calculo

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
UNIDAD ACADEMICA DE CIENCIAS QUÍMICAS Y DE LA SALUD
INGENIERÍA QUÍMICA
Proyecto de aula
Integrantes:
Cajamarca Lituma Nardy Michelle
Dota Espinoza Silvana Daniela
Área:
Ingeniería química
Asignatura:
CÁLCULO DIFERENCIAL
Docente:
Dr. Richar Calderón Zambrano
Curso:
Primer semestre
Machala – El Oro – Ecuador
2016

2. Dedicatoria
El siguiente trabajo es dedicado a nuestros padres y abuelos por el apoyo incondicional
que nos brindaron durante el desarrollo del este proyecto.
A nuestro profesor, que aporto de manera significativa compartiéndonos sus
conocimientos e impartiéndonos valores de leales en nuestro trabajo.
También, a nuestros compañeros que de una u otra manera siempre estuvieron dispuestos
a ayudarnos en los casos complejos que se daban durante el desarrollo de dicho trabajo.

3. Agradecimiento
En la realización de este proyecto participaron personas que aportaron directamente en
nuestro proyecto, pero en primer lugar agradecemos a Dios, tales fueron nuestros
compañeros, también, nuestros docentes que en su momento nos ayudaron brindando
tiempo a sus alumnos, por su paciencia y dedicación.

4. 1. Introducción
En este proyecto se presentara la importancia del cálculo diferencia en la vida de un
ingeniero con el fin de conocer la utilidad del mismo también incluirá objetivos generales
y específicos que serán planteados en base a la investigación obtenida en diferentes
fuentes pero como fuente de apoyo principal el libro de Calculo Diferencial e Integral de
Willian Anthony Granville y su debido planteamiento del problema.
El cálculo diferencial en si es un método que se aplica en la vida de la ingeniería química,
civil, ambiental, biología, contabilidad, etc. De acuerdo a su contexto. En cualquier
proceso se puede formar una ecuación para la solución de un problema. Existen muchos
problemas en la cual pueden ir creciendo o decreciendo, lo que implica que tie un valor
máximo y un valor mínimo, posteriormente se precederá aplicar el cálculo para
determinar máximos y mínimos de una función es decir para determinar un punto más
alto o más bajo de una curva en donde su pendiente es cero y de problemas de
optimización aplicando los dos métodos de resolución de ejercicios con máximos y
mínimos aplicando la primera y segunda derivada. También se plantearán problemas y se
darán solución a cada uno de ellos con una explicación muy clara con su respectiva
solución.
Estos se encontraran en lenguaje matemático y la parte primordial para la resolución de
este tipo de problemas es saber plantear o proponer una función cuya función deberá
describir el comportamiento que se presenta en el enunciado. Una vez identificada la
función de procederá a aplicar el procedimiento para determinar máximos y mínimos.

5. 2. Planteamiento del problema
¿De qué manera puede un ingeniero químico aplicar el cálculo diferencial dentro de su
capo laboral?
3. Justificación
Con el presente trabajo se busca reforzar las clases que se llevaron a cabo durante el
módulo de cálculo diferencial, cuyo fin es poner en práctica lo aprendido a través de
ejercicios de optimización aplicándolos en la vida de un ingeniero químico. El siguie nte
trabajo se lo realizo mediante investigaciones y tutorías con el docente ya que respondía
a nuestras dudas y de esta manera dar mayor profundización a los temas a desarrollarse,
ya que hubieron clases que no fueron comprendidas totalmente.

6. 4. Objetivos
4.1 Objetivo general
 Aplicar los conocimientos adquiridos durante el periodo formativo de la
materia de cálculo diferencial en la resolución de ejercicios de manera que
intervenga en la vida de un ingeniero químico
4.2 Objetivo especifico
 Establecer conceptos básicos para el desarrollo del proyecto.
 Investigar en diferentes fuentes acerca del contenido para su debido
desarrollo.
 Demostrar la aplicación de los conceptos en casos reales a través de
problemas de optimización.

7. 5. Referente Teórico
5.1 Calculo diferencial
5.1.1 ¿Qué es el cálculo diferencial?
“El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo
XVII para resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una
recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar
racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo,
velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del
Cálculo.” (Conevyt, 2016)
5.1.2 ¿Qué son los problemas de optimización?
Son los enunciados que se presentan en lenguaje matemático en la cual nos permitirá
construir una función, consiste en minimizar el valor de una variable, es decir, calcular o
determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
5.1.3 Derivada
El concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con
que se produce y la razón de cambio de una situación; por ello la derivación constituye
una de las operaciones de mayor importancia dentro del cálculo cuando trabajamos con
funciones reales puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante
determinado.
5.1.4 Constantes
“…un número cuyo valor no varía se llama constante“ (Palmer, 2003). Es una cantidad
que durante el proceso analítico en la resolución de un ejercicio tienen un valor fijo
5.1.4.1 Constante numérico
Son aquellas que conservan su valor durante todo el proceso analítico.
5.1.4.2 Constantes arbitrarias
Son aquellas que se les asignan valores numéricos y los conservan solo durante un
proceso analítico específico, se representan con los primeras letras del alfabeto desde la
A hasta la K.

