
reemplazando en la ecuación:
→
M E I
⋅
2
x
y
d
d
2
⋅
= R1 x
⋅ P x L1
−
( )
⋅
− E I
⋅
2
x
y
d
d
2
⋅
=
integrando dos veces:
E36 Ixx
⋅
x
y
d
d
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
R1 x
2
⋅
2
P
x L1
−
( )2
2
⋅
− C1
+
=
E36 Ixx
⋅ y
⋅
R1 x
3
⋅
6
P
x L1
−
( )3
6
⋅
− C1 x
⋅
+ C2
−
=
Por medio de condiciones de frontera: x 0
= y 0
=
x L1 L2
+
=
x
y
d
d
0
=
C2 0
=
x 4.5m
:=
C1 P
x L1
−
( )2
2
⋅
R1 x
2
⋅
2
−
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
:= C1 77843.88
−
m
3
kg
⋅
s
2
=
entonces y:
y
1
E36 Ixx
⋅
( )
R1 x
3
⋅
6
P
x L1
−
( )3
6
⋅
− C1 x
⋅
+
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
⋅
:=
si
x L1
:= y
1
E36 Ixx
⋅
( )
R1 x
3
⋅
6
P
x L1
−
( )3
6
⋅
− C1 x
⋅
+
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
⋅
:= y 70.41
− mm
=
x L2
:=
y
1
E36 Ixx
⋅
( )
R1 x
3
⋅
6
P
x L1
−
( )3
6
⋅
− C1 x
⋅
+
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
⋅
:= y 79.75
− mm
=

EJERCICIO 2
La figura mostrada es la de una barra de un mezclador, accionado manualmente, se quiere verificar
la tensión máxima y la deformación de la barra si esta es de un acero 1020 y tiene un diámetro de
15mm.
DATOS
P1 30kgf
:= qe 40kgf
:= Le 23.2cm
:= q
qe
Le
1.72
kgf
cm
=
:=
σuAI1020 65ksi
:= σyAI1020 48ksi
:= Ea 29000ksi
:=
L1 16.5cm
:= L2 36.6cm
:= L3 36.6cm 23.2cm
+
:= L4 16.5 31.7
+ 36
+
( ) cm
⋅
:=
DESARROLLO
100
23,2
36,6 40,2
16,5 31,7 36
P1 q P1
Ra Rb
Cálculo de las reacciones: Ra 1N
:= Rb 1N
:=
dado
Ra Rb
+ 2 P1
⋅
− qe
− 0
=
Ra 100
⋅ cm P1 100 16.5
−
( )
⋅ cm
− qe 40.2cm 23.2 0.5
⋅ cm
+
( )
⋅
− P1 100 16.5
− 31.7
− 36
−
( )
⋅ cm
⋅
− 0
=
Ra
Rb
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
buscar Ra Rb
,
( )
:=
Ra
Rb
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
50.51
49.49
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
kgf
=
La ecuación general de momentos:
x1 16.5cm
:= x2 36.6cm
:= x3 36.6 23.2
+
( ) cm
⋅
:= x4 16.5 31.7
+ 36
+
( ) cm
⋅
:=
M x
( ) Ra x
⋅ P1 x x1
−
( )
⋅
− q
x x2
−
( )2
2
⋅
− q
x x3
−
( )2
2
⋅
+ P1 x x4
−
( )
⋅
−
=
Para el tramo 1 M1 x
( ) Ra x
⋅
:=
0 x
< x1
≤
( ) Ra x
⋅ P1 x x1
−
( )
⋅
−
:= x1 x
< x2
≤

( ) Ra x
⋅ P1 x x1
−
( )
⋅
− q
x x2
−
( )2
2
⋅
−
:=
x2 x
< x4
≤
( ) Ra x
⋅ P1 x x1
−
( )
⋅
− q
x x2
−
( )2
2
⋅
− q
x x3
−
( )2
2
⋅
+
:=
( ) Ra x
⋅ P1 x x1
−
( )
⋅
− q
x x2
−
( )2
2
⋅
− q
x x3
−
( )2
2
⋅
+ P1 x x4
−
( )
⋅
−
:=
x4 x
< 100cm
≤
M x
( ) M1 x
( ) 0 x
< x1
≤
if
M2 x
( ) x1 x
< x2
≤
if
M3 x
( ) x2 x
< x3
≤
if
M4 x
( ) x3 x
< x4
≤
if
M5 x
( ) x4 x
< 100cm
≤
if
:=
x 0mm 5mm
, 100cm
..
:=
0 0.5 1
50
100
150
M x
( )
x
Derivando e igualando a 0 el momento 3:
Ra x
⋅ P1 x x1
−
( )
⋅
− q
x x2
−
( )2
2
⋅
− 0
=
Ra P1
−
q 2 x
⋅ 2 x2
⋅
−
( )
⋅
2
− 0
= x
Ra P1
−
( )
q
x2
+ 0.48 m
=
:=
M x
( ) 1367.66 kgf cm
⋅
= el momento máximo
Para la deflexión agarramos la ecuación general y la integramos:
M x
( ) Ra x
⋅ P1 x x1
−
( )
⋅
− q
x x2
−
( )2
2
⋅
− q
x x3
−
( )2
2
⋅
+ P1 x x4
−
( )
⋅
−
=
M E I
⋅
2
x
y
d
d
2
⋅
=

