resistencia de los materiales Ortiz Plá.pdf

RESISTENCIA
DE
MATERIALES
Ciclo Básico
- 4°3° -
PROFESOR: Ingeniero Marcelo Ortiz Plá
Alumno:__________________________
Año 2021

RECOPILACIÓN DE APUNTES
DE RESISTENCIA DE MATERIALES
REALIZO: ING.
MARCELO ORTIZ PLÁ
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TEORÍA –EJERCITACIÓN-EXPERIENCIAS-T. PRACT. Fecha: 10 /02 /21
REGLAMENTO DE LA CÁTEDRA
OBJETIVOS
Durante el año se deberá comprender el vocabulario de la materia, poder desarrollar la
capacidad de comprender y desarrollar la aptitud para resolver situaciones problemáticas.
Favorecer el aprendizaje mediante prácticas en clase, utilizando los conocimientos adquiridos en
otras asignaturas y relacionados.
Tener los conocimientos necesarios para un correcto análisis de cargas, desarrollando la
capacidad para manejar los principios básicos del cálculo del cálculo estructural, aplicando los
principios básicos en situaciones concretas, además de manejar los conocimientos necesarios
para el dimensionamiento de estructuras.
REGLAMENTO PARA LA CONFECCIÓN Y PRESENTACIÓN DE LA CARPETA DE TRABAJOS PRÁCTICOS
1.- CARATULA PRINCIPAL DE CARPETA
a.- La carpeta de trabajos prácticos deberá tener una caratula principal, y completar datos
correspondientes a alumno N° DNI y cátedra (ejemplo: Ing. Marcelo Ortiz Plá).
2.- CARATULA INDIVIDUAL DEL TRABAJO PRÁCTICO
a.- Cada trabajo práctico debe estar acompañado de su caratula individual, (descargar
archivo, y completar datos correspondientes a Número de trabajo práctico, Nombre del
trabajo práctico, Nombre y Apellido del Alumno, Curso, Legajo o DNI según corresponda).
3.- PRESENTACIÓN DE LOS TRABAJOS PRÁCTICOS:
a.- El trabajo práctico debe ser presentado en la fecha estipulada por la cátedra, no se aceptan
entregas posteriores. La misma constará de La Caratula Principal de la Carpeta, de La
Caratula Individual del Práctico, más los enunciados de ejercicios (estos pueden estar
impresos) y la resolución de estos (esta debe ser realizadas en puño y letra del alumno, no
se admiten impresiones de resoluciones, ni fotocopias). La excepción son aquellos cálculos
que se realicen con aplicaciones informáticas.
b.- No se aceptarán trabajos prácticos entregados fuera de fecha y/o sin CARATULA PRINCIPAL
y/o sin CARATULA INDIVIDUAL (en iguales condiciones que los que entregan en tiempo y
forma)
c.- El docente regresara el práctico, ya sea visado o corregido, con las indicaciones que
correspondan en la parte de observaciones de la caratula.
d.- Las mismas pueden ser:
VISADO: el docente viso el práctico, lo que no significa, ni da por asumido que el mismo se
halle resuelto correctamente.
REVISAR: el docente deja indicado en la parte de observaciones que ejercicio debe ser
revisado por el alumno, y dentro de los quince (15) días, debe volver a presentar el práctico
correctamente resuelto.

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REHACER: el docente deja indicado en la parte de observaciones que debe rehacer el
práctico, y dentro de los quince días, debe volver a presentar el práctico adjuntando al
presentado en primera instancia, una nueva presentación. Con los ejercicios
correctamente resueltos.
4.- TIEMPO LÍMITE PARA LA PRESENTACIÓN DE LOS TRABAJOS PRÁCTICOS.
a. -PRESENTACIÓN ORIGINAL: la fecha estipulada por la cátedra.
b. -CORRECIONES: 15 días luego de devuelto el práctico por el docente.
5.- FIRMA CARPETA de TRABAJOS PRÁCTICOS
El tiempo límite para la presentación de la carpeta de trabajos prácticos es la última fecha de
clase del ciclo lectivo.
No se admite presentación de carpeta de trabajos prácticos en diciembre. Se realizarán en el
ciclo de aprendizaje, acompañamiento y evaluación correspondiente.
La carpeta se presentará con la caratula principal de carpeta, el presente reglamento de
presentación de trabajos prácticos, el reglamento de cursada de la cátedra, ambos firmados
por el alumno dando conformidad al mismo, seguido de la totalidad de los prácticos
presentados durante el año con sus correspondientes caratulas individuales.
DESARROLLO DE TEMAS TENTATIVO ASIGNATURA RESISTENCIA DE MATERIALES Y CONTENIDOS
MÍNIMOS
Unidad 1
Introducción a la resistencia de materiales, propiedades mecánicas de los materiales. Concepto
de fatiga y tensión admisible.
Objetivos mínimos: Reconocer unidades. Calcular errores y construir gráficos utilizando
diferentes escalas.
Unidad 2
Tracción y compresión simple. Deformaciones. Hipótesis de Navier-Bernoulli, ley de Hooke.
Coeficientes de seguridad, Tensiones admisibles, dimensionamiento y verificación. Tensiones
originadas por la variación de temperatura.
Unidad 3
Flexión simple. Deformaciones, tensión admisible para distintos materiales. Dimensionamiento y
verificación. Tipos de secciones para diversos materiales.
Unidad 4
Flexión simple oblicua. Estructuras sometidas a flexión simple oblicua, descomposición en
flexiones según ejes principales de inercia. Dimensionamiento aproximado y verificación. Tipos
de secciones utilizadas.
Unidad 5
Corte simple. Coeficiente y modulo de elasticidad transversal. Tensiones tangenciales. Ejemplos
estructurales en los que se considera el corte simple. Tensiones de resbalamiento. Formula de
Colignon
Unidad 6
Flexión compuesta. Tipos de estructuras sometidas a flexión compuesta. Tensiones admisibles.
Núcleo central.
Unidad 7

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Pandeo. Graficas de pandeo para Acero y madera. Formulas de Euler y Tetmajer. Tensiones
admisibles
Unidad 8
Torsión. Nociones y referencias a los casos que se presentan en las estructuras
BIBLIGRAFÍA SUGERIDA: “Física I”- Maiztegui – Sábato. “Física” –

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INDICE
RESISTENCIA DE MATERIALES TEORÍA
CONTENIDO
Tema 1: Introducción a la Mecánica de Materiales Tensión, Compresión y Cortante
1.1 Introducción a la Mecánica de Materiales
1.1.1 Hipótesis Fundamentales
1.2 Esfuerzo y Deformación Unitaria Normales
1.2.1 Esfuerzos
1.2.2 Deformación Unitaria Normal
1.2.2 Limitaciones
1.3 Línea de Acción de las Fuerzas Axiales en una Distribución Uniforme de Esfuerzos
1.4 Propiedades Mecánicas de los Materiales
1.4.1 Teoría Elástica
1.4.2 Ensayo de Tensión
1.4.3 Curva tensión-deformación
1.4.4 Esfuerzo y Deformación en la Ingeniería
1.4.5 Fragilidad
1.4.6 Compresión
1.4.6.1 Realización de la Prueba de Compresión
1.4.7 Tabla de Propiedades Mecánicas
1.5 Elasticidad, Plasticidad y Flujo Plástico.
1.5.1 Carga Repetida de un Material
1.5.2 Flujo Plástico
1.6 Elasticidad Lineal Ley de Hooke y Relación de Poisson
1.6.1 Ley de Hooke
1.6.2 Relación de Poisson
1.7 Esfuerzos Cortantes y Deformación Unitaria Cortante
1.7.1 Igualdad de los Esfuerzos Cortantes sobre Planos Perpendiculares
1.7.2 Deformación Unitaria Cortante
1.7.3 Convención de signos para esfuerzos cortantes y deformaciones unitarias
cortantes
1.7.4 Ley de Hooke en Corte
1.8 Esfuerzo y Cargas Admisible
1.8.1 Factores de Seguridad
1.8.2 Esfuerzos Admisibles
1.8.3 Cargas Admisibles
1.9 Diseño para Cargas Axiales y Corte Directo
Tema 2: Miembros Cargados Axialmente
2.1 Introducción
2.2 Cambios De Longitud de Miembros Cargados Axialmente
2.2.1 Resortes
2.2.2 Barras Prismáticas
2.2.3 Cables

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2.3 Cambio en Longitud de Barras No Uniforme
2.3.1 Barras con Cargas Axiales Indeterminadas
2.3.2 Barras con Cargas o Dimensiones en Variación Continua
2.3.3 Limites de Aplicación
2.4 Estructuras Estáticamente Indeterminadas
2.5 Esfuerzos Sobre Secciones Inclinadas
2.5.1 Elementos de Esfuerzos
2.5.2 Esfuerzos Sobre Secciones Inclinadas
2.5.3 Esfuerzos Normales y Cortantes Máximos
2.5.4 Esfuerzo Uniaxial
2.6 Energía de Deformación
2.6.1 Energía de Deformación Elástica e Inelástica
2.6.2 Comportamiento Linealmente Elástico
2.6.3 Desplazamiento Causados por Una Sola Carga
2.6.4 Densidad de la Energía de Deformación
Tema 3: Fuerzas Cortantes y Momentos Flexores
3.1 Introducción al Ámbito del Diseño Estructural
3.2 Tipos de Vigas, Cargas y Reacciones
3.2.1 Tipos de Cargas
3.2.2 Reacciones
2.2.3 Equilibrio Estático
2.2.4 Estabilidad Geométrica y Determinación Estática
3.3 Fuerzas Cortantes y Momentos Flexores
3.3.1 Convención de Signos
3.4 Relaciones Entre Cargas, Fuerzas y Momentos Flexores
3.4.1 Cargas Distribuidas
3.4.2 Cargas Concentradas
35 Diagrama de Fuerza Cortante y de Momento Flexor
3.5.1 Cargas Concentradas
3.5.2 Carga Uniforme
3.5.3 Varias Cargas Concentradas
Tema 4: Esfuerzos en Vigas
4.1 Introducción
4.2 Flexión Pura y Flexión No Uniforme
4.3 Curvatura de una Viga
4.4 Deformaciones Unitarias Longitudinales en Vigas
4.5 Esfuerzos Normales en Vigas (Materiales Elástico-Lineales)
4.5.1 Localización del Eje Neutro
4.5.2 Relación Momento-Curvatura
4.5.3 Formula de la Flexión
4.5.4 Esfuerzos Máximos en una Sección Transversal
4.5.5 Formas Doblemente Simétricas
4.5.6 Limitantes

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4.6 Diseño de Vigas para Esfuerzos de Flexión
4.6.1 Vigas de Perfiles y Tamaños Estandarizados
4.6.2 Eficiencia relativa de Diferentes formas de Vigas
4.7 Esfuerzos Cortantes en Vigas de Sección Transversal Rectangular
4.7.1 Esfuerzos Cortantes Verticales y Horizontales
4.7.2 Obtención de la Formula del Esfuerzo Cortante
4.7.3 Calculo del Momento Estático Q
4.7.4 Distribución de los Esfuerzos Cortantes en una Viga Rectangular
4.7.5 Limitantes
4.7.6 Efectos de las deformaciones Cortantes
4.8 Esfuerzos Cortantes en Vigas de Sección Transversal Circular
4.9 Esfuerzos Cortantes en las Almas de Vigas con Patines
4.9.1 Esfuerzos Cortantes en el Alma
4.9.2 Esfuerzos Cortantes Máximos y Mínimos
4.9.3 Fuerza Cortante en el Alma
4.9.4 Limitantes
FÍSICA PRÁCTICA
1.A) PREGUNTAS PARA RESPONDER 21
1.B) PROBLEMAS 22
1.C) LECTURAS (Actividad Virtual) 23
1.D) CUESTIONARIO INDIVIDUAL 25
1.E) EXPERIENCIAS (Actividad Virtual) 25
2.- LA ESTÁTICA

