materia calculo diferencial

1. Problemas de Optimización
Estudiante: Magd Jheyner Torres Mosquera

2. Como primero vamos a saber un
poco de optimización
 Se llama así a un problema que busca minimizar o maximizar el valor de una
variable. Dicho en otras palabras, es un problema que trata de calcular el
valor máximo o mínimo de una función, en nuestro caso, de una variable. Por
ejemplo: minimizar el error en una medición, minimizar la cantidad de
material para construir un contenedor, maximizar el volumen de un
contenedor, minimizar el tiempo de espera o de recorrido, etc.

3.  Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente,
están relacionados de una forma u otra, con encontrar los
valores máximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para
qué valores de la variable independiente se alcanzan estos. Estos
problemas se llaman, en general, problemas de optimización.
 En términos generales, un problema de optimización consiste en
encontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o
maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas
condiciones dadas.
 La solución o soluciones óptimas son aquellas para las cuales se
satisfacen las restricciones del problema y el valor de la función sea
mínimo o máximo.
problema de optimización

4.  Dibujar una figura de análisis (Si es necesario)
 Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
 Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el
caso de que haya más de una variable.
 Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que
nos quede una sola variable.
 Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.
 Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.
 Responder la pregunta del problema.
Pasos para la resolución de problemas de optimización

5. Ejemplo1:
Se necesita una superficie rectangular cercada por tres lados con tela metálica y por el cuarto lado con un muro
de piedra. Se dispone de 20 metros lineales de tela metálica. Calcula las dimensiones que ha de tener la
superficie para que su área sea la mayor posible.
Hallamos el máximo de la función A.
A´(x)=20-4x
20-4x=0
x=5
A´´(x)=-4 para todo x, por lo que en x=5 hay un máximo. Este máximo lo comparamos con los valores de los
extremos del interalo:
A(0)=0 , A(10)= 0
Luego el máximo es absoluto y es el valor buscado
El valor de y=20-2(5)=10
Rta. El lado cercado por el muro debe medir 10 m y el otro lado 5m.
Resolución
En la figura aparece representada la superficie.
Su área es A =x.y siendo x, y los lados del rectángulo.
Como se dispone de 20 metros de tela metálica, entonces x+y+x=20 es decir
y=20-2x
A= x.y = x(20-2x) = 20x-2x2 con 0<=x<=10

6. Ejemplo 2:
El costo total de producción de x unidades de un producto es CT =5/2 x2+20x en pesos y el precio unitario es
p=50-x/2 pesos. Halle el número de unidades que se deben vender para que la ganancia sea máxima.
CT =5/2 x2+20x
p=50-x/2 I(x)=x.(50-x/2 )=50x-x2/2
G(x)=I(x)-CT
G(x)= 50x-x2/2 -(5/2 x2+20x)
G(x)=30x-3x2
G´(x)=30-6x
30-6x=0
x=5 Rta. El número de unidades que se deben vender es de 5.

7. problema de optimización
 Si se dispone de 1200𝑐𝑚2 de material para hacer una caja con una base cuadrada y sin
tapa, encuentre el máximo volumen de la caja
X
X
Y
A=1200𝑐𝑚2
V=𝑋2
𝑌
V(x)=𝑋2
𝑌
grafica
A=𝑋2 + 4𝑥𝑦
1200=𝑋2
+4xy
1200-𝑋2
=4xy
1200−𝑋2
4𝑥
=y
Y=
1200−𝑋2
4𝑥V(x)=𝑋2(
1200−𝑋2
4𝑥
)
V(x)=x(
1200−𝑋2
4
)
V(x)=
1200−𝑋3
4
V’(x)=
1
4
(1200-3𝑋2)
1
4
(1200-3𝑋2
)=0

8. 1200-3𝑋2
=0
1200-3𝑋2
1200
3
=𝑋2
𝑋2
=4000
𝑋2 400+
-
X= 20+
-
X=20 o X=-20
V(x)=X(
1200−𝑋2
4
)
V(20)=20(
1200−202
4
)
V(20)=5(1200-400)
V(20)=5(800)
V=4000 𝒄𝒎 𝟑
resultado

9. ----GRACIAS POR TODO---