E I
⋅
2
x
y
d
d
2
⋅ Ra x
⋅ P1 x x1
−
( )
⋅
− q
x x2
−
( )2
2
⋅
− q
x x3
−
( )2
2
⋅
+ P1 x x4
−
( )
⋅
−
=
E36 Ixx
⋅
x
y
d
d
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
Ra x
2
⋅
2
P1
x x1
−
( )2
2
⋅
− q
x x2
−
( )3
6
⋅
− q
x x3
−
( )3
6
⋅
+ P1
x x4
−
( )2
2
⋅
− C1
+
=
E36 Ixx
⋅ y
⋅
Ra x
3
⋅
6
P1
x x1
−
( )3
6
⋅
− q
x x2
−
( )4
24
⋅
− q
x x3
−
( )4
24
⋅
+ P1
x x4
−
( )3
6
⋅
− C1 x
⋅
+ C2
+
=
con condiciones de frontera
x 0
= y 0
=
x 100cm
=
x
y
d
d
0
=
de la primera: C2 0
=
x 100cm
:=
C1
Ra x
2
⋅
2
P1
x x1
−
( )2
2
⋅
− q
x x2
−
( )3
6
⋅
− q
x x3
−
( )3
6
⋅
+ P1
x x4
−
( )2
2
⋅
−
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
−
:=
C1 87.93
−
m
3
kg
⋅
s
2
=
entonces y: db 15mm
:= Ixx 0.2 db
4
⋅ 1.01 cm
4
=
:=
y
1
E36 Ixx
⋅
( )
Ra x
3
⋅
6
P1
x x1
−
( )3
6
⋅
− q
x x2
−
( )4
24
⋅
− q
x x3
−
( )4
24
⋅
+ P1
x x4
−
( )3
6
⋅
− C1 x
⋅
+
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
⋅
:=
x 0.48m
:=
y 21.56
− mm
=

CAP. 5
DISEÑO DE MIEMBROS EN TORSIÓN
OBJETIVOS:
- Demostrar la ecuación de la tensión de torsión, su aplicación y diseño
de miembros sometidos a tensiones de torsión
TEMAS:
5.2. Deformación angular
5.3. Tensión de torsión
5.4. Módulo de rigidez
5.5. Tensión de torsión admisible
5.6. Módulo de sección polar
5.7. Deformación angular admisible
5.8. Potencia transmitida por los ejes
5.9. Diseño de miembros en torsión
Los esfuerzos de torsión se los encuentra sobre todo en elementos giratorios como los
ejes de las maquinarias.
Cuando se somete a una pieza a un momento torsor, en la misma se crea un ángulo de
torsión que varía proporcionalmente a la longitud del eje, por lo que el tamaño de la
pieza es fundamental para obtener una relación de la deformación de la misma, así por
ejemplo en la figura de lado, se ve un eje antes de ser
sometido a un momentos torsor.
En la figura de abajo se tiene la misma pieza sometida a
un torsor que la deforma haciendo rotar su estructura
formando el ángulo de rotación.
Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con
respecto a su eje longitudinal.
Hibbeler

5.2 Deformación angular
Observando las figuras anteriores se puede concluir lo siguiente:
Los puntos n-n’ dan la relación:
Donde:
γ = deformación por cortante
φ = Angulo de Torsión
ρ = Radio o distancia hasta el punto de análisis.
X = Distancia o longitud del elemento
La ecuación anterior nos presenta una relación entre la longitud del elemento y su
deformación angular debido a un momento torsor.
5.3 Tensión de torsión
Si un miembro de sección circular está sujeto a cargas de torsión, se producen fuerzas
cortantes; el producto de estas fuerzas cortantes por sus respectivas distancias al eje
de la flecha producen los momentos cuya suma es el torsor resistente al torsor
impuesto externamente.
Algunos enunciados que se pueden formular para obtener las relaciones de las
tensiones de torsión pueden ser:
1. La sección de flecha es plana antes de la torsión y continua plana después de
la torsión (este hecho solo se da en secciones circulares)
2. El diámetro de la flecha no varía durante la carga.
3. Los esfuerzos están dentro el rango elástico.
n n
− γ x
⋅ ρ θ
⋅
Normalmente cuando se calcula en eje a torsión se verifica
que este resista un torsor determinado y que no exceda una
deformación pedida.