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REPASO DE MATEMATICAS Y FÍSICA, SU OBJETO
Y SU MÉTODO
Nota: Los contenidos presentados no son contenidos científicos sino contenidos escolares, esto es, contenidos
que trato de presentar en forma didáctica.
TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES SENO, COSENO y TANGENTE de un ÁNGULO
La palabra trigonometría significa medición de triángulos. A grandes rasgos la idea
es poder calcular cuánto vale el lado de un triángulo sin tener que ir a medirlo con
una regla. Todo lo que pongo acá sirve solo cuando uno tiene un triángulo que tiene
un ángulo de 90° (rectángulo).
El asunto es así: Los tipos inventaron unas cosas que se llaman funciones
trigonométricas que se usan
todo el tiempo en matemática
y en física.
Para cualquier triángulo que
tenga un ángulo de 90°
(rectángulo) ellos definen las
siguientes funciones:
Estas funciones trigonométricas lo que hacen es decir cuántas veces entra un lado
del triángulo en el otro para un determinado ángulo alfa.
Por ejemplo, si uno dice que el seno 30° = 0,5 lo que está diciendo es que lo que mide en cm el

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cateto opuesto dividido lo que mide en cm la hipotenusa da 0,5. Esto significa que la hipotenusa
entra media vez en el cateto opuesto.
Lo interesante de este asunto es que el valor que tomen las funciones trigonométricas seno de
alfa, coseno de alfa y tg  (de alfa) NO dependen de qué tan grande uno dibuje el triángulo en su
hoja. Si el triángulo es rectángulo y el ángulo (alfa) es 30°, el seno de (alfa) valdrá 0,5 siempre.
Cada vez que uno necesita saber el valor de sen o cos, puede obtenerlo aplicando la definición
o realizando el cálculo mediante la calculadora.
Debe considerar siempre:
La máquina tiene que estar siempre en los grados con que va a realizar el cálculo
(DEG para ángulos en grados sexagesimales 0º a 360º y RAD para ángulos en radianes 0 a 2p).
ángulos notables
Llamamos ángulos notables a
los siguientes: 0º, 30º, 45º,
60º, 90º
Regla nemotécnica
Función 0º 30º 45º 60º 90º
1 º paso 0 1 2 3 4
2º paso
3º paso
4º paso
Asigno estos valores a la razón trigonométrica :seno y vea como obtengo coseno
Función 0º 30º 45º 60º 90º
Seno 0 0,500 0,707 0,866 1
Coseno 1 0,866 0,707 0,500 0
Tangente Seno / coseno por lo que se puede calcular.

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EJEMPLO:
Calcular el valor de las funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo de
lados 3 cm, 4 cm y 5 cm.
Las expresiones de sen(), cos(), y tg(), receta: SOH, CAH, TOA)
DEFINICIÓN:
EJEMPLO: Triángulo de lados: 3, 4 y 5 (ya conocido por los egipcios hace más de 2000 años).
Utilizado actualmente en las obras para verificar si una pared es perpendicular a la
adyacente.
Para calcular los valores de seno, coseno y tangente de a:
Sen = Opuesto / hipotenusa= 3cm / 5cm= 0,60
Cos  = Adyacente / hipotenusa= 4cm / 5cm= 0,80
Tg  = Opuesto /Adyacente= 3cm / 4cm= 0,75
Ejemplos de los múltiples usos que podemos dar a estas expresiones:
Necesito saber la altura de un árbol, pero no tengo posibilidad de subir hasta lo
alto de la copa para medir su altura.
Debo hacer lo siguiente:
1. Desde una posición cualquiera y medís la distancia al árbol. Supón que te da
8 m.
2. Con un buen transportador mido el ángulo  que hay hasta la punta del
árbol. Supón que te da 30°. Esto sería algo así:
ady
op
α
tg
;
hip
ady
α
cos
;
hip
op
α
sen =
=
=
3 cm
5 cm
4 cm

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Ahora, usando la formula de tangente de un ángulo: tg a= op Entonces:
ady
tg 30º= Altura del árbol / 8[m]
Altura del árbol = 8[m] x tg30º
Altura del árbol= 8[m]x 0,577…
De esta manera se puedo pronosticar la altura sin subir al árbol
Otra forma de resolver el problema es dibujar el triángulo en escala en una hoja y medir
todo con una regla y transportador, obtenemos un valor razonable, pero dependemos
de la habilidad del dibujante. (Esto es calcular gráficamente).
Hay casos en que, aunque queramos, no podríamos materializar la medición “in situ” (en
el lugar). En esos casos, la única manera de calcular esa distancia es usar trigonometría.
Por ejemplo, acá te pongo un caso de esos: la distancia a una estrella…
Te recuerdo que conocer la distancia a las estrellas fue el sueño de la humanidad durante
muchos miles de años. ¿Cómo harías para medir la distancia a una estrella? Pensalo. A
ver si este dibujito te ayuda un poco.
PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras sirve para saber cuánto vale la hipotenusa de un triángulo
rectángulo sabiendo cuánto valen los 2 catetos. Si tengo un triángulo rectángulo se
cumple que:
Ejemplo: Tengo un triángulo de lados 6 cm y 8 cm.
¿Cuánto mide su hipotenusa ?
hip
op
ady
hip 2
= ady 2
+ op 2
TEOREMA DE
PITAGORAS

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hip
6
cm
8
Rta.: hip2
= ( 6 cm ) 2
+ ( 8 cm ) 2
h 2
= 100 cm 2
h = 10 cm
Ejemplo: Hallar las proyecciones en equis y en Y para una fuerza de 10 Newton
que forma un ángulo de 30 grados con el eje X.
Tomando las cosas en escala, tengo un vector de 10 cm con alfa = 30°.
Es decir, algo así :
0,50
Fy= 10[cm] x sen 30º = 5[cm]
Fx = 10[cm] x cos 30º = 8,66 [cm]
0,866
Entonces la proyección sobre el eje X mide 8,66 cm y la proyección sobre el eje Y mide
5 cm. Conclusión: FX = 8,66 Newton y FY = 5 Newton.
Proba componer estas 2 proyecciones por Pitágoras y verifica que se obtiene de nuevo
la fuerza original de 10 N.
Aprenda este procedimiento para hallar las proyecciones de una fuerza. Se usa mucho.
Y no sólo acá en estática. También se usa en cinemática, en dinámica y después en
trabajo y energía. Es más, le diría que conviene no olvidar las formulitas
Fx = F. cos â y Fy = F. sen â.
Es fácil: La Fy es F por seno y la Fx es F por coseno. Atención, esto vale siempre que el
ángulo que estés tomando sea el que forma la fuerza con el eje X.
Por último:
• Las funciones trigonométricas sen â, cos â y tg â pueden tener signo (+) o (-). Eso
depende de en qué cuadrante esté el ángulo â (o  alfa) . Observe:
y
seno x
tangente coseno
SIGNO POSITIVO DE
LAS FUNCIONES SENO
COSENO
Y TANGENTE SEGÚN EL
CUADRANTE.
(RECORDAR)
todas
son +
F= 10 cm

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• propiedades trigonométricas que pueden serle útil para resolver problemas. Para
cualquier ángulo  (alfa) se cumple que:
Además: sen 2
 + cos 2
 = 1
Y también: cos  = sen (90º -  )
(ej: cos 30º = sen 60º)
Hasta ahora todo lo que vimos fueron cosas de matemática. Son herramientas que
debes dominar para que pudieras entender lo que viene ahora.
FÍSICA
Los temas que trata la Física lo podemos presentar agrupados como:
• FÍSICA TEÓRICA
• FÍSICA PRÁCTICA
FÍSICA TEÓRICA
CIENCIA
La ciencia es una actividad humana que se encarga de solucionar los problemas teóricos del
hombre por medio de conocimientos que ella misma va construyendo.
Su fin es conocer la realidad. Entendemos por realidad al conjunto formado por todos los cuerpos
(montaña, cuaderno, etc.), procesos (fotosíntesis, inflación, etc.) e ideas (número, teoría de la
evolución, software informático, etc.). La realidad puede ser, entonces, concreta (cuaderno,
fotosíntesis, etc.), abstracta (número, software informático, etc.), natural (montaña, fotosíntesis)
y social (cuaderno, inflación, etc.).
▪ Realidad
▪ Concreta o abstracta
▪ Natural o social
Son ejemplos de ciencias: la biología, la física, la química, la historia, la geografía, la matemática,
la psicología, etc.
90º - α
α
α
cos
α
sen
=
α
tg
FIN RESUMEN DE TRIGONOMETRIA

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Cada una de ellas estudia un aspecto diferente de la realidad (objeto científico), así: la biología
estudia la vida, la historia el pasado humano, la geografía la tierra, etc.
De la ciencia surgen los llamados “productos científicos” (tanto objetos como procesos), tales
como la ley de la conservación de la maso energía, la hipótesis del Big Bang, la teoría atómico-
molecular de la materia, etc.
Las ciencias se clasifican en:
a) fácticas (estudian hechos concretos y se dividen en naturales: biología, física, química,
astronomía, geología; y en sociales: historia, geografía, economía, derecho, política.
b) formales (estudian hechos abstractos como la matemática y la lógica).
Toda ciencia posee un objeto (parte de la realidad que estudia) y un .
método (pasos ordenados para conocer mejor el objeto). El objeto y el
método son las partes fundamentales de toda ciencia.
Grandes científicos fueron: Newton, Darwin, Einstein, etc.
Albert Einstein, un gran científico
TECNOLOGÍA
La tecnología es la actividad humana que se encarga de solucionar los problemas prácticos del
hombre por medio de dispositivos que ella misma va construyendo.
Su fin es solucionar problemas prácticos (la ciencia soluciona problemas teóricos).
Son ejemplos de tecnologías: las tecnologías de la información y la comunicación, la
nanotecnología, la biotecnología, etc.
Las tecnologías de la información y la comunicación, también conocida como TICs, son un
conjunto de tecnologías que manipulan información y la comunican.
La nanotecnología es la tecnología tendiente que crear materiales y máquinas con átomos y
moléculas. La biotecnología es la tecnología que utiliza organismos vivos, o partes de estos, para
obtener o modificar productos, mejorar plantas o animales o desarrollar
microorganismos para objetivos específicos.
De la tecnología surgen los llamados “productos tecnológicos” (tanto objetos
como procesos), tales como la computadora, los remedios, la diálisis, Internet, etc.
Franklin, Edison y Leonardo da Vinci están entre los más grandes inventores
(tecnólogos) de la historia.
Leonardo da Vinci, un gran inventor
RELACIÓN ENTRE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
La ciencia y la tecnología son dos aspectos de una misma actividad humana.
Debido a ello es difícil separar a veces una de otra.

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• La ciencia acentúa lo teórico de esa actividad, la tecnología lo práctico.
• La primera descubre hipótesis, leyes y teorías (productos científicos), la segunda inventa
dispositivos (productos tecnológicos).
• La primera conoce la realidad, la tecnología, la transforma.
Sus desarrollos a lo largo de la historia han sido a veces distantes (especialmente en la antiguedad,
medioevo y modernidad) y otras comunes (especialmente en la contemporaneidad) conformando
una actividad humana unitaria: la tecnociencia.
CIENCIA Y TECNOLOGÍA ARGENTINAS
El nivel científico argentino ha sido siempre muy bueno, el tecnológico no tanto.
Ganadores de Premios Nóbel en ciencia Argentinos:
• Bernardo Houssay (premiado en medicina);
• Luis Federico Leloir (premiado en química)
• Cesar Milstein (premiado en medicina).
Otras pruebas las constituyen los numerosos centros científicos del país:
• El Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET);
• el Instituto Nacional de Tecnología Agropecuaria (INTA);
• el Consejo Nacional de Energía Atómica (CNEA),
• las universidades de Buenos Aires, La Plata, Córdoba, etc.
• Programas de difusión de las ciencias ej. –Científicos Industria
Argentina-
Adrian Paenza. Matemático y divulgador de ciencia y tecnología
BIBLIOGRAFIAS:
Un gran científico argentino: Bernardo Alberto Houssay
Bernardo Houssay fue el primer científico latinoamericano distinguido con el Premio Nobel. La
Academia Nacional de Ciencias de Suecia lo galardonó en Fisiología y Medicina, por su
descubrimiento acerca del rol de la hipófisis (glándula endocrina situada en el cerebro) en el
metabolismo de los carbohidratos, y su relación con la diabetes.
Graduado de médico con Diploma de Honor en la Universidad de Buenos Aires, fue uno de los
impulsores de la creación del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas
(CONICET), que presidió hasta su muerte.

