4. INTRODUCCION
Las columnas son elementos utilizados para resistir
básicamente solicitaciones de compresión axial aunque, por lo
general, ésta actúa en combinación con corte, flexión o torsión
ya que en las estructuras de concreto armado, la continuidad
del sistema genera momentos flectores en todos sus elementos.

5. CLASES DE COLUMNAS
Por la forma de refuerzo transversal son estribadas y zunchadas
a) ESTRIBADAS: Columnas cuyos aceros longitudinal son amarrados o estribados o ligados
con soportes unitarios llamados estribos o ligaduras.

6. b) ZUNCHADO: Columnas que presentan sus
aceros longitudinales sujetados o amarrados
mediante espirales continuos llamados
zunchos.

7. c) PEDESTALES: Son elementos relativamente pequeños,
cuya relación lado menor o diámetro a altura debe ser como
máximo de 1 a 3, estos elementos no llevan armadura por
lo tanto. No se diseñan como columnas.
Todas las columnas anteriormente descritas pueden diseñarse
estribadas o zunchadas, excepto las con forma de L que
solamente pueden ir estribadas.

8. DIMENSIONES DE DISEÑOS PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A
COMPRESION
a) Los reglamentos ACI no especifica dimensiones mínimas para columnas
pero daban como referencia lo siguiente:
 En columnas rectangulares, la dimensión menor debe medir por lo menos
20cm y la sección de la columnas no será menor de 620cm2
 En columnas circulares el diámetro no será menor que 25 cms.

9. TIPOS DE COLUMNAS
Según la importancia de las deformaciones en el análisis y diseño, las columnas pueden
ser cortas o largas.
1. COLUMNAS CORTAS: Son columnas cuyo análisis se hace solamente en función
de la carga y momento ultimo también presentan deflexiones laterales que no
afectan su resistencia.

10. a) ANÁLISIS DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN PURA
El código del ACI reconoce que no existe columna real
sometida a carga con excentricidad nula. A partir de 1977,
el concepto de excentricidad accidental se suprimió y se
reemplazó por otro mecanismo cuyo objetivo también era
tomar en cuenta el hecho que no existen columnas con
carga axial totalmente centrada.
• Si el refuerzo transversal está constituido por espirales:
𝑃𝑛 = 0.85 (0.85 𝑓′𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝑓𝑦𝐴𝑠𝑡)
• Si el refuerzo transversal está constituido por estribos:
𝑃𝑛 = 0.80 (0.85 𝑓′𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝑓𝑦𝐴𝑠𝑡)
𝐴𝑠𝑡= Área del refuerzo de la sección.
𝐴𝑔 = Área de la sección bruta de concreto.

11. b) ANÁLISIS DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A FLEXO-COMPRESIÓN
Puede considerarse como el resultado de la acción de una carga axial
excéntrica o como el resultado de la acción de una carga axial y un
momento flector.
Para el análisis, la excentricidad de la carga axial se tomará respecto
al centro plástico. Conforme la carga axial se aleja del centro plástico,
la distribución de deformaciones se modifica.

12. TRABAJO PRACTICO
ANALISIS DE UNION VIGA COLUMNA-
IMAGEN DE EXCENTRICIDAD

13. Puesto que cada columna puede presentar tres tipos de
falla distintos, cada una cuenta con tres juegos de
ecuaciones que definen su resistencia, ya sea en términos
de carga