T
τmax
c
Ip
⋅
τmax
T c
⋅
Ip
4. Las deformaciones por cortante varían linealmente desde cero en el centro del
eje hasta un máximo en el extremo radial del mismo.
Por cuanto si suponemos que la tensión en el borde del eje es τmax y las tensiones en
cualquier punto del eje son τ, se puede exponer la siguiente relación:
De ahí se puede colegir que la fuerza en un punto
determinado será:
Multiplicándolo por el radio dará:
La integral por definición es el momento polar de
inercia, por tanto:
Escrito de otra manera:
Donde: T= Momento torsor
c=Distancia al punto mas alejado
Ip= Momento polar de Inercia
τmax
c
τ
ρ
F τ dA
⋅ τmax
ρ
c
⋅ dA
⋅
dT F ρ
⋅ τmax
ρ
2
c
⋅ dA
⋅
Integrando:
0
T
T
1
⌠
⎮
⌡
d
0
c
A
τmax
c
ρ
2
⋅
⌠
⎮
⎮
⌡
d
T
τmax
c 0
c
A
ρ
2
⌠
⎮
⌡
d
⋅

Ejercicio 5.1
Determinar el par interno de las secciones indicadas:
Ejercicio 5.2
5.2.1 Determinar el esfuerzo cortante máximo en un eje de 2 pulg. de diámetro; el
par aplicado es de 800 lb-pies.
5.2.2 Un eje macizo de latón de 90 mm de diámetro tiene un esfuerzo cortante
admisible de 8000 lb/pulg2
. determinar el par máximo que puede resistir el eje.
Deje 2in
:=
Ip
π Deje
4
⋅
32
:= Ip 65.381cm
4
=
τmax
Tor c
⋅
Ip
τmax
Tor
Deje
2
⋅
Ip
:= τmax 429.684
kgf
cm
2
=
Tor 800lbf ft
⋅
:=
Calculando el momento de inercia:
el esfuerzo cortante máximo es:
τadm 8000
lbf
in
2
:=
Deje 90mm
:=
Ip
π Deje
4
⋅
32
:= Ip 644.12cm
4
=

5.3.1 Tensión de torsión en ejes huecos
Revisando la ecuación de la tensión, se puede encontrar que el esfuerzo es susceptible
a las variaciones del momento polar de inercia; mas cuando trabajamos con ejes
huecos el momento de inercia sufre pequeñas variaciones respecto de un eje macizo, y
por el contrario, el peso del elemento disminuye considerablemente, por cuanto se
puede aprovechar esta propiedad para obtener elementos mas livianos con buenas
propiedades de resistencia.
Ejercicio 5.3.1
Comparar la resistencia de una flecha de acero de 4 in de diámetro con otra flecha
hueca de 4 in de diámetro exterior y 2 in de diámetro interior; el esfuerzo cortante
admisible es 10000lbf/in2. Comparar los pesos de los ejes si estos tiene 1 pie de
longitud.
Tor
τadm
c
Ip
⋅ Tor
τadm
Deje
2
Ip
⋅
:= Tor 7895.26N m
⋅
=
Solución para eje Macizo
τadm 10000
lbf
in
2
:=
ρacero 7.45
kgf
dm
3
:=
Ip 1046.1cm
4
=
wmacizo 18.41kgf
=
De 4in
:=
Ip
π De
4
⋅
32
:=
Tor
τadm
De
2
Ip
⋅
:= Tor 14198.09N m
⋅
=
wmacizo
π De
2
⋅
4
1
⋅ ft ρacero
⋅
:=
Solución para eje hueco
De 4in
:= Di 2in
:=
Ip
π De
4
Di
4
−
⎛
⎝
⎞
⎠
⋅
32
:= Ip 980.72cm
4
=
Torhueco
τadm
De
2
Ip
⋅
:= Torhueco 13310.71N m
⋅
=
whueco
π
4
De
2
Di
2
−
⎛
⎝
⎞
⎠
⋅ 1
⋅ ft
⋅ ρacero
⋅
:= whueco 13.81kgf
=