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Es autor de más de 500 papers (documentos científicos), y varios libros -entre ellos Fisiología
Humana, traducida a múltiples idiomas-. En la casa donde vivió
durante más de 45 años funciona el Museo Houssay.
Nació el 10 de abril de 1887 y en su honor, el 10 de abril es el Día
del Investigador Científico en la Argentina. Murió el 21 de
septiembre de 1971.
Bernardo Houssay, un gran científico argentino
Un gran inventor argentino: Ladislao José Biro
Ladislao José Biro, nacido en Budapest el 29 de septiembre de 1899 y fallecido en Buenos Aires el
24 de noviembre de 1985, fue un inventor y periodista húngaro que se nacionalizó en la
Argentina argentino que realizó un total de 32 inventos, entre ellos el bolígrafo o birome, que le
dio fama internacional.
A lo largo de su vida desarrolló muchos inventos, entre ellos el bolígrafo o birome, que le dio
fama internacional
Otros inventos fueron:
- Un perfumero usando el mismo principio que el bolígrafo. Más tarde, con el mismo principio
se crearon los desodorantes a bolilla.
- Un modelo de lapicera fuente
- Una máquina de lavar que, según la anécdota, construyó
para su esposa Elsa Schick.
- Una caja de cambios automática mecánica, cuya patente
fue adquirida por General Motors
- Un dispositivo para obtener energía de las olas del mar, etc.
En nuestro país el 29 de septiembre, día de su nacimiento, se conmemora el Día del Inventor
Extraído de Wikipedia
LA FÍSICA
La física es la ciencia que estudia los fenómenos físicos.
El objeto de la física es, pues, el fenómeno físico y su método el método experimental.
Física:

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Objeto --------> Fenómeno físico
Método -------> Experimental
Fenómeno físico es todo cambio en un cuerpo u objeto (porción de materia) sin modificación de
las sustancias (clases de materia) que lo forman.
Son fenómenos físicos: la caída de un cuerpo, la ebullición del agua, el sonido de una
campana, la volatilización de la naftalina, etc. No lo son: la oxidación de un clavo, la
digestión, la quema de un papel, etc.
Ebullición del agua, un fenómeno físico
El fenómeno físico fundamental es la energía, esto es, el agente de cambio.
Son energías: la luz, el sonido, el calor, la electricidad, etc.
La física, debido a su extensión, se divide en ramas, cada una de las cuales estudia una forma de
energía.
Entre las principales ramas de la física se cuentan:
1) Mecánica, estudia la energía mecánica (sus principales divisiones son la
estática, la cinemática, la dinámica, la fluidostática, etc.)
2) Termología, trata sobre la energía térmica o calor.
3) Acústica, investiga la energía sonora o sonido.
4) Óptica, estudia la energía luminosa o luz. (La luz es una forma de energía estudiada por la óptica)
5) Electrología, trata sobre la energía eléctrica (electricidad), la energía magnética y la relación
entre ambas.
6) Atomística, investiga sobre la energía atómica.
EL MÉTODO EXPERIMENTAL
El método que usan los físicos para estudiar la energía es el llamado método experimental, pues
su paso central es la experimentación.
Podemos resumir en método experimental en cinco pasos que son:
1) Observación: Consiste en examinar atentamente lo que se va a estudiar.
Ej: Se advierte que una piedra cae siempre al dejar de sostenerla.

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2) Problematización: Es interrogarse sobre lo observado.
Ej: ¿Por qué la piedra no queda en el aire donde se la deja?
3) Hipotetización: Consiste en dar, al interrogante, una respuesta provisoria y verificable.
Ej: Será porque la Tierra atrae a la piedra.
4) Experimentación y medición: Es reproducir el fenómeno, modificarlo convenientemente y
medirlo para ver si la hipótesis dada es verdadera o no.
Ej: Se toman distintos cuerpos, se los deja caer desde alturas iguales y distintas. Todos van hacia
la Tierra. Se miden las alturas desde donde caen, los pesos de los cuerpos, etc.
5) Conclusión: Consiste en asentar la hipótesis si es cierta o en formular otra
si es falsa, retomando el método a partir del paso 3.
Ej: Todo lo anterior confirma que la Tierra atrae hacia sí a todos los cuerpos
que dejan de estar sostenidos. Se asienta, pues, la hipótesis ordenadamente
en el cuerpo teórico de la física.
Galileo experimentando la caída de cuerpos
LA LEY Y LA TEORÍA
En ciencia es común hablar de leyes y teorías.
Una ley es una hipótesis que ha sido confirmada por numerosas experimentaciones.
Ejemplo de ley es la “ley de la conservación de la materia y de la energía” que dice que la cantidad
de materia y de energía que hay en el universo es siempre la misma.
Una teoría es un conjunto de leyes referidas al mismo fenómeno.
Ejemplo de teoría es la “teoría atómico-molecular de la materia”, cuyas
leyes básicas son: a) la materia está formada por moléculas; b) las
moléculas están formadas por átomos; c) los átomos están formados por
partículas subatómicas.
Átomo de litio
Podemos decir que:
Una ciencia es un conjunto de teorías referidas al mismo sector de la realidad.
Resumiendo:
HIPÓTESIS ---> LEY ---> TEORÍA ---> CIENCIA
Este paso del método experimental es fundamental en física.

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LA MEDICIÓN
La medición consiste en determinar cuántas veces está una magnitud, llamada unidad, porque
vale uno, en otra magnitud del mismo tipo perteneciente al fenómeno estudiado. En resumen:
medir es comparar contra un patrón de medida.
Ej: Determinar cuántas veces está el largo de una birome (unidad) en el largo del banco.
Son magnitudes: longitud, tiempo, superficie, velocidad, aceleración, volumen, etc.
Son unidades: metro, segundo, metro cuadrado, metro sobre segundo, metro sobre segundo al
cuadrado, metro cúbico, etc.
En toda medición participan los siguientes elementos:
a) Fenómeno u objeto que se mide (varilla de hierro, lingote de oro, móvil, etc.);
b) instrumento medidor (metro, balanza, velocímetro, etc.);
c) magnitud y unidad usadas (longitud y metro, masa y kilogramo, velocidad y
metro sobre segundo, etc...)
d) persona que mide u observador (científico, institución científica, técnico, etc…)
e) y el error y la teoría de errores (ver en 1.11).
Reloj: instrumento para medir el tiempo
MAGNITUD: su clasificación
Las magnitudes pueden ser escalares o vectoriales; directamente o inversamente
proporcionales; fundamentales o derivadas.
1) Las magnitudes escalares son las que se definen con un número y una unidad.
Ej: longitud, superficie, volumen, etc.
Las magnitudes vectoriales son las que se definen indicando
la intensidad (cuánto), la dirección (por dónde), el sentido
(hacia dónde) y el punto de aplicación (desde dónde).
Ej: fuerza, velocidad, aceleración, etc.
La Fuerza es una magnitud vectorial
2) Las magnitudes directamente proporcionales son aquellas en las que al aumentar o disminuir
una aumenta o disminuye la otra en igual proporción.

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Ej: El calor y la temperatura son directamente proporcionales (salvo excepciones que se verán
adelante): si se duplica el calor entregado a un cuerpo se duplica su temperatura. Su gráfica es una
recta inclinada.
Las magnitudes inversamente proporcionales son aquellas en las que al aumentar o disminuir una
disminuye o aumenta la otra en igual proporción.
Ej: La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales: si se duplica la velocidad de un coche
se reduce a la mitad el tiempo del viaje. Su gráfica es una rama de una hipérbola equilátera.
3) Las magnitudes fundamentales y derivadas se verán a continuación.
SI.ME.L.A.
Nuestro país, desde 1972, considera legales las magnitudes y unidades del “Sistema Métrico
Legal Argentino” o SI.ME.L.A., que deriva del “Sistema Internacional” o SI.
Presenta siete magnitudes fundamentales:
1) Longitud (L), cuya unidad es el metro (m).
2) Masa (M), cuya unidad es el kilogramo (kg).
3) Tiempo (Ti), cuya unidad es el segundo (s).
4) Intensidad eléctrica (IE), cuya unidad es el amperio (A).
5) Intensidad luminosa (IL), cuya unidad es la candela (cd).
6) Cantidad de materia (CM), cuya unidad es el mol (mol)
7) Temperatura (Te), cuya unidad es el kelvin (K).
Todas las demás magnitudes derivan de estas siete, luego, se
denominan magnitudes derivadas. Así: la superficie deriva de la
longitud; la velocidad proviene de la longitud y el tiempo; etc.
Magnitudes y unidades fundamentales del SI.ME.L.A.Aparatos
de medición:
Para Longitud: Reglas grabadas(o milímetros o medio
milímetros)
Para Tiempos: Cronómetros

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Para Pesos: Balanzas de precisión, con pesas que llegan hasta el miligramo. Las más modernas
permiten lecturas de 0,1 miligramo
VERNIER O NONIUS
Para el caso de longitudes o espesores de
menos de medio milímetro, que no puedan
apreciarse con reglas grabadas, se emplean
aparatos especiales, tal como el nonius o
vernier, y el palmer.
El nonius o vernier se emplea para medir longitudes con apreciaciones de 1/10; 1/20; 1/50;
1/100 de milímetro.
El vernier consta de una regla grabada(el milímetro o medio milímetro) que posee una corredera,
también graduada del siguiente modo: 10 divisiones de esta regla menor, equivalen a 9 de la
mayor o 20 divisiones de la regla menor equivalen a 19 de la menor o 50 divisiones de la regla
menor equivalen a 49 de la menor..
Para el caso de que 10 divisiones de la regla menor
correspondan a 9 de la mayor, resulta que cada división de la
regla menor difiere en 1/10 de cada una de la regla mayor,
diferencia que nos indica la aproximación de vernier
Las correderas tiene 10 divisiones que corresponden a 9 de la
regla mayor
PALMER O TORNILLO MICROMETRICO O MICROMETRO
Se emplea para medir espesores (diámetros de varillas, de tornillos etc.) con precisión de 1/100
de mm.
Consta de un tornillo cuyo paso de rosca es de un mm, es decir, en cada vuelta completa del
tornillo se produce un avance o un retroceso de 1 mm. Simultáneamente con el tornillo gira un
tambor cilíndrico, el cual está dividido, según su periferia en 100 partes, luego el tambor actúa
como un vernier. Si la división del tornillo (paso de roscas) es de 1 Mm (d=1 mm) y el número de
divisiones del tambor es N=100, resulta de aproximación (según lo visto)
A= d/N o sea A=1/100
Entonces la lectura sobre el tambor nos marca los centímetros de milímetros.
A medida que el palmer se va abriendo, el tambor deja ver una regla graduada de cm y mm el
número de divisiones desde el cero del tambor hasta la división que coincida con el guion de la
regla nos indica las centésimas de milímetro.
También pueden verse tornillo, de paso de 0,5 mm y el tambor correspondiente dividido en 50
partes, la aproximación resulta la misma pues:
A= 0,5 mm/ 50 divisiones o sea 1 / 100 mm
Pero al estar el tambor dividido en 50 partes es posible hacer lecturas más cómodas y precisas.
Si en cambio el paso fuera de 0,5 mm y el tambor dividido en 100 partes tendríamos una
aproximación
A= 0,5 mm/100 = 0,005 mm (Aproximación 5 milésimas de mm).
En el gráfico del termómetro se puede ver la apreciación nominal

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Videos que puedes ver en YOUTUBE:
A revisar: https://www.youtube.com/watch?v=6RTnQwHdW8Q
A revisar: https://www.youtube.com/watch?v=_ZB-P7DPomY&t=637s
“historia de las medidas”: https://www.youtube.com/watch?v=_ZB-P7DPomY&t=704s
“en su justa medida, masa”: https://www.youtube.com/watch?v=GvyQfNwDaXA
A revisar:https://www.youtube.com/watch?v=XZB924RFXJ8
ESTÁTICA
En estática uno está en presencia de un sistema de fuerzas. Resolver un problema de estática quiere decir calcular
cuánto vale alguna de esas fuerzas. Pero…
¿a qué llamamos fuerza?
FUERZA
Es la manifestación física de lo que uno ejerce con la mano cuando empuja algo o tira de algo. Por
ejemplo:
Si un señor empuja una heladera, al empujarla ejerce una
fuerza.
Esta fuerza debemos representarla así:
F
Fuerza que
hace el hombre
Heladera

