Este documento compara los métodos de Kuhn-Tucker y Lagrange para la resolución de problemas de optimización con restricciones. El método de Kuhn-Tucker proporciona condiciones necesarias y suficientes para determinar una solución óptima, mientras que el método de Lagrange reduce el problema a uno sin restricciones mediante la introducción de multiplicadores de Lagrange. Ambos métodos son ampliamente utilizados en economía y teoría de control.

1. MÉTODOS DE KUHN-TUCKER
Y LAGRANGE
ÁNGEL DAVID PIRELA
C.I.18.482.438

2. BIOGRAFIA DEL METODO DE
KUHN-TUCKER
Albert William Tucker (28 de
noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995)
Fue un matemático estadounidense nacido en
Canadá que realizó importantes contribuciones a
la Topología, Teoría de juegos y a
la Programación no lineal.

3. DEFINICION DEL METODO DE
KUHN-TUCKER
En programación matemática, las condiciones de KarushKuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o
Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para
que la solución de un problema de programación matemática
séa
óptima.
Es
una
generalización
los Multiplicadores de Lagrange.
del
método
de

4. DEFINICION DEL METODO DE
KUHN-TUCKER
Las condiciones de Kuhn-Tucker para el problema
máximo x f (x) en g j (x) ≤ c j para j = 1, ..., m
se
L i '(x)
= 0 para i = 1 ,..., n
0 λ ≥ j, j g (x) y c ≤ λ j j [j g (x) - c j]
= 0 para j = 1, ..., m,
donde
L (x) = f (x) - Σ j = 1 λ m j (j g (x) - c j).

5. Básicamente el procedimiento consiste en resolver el
problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la
solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad
o parte de las restricciones del problema se activan
dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y
se resuelve nuevamente.

6. Encuentre los valores mínimo y máximo de la
Función f(x1, x2) = 3−x1−x2 sujeta a las
Restricciones 0≤x1, 0≤ x2 y 2x1 + x2≤ 2.
Solución:
Primero cambiemos las restricciones a la forma
gi ≤0:
0 ≤ x 1→ g1 = − x1 ≤ 0
0≤x2→g2=−x2≤0
x1+x2≤2→g3=2x1+x2−2≤0

7. Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe
Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi
Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10
de
abril
de
1813
en
París)
fue
un matemático, físico y astrónomo italiano que después
vivió en Rusia y Francia.

8. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia,
en Berlín, durante veinte años. Lagrange
demostró el teorema del valor medio, desarrolló
la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante
contribución en astronomía.

9. En los problemas de optimización, los multiplicadores
de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis
Lagrange, son un método para trabajar con funciones de
varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está
sujeta a ciertas restricciones. como coeficientes.

10. Este método reduce el problema restringido en n variables
en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones
pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable
escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada
restricción y forma una combinación lineal involucrando los
multiplicadores.

11. APLICACIÓN DEL METODO DE
LARGRANGE
Las dos areas mas importantes donde se aplica
este metodo:
 Economía:
La optimización reprimida desempeña un papel
central en la economía.

12. APLICACIÓN DEL METODO DE
LAGRANGE

Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se
representa
como
uno
de
maximizar
una
función
de
utilidad sujeta a una coacción de presupuesto .

El
multiplicador
Lagrange
tiene
una
interpretación
económica como el precio de la oposición asociado con la
coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos.

13. APLICACIÓN DEL METODO DE
LAGRANGE
Teoría de control:
En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se
interpretan como constates
Lagrange
se
formulan
variables, y los multiplicadores de
de
nuevo
como
la
del hamiltoniano , en el principio mínimo de Pontryagin.
minimización

14. Supongamos que queremos encontrar la distribución
probabilística discreta con máxima entropía. Entonces.
Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para
encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las
probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos.

15. lo que nos da:
Derivando estas n ecuaciones, obtenemos
Esto muestra que todo pi es igual (debido a que depende
solamente de λ). Usando la restricción ∑k pk = 1, encontramos.
Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la
mayor entropía.

16. KUHN-TUCKER
LAGRANGE
Idéntica puntos óptimos locales que
cumplan condiciones
de regularidad
Trabaja con funciones de varias
variables
Trabaja con condiciones necesarias y
suficientes para que la solución de un
problema de programación
matemática séa óptima.
Reduce el problema restringido en
numero variables
consiste en resolver el problema no
lineal como uno sin restricciones.
forma una combinación lineal
involucrando los multiplicadores
como coeficientes.