En Torsor resistente
5.4 Módulo de rigidez
Cuando se aplica un momento torsor sobre un eje, esta produce una tensión de corte además
de un ángulo de deformación. Esta relación es directamente proporcional pues tal como en
esfuerzos de tracción sigue la ley de Hook. La relación de proporcionalidad se la denomina
como modulo de rigidez o Módulo de elasticidad a cortante.
5.5 Angulo de Torsión
Al igualar las dos definiciones de esfuerzo cortante en torsión se puede obtener la ecuación del
ángulo de torsión, en la que relaciona el momento torsor, con la longitud del eje y las
propiedades del material, constituyéndose una ecuación base para el diseño de flechas.
Torhueco
Tor
100
⋅ 93.75
=
en peso
whueco
wmacizo
100
⋅ 75
=
τ G γ
⋅
τ G γ
⋅
γ
R θ
⋅
L
Tor R
⋅
Ip
G R
⋅ θ
⋅
L
θ
Tor L
⋅
Ip G
⋅

Primer tramo
Σ x=0 6kNm
⋅ TAB
− 0 TAB 6kNm
⋅
:=
Segundo Tramo
6kNm
⋅ 14kNm
⋅
+ TBC
− 0 TBC 20kNm
⋅
:=
el momento de inercia para el eje hueco es: r1 45mm
:= r2 60mm
:=
Iph
π
2
r2
4
r1
4
−
⎛
⎝
⎞
⎠
⋅
:= Iph 1391.63
cm
4
=
El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el punto exterior, por lo tanto:
τmax
TBCr2
⋅
Iph
:= τmax 86.23MPa
=
El esfuerzo cortante mínimo se encuentra en el punto interior de eje:
τmin
TBCr1
⋅
Iph
:= τmin 64.67MPa
=
En los ejes AB y CD, el torque solicitante es de 6 kN, entonces:
τadm
Tor
d
2
⋅
Ip
τadm 65MPa
:=
Given
τadm
TAB
dab
2
⋅
π dab
4
⋅
32
Find dab
( ) 77.76mm
=
Ejercicio 5.5.1
El eje BC es hueco y sus diámetros interior y exterior miden 90 mm y 120 mm repsectivamente.
Los ejes AB y CD son sólidos y su diámetro es "d". Para la carga mostrada halle:
Los esfuerzos cortantes máximo y mínimo en el eje BC.
el diámetro "d" en los ejes AB y CD si el cortante admisible es 65 MPa.
Primero se debe encontrar mediante las ecuaciones de la estática los momentos que están
afectando al eje:

5.6 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
El comportamiento a torsión de elementos de secciones no circulares varia de los de secciones
circulares, y es que existe una deformación no uniforme de la sección no circular cuando a esta
se la exige con un momento torsor; sin embargo para fines prácticos de cálculo se emplean
fórmulas semejantes a las empleadas para tensiones de corte a torsión de secciones circulares
pero empleando valores de ajuste de una sección dada ha una circular, así:
Para la formula de esfuerzo cortante por torsión:
Donde Q, depende de la forma de la sección.
Para el ángulo de torsión se puede emplear la siguiente relación:
“K” también está en función de la sección.
Ambos valores se puede obtener de la tabla siguiente:
τmax
Tor c
⋅
Ip
τmax
Tor
Q
θ
Tor L
⋅
G K
⋅
θ
Tor L
⋅
G Ip
⋅

Ejercicio 5.6
Un eje de 2” de diámetro que soporta a una rueda tiene un extremo fresado en forma de
cuadrado para permitir el uso de una manivela. El cuadrado mide 1.75” por lado. Calcule la
tensión máxima por esfuerzo de corte en la parte cuadrada si se aplica un torque de
15000lbf*in. Además calcular el ángulo de torsión si la longitud de la parte cuadrada es de 8”.
Se considera G=11.5*106
psi.

CAP. 6 RECIPIENTES DE PARED DELGADA
OBJETIVOS:
- Establecer las tensiones presentes en recipientes de pared delgada
- Diseñar los recipientes de pared delgada
TEMAS:
8.1. Cilindros de pared delgada bajo presión interna
8.2. Tensión circunferencial o radial
8.3. Tensión longitudinal
8.4. Esfera de pared delgada, sometida a presión interna
8.1. CILINDROS DE PARED DELGADA BAJO PRESIÓN INTERNA
Los recipientes cilíndricos o esféricos que sirven como calderas o tanques son de uso
común en la industria. Cuando se someten a presión, el material del que están hechos
soporta una carga desde todas las direcciones.
Para facilidad del estudio, el recipiente puede ser analizado de manera simple siempre
que tenga una pared delgada. En general, 'pared delgada" se refiere a un recipiente
con una relación de radio interior a espesor de pared de 10 o más (r/t > 10).
Específicamente, cuando r/t = 10, los resultados de un análisis de pared delgada
predicen un esfuerzo que es casi 4% menor que el esfuerzo máximo real en el
recipiente. Para razones r/t mayores, este error será aún menor.
Cuando la pared del recipiente es "delgada", la distribución del esfuerzo a través de su
espesor “t” no variará de manera significativa, y por tanto se supondrá que es
uniforme o constante. Con esta suposición, se analizará ahora el estado de esfuerzo
en recipientes de presión cilíndricos. En ambos casos se entiende que la presión
dentro del recipiente es la presión manométrica, ya que mide la presión por encima de
la presión atmosférica, la que se supone existe tanto en el interior como en el exterior
de la pared del recipiente.
Por la ley de Pascal, se entiende que la distribución de la presión causada por un
fluido se distribuye de forma uniforme en un recipiente; sin embargo esta presión se
debe analizar en sus componentes radiales y longitudinales, siendo que la resistencia
del recipiente no será la misma para cada una de ellas.
8.5. TENSIÓN CIRCUNFERENCIAL O RADIAL
La presión “p” del fluido multiplicado por el área proyectada de incidencia de la presión
da como resultado una fuerza ejercida por el fluido, así:

El
E
El área proyectada se considera al diámetro del cilindro por la longitud a analizar.
El valor de “t” representa el espesor de la plancha a lo
largo de “L”.
El análisis para encontrar el espesor mínimo del
material para soportar la presión interna se puede
resumir a igualar la fuerza generada por la presión
interna e igualarla a la fuerza solicitante para la tensión
del material.
p
F
A
F
D L
⋅
además
F 2P
P
p D
⋅ L
⋅
2
Analizando la resistencia del material
σr
F
A
F
2 t
⋅ L
⋅
Reemplazando la primera ecuación de la
fuerza
σr
p D
⋅ L
⋅
2 t
⋅ L
⋅
→ σr
p D
⋅
2 t
⋅

8.6. TENSIÓN LONGITUDINAL
Para encontrar la tensión longitudinal del material producido por la presión interna,
prácticamente se sigue el mismo procedimiento anterior, con la diferencia de que el
área del recipiente que soporta la presión es la región circunferencial de los extremos,
por consiguiente:
p
F
A
F
π D
2
⋅
4
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
además
F p
π D
2
⋅
4
Analizando la resistencia del material
σr
F
A
F
π t
⋅ D
⋅
Reemplazando la primera ecuación de la
fuerza:
σr
p
π D
2
⋅
4
⋅
π t
⋅ D
⋅
→
σr
p D
⋅
4 t
⋅

8.7. ESFERA DE PARED DELGADA, SOMETIDA A PRESIÓN INTERNA
El análisis de estos recipientes es semejante al análisis de los recipientes cilíndricos
sometidos a tensiones longitudinales, enfatizando la igualdad que se hace respecto de
la presión del fluido y la resistencia del material.
De esta manera se puede anotar:
Ejercicio 8.1
Determinar el esfuerzo circunferencial y longitudinal en las paredes de un cilindro que
tiene un diámetro de 1m y un espesor en las paredes de 8 mm. La presión interna es
de 500 KPa.
Di 1m
:= ep 8mm
:= pi 500KPa
:=
Para la tensión circunferencial
σr
pi Di
⋅
2 ep
⋅
:=
σr 31.25MPa
=
Para la tensión longitudinall
σl
pi Di
⋅
4 ep
⋅
:=
σl 15.625MPa
=
F p Aproyectada
⋅ p
π D
2
⋅
4
⋅ ...(1)
el esfuerzo en las paredes del recipiente esférico
será:
σesf
F
A
de donde:
F σesf A
⋅ σesf π
⋅ D
⋅ t
⋅ ...(2)
igualando 1 y 2
σesf π
⋅ D
⋅ t
⋅ p
π D
2
⋅
4
⋅
σesf
p D
⋅
4 t
⋅

Ejercicio 8.2
La tubería de gas está soportada cada 20 pies por silletas de concreto que la
mantienen fija al piso. Determine el esfuerzo longitudinal y circunferencial en la tubería
si la temperatura se eleva 60°F respecto a la temperatura a la que fue instalada. El gas
en la tubería está a una presión de 600 lbf/pulg2. La tubería tiene un diámetro interior
de 20 pulg y espesor de 0.25 pulg. El material es acero A-36.
Long 20ft
:= DT 15.5
:= ºC pg 600
lbf
in
2
:= Di 20in
:= ep 0.25in
:=
Para el material A-36 σyA36 36000
lbf
in
2
:=
P1 V1
⋅
T1
P2 V2
⋅
T2
P1 pg
:= T1 15
:= T2 T1 DT
+
:= V1 V2
P2
P1 T2
⋅
T1
:= P2 1220
lbf
in
2
=
Para la tensión circunferencial
σr
P2 Di
⋅
2 ep
⋅
:= σr 48800
lbf
in
2
=
Para la tensión longitudinal
σl
P2 Di
⋅
4 ep
⋅
:= σl 24400
lbf
in
2
=
Para las condiciones iniciales la tubería podía aguantar??
σr
P1 Di
⋅
2 ep
⋅
:= σr 24000
lbf
in
2
=