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Hay otro tipo de fuerza que está siempre en los problemas de estática que es la fuerza PESO. La
Tierra atrae a las cosas y quiere hacer que caigan. A esta fuerza se la llama peso. Por ejemplo, si
yo suelto un ladrillo, cae. En ese caso la fuerza peso está actuando de la siguiente manera:
P
Vamos a este otro caso. Supongamos que hay un ahorcado colgado del techo con una soga. El
cuerpo no se cae porque la soga lo sostiene. Entonces la soga está ejerciendo una fuerza arriba que
compensa al peso. A esa fuerza se la llama tensión. (Tensión, tensión de la soga, fuerza que ejerce
la soga, con deformación física, para evitar la modificación del estado de cosas evitando que caiga,
es lo mismo).
La tensión de la soga se suele representar así:
T
FUERZAS CONCURRENTES
Cuando TODAS dos o más fuerzas actúan sobre un mismo cuerpo y PASAN POR UN MISMO PUNTO,
se dice que estas fuerzas son concurrentes. También se las llama fuerzas concurrentes.
Hay que entender que si las fuerzas son concurrentes todas pasan un punto en común de las
diferentes rectas de acción (de cada una de las fuerzas).
Por ejemplo, las siguientes fuerzas son concurrentes:
También las fuerzas pueden no pasar por el mismo lugar. En ese caso se dice que las fuerzas son
no-concurrentes. Acá tienen un ejemplo:
El ladrillo cae por acción de la tierra
que la atrae.
A esto lo llamamos la fuerza peso
Representación de la
fuerza que hace que
caiga: el peso (P)
Cuerda
Techo
Tensión
de la soga
Fuerza
del Peso
P
Fuerzas que
pasan por un
punto

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Los problemas de fuerzas concurrentes las veremos
primero porque son más fáciles. Después vienen los
problemas de fuerzas no-concurrentes que usan otros
conceptos. (Hay que usar momento de una fuerza)
SUMA DE FUERZAS - RESULTANTE.
Supongamos que hay un cuerpo que tiene un montón de fuerzas aplicadas. Lo que pretendemos es
reemplazar a todas las fuerzas por una sola cuya manifestación física sea equivalente (Esa fuerza actuando
sola tiene que provocar el mismo efecto que todas las otras actuando juntas). Supongamos que un auto se
paró. Se ponen a empujarlo 3 personas. Yo podría reemplazar a esas 3 personas por una sola que empujara
de la misma manera. Hacer esto es “hallar la resultante del sistema de fuerza”. Concretamente, hallar una
fuerza, cuya manifestación física sea “equivalente” a la de la suma de todas las fuerzas que actúan.
Atención, las fuerzas no son magnitudes escalares. Podemos describir su comportamiento con el modelo
matemático de los vectores.
A la fuerza resultante la llamamos así porque se obtiene como “resultado” de sumar todas las demás
(vectorialmente) y conducirnos a un resultado equivalente.
Hay 2 maneras de calcular la resultante de un sistema de fuerzas:
1. método gráfico.
2. método analítico.
En el método gráfico uno calcula la resultante haciendo un dibujito y midiendo con una regla sobre el
dibujito.
En el método analítico uno calcula la resultante planteando
ecuaciones.
PRINCIPIO O REGLA DEL PARALELOGRAMO (SUMA DE FUERZAS
GRAFICAMENTE)
Este método permite sumar de a pares de fuerzas. ¿Cómo lo
hacemos?
Calculando la diagonal del paralelogramo formado por las 2
fuerzas.
Si calculamos gráficamente la resultante de estas dos fuerzas F1 y F2 de 2 kgf y 3 kgf que forman
un ángulo de 30 grados:
En el apunte por comodidad identificaremos a Kg = Kgf
Las fuerzas son vectores, hallar la resultante significa decir cuál es su módulo y cuál es el ángulo que
forma con el eje x. Si estoy trabajando gráficamente, mido el ángulo y el módulo directamente en
Resulta
Fuerzas que no son
concurrentes en un punto

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el gráfico. El módulo lo mido con una regla y el ángulo con un transportador.
METODO DEL POLIGONO DE FUERZAS.
Si hay más de 2 fuerzas, calculamos la resultante usando el método del polígono de fuerzas. Igual.
Se debe realizar lo siguiente:
1. Se va poniendo una fuerza a continuación de la otra formando un polígono.
2. Se une el origen de la primera fuerza con la punta de la última.
3. Este último vector es la resultante del sistema.
NOTA: Si el polígono da cerrado es porque el sistema está en equilibrio. (Es decir, la resultante vale cero, o lo que es
lo mismo, no hay resultante ).
Así calculamos la resultante de algunas fuerzas usando el método del polígono.
EJEMPLO 1: Hallar la resultante del sistema de fuerzas F1, F2 y F3.El valor de R es
aproximadamente de 3,4 N y R aproximadamente 58° (Se miden en el gráfico).
EJEMPLO 2: Hallar la resultante de las fuerzas F1, F2, F3 y F4.
En este caso el polígono es cerrado. La resultante es cero. Todas las fuerzas se compensan entre
sí y es como si no hubiera ninguna fuerza aplicada.
COMENTARIO: El método del polígono de fuerzas es consecuencia de aplicar repetidamente la regla del
paralelogramo.
PROYECCIÓNES DE UNA FUERZA
Suponte que me dan una fuerza inclinada un ángulo alfa. Por ejemplo:
F
Resulta

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Hallar la proyección de la fuerza sobre el eje x significa ver cuánto mide la sombra de esa fuerza
sobre ese eje. Es decir, lo que quiero saber es esto:
Hallar la proyección sobre el eje y es la misma historia:
Para saber cuánto mide la proyección de una fuerza sobre un eje, en vez de
andar midiendo sombras se usa la trigonometría. Fíjate:
Es decir, si tengo una fuerza F, las proyecciones Fx y Fy van a ser:
SUMA DE FUERZAS ANALITICAMENTE
Lo que se hace para hallar la resultante en forma analítica es lo siguiente:
1 – Tomo un par de ejes x – y con el origen puesto en el punto por el que pasan
todas las fuerzas.
2 – Descompongo cada fuerza en 2 componentes. Una sobre el eje x (Fx ) y otra sobre el eje
y ( Fy ).
3 – Hallo la suma de todas las proyecciones en el eje x y en el eje y
FX
FY
F
Fx = F. cos 
FY = F. sen 
F SOMBRA DE LA FUERZA
EN X ( Fx )
Fx
SOMBRA DE LA
FUERZA EN Y ( Fy )
Fy
α
sen
hip
op
hip
op
α
sen 
=

=
α
cos
hip
ady
hip
ady
α
cos 
=

=

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Es decir, lo que estoy haciendo es calcular el valor de la resultante en x ( Rx ) y el valor de la
resultante en y ( Ry ).
Este asunto es bastante importante y ellos suelen ponerlo de esta manera:
Esto se lee así : La resultante en la dirección x ( horizontal ) es la sumatoria de todas las fuerzas
en la dirección x. La resultante en la dirección y ( vertical ) es la sumatoria de todas las fuerzas
en la dirección y.
4 – Componiendo Rx con Ry por Pitágoras hallo el valor de la resultante.
Haciendo la cuenta tg R = Ry / Rx puedo calcular el ángulo (alfa) que forma la resultante con
el eje X. Vamos a un ejemplo:
EJEMPLO: Hallar analíticamente la resultante del siguiente sistema de fuerzas
concurrentes calculando R y R .
Para resolver el problema lo que hago es plantear la
sumatoria de las fuerzas en la dirección x y la sumatoria
de las fuerzas en la dirección y . O sea:
Rx.= ∑ Fx y Ry = ∑ Fy
Calculo ahora el valor de Rx y Ry proyectando cada
fuerza sobre el eje x y sobre el eje y. Si mirás las
fórmulas de trigonometría te vas a dar cuenta de que la componente de la fuerza en la
dirección x será siempre Fx = F.cos  y la componente en dirección y es Fy = F.sen  .
( es el ángulo que la fuerza forma con el eje x).
Entonces:
Rx = ∑ Fx = F1 . cos 1 + F2 . cos 2 + F3 . cos 3
 Rx = 2 N . cos 0º + 2 N . cos 45º - 2 N . cos 45 º
R2
= Rx
2
+ Ry
2 PITAGORAS
F1 = 2 N
Rx = Σ Fx ← SUMATORIA EN x
Ry = Σ Fy ← SUMATORIA EN y

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Fíjate que la proyección de F3 sobre el eje x va así ← y es negativa.
Haciendo la suma:
Haciendo lo mismo para el eje y:
Ry = ∑ Fy = F1. sen 1 + F2. sen 2 + F3. sen 3
 Ry = 2 N. sen 0º + 2 N. sen 45º + 2 N. sen 45º
O sea que lo que tengo es esto:
Aplicando Pitágoras:
Otra vez por trigonometría: tg  R = Ry / Rx 
 tg  R = 1,414 
Para poder calcular R conociendo tg R usé la función arc tg de la calculadora .
Se pone :
Nota: a veces en algunos problemas piden calcular la equilibrante. La fuerza
equilibrante vale lo mismo que la resultante, pero apunta para el otro lado.
Para el problema anterior la equilibrante valdría 3,46 N y formaría un ángulo:
 E = 54,73º + 180º = 234,73º
EQUILIBRIO ( Importante)
Supongamos que tengo un cuerpo que tiene un montón
de fuerzas aplicadas que pasan por un mismo punto
(concurrentes).
Ellos dicen que el cuerpo estará en equilibrio si la acción de estas fuerzas se compensa
de manera tal que es como si no actuara ninguna fuerza sobre el cuerpo.
Por ejemplo:
Rx = 2 N Resultante en x
R = 3,46 N Resultante
Ry = 2,828 N Resultante en y
²
N)
(2,828
N)²
(2
R +
=
1 · 4 1 SHIFT TAN
2N
2,82N
tg R =


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Este otro cuerpo también está en equilibrio:
Vamos al caso de un cuerpo que no está en equilibrio:
Es decir, F1 y F2 se compensan entre sí, pero a F3 no la compensa nadie y el cuerpo se va
a empezar a mover para allá
Todos los cuerpos que veas en los problemas de estática van a estar quietos.
Eso pasa porque las fuerzas que actúan sobre el tipo se compensan mutuamente y el
coso no se mueve.
Sin hilar fino, digamos un cuerpo está en equilibrio si está quieto. En estática siempre
vamos a trabajar con cuerpos que estén quietos. De ahí justamente viene el nombre de
todo este tema. (Estático: que está quieto, que no se mueve).
Pero ahora viene lo importante. Desde el punto de vista físico, ellos dicen que :
UN CUERPO ESTÁ EN EQUILIBRIO SI LA SUMA DE TODAS LAS FUERZAS QUE
ACTÚAN SOBRE ÉL VALE CERO.
Otra manera de decir lo mismo es decir que si un sistema de fuerzas copuntuales
está en equilibrio, su resultante tiene que ser cero. Es decir, no hay fuerza neta
aplicada. La manera matemática de escribir esto es:
Esta fórmula se lee: la suma de todas las fuerzas que actúan tiene que ser cero .
Esta es una ecuación vectorial. Cuando uno la usa para resolver los problemas tiene que
ponerla en forma de 2 ecuaciones de proyección sobre cada uno de los ejes. Estas
ecuaciones son ( atento ):
No te preocupes por estas fórmulas. Ya lo vas a entender mejor una vez que
resuelvas algunos problemas. Ahora van unos comentarios importantes.
ACLARACIONES:
∑ F = 0
condición de equilibrio
para un sistema de
fuerzas concurrentes
∑ Fx = 0
Condición de equilibrio
para el eje horizontal.
para un sistema de
fuerzas concurrentes
(ec. de proyección)
∑ Fy = 0
para el eje vertical.