8. 5.1.4.3 Constantes trascendentales
Son aquellas que están establecidas con un valor numérico se representan como símbolos
en las operaciones como α, ∑, etc.
5.1.5 Función ( 𝒇):
En matemáticas, es una expresión algebraica cuya estructura está formada por constantes
y al menos dos variables. Es una relación entre un conjunto dado 𝑥 (llamado dominio o
término independiente) y otro conjunto de elementos 𝑦 (llamado rango o término
dependiente), donde el número y es único para cada valor especifico de x, donde y se
considera función de x.
5.1.6 ¿Qué son los máximos y mínimos?
“...el método de máximos y mínimos aplicado a las líneas curva es un método para hallar
líneas curvas que gocen de una propiedad de máximo o de mínimo dada de antemano”
(Euler, 1993)
En matemáticas, son conocidos como extremos de una función, en una función cuando la
parábola es cóncava hacia arriba se dice que tiene un punto máximo y cuando la parábola
es convexa esta tiene un punto mínimo, esto se identifica por medio de los puntos críticos.
5.1.7 Punto crítico
“…un punto interior al dominio de una función 𝑓( 𝑥, 𝑦) donde 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑦 se anulan, o bien
donde alguna de estas derivadas no existe, es un punto crítico de 𝑓.” (George B. Thomas)
5.1.8 Volumen
“…es el espacio que ocupa la materia” (Margarita Canales, 1999)
5.1.9 Área
El área es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión de
una superficie.

9. 6. Problemas de optimización
6.1 Desarrollo
Un ingeniero químico requiere cerrar dos lotes para la construcción de un edificio, cuenta
con 150m. Determinar las dimensiones de lote para que el área que se requiere cerrar sea
máxima. Suponiendo que uno de sus lados comparten un lado.
x
x
x x
yy
y
Perímetro
𝑃 = 4𝑥 + 3𝑦
Área
𝐴 = 2𝑥 ∗ 𝑦
Despejamos y
𝑃 = 4𝑥 + 3𝑦 = 150
𝑦 =
150 − 4𝑥
3
Reemplazamos en y
𝐴 = 2𝑥 ∗ 𝑦
𝐴 = 2𝑥 (
150 − 4𝑥
3
)
𝐴 = 100𝑥 −
8𝑥2
3
Derivamos y obteneos puntos
críticos
𝐴 = 100𝑥 −
8𝑥2
3
𝐴 = 100
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 𝑥) −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(
8𝑥2
3
)
𝐴 = 100 −
16
3
𝑥

10. Un ingeniero químico vende acido clorítico a $20 cada litro y los gastos de producción
están dados por 𝑝(𝑥)
𝑥2
1000
los gasto de envió es de 𝐸( 𝑥) = 1$
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜⁄ entregado ¿cuantas
litros se deben de producir para que el beneficio sea máximo?
Tenemos el precio que es
𝑃( 𝑋) =
𝑋2
1000
Entonces los gastos son el precio de costo más el precio de distribución
𝐺( 𝑥) =
𝑥2
1000
+ 1𝑥
La función a maximizar es el beneficio
Igualamos a 0
𝐴 = 100 −
16
3
𝑥 = 0
16
3
𝑥 = 100
𝑥 =
100 × 3
16
=
300
16
Punto critico
Aplicamos la segunda derivada
𝐴" = 100 −
16
3
𝑥 =
𝐴" =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(100) −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(
16
3
) 𝑥
𝐴" = −
16
3
< 0
Máximo
Reemplazamos el valor de x en y
𝑦 =
150 − 4𝑥
3
𝑦 =
150 − 4(18.75)
3
𝑦 = 25 𝑚

11. 𝐵( 𝑥) = 2𝑜𝑥 −
𝑥2
1000
− 𝑥 = 19𝑥 −
𝑥2
1000
𝐵′( 𝑋) = 19 −
2𝑥
1000
→ 𝐵′( 𝑥) = 0
19 −
2𝑥
1000
= 0 → 19 =
2𝑥
1000
→ 𝑥 =
19000
2
→ 𝑥 = 9500
Verifico con la segunda derivada que es menor a cero
𝐵′( 𝑥) =
2
1000
< 0
Un ingeniero quiere construir un envase cilíndrico de base circular para fermentar vinagre
de banano cuyo volumen del cilindro deberá ser 64𝑐𝑚 3
. Hallar las dimensiones de
lámina metálica se mínima.
𝑉 = 𝜋𝑅2
ℎ = 64 Primera ecuación
Nos pide minimizar el área del cilindro y nos pide encontrar las dimensiones
𝐴 = 2𝜋𝑅2
+ 2𝜋𝑅ℎ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
Luego despejo H de la primera ecuación y sustituimos 3 en 2
ℎ =
64
𝜋𝑅2 Tercera ecuación
Remplazo en la segunda ecuación
𝐴( 𝑅) = 2𝜋𝑅2
+ 2𝜋𝑅.
64
𝜋𝑅2
Seguidamente se deriva la función
𝐴( 𝑅) = 2𝜋𝑅2
+ 128𝑅1

12. 𝐴′( 𝑅) = 4𝜋𝑅 − 128𝑅−2
= 0
𝜋𝑅 − 32𝑅−2
= 0
𝜋𝑅 −
32
𝑅2
= 0 →
𝜋𝑅3
− 32
𝑅2
= 0
𝜋𝑅3
− 32 = 0 → 𝑅3
=
32
𝜋
→ 𝑅 = √
32
𝜋
3
𝐴′′( 𝑅) = 4𝜋 + 2(128)𝑅−3
𝐴′′(8) = 4𝜋 +
256
𝑅3
𝐴
′′( √
32
𝜋
3
)
> 0 𝑀𝐼𝑁𝐼𝑀𝑂
V = 64 = πR2
h → h =
64
πR2
ℎ =
64
(√32
𝜋
3
)
2
𝜋
6.2 ll
6.3 f