CALCULO DE RECIPIENTES A PRESIÓN SEGÚN LA NORMA ASME VIII – Div. 1
La Norma ASME VIII, desarrolla de forma extensa el cálculo de los recipientes a
presión en las distintas circunstancias. La intensión del tema dentro la asignatura es el
de dar una idea clara del origen e interpretación de las ecuaciones que esta norma
expone, capacitando al estudiante para poder en un caso determinado realizar el
diseño completo de un recipiente a presión de acuerdo a esta normativa.
De la misma se puede resaltar una secuencia de cálculo general, la cual se muestra a
continuación:

INICIO
(Formulación de la
necesidad de diseño)
DISEÑO DE LA
CARCAZA
DISEÑO DE LOS
CABEZALES
DISEÑO DE LAS
BOQUILLAS
Análisis de datos
de diseño
Análisis de
espesores
mínimos
requeridos
Análisis de rigidez
(Atiesadores)
Espesores cumplen la
Norma
Elaboración de
Planos de
Fabricación
Verificación de
existencia de
materiales.
Fabricación
PRUEBA
HIDROSTÁTICA
NO
SI
Norma
Análisis de datos
de diseño
Análisis de
espesores
mínimos
requeridos
(Soldadura)
Elaboración de
Planos de
Fabricación
Verificación de
existencia de
materiales.
Fabricación
PRUEBA
HIDROSTÁTICA
Análisis de datos
de diseño
Análisis de
espesores
mínimos
requeridos
(Refuerzos y
Soldadura)
Norma
Elaboración de
Planos de
Fabricación
Verificación de
existencia de
materiales.
Fabricación
PRUEBA
HIDROSTÁTICA
FIN
Diseño terminado,
Tanque construido.
NO NO
SI SI

Se muestra también los materiales más recomendados por la norma.

El módulo de elasticidad
Para temperaturas de funcionamiento inferiores a 93 ºC, se puede considerar de forma
general 29000 ksi.

Se presenta también relaciones de las propiedades de los materiales sugeridos por
norma y los que encontramos en mercado.
Material
Resistencia a la Fluencia Resistencia Última
[kgf/cm2] [ksi] [kgf/cm2] [ksi]
SA‐283 2109 30 3866 55
SA‐515 2460 35 4570 65
SA‐516 2670 38 4920 70
ST 37 2400 34 3700 53
AISI 1020 3375 48 4570 65
AISI 1045 4148 59 6750 96
Finalmente se da apuntes acerca de los espesores recomendados para evitar la
corrosión prematura de los recipientes. De acuerdo a la Norma se puede rescatar…
Los recipientes o partes de los mismos que estén sujetos a corrosión, erosión o abrasión mecánica
deben tener un margen de espesor para lograr la vida deseada, aumentando convenientemente el
espesor del material respecto al determinado por las fórmulas de diseño, o utilizando algún método
adecuado de protección (Norma UG-25 b).
Las normas no prescriben la magnitud del margen por corrosión excepto para recipientes con es-
pesor mínimo requerido menor de 0.25 pulg que han de utilizarse para servicio de vapor de agua,
agua o aire comprimido, para los cuales indica un margen por corrosión no menor de la sexta parte
del espesor de placa calculado. No es necesario que la suma del espesor calculado más el margen
por corrosión exceda de 1/4 de pulg. (Norma UCS-25)
Para otros recipientes en los que sea predecible el desgaste por corrosión, la vida esperada del re-
cipiente será la que determine el margen y si el efecto de la corrosión es indeterminado, el margen lo
definirá el diseñador. Un desgaste por corrosión de 5 milésimas de pulgada por año (1/16 de pulg en
12 años) generalmente es satisfactorio para recipientes y tuberías.
La vida deseada de un recipiente es una cuestión económica. Los recipientes principales o mayores se
diseñan generalmente para una vida larga de servicio (15 a 20 años), mientras que los secundarios o
menores para períodos más cortos (8 a 10 años).
No necesita aplicarse el mismo margen por corrosión a todas las partes del recipiente si se esperan
diferentes grados de ataque para las distintas partes (norma UG-25 c).
Existen varios métodos diferentes para medir la corrosión. El más simple consiste en taladrar agujeros
de prueba (normal UG-25 e) o indicadores de la corrosión.
Los recipientes sujetos a corrosión deberán tener una abertura de purga (norma UG-25 f).
Todos los recipientes de presión sujetos a corrosión, erosión o abrasión mecánica interiores deberán
ser provistos con abertura de inspección (norma UG-46).
Para eliminar la corrosión se utilizan materiales resistentes, ya sea como recubrimientos únicamente,
o para fabricar todo el recipiente.
Las reglas de los recubrimientos se indican en la norma en la parte UCL, apéndice F y párrafo UG-
26.
Un recipiente puede protegerse contra abrasión mecánica por medio de parches de placa, los cuales
se sueldan o se unen por otros medios al área expuesta del recipiente.
En los recipientes sujetos a corrosión, se evitarán todos los entrehierros y bolsas angostas uniendo las
partes a la pared del recipiente con soldadura continua.