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• Para hallar analíticamente la resultante de dos fuerzas se puede usar también el
teorema del coseno. No conviene usarlo, es fácil confundirse al tratar de buscar el
ángulo αlfa que figura en la fórmula.
• Por favor, fijate que las condiciones de equilibrio ∑ Fx = 0 y ∑ Fy = 0
garantizan que el sistema esté en equilibrio solo en el caso en de que
TODAS LAS FUERZAS PASEN POR UN MISMO PUNTO.
(Esto no es fácil de ver. Lo vas a entender mejor más adelante cuando
veas el concepto de momento de una fuerza).
FUERZAS NO COPUNTUALES (Atento)
Para resolver cualquier problema de estática en donde las fuerzas pasaban todas por un
mismo punto había que plantear 2 ecuaciones. Estas ecuaciones eran la sumatoria de
las fuerzas en dirección x y la sumatoria de fuerzas en dirección y.
Si ahora las fuerzas no pasan por el mismo punto (es decir, son NO CONCURRENTES)
va a haber que plantear otra ecuación que es la ecuación del momento de las fuerzas.
Entonces, título:
MOMENTO DE UNA FUERZA
Para resolver el asunto de fuerzas que no pasan por un mismo punto se inventa una
cosa que se llama momento de una fuerza. Ellos definen el momento de una fuerza con
respecto a un punto ó como:
La distancia que va del punto a la fuerza se llama d y F es la componente de la fuerza en
forma perpendicular a d (ojo con esto). Si la fuerza
está inclinada como en el dibujo de acá abajo, el
momento de la fuerza con respecto a O vale Mo =
Fy . d ( Fy es la componente de la fuerza
perpendicular a d ).
SIGNO (+) O (-) DEL MOMENTO DE UNA FUERZA ( Ver )
Una fuerza aplicada a un cuerpo puede hacerlo girar en sentido de las agujas del reloj o
al revés. Quiero decir esto: Como hay 2 sentidos de giro posibles, uno de los dos tendrá
M ó = F . d
Momento de una fuerza
con respecto al punto ó.

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que ser positivo y el otro negativo.
Para decidir cuál es positivo y cual es negativo hay varias convenciones. Una de las
convenciones dice así: " el momento de la fuerza será positivo cuando haga girar al
cuerpo en sentido contrario al de las agujas del reloj ".
Otra convención, dice: " el momento será ( + ) cuando la fuerza en cuestión haga girar al
cuerpo en el mismo sentido que las agujas del reloj ".
Pero la convención que más se suele usar, es esta: Antes de empezar el problema uno
marca en la hoja el sentido de giro que elige como positivo poniendo esto:
(+) ( giro horario positivo ) o esto:
(+) ( giro antihorario positivo ).
Esta última convención es la que suelo usar yo para resolver los problemas. Creo que es
la mejor porque uno puede elegir qué sentido de giro es positivo para cada problema en
particular.
¿ Y cuál es la ventaja ?
Rta: La ventaja es que, si en un ejercicio la mayoría de las fuerzas tienen un
determinado sentido de giro, elijo como positivo ese sentido de giro para ese problema y
listo.
Si hago al revés, no pasa nada, pero me van a empezar a aparecer un montón de signos
negativos. ( = Molestan y me puedo equivocar )
¿ Puede el momento de una fuerza ser cero ?
Puede. Para que M ( = F . d ) sea cero, tendrá que ser cero la fuerza o tendrá que ser
cero la distancia. Si F = 0 no hay momento porque no hay fuerza aplicada. Si d es igual
a cero, quiere decir que la fuerza pasa por el centro de momentos.
Quiero que veas ahora una cuestión importante que es la siguiente: ¿qué tiene que
pasar para que un sistema de fuerzas que no pasan por el mismo punto esté en
equilibrio ?
CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES (OJO)

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Supongamos el caso de un cuerpo que tiene aplicadas
fuerzas que pasan todas por un punto. Por ejemplo, un
cuadro colgado de una pared.
Para estos casos, yo decía que la condición para que el tipo
estuviera en equilibrio era que la suma de todas las fuerzas
que actuaban fuera cero. O sea, que el sistema tuviera
resultante nula.
Esto se escribía en forma matemática poniendo que
∑ Fx = 0 y ∑ Fy = 0.
Muy bien, pero el asunto de que R fuera cero sólo garantizaba que el cuerpo
no se trasladará.
Ahora, si las fuerzas NO PASAN POR UN MISMO PUNTO , puede ser que la
resultante sea cero y que el cuerpo no se traslade. Pero el cuerpo podría estar
girando. Mirá el dibujito.
En este dibujito, la resultante es cero, sin embargo, la barra está girando. Esto es lo que
se llama CUPLA ( o par ). Una cupla son 2 fuerzas iguales y de sentido contrario
separadas una distancia d. La resultante de estas fuerzas es cero, pero su momento NO.
Al actuar una cupla sobre un cuerpo, el objeto gira, pero no se traslada.
El responsable de la rotación es el momento de las fuerzas que actúan. Por eso es que
cuando las fuerzas no pasan por un mismo punto, hay que agregar una nueva condición
de equilibrio. Esta condición es que el momento total que actúa sobre el cuerpo debe ser
CERO. La ecuación es ∑ Mó = 0. Se llama ecuación de momentos. Al igualar la suma de
los momentos a cero una garantiza el equilibrio de rotación. Es decir, que la barra no esté
girando.
CONCLUSIÓN
Para resolver
los problemas
de estática en
donde las
fuerzas NO
pasan por un
mismo punto
hay que
plantear tres ecuaciones. Estas ecuaciones van a ser dos de proyección ( ∑Fx y ∑Fy ) y
una de momento ( ∑Mó = 0 ).
Resolviendo las ecuaciones que me quedan, calculo lo que me piden.
PARA QUE ESTÉ EN EQUILIBRIO UN CUERPO QUE TIENE
UN MONTÓN DE FUERZAS APLICADAS QUE NO PASAN
POR UN MISMO PUNTO, DEBE CUMPLIRSE QUE :
∑ Fx = 0 Garantiza que no hay traslación en x.
∑ Fy = 0 Garantiza que no hay traslación en y.
∑ Mó = 0 Garantiza que no hay rotación.
CUPLA
( O PAR )

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ACLARACIONES:
• Hay que recordar que el sentido positivo para los momentos lo elige uno.
• Siempre conviene tomar momentos respecto de un punto que anule alguna
incógnita. Generalmente ese punto es el apoyo.
• No siempre va a haber que usar las tres ecuaciones para resolver el problema.
Depende de lo que pidan. Muchas veces se puede resolver el problema usando sólo
la ecuación de momentos.
• Para resolver un problema es recomendable en lugar ∑Fx , ∑Fy, ∑MA.
• Conviene utilizar: se pueden tomar dos ecuaciones de momento referidas
a puntos distintos. (Por ejemplo, los 2 apoyos de una barra ).
∑MA, ∑MB, y ∑Fxy utilizar ∑Fy para verificar el estado de equilibrio.
EJEMPLO: Una barra de longitud 2 m y 100 Kg de peso está sostenida por una soga
que forma un ángulo alfa de 30˚ como indica la figura. Calcular la tensión de la cuerda y
el valor de las reacciones en el apoyo A. Suponer que el peso de la barra está aplicado
en el centro de esta.
Bueno, primero hago un esquema de la barra poniendo todas las fuerzas que actúan:
Puse el par de ejes x – y . El sentido de giro lo tomé positivo en sentido de las
agujas del reloj .
Planteo las tres condiciones de equilibrio : ∑Fx = 0 , ∑Fy = 0 , ∑Mó = 0 . El centro de
momentos ( punto O ) puede ser cualquier punto. En general conviene elegirlo de
manera que anule alguna incógnita. En este caso me conviene tomar el punto A.
∑Fx = 0  Rh – Tc . cos  = 0
∑Fy = 0  Rv + Tc . sen  - P = 0
∑MA = 0  P . L/2 - Tc . sen  . L = 0
 = 30˚
P = 100 kgf
L = 2 m
T
T

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Reemplazando por los datos:
Rh – Tc . cos 30 = 0
Rv + Tc . sen 30 – 100 kgf = 0
100 kgf . 2m / 2 - Tc . sen 30 . 2 m = 0
De la última ecuación despejo TC :
Reemplazando TC en las otras ecuaciones calculo las reacciones horizontal y vertical en
el punto A :
TEOREMA DE VARIGNON
El teorema de Varignon dice que el momento de la resultante es igual a la suma de los
momentos de las fuerzas.
Vamos a ver qué significa esto. Suponte que tengo un
sistema de varias fuerzas que actúan. Calculo la resultante
de ese sistema y obtengo una fuerza R.
Lo que dice el teorema es esto: supongamos que yo sumo
el momento de todas las fuerzas respecto al punto A y me
da 10 kgf.m ( por ejemplo ). Si yo calculo el momento de la resultante respecto de A,
también me va a dar 10 kgf.m. Eso es todo.
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO
El centro de gravedad de un cuerpo es el lugar donde
está aplicada la fuerza peso.
Si el cuerpo es simétrico, el C.G. va a coincidir con el
centro geométrico del cuerpo. Por ejemplo, para un
cuadrado o para un círculo, el C.G. va a estar justo en el
centro de la figura.
¿Cómo se halla el centro de gravedad de un cuerpo ? ( A veces toman esto ).
TC = 100 kgf
RHA = 86,6 kgf
RVA = 50 kgf

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Rta: Bueno, es así: Si la figura está compuesta por
varias figuras simétricas, se calcula el peso de cada
una de las figuras y se lo coloca en el centro
geométrico de esa figura.
El peso de cada figura es proporcional a la superficie
de esa figura. Después uno saca la resultante de
todos esos pesos parciales. El centro de gravedad es
el lugar por donde pasa la resultante de todos esos
parciales.
TEOREMA DE VARIGNON.
Él momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes
es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto
O.
Esto es, si las fuerzas , ; se aplican en un punto P, como se indica en la
figura 109, podemos concluir inmediatamente por la propiedad distributiva del producto
vectorial respecto a la suma, que:
Esta propiedad fue establecida por el
matemático francés Pedro Varignon (1654-
1722), mucho antes de la introducción del
álgebra vectorial, y de allí surgió el nombre para
este teorema. No sobra destacar como la
matemática crea instrumentos cada vez más
refinados y ágiles que permiten la formalización
de propiedades validadas empíricamente como
la anteriormente citada.
El resultado anterior permite sustituir la
determinación directa del momento de una
fuerza , por la determinación de los
momentos de dos o más fuerzas componentes. Esto es particularmente útil en la
descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares. Sin embargo, puede
resultar más útil en algunos casos descomponer en componentes que no sean paralelas
a los ejes coordenados.
Teorema de Varignon: La figura formada
cuando se unen en el orden dado los
puntos medios de un cuadriángulo, es un
paralelogramo y su área es la mitad de la
del cuadriángulo

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Teorema: Si una diagonal divide un cuadriángulo en dos triángulos de
áreas iguales, corta en el punto medio a la otra. Recíprocamente, si una
diagonal divide a la otra en su punto medio,
divide al cuadriángulo en dos triángulos de igual
área.
RESUMEN DE LOS TIPOS DE FUERZAS

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FÍSICA PRÁCTICA
1.A) PREGUNTAS PARA RESPONDER:
1) ¿Qué es la ciencia?
2) ¿Cómo se clasifican las ciencias?
3) ¿Qué es el objeto y el método científico?
4) ¿Qué es la tecnología?
5) ¿Qué relación hay entre ciencia y tecnología?
6) ¿Cómo es el nivel científico-técnico argentino?
7) ¿Qué es la física?
8) ¿Qué es un fenómeno físico?
9) ¿Qué es el método experimental?
10) ¿Cuáles son, los pasos del método experimental ?(explique con sus palabras)
11) ¿Qué es una ley?
12) ¿Qué es una teoría?
13) ¿Qué es la medición?
14) ¿Qué es una magnitud y qué es una unidad?
15) ¿Cuándo una magnitud es escalar y cuándo es vectorial?
16) ¿Cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales y cuándo inversamente
proporcionales?
17) ¿Qué es el SI.ME.L.A?
18) ¿Cuáles son las magnitudes y unidades fundamentales del SI.ME?L.A?
19) ¿Qué es el error?
20) ¿Cuáles son los pasos del método de reducción del error?

