Este documento compara las condiciones de Kuhn-Tucker y Lagrange. Kuhn-Tucker son condiciones necesarias y suficientes para problemas de optimización con restricciones. Lagrange es un método para encontrar máximos y mínimos sujetos a restricciones usando multiplicadores. Ambos son generalizaciones pero Kuhn-Tucker se enfoca en programación lineal mientras que Lagrange se aplica a más casos incluyendo problemas cotidianos.

1. Condiciones de
Kuhn-Tucker y
Lagrange
Realizado por: Andrea Alfonzo

2. Condiciones de
Kuhn-Tucker
Definición
Historia
Aplicaciones

3. Definición:
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también
conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son
condiciones necesarias y suficientes para que la solución
de un problema de programación matemática sea
óptima. Se dice estas son una generalización del método
de los multiplicadores de Lagrange.

4. Historia

Condiciones
de Kuhn-Tuvker fue
desarrollado por Albert William Tucker y
complementada por Harold Kuhn, quien
permitió mejoras en el proceso, pero se le
adjudico un papel secundario.

5. Aplicaciones
Condiciones necesarias de primer orden
Supongamos que la función objetivo, por ejemplo, a
minimizar, es y las funciones de restricción son y .
Además,
supongamos
que
son continuamente
diferenciables en el punto . Si es un mínimo local,
entonces existe constantes , y tales que:

6. Aplicaciones
Condiciones de regularidad (o cualificación de las
restricciones)
En la condición necesaria anterior, el multiplicador
dual puede ser igual a cero. Este caso se
denomina degenerado o anormal. La condición necesaria
no tiene en cuenta las propiedades de la función sino la
geometría de las restricciones. Existen una serie de
condiciones de regularidad que aseguran que la solución
no es degenerada. Estas incluyen:
*Cualificación de la restricción de independencia
lineal (CRIL): los gradientes de las restricciones activas
de desigualdad y los gradientes de las restricciones de
igualdad son linealmente independientes en x* .
*Cualificación de la restricción de MangasarianFromowitz (CRMF): los gradientes de las restricciones
activas de desigualdad y los gradientes de las
restricciones de igualdad son linealmente independientes
positivos en x*.

7. *Cualificación de la restricción de rango constante (CRRC): para
cada subconjunto de las restricciones activas de desigualdad y los
gradientes de las restricciones de igualdad, el rango en el entorno
de es constante.
*Cualificación de la restricción de dependencia lineal constante
positiva (DLCP): para cada subconjunto de restricciones activas de
desigualdad y de gradientes de las restricciones de igualdad, si es
linealmente dependiente positivo en x* entonces es linealmente
dependiente positivo en el entorno de x*.
(es linealmente
dependiente positivo si existe
distintos de
cero tal que
)
*Condición de Slater: para un problema únicamente con
restricciones de desigualdad, existe un punto x* tal que
para
todo

8. Aplicaciones
Condiciones suficientes
Sea la función
objetivo y las funciones de
restricción
sean funciones convexas y
sean las funciones de afinidad, y sea un punto x*. si
existen constantes
y
tales
que:
entonces el punto x* es un mínimo global.

9. Condiciones de
Lagrange
Definición
Historia
Aplicaciones

10. Definición:
Se define como un procedimiento para
encontrar los máximos y mínimos de
funciones de múltiples variables sujetas a
restricciones.

11. Historia
Fue desarrollada por Joseph Louis de Lagrange
físico, matemático y astrónomo nacido en Italia,
pero de nacionalidad norteamericana, que hizo
grandes contribuciones en diversas disciplinas.

12. Aplicaciones
El método de los multiplicadores de Lagrange
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto
n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) =
0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son
satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a

13. Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las
ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un
extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones
(i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada
El método de multiplicadores de Lagrange es generalizado por las
condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

14. Condiciones de
Kuhn-Tucker y
Lagrange
Diferencia

15. La condicion de Kuhn-Tucker se desarrollo principalmente
para trabajar en la solución de problemas de programación
lineal, mientras que la de Langrange se adapta a una mayor
cantidad de casos, incluyendo casos rutinarios o de
cotidiniadad.