Por cuanto para recipientes de espesores superiores a ¼” no es muy necesario sobre
dimensionar por corrosión; más para recipientes de espesores delgados recomienda
aumentar 1/16” para compensar la corrosión, eso equivale a 1,6 mm.
Espesor t >= 6 mm t=t
Espesor t < 6 mm T= t+1.6mm
“t” espesor de la plancha

Resolucion Examen Final
Enunciado
1.- La estructura mostrada fue diseñada para soportar el tanque con agua. Por necesidades especificas
la empresa, el mismo servirá para almacenar pulpa con una densidad de 1.8 kg/dm3. La viga inferior está
soldada a un lado y enpernada al otro con 6 pernos.
a) Calcular el espesor de la soldadura E7018 que se empleará para soldar la plancha del tanque sabiend
que la tolva pesa 982 kgf.
b) Calcular el espesor de la soldadura en la viga, si esta está soldada solo en el peralte del perfil.
c) Calcular el espesor de la plancha del tanque. (material A36)
d) Escoger el perfil para la viga
e) Escoger los pernos para la sujeción si estos son de material A307
La viga esta soportando el peso del tanque cual si fuera una carga distribuida.
DOCENTE: Ing. Miguel Ruiz Orellana 1 de 5

Datos
Plancha
Su36 400MPa
:= Sy36 250MPa
:= E36 200GPa
:=
Pernos
Su307 3867
kgf
cm
2
:= Su307 379.22 MPa
=
Material Almacenado
γal 1.8
kgf
dm
3
⋅
:=
Soldadura
E7018 Su7018 70000
lbf
in
2
:=
Resolución
a) Calcular el espesor de la soldadura para el tanque
Este va ha ser el mismo espesor de la plancha, pues la soldadura tiene mayor
resistencia que el material de la plancha.
Datos del tanque
Altura del tanque: ht 2000mm
:=
Diámetro del tanque: dt 3000mm
:=
Peso total de la pulpa
Wp ht
π dt
2
⋅
4
⋅ γal
⋅
:= Wp 25446.9 kgf
=
Por recipientes de paredes delgadas:
Calculo del espesor longitudinal
pres
F
Aproy
= σ36
F
Ares
=
Ares 2 ht
⋅ t
⋅
=
Aproy ht dt
⋅
=
t
Wp
Sy36 2
⋅ ht
⋅
:= t 0.25 mm
=

Calculo del espesor transversal
pres
F
Aproy
= σ36
F
Ares
= Ares π dt
⋅ t
⋅
=
Aproy
π dt
2
⋅
4
=
t
Wp
Sy36 π
⋅ dt
⋅
:= t 0.11 mm
=
Por recomendaciones de la NORMA ASME y ANSI B-16.5, el espesor minimo será mayor que 2 mm.
Calculo de las vigas
Peso de la plancha: Wplan 982kgf
:=
Peso total del tanque: wt Wp Wplan
+
:=
wt 26428.9 kgf
=
Peso sobre una viga
wv
wt
2
:= wv 13214.45 kgf
=
Ra Rb
q
q
wv
2m
:= q 6607.23
kgf
m
=
Ra 1N
:= Rb 1N
:=
Dado
Ra Rb
+ wv
− 0
=
Rb 3400
⋅ mm wv 1700
⋅ mm
− 0
=