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• Construir grupalmente un plano teórico de la unidad y reproducirlo en una lámina
1.B) PROBLEMAS
1) a) Expresar 102 metros en milímetros. Rta: 102.000 [mm]
b) Expresar 10 kilómetros en centímetros Rta: 1.000.000 [cm]
c) Expresar 23,45 metros en milímetros Rta: 23.450 [mm]
d) Expresar 54,678 kilómetros en centímetros Rta: 5.467.800 [cm]
e) Expresar 25.769.297 milímetros en hectómetros Rta: 257,69297 [Hm]
2) ¿Cuántos decigramos son 0,003 hectogramos? Rta: 3[dg]
3) a) Reducir 45,05 horas a segundos. Rta:162.180 [s]
b) Reducir 45horas 20minutos 30 segundos a segundos Rta: 163.230 [s]
4) Determinar cuántos decalitros hay en 7.800 centilitros. Rta: 7,8 [Dl] =7,8[dal]
5) Expresar 5,7 dam2
en dm2
. Rta: 57.000 [dm2
]
6) Reducir 0,065 m3
a cm3
. Rta: 65.000 [cm3
]
7) ¿Cuántos decagramos son 0,0068 kilogramos? Rta: 0,68 [Dg]
8) Determinar en mm3
, trescientos metros cúbicos. Rta: 300.000.000.000 [mm3
]
Rta en nomenclatura científica Rta: 3 x 1011
[ mm3
]
9) Llevar 23,6 minutos a horas. Rta: 0,393 [h]
10) Reducir dos días y medio a segundos. Rta: 216.000 [s]
11) Despejar E de la siguiente fórmula V=E/T Rta: E=V.T
12) Teniendo en cuenta la fórmula CC= M. CE. VT, ¿a qué es igual CE? Rta: CE =CC / (M. VT)
13) De la fórmula EC=0,5.M. V2
, despejar V.
14) Despejar D de la expresión Il=In/D2
.
15) A partir de la fórmula R=V.I, se pide despejar I.
16) De la expresión V1/V2=P2/P1 se desea despejar P1.

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17) ¿A que es igual EP si EM es igual a EP+EC?
18) Despejar MM1 de la fórmula F=(MM1.MM2)/D2
19) De la fórmula A=F/M despejar F.
ESTÁTICA PRÁCTICA
2.A) PREGUNTAS
1) ¿Qué estudia la estática?
2) ¿A qué se denomina fuerza?
3) ¿Cuáles son los elementos de una fuerza?
4) ¿Qué es un sistema de fuerzas y cómo pueden ser?
5) Definir: componente, resultante y equilibrante.
6) Cuando hablamos de componer y descomponer fuerzas, ¿de qué hablamos?
7) ¿Qué es el peso de un cuerpo y cuáles son sus elementos?
8) ¿Qué se entiende por cupla?
9) ¿Qué efectos tiene una cupla y qué efectos, una fuerza?
10) ¿Cuál es la fórmula de la cupla?
11) ¿Cuáles son las unidades de cupla, de fuerza y de peso?
12) Explicar qué es el equilibrio.
• Construir grupalmente un plano teórico de la unidad y en una lámina
• Tomar los conceptos de fuerza, sistema de fuerzas y palanca y, en un cuadro de doble entrada
(como el presente) definirlos, ejemplificarlos, clasificarlos y particionarlos (análisis DECP).
FUERZA
SISTEMA DE
FUERZA
PALANCA
DEFINICIÓN
EJEMPLO
TIPOS

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PARTES
2.B)PROBLEMAS
1) ¿Cuál es tu peso en kilopondios [kgf] y cuál en newton[N]
2) Expresar 0,045 [kgf] en [N] y 0,045 [N] en [kgf], y en [gf]. Rta: 0,45[N]; 0,0045[kgf]; 4,5 [gf]
3) Dibujar una fuerza de 25[N] horizontal con sentido hacia la derecha y punto de aplicación en el punto
medio del renglón donde se la representa. Utilizar la escala 5[N] = 1 cm. Esc. fzas:5[N/cm].
4) En el punto de la hoja del ejercicio anterior dibujar una segunda fuerza de 37,5 [N] vertical y con
sentido hacia abajo.
5) Componer gráficamente un sistema de tres fuerzas F1= 10 [N], F2= 14 [N] y F3= 8 [N] aplicadas en el
punto medio del renglón correspondiente y con las direcciones de los lados de un triángulo equilátero, de
modo tal que F1 es la horizontal con sentido a la izquierda, F2 es la de pendiente positiva con sentido hacia
arriba y F3 es la de pendiente negativa también con pendiente hacia arriba. Emplear la escala fuerza:2
[N/cm]. ¿Qué tipo de sistema de fuerzas es?
6) Componer el sistema de fuerzas del ejercicio 3) pero considerando ahora a F3 con sentido hacia abajo y
con la mitad de la intensidad.
7) Componer el sistema de fuerzas anterior 3) tomando a F1 con sentido hacia la derecha y a F2 con
sentido hacia abajo. Determinar también la equilibrante del sistema.
8) Representar gráficamente una cinchada entre 4 personas (dos de cada lado) y resolverla. Para ello
considerar a las fuerzas con dirección vertical y con punto de aplicación en el punto medio del renglón
correspondiente. Con sentido hacia arriba ubicar a F1 de 100 N y F2 de 80 N y con sentido opuesto a F3 de
70 N y F4 de 90 N. Utilizar la escala 20 N = 1 cm. ¿Qué tipo de sistema de fuerzas es?
9) Representar gráficamente un sistema de tres fuerzas colineales de igual sentido F1: 550 N; F2: 500 N y
F3: 100 N con dirección igual a la diagonal negativa de la hoja y sentido hacia abajo. Considerar la escala
50 N = 0,5 cm y como punto de aplicación del sistema a la intersección del margen con el renglón.
Determinar finalmente la resultante y la equilibrante.
10) Dos fuerzas iguales F1 y F2 de 25 N de intensidad están aplicadas en el origen de un sistema
XY coincidente con el punto medio del renglón a usar (escala 1 cm = 5 N). Calcular la resultante y la
equilibrante gráficamente suponiendo el ángulo que forman sucesivamente igual a: a) 0º; b) 30º; c) 45º;
d) 60º; e) 90º; f) 120º; g) 135º; h) 150º y j) 180º. ¿Qué conclusión se puede extraer de este ejercicio con
respecto al ángulo y la intensidad de la resultante?
11) En las extremidades de una viga horizontal de un metro (escala 0,2 [m] = 1 [cm]) se aplican dos
fuerzas paralelas y de igual sentido hacia abajo F1 de 20 [N] y F2 de 60 [N] (escala 10 [N] = 1 [cm]) cuya
resultante se desea conocer. Considerar el punto medio de la viga como el punto medio del renglón a
utilizar. Rta: R= (80 [N]; 270[°]). Coordenadas del punto: x= 0.76 [m] desde la fza. de la izquierda
12) Resolver el ejercicio 9) tomando a F2 con sentido hacia arriba. ¿Qué clase de sistema de fuerzas es?
13) Resolver el ejercicio 9) considerando a F1 con sentido opuesto y con la mitad de intensidad.

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14) Descomponer la fuerza F1 de 45 N, que está aplicada en el origen de un sistema XY ubicado en el
punto medio del renglón correspondiente, según una dirección vertical y otra horizontal. (escala 10 [N] =
1 [cm])
15) Descomponer la fuerza F1 de 20 [N], aplicada a 1[m] metro del extremo superior (extremo que está
en el punto medio del tercer renglón) de una barra vertical de 2,5 [m], según dos direcciones D1 y D2
paralelas a ella. D1 coincide con el cuarto renglón y D2 pasa por el extremo inferior de la barra.
16) ¿Cuánto pesa un balde que contiene 5 [l] litros de agua (1[l] litro = 0,001 [m3
]) si el peso del recipiente
vacío es de 10 [N]?
17) ¿Cuánto pesaría el aire que podría contener el balde del ejercicio 16?
18) ¿Cuál es el peso específico del hierro y cuál su densidad si una llave de ese metal que pesa 0,234 [N] y
tiene una masa de 0,0234 [kg], ocupa un espacio de 0,000003 [m3
]?
19) El peso específico de un cubo de 0,125 [m3
] vale 21.000 [N/m3
]. ¿Cuánto pesa el cuerpo?.
20) Se desean envasar 30.000 [N] de nafta (PE: 7200 [N/m3
]). ¿Qué capacidad debe tener el tanque?
21) La densidad de una sustancia que integra un cuerpo de 2,30 [kg] vale 5.500 [kg/m3
]. ¿Cuál es el
volumen del cuerpo?
22) ¿Qué masa posee un objeto de 0,45 [m3
] si su densidad es de 3.200 [kg/m3
]?
23) ¿Qué momento produce una cupla aplicada a un torniquete si éste tiene 10 [cm] de largo y cada
fuerza aplicada vale 150 [N]?
24) El momento de una cupla es de 350 [J]. Si la intensidad de cada fuerza es de 100 [N], ¿qué distancia
hay entre ellas?
25) De una cupla se sabe que su momento es de - 24,5 [J] y que la distancia entre sus componentes es de
0,10 [m]. ¿Cuál es la intensidad de cada fuerza? ¿Cómo gira el cuerpo sobre el que actúa esta cupla?
2.D) GLOSARIO
Balanza: Máquina simple que mide masas.
Baricentro: centro de gravedad de un cuerpo.
Brazo de la cupla: Distancia que media entre las dos fuerzas de una cupla.
Centro de gravedad: Punto de aplicación de la fuerza peso.
Componente: Cada una de las fuerzas de un sistema de fuerzas.
Composición: Operación que determina la resultante de un sistema de fuerzas. Es la inversa de la
descomposición.
Cuerpo extenso: Cuerpo concreto de tres dimensiones.
Cuerpo puntual: Cuerpo abstracto sin extensión.
Cupla: Sistema de dos fuerzas de la misma intensidad, paralelas y opuestas. Sinónimo: torque.
Deformable: Cuerpo que se deforma al aplicársele fuerzas.
Descomposición: Operación que determina las componentes de una fuerza dada. Es la inversa de la
composición.
Desequilibrio: Estado en el que las fuerzas y las cuplas no son nulas. Estado en el que la aceleración no es

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nula.
Dinamómetro: Instrumento medidor de fuerzas.
Equilibrante: Fuerza que se opone y anula a la resultante de un sistema de fuerzas.
Equilibrio de rotación: Equilibrio de los cuerpos en los que el momento de todas las cuplas es nulo.
Equilibrio de traslación: Equilibrio de los cuerpos en los que la resultante de todas las fuerzas es nula.
Equilibrio: Estado en el que las fuerzas y las cuplas son nulas. Estado en el que la aceleración es nula.
Estática: Parte de la física que estudia el equilibrio
Física extensa: Física que considera a todos los cuerpos como extensos.
Física puntual: Física que considera a todos los cuerpos como puntos.
Fuerza a distancia: Fuerza que se da cuando dos cuerpos no contactan al interactuar. El peso es una
fuerza a distancia.
Fuerza contactual: Fuerza que se da cuando dos cuerpos se tocan al interactuar. El rozamiento es una
fuerza contactual.
Fuerza: modificador del reposo, del movimiento o de la forma de un cuerpo.
Intensidad: valor de una fuerza. Sinónimo: módulo.
J: Símbolo de joule.
joule: Unidad en el SI de momento de una cupla. Símbolo: J.
Kgf: Símbolo de kilopondio o kilogramo-fuerza
Kilopondio: Unidad de fuerza que equivale aproximadamente a 10 newton. Sinónimo: kilogramo-fuerza.
kp: Símbolo de kilopondio.
Mecánica: Rama de la física que estudia la energía mecánica.
Módulo: valor de una fuerza. Sinónimo: intensidad.
Momento de una cupla: Intensidad de una cupla. Resulta de multiplicar su brazo por la intensidad de una
de sus fuerzas. Su unidad es el joule (J).
N: Símbolo universal de newton.
newton: Unidad de fuerza en el SI. Equivale aproximadamente a 0,1 kilogramo-fuerza o kilopondio.
Peso: Fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo hacia ella.
Punto de aplicación: punto del cuerpo donde se aplica una fuerza
Reposo: Estado en el que la velocidad es nula.
Resultante: Fuerza que compendia a todas las fuerzas de un sistema de fuerzas.
Rígido: Cuerpo que no se deforma al aplicárseles fuerzas. Es un cuerpo ideal.
Sistema de fuerzas: Conjunto de fuerzas que actúan simultáneamente sobre un cuerpo
Sistema de fuerzas colineales: Sistema de fuerzas que comparten la misma recta de acción. Son
concurrentes y paralelas.
Sistema de fuerzas concurrentes: Sistema de fuerzas que concurren al mismo punto de aplicación
Sistema de fuerzas paralelas: Sistema de fuerzas con direcciones paralelas.
Torque: Cupla.
Vector: Ente geométrico que permite representar a una fuerza.
2.E) RESUMEN
• La estática es el estudio del equilibrio, esto es, del estado de un cuerpo en el que las fuerzas y
cuplas actuantes se anulan entre sí.
• Una fuerza es el fenómeno físico capaz de modificar la forma, el reposo o el movimiento de un
cuerpo, como, por ejemplo, el empuje, el peso, el rozamiento, etc. es una magnitud vectorial que
se representa con un vector, se mide con un dinamómetro y cuya unidad simeliana es el newton
(N). Causa en los cuerpos traslaciones y aceleraciones. Surge de la interacción entre cuerpos.

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• Normalmente las fuerzas actúan en grupo conformando sistemas de fuerzas colineales,
concurrentes o paralelas. Componerlas es buscar una fuerza, llamada resultante, que las reemplaza
a todas con igual efecto.
• Una fuerza importante es el peso, esto es, la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo.
• Un sistema de fuerza especial es la cupla, es decir, un conjunto de dos fuerzas paralelas opuestas y
de igual intensidad. Se identifica con su momento (MC=F.D) y causa en los cuerpos rotaciones.
• Todos estos conceptos teóricos se aplican en las máquinas simples, productos tecnológicos que
facilitan el trabajo del hombre. La palanca, barra rígida que puede girar alrededor de un fulcro, es
la principal máquina simple. En ella el equilibrio se logra cuando P.BP=R.BR
2.I) ANEXO
Resolver los siguientes problemas gráfica y analíticamente por el método de descomposición ortogonal:
A) PROBLEMAS DE CUERPOS EN EQUILIBRIO (cuerpos con fuerza neta nula y sin aceleración)
1) Se suspende un paquete mediante dos cuerdas tal como lo indica la figura. Si cada cuerda realiza una
fuerza de 55 kgf, ¿cuál es el peso del
paquete suspendido?
Rta: El peso del paquete es de,
aproximadamente, 63,10 kgf (~631N)
1. Calcular la fuerza que hace la
cuerda de la izquierda si la otra
realiza una de 100 N:
Rta: La fuerza que realiza la cuerda de la izquierda es de, aproximadamente, 173,2 N
Nota: Este problema se puede complejizar, si se quiere, desconociendo la fuerza hecha
por la cuerda de la derecha.
2. Una persona que pesa 840N se para en forma tal que
cada una de sus piernas forma con el piso un ángulo de
60º. ¿Cuál es la fuerza que soporta cada pierna?
Rta: Cada pierna hace una fuerza de unos 485 N
3. Federico está parado sobre una viga formando cada
pierna un ángulo de 80º con la horizontal. Si cada pierna
ejerce una fuerza de 400N, ¿cuánto pesa Federico?
Rta: Federico pesa, aproximadamente, 788 N.
4. ¿Qué fuerza soporta cada "brazo de la cadenita" que
sostiene al cuadro de la figura? ¿Cuánto vale la componente horizontal de cada
una de esas dos fuerzas?
Rta: Cada "brazo de la cadenita" realiza una fuerza de 0,5 kgf mientras
que cada componente horizontal, 0,43 kgf.
5. Pedro, que pesa 700 N, se ha colgado de la barra como lo indica la siguiente
imagen. ¿Qué fuerza hace con cada uno de sus brazos? Rta: Cada brazo de Damián hace una
fuerza de 544,50 N
6. Utilizando el método de descomposición del paralelogramo, hallar la resultante y el ángulo que
forma con la dirección positiva del eje x, de las siguientes fuerzas:
- 200 [N] en el eje x dirigida hacia la derecha.
- 300 [N], 60° por encima del eje x, hacia la derecha.
- 100 [N], 45° sobre el eje x, hacia la derecha.

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- 200 [N] en la dirección negativa del eje y Rta
: 308 [N] y 25°.
7. Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre un punto, F1 es de 8 [N] y su dirección forma un ángulo de 60° por
encima del eje x en el primer cuadrante, F2 es de 5 [N] y su dirección forma un ángulo de 53° por
debajo del eje x en el cuarto cuadrante, determinar:
a. Las componentes de la resultante.
b. La magnitud de la resultante.
c. La magnitud de la diferencia F1 - F2.
Rta
: a) 7,01 [N] y 2,93 [N] . b) 7,6 [N]. c) 11 [N]
8. Dos hombres y un muchacho quieren empujar un bloque en la dirección x de la figura, los
hombres empujan con las fuerzas F1 y F2.
a) ¿qué fuerza mínima deberá emplear el muchacho para lograr el cometido?
b) ¿qué dirección tendrá dicha fuerza? Rta
: a) 46,6 [N]; b) perpendicular a x
9. Un bloque se arrastra hacia arriba por un plano inclinado 20° sobre la horizontal con una fuerza F
que forma un ángulo de 30° con el plano. Determinar:
a. El valor de F para que su componente Fx paralela al plano sea de 16 [N].
b. El valor de la componente Fy perpendicular al plano. Rta
: a) 18,5 [N]; b) 9,2 [N].
10. El módulo de una F es de 20 [N]. La componente de la fuerza sobre el eje “x” es de 16 [N].
Entonces la componente sobre el eje “y” vale…
11. Según el caso de la figura determinar el peso del cuerpo suspendido si
la tensión de la cuerda diagonal es de 20 [N]. Rta
: 14,1 [N]
12. Calcula la fuerza de F1, F2 y F3 para que la barra este en equilibrio.
B) PROBLEMAS DE CUERPOS EN DESEQUILIBRIO (cuerpos con fuerza neta no nula y con aceleración)
1) Determinar la resultante de un sistema de tres fuerzas concurrentes tales que: F1, de 60 N, es
horizontal y dirigida hacia la derecha; F2, de 40 N, es oblicua (según la diagonal del primer cuadrante) y
orientada hacia abajo; y F3, de 50 N, es vertical y dirigida hacia abajo (escala: 10N=1cm)
Rta: La resultante o fuerza neta del sistema vale 84,46 N y y forma un ángulo con el semieje positivo de las
X de 292,05 º
2) Resolver el sistema de la figura siguiente (1cm = 100N):
Rta: La resultante vale 608,27 N y el ángulo formado es
de 25,28º
3) Determinar el módulo de la fuerza neta y el ángulo
con el eje de las X del siguiente sistema teniendo en
cuenta que F1: 150N; F2: 200N; F3: 80N y F4: 180N
(1/2 cm = 20N):
Rta: 48,97 N y 333,87º
4) Hallar por el método de la descomposición

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rectangular la resultante del siguiente conjunto de fuerzas: 80 kgf, verticalmente hacia abajo; 80 kgf, y 45º
por encima de la horizontal hacia la derecha; 30 kgf , horizontalmente hacia la izquierda. (1cm = 20N)
Rta: 35,42N y -41,42º
5) Determinar la equilibrante de cada uno de los sistemas de fuerzas anteriores.
Vínculos
Dijimos que vínculo es toda sujeción que limita los desplazamientos posibles de un
cuerpo. Básicamente tenemos dos tipos de vínculos: internos y externos
Internos
son los que limitan la posibilidad de desplazamientos relativos entre los puntos
constituyentes de un cuerpo o sistema de cuerpos. Para el análisis de estas estructuras
vinculadas se comienza analizando todo el sistema y luego cada parte que separa el
vínculo interno por separado.
Externos:
Limitan posibilidades de movimiento de los puntos de un cuerpo respecto a la tierra o a
otro cuerpo. Estos vínculos externos pueden ser simples, dobles o triples según limiten
uno, dos o tres grados de libertad.
Resulta importante mencionar que la resolución de vínculos en la construcción resulta
sumamente importante, ya que allí es donde se producen los mayores problemas. Es
para ello que se deberá tener en cuenta el material de los elementos a vincular, y todas
las características que este posee. En este curso solo se verán cuestiones genéricas,
pero tratando de tener en cuenta la referencia constante a situaciones de la realidad.
Simples:
Ambos proveen una reacción de vínculo de dirección conocida.

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Biela Apoyo móvil
Ejemplos de Apoyos móviles
Dobles:
Apoyo fijo:
provee una reacción de vínculo de dirección desconocida (es decir que limita dos
grados de libertad al descompones la reacción en un sistema de ejes ortogonales).
Apoyo Fijo 2 Bielas 2 Apoyos móviles
Triples:
Empotramiento: provee tres reacciones de vínculo (es decir limita tres grados de
libertad: traslación vertical, horizontal y rotación)

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Empotramiento Apoyo fijo y Móvil Apoyos móviles 3 Bielas
Otros tipos de vínculos:
Cuando los vínculos son sólo necesarios para restringir los grados de libertad del
cuerpo, el sistema se llama “isostático”.
Si existen más vínculos de los necesarios, entonces el sistema se llama “hiperestático”.

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Si existen menos vínculos de los necesarios, el sistema se denomina “hipostático”.
Supongamos ahora que tenemos un cuerpo cualquiera sobre el que actúa un sistema
de fuerzas cualquiera. Nuestro primer objetivo será evaluar las reacciones de vínculo,
ya que conocidas todas las fuerzas activas y reactivas actuantes sobre el cuerpo
podremos luego analizar los efectos que ellas producen y llegar al diseño y
dimensionamiento del elemento en estudio.
Para proceder a calcular las reacciones de vínculo lo primero que debemos realizar es
el diagrama de cuerpo libre (aislar el elemento), y luego a partir de éste plantear las
ecuaciones de equilibrio. Veamos los siguientes ejemplos:
Como sobre el bloque sólo hay fuerzas verticales planteamos:
Igual que en el ejemplo anterior sobre el bloque sólo hay fuerzas verticales, por lo que
planteamos:
Fx = 0
Procedemos luego a plantear el equilibrio en el nudo C
ΣFx = 0
ΣFy = 0
De estas ecuaciones obtenemos las tensiones en los cables, cabe acotar que si nos
dieran negativas deberemos cambiar el sentido asignado a las incógnitas.