Ra
Rb
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Find Ra Rb
,
( )
:=
Ra
Rb
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
64794.74
64794.74
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
N
=
Tramo 1
0 x
< .7m
≤
Q1 x
( ) Ra
:=
M1 x
( ) Ra x
⋅
:=
Tramo 2
0.7m x
< 2.7m
≤
Q2 x
( ) Ra q x 0.7m
−
( )
⋅
−
:=
M2 x
( ) Ra x
⋅
q x 0.7m
−
( )
2
⋅
2
−
:=
Tramo 3
2.7m x
< 3.4m
≤
Q3 x
( ) Ra wv
−
:=
M3 x
( ) Ra x
⋅ wv x 1.7m
−
( )
⋅
−
:=
Q x
( ) Q1 x
( ) 0 x
< .7m
≤
if
Q2 x
( ) 0.7m x
< 2.7m
≤
if
Q3 x
( ) 2.7m x
< 3.4m
≤
if
:= M x
( ) M1 x
( ) 0 x
< .7m
≤
if
M2 x
( ) 0.7m x
< 2.7m
≤
if
M3 x
( ) 2.7m x
< 3.4m
≤
if
:=
0 1 2 3 4
1
− 10
5
×
5
− 10
4
×
5 10
4
×
1 10
5
×
Q x
( )
x
0 1 2 3 4
2
− 10
4
×
2 10
4
×
4 10
4
×
6 10
4
×
8 10
4
×
M x
( )
x
Ra q x .7 m
⋅
−
( )
⋅
−
Ra x
⋅
q x 0.7m
−
( )
2
⋅
2
−
x
Ra
q
.7m
+
:= x 1.7m
=
Mmax M2 1.7m
( )
:= Mmax 7928.67 kgf m
⋅
=

el modulo de la sección
wxx
Mmax
Sy36
:= wxx 311.01 cm
3
=
La sección resultante de tablas:
wxx 322.4cm
3
=
hsec 304.8mm
:= tp 4.5mm
:=
hp hsec tp
−
:= hp 300.3 mm
=
Cálculo de la soldadura
Por ser electrodo E7018
Su7018 482.63 MPa
= Su7018 70000
lbf
in
2
=
τ7018 0.3 Su7018
⋅
:=
τ7018 21000
lbf
in
2
=
Fuerza Cortante
P
wv
2
:= P 6607.23 kgf
=
τ7018
P
As
= As t hp
⋅
=
P
τ7018
=
tsol
P
τ7018 2
⋅ hp
:= tsol 0.75 mm
=
Claculo del diámetro de los pernos
Su307 379.22 MPa
=
P
wv
6
:= P 2202.41 kgf
=
Dado
Su307
P
π
dp
2
4
⋅
=
Find dp
( ) 8.52 mm
=
Diámetro del perno elegido: dp 10mm
:=

MEC 2240 DISEÑO MECANICO 2007
DOCENTE: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana Página 1
CAP. 9
METODOLOGIAS DE DISEÑO INDUSTRIAL
OBJETIVOS:
- Establecer las principales metodologías de diseño industrial.
- Ejercitar la estructuración de proyectos de diseño industrial.
METODOLOGÍAS DE INVESTIGACION
Cuando se escucha hablar de acerca una definición científica (por ejemplo: han
determinado científicamente que el agua hierve a menor temperatura cuando la
presión es menor), se refieren a que se ha probado varias veces esa teoría, ¿Cómo?,
pues midiendo y controlando las variables que intervienen; entonces cuando se habla
de que se ha demostrado científicamente algo, se refieren a que se puede obtener los
mismos resultados que estos enuncian en cualquier momento, siempre y cuando se
repitan las condiciones en las que se realizaron inicialmente.
Para que estos experimentos se realicen de forma ordenada, de tal forma que al
finalizar se puedan emitir juicios de valor sólidos, se ha formado y desarrollado toda
una ciencia, misma que estudia la Metodología de la Investigación Científica.
Su lógica de desarrollo es sencilla y sigue la lógica ordenada que utilizamos para
aprender u observar algún hecho o desafío cotidiano. Como ejemplo de ello se puede
citar nuestra primera experiencia de pintar una pared o un objeto (una perrera, mesa,
etc.), no habríamos tomado la decisión de pintar tal objeto si es que no hubiésemos
visto la necesidad de mejorar el aspecto del mismo, por tanto lo primero que surgió fue
la necesidad de mejorar el aspecto de algo. Luego de ello seguramente nos
habremos puesto a ver que necesitamos para pintar (pintura, brocha, tiner, etc.), e
incluso antes de pintar tal vez algún otro arreglo, entonces que estamos haciendo en
esta fase?, pues estamos definiendo los Parámetros para Mejorar la Apariencia.
Finalmente, cuando tenemos todos las ingredientes para realizar el trabajo, nos
ponemos a pintar, es decir realizamos el Trabajo Propuesto, proceso en el cual
seguramente nos damos cuenta de otros factores que intervienen, pudiendo
mencionar la hora de pintar (mucho sol), que no llueva, que haga viento, la calidad de
la brocha, etc.
Estos pasos podríamos expresarlos de forma grafica como sigue:

Diseño mecánico de elementos sometidos a esfuerzos

Diseño mecánico de elementos sometidos a esfuerzos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Diseño mecánico de elementos sometidos a esfuerzos

Similar a Diseño mecánico de elementos sometidos a esfuerzos (20)

Último

Último (20)

Diseño mecánico de elementos sometidos a esfuerzos