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HIPÓTESIS DE CÁLCULO
A los efectos de poder simplificar los cálculos que se deben realizar en esta materia
(recordemos que el objetivo de Resistencia era llegar al dimensionamiento de los elementos,
verificación de las deformaciones que ellos experimentan o cálculo de la carga máxima
admisible por dichos elementos), será necesario hacer determinadas hipótesis respecto a las
propiedades del material, a las cargas y el carácter de su interacción con las piezas.
1. El material se considera continuo, o sea no tendremos en cuanta la discontinuidad de la
materia, ya que los granos de los materiales de construcción son muy pequeños.
2. Se considerará al material homogéneo, o sea con las mismas propiedades en todos los
puntos. Si bien es cierto que determinados materiales como la madera o el hormigón no
son realmente homogéneos el error que se comete con esta suposición es despreciable.
3. El material es isótropo, es decir con las mismas propiedades en todas las direcciones.
Aunque esto no es real, en el caso de materiales de granos finos, las propiedades de las
distintas direcciones se igualan, debido a la gran cantidad de cristales orientados.
4. Se supondrá que las fuerzas de atracción y repulsión entre las partículas del material son
nulas antes de la aparición de las cargas externas. Esto no es cierto por ejemplo en el
acero, ya que existen fuerzas producidas por el enfriamiento no uniforme, en la madera
por el secado no homogéneo, y en el hormigón debido al fraguado. Sin embargo, estas
fuerzas no serán tenidas en cuenta en los cálculos exigiéndose que se verifiquen las
condiciones adecuadas para lograr minimizar estos efectos.
5. Se considerará que el efecto producido por la acción de un sistema de fuerzas es igual a
la superposición de las acciones producidas por cada una de las fuerzas aplicadas en
cualquier orden.
6. Las secciones planas de la pieza consideradas antes de la deformación permanecen
planas durante y después de ella.
7. Dentro de ciertos límites, la deformación que un esfuerzo produce es directamente
proporcional a la intensidad del esfuerzo.
DEFORMACIÓN
Habíamos dicho que entre los átomos constituyentes del material se producían fuerzas de
atracción y repulsión que daban la cohesión al mismo. Si no actuaran fuerzas externas el estado
de equilibrio entre dichas fuerzas permanecería por tiempo indefinido sin modificar la forma y
dimensiones del cuerpo.
Al actuar las fuerzas externas se rompe el equilibrio interno, variando las fuerzas de atracción y
repulsión, es decir se producirán nuevas fuerzas internas que tratarán de restablecer el
equilibrio, manteniendo la cohesión del material.
De acuerdo con el tipo y cantidad de material que tengamos, las fuerzas internas podrán
equilibrar a las externas impidiendo que la deformación continúe y el cuerpo rompa.
Según la magnitud de las fuerzas aplicadas, el tipo de material y las dimensiones de la pieza,
será la magnitud y característica de la deformación. Podemos decir entonces que si al suprimir
la carga, el cuerpo retoma su forma y dimensiones originales, la deformación es elástica.
Cuando ello no ocurre la deformación es plástica.
Aquellos materiales que poseen escasa capacidad de deformación plástica, se los denomina
frágiles, su rotura se produce en forma brusca (por ejemplo: los aceros de alta resistencia, la
fundición, el hormigón); en cambio aquellos que alcanzan la rotura después de experimentar
una importante deformación plástica se los denomina dúctiles (aceros con bajo contenido de
carbono).
La capacidad de deformarse elástica o plásticamente, varía según el material, las condiciones
en que se apliquen las cargas y la temperatura a la que esté expuesto.

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ESFUERZOS INTERNOS
Podemos analizar qué es lo que ocurre internamente en un cuerpo cualquiera que se encuentra
sometido a la acción de un sistema de fuerzas cualquiera. Este sistema de fuerzas activas (F1,
F2, …. Fn), genera las reacciones de vínculo Ra y Rb para lograr el equilibrio externo. Este
sistema de fuerzas activas y reactivas provocará a su vez la aparición de fuerzas internas que
se oponen a la deformación y procuran equilibrar a las fuerzas externas para impedir que la
deformación continúe hasta la rotura.
Nos interesará conocer los esfuerzos en una sección transversal cualquiera, como por
ejemplo la definida por un plano ɑ perpendicular al eje e. Imaginemos que seccionamos
el cuerpo y planteamos el equilibrio de una de las dos opciones en las que la pieza queda
dividida, por ejemplo, la que se halla a la derecha del plano ɑ. Esta porción debe
encontrarse en equilibrio bajo la acción de las cargas externas que están a la derecha del
plano y de las fuerzas internas que actúan sobre las partículas que están en la sección
transversal determinadas por la acción de las que están a la izquierda y vecinas a la
sección para oponerse a la deformación.
Llamaremos con Rfder a la resultante de las fuerzas externas de ese sector, deberán
entonces generarse fuerzas internas que equilibren a esta fuerza, la resultante de estas

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fuerzas internas deberá tener la misma recta de acción, la misma magnitud y sentido
contrario a Rfder y la llamaremos Rfint.
Utilizaremos ahora algunos principios de la Estática, que no modifican el efecto que
produce el sistema de fuerzas internas definido por las cargas externas.
Llamamos con I al punto de intersección de la recta de acción de Rfint con el plano ɑ y
en dicho punto descomponemos Rfint en sus componentes: una perpendicular al plano
(N) y otra tangencial a la sección transversal considerada (Q)
En el baricentro de la sección consideramos aplicadas dos fuerzas iguales y contrarias
(equilibradas mutuamente) de dirección y magnitud igual a las N y Q respectivamente.
Tendremos entonces el siguiente conjunto de fuerzas:
• Una fuerza perpendicular a la sección N, con su recta de acción que tiene el punto
I como punto de paso.
• Dos fuerzas de intensidad N, de igual dirección que la aplicada en I, de sentidos
opuestos y con recta de acción pasante por el baricentro de la sección.
• Una fuerza tangencial a la sección Q, con recta de acción pasante por el punto I.
• Dos fuerzas de intensidad Q, tangentes a la sección y con la misma dirección que
la aplicada en I, pasantes por el baricentro de la sección.
Definimos entonces los siguientes esfuerzos n la sección:
• Esfuerzo Normal: es el determinado por la fuerza N, perpendicular al plano de la
sección cuya recta de acción pasa por el baricentro de esta y que tiene el mismo
sentido que la fuerza N que pasa por I. produce el alargamiento o acortamiento
axial de la pieza (en el primer caso se llamará esfuerzo normal de tracción, siendo
importante destacar que esto dependerá del sentido de la Rfext.
• Esfuerzo de Corte o Cizalladura: es el que determina la fuerza interna Q tangencial
a la sección cuya recta de acción pasa por el baricentro de esta y que tiene el
mismo sentido que la fuerza Q que pasa por I. Produce el desplazamiento de la
sección respecto a la infinitamente próxima en la dirección y sentido de Q.
• Esfuerzo de Flexión: es el que determinan la cupla compuesta por las dos fuerzas
de intensidad N, cuyas rectas de acción están separadas una distancia d1, cuyo
plano de acción es perpendicular a la de la sección transversal. El momento de
esta cupla es el valor del esfuerzo y es lo que denominamos Momento Flector.
Mf=N x d1. Produce el giro de la sección alrededor de un eje coplanar a la misma,
curvando el eje de esta.
• Esfuerzo de Torsión: es el que determina la cupla compuesta por las dos fuerzas
de intensidad Q, cuyas rectas de acción están separadas una distancia d2, cuyo
plano de acción es el de la sección transversal. El momento de esta cupla, es la
medida de la intensidad de esfuerzo y es el llamado momento torsor Mt = Q x d2.
Produce el giro de la sección en su plano alrededor de un punto.
Es importante destacar que todos estos esfuerzos no siempre se presentan en forma
simultánea; así por ejemplo podremos tener cuerpos solicitados a un único esfuerzo
(esfuerzo simple) o a varios esfuerzos (esfuerzo compuesto).
ESFUEROS INTERNOS EN VIGA DE EJE RECTO
Pretendemos analizar cuáles son los esfuerzos que se presenta en una viga de eje recto
sometida a un estado general de cargas coplanarias, contenidas en un plano ɑ que contiene al
eje de la VIGA

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De la misma forma en que lo hicimos para un cuerpo cualquiera imaginemos cortar a la
viga en una sección transversal por un plano β perpendicular a su eje. Queda la viga
dividida en dos porciones, aislamos uno de los tramos por ejemplo el de la derecha. Para
que se alcance el equilibrio la resultante de las fuerzas externas del tramo debe ser
equilibrada por la resultante de fuerzas internas que los átomos pertenecientes al otro
tramo y vecinos al plano de la sección, generan sobre los átomos próximos que se
encuentran en la sección de la porción aislada, o sea que la resultante de fuerzas internas
debe tener la misma recta de acción, la misma magnitud y sentido contrario a la resultante
de fuerzas externas de la derecha como se ve en la figura:
Como en el caso general aplicamos algunos principios de la estática: descomponemos la
Rfint en sus dos componentes rectangulares N y Q, en las direcciones normal y
tangencial al plano β, en el punto de intersección de dicha resultante con el plano.

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Debemos destacar que, debido a que las fuerzas externas actúan en un plano que
contiene al eje de la viga, la fuerza Q tiene su recta de acción pasante por el baricentro
de la sección transversal considerada.
Agregamos en el baricentro de la sección dos fuerzas iguales y contrarias que tienen la
misma intensidad y dirección que la fuerza N. nos quedan definidos entonces, los
siguientes esfuerzos:
Esfuerzo Normal:
Generado por la fuerza N’ aplicada en el baricentro de la sección.
Esfuerzo de Corte:
Generado por la fuerza Q.
Esfuerzo de Flexión:
Generado por la cupla de fuerzas N y N’’ y separadas una distancia d1.
Es de destacar la ausencia de momento torsor debido a la actuación de las cargas
externas en el plano α, generando una distancia d2 = 0 entre la dirección de Q y el centro
de gravedad.
Podemos observar que la resultante de fuerzas externas será distinta según sea la
sección considerada, por lo que podemos concluir que los esfuerzos internos también
serán distintos a lo largo del eje de la viga y nos interesara conocer esta variación para
poder llegar a determinar los valores máximos que puedan alcanzar para luego proceder
al dimensionamiento o verificación de la sección.
Nos interesa ahora ver como relacionamos los esfuerzos internos con las cargas externas
aplicadas, que serán el único dato con el que contaremos para realizar un problema
particular.
Dado que una viga, es un cuerpo, cuya dimensión longitudinal es mucho más importante
con relación a sus otras dos dimensiones fundamentales, puede considerarse que las
fuerzas externas están aplicadas en puntos de su eje y en adelante la representaremos
sólo por el mismo.
Dijimos que al actuar las cargas externas los vínculos reaccionaban quedando todo el
sistema en equilibrio, por lo cual podemos asegurar que la resultante de fuerzas externas
(activas y reactivas) de la izquierda se equilibra con; la resultante de las fuerzas externas
(activas y reactivas) de la derecha de la sección (Rfder). Pero también habíamos dicho
que la Rfder, se equilibraba con la Rfint de lo que resulta que la Rfint es igual a la
resultante de fuerzas externas aplicadas a la izquierda de la sección. Podemos decir
entonces que:
La intensidad del esfuerzo normal N coincide con la proyección de la resultante de fuerzas
externas de la izquierda de la sección, sobre un eje de igual dirección que el viaje de la
viga.
La intensidad del esfuerzo de corte Q coincide con la proyección de la resultante de
fuerzas externas de la izquierda de la sección, sobre el eje tangencial a la sección
transversal de la viga.
La intensidad del momento flector será el momento estático de la resultante de fuerzas
de la izquierda de la sección, respecto al baricentro de esta.

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Por otro lado, si recordamos de estática que la proyección sobre un eje de la resultante
de un sistema de fuerzas es igual a la suma algebraica de las proyecciones sobre el
mismo eje de todas las fuerzas componentes del sistema y que el momento estático de
la resultante de un sistema de fuerzas, con respecto a un punto, es igual a la suma
algebraica de los momentos estáticos de todas las fuerzas componentes del sistema
respecto del mismo centro, podemos calcular los esfuerzos internos como:
Normal: suma algebraica de las proyecciones sobre el eje de la viga de todas las fuerzas
externas, activas y reactivas, que se encuentran aplicadas a la izquierda de la sección
considerada.
Corte: suma algebraica de las proyecciones sobre el eje tangencial a la sección
transversal de la viga, de todas las fuerzas externas activas y reactivas, que se
encuentran aplicadas a la izquierda de la sección considerada.
Momento flector: suma algebraica de los momentos estáticos, con respecto al centro de
gravedad de la sección de todas las fuerzas externas, activas y reactivas, que se
encuentran aplicadas a la izquierda de la sección considerada.
Si hubiéramos considerado el equilibrio del tramo de la viga situado a la izquierda de la
sección, la resultante de las fuerzas internas hubiera tenido igual dirección y magnitud,
difiriendo únicamente en el sentido por tratarse de fuerzas de interacción entre las
partículas del material, entonces el procedimiento indicado para calcular los esfuerzos
internos puede aplicárselo indistintamente considerando todas las fuerzas que están a la
izquierda de la sección o bien considerando las fuerzas que están a la derecha de la
misma teniendo que analizar en cada caso el sentido correspondiente (es decir que
analizando por un lado o por el otro la magnitud del esfuerzo es la misma).
Para analizar el signo de los esfuerzos internos, consideramos un elemento de viga
situado entre dos secciones rectas adyacentes y tomaremos por convención los signos
que indican en la figura:
El esfuerzo normal será positivo cuando se trate de un esfuerzo de tracción. El esfuerzo de
corte será positivo, cuando tenga un sentido horario de rotación respecto de un punto interior del
cuerpo libre. El momento flector será positivo cuando produzca la tracción de las fibras inferiores
y la compresión de las fibras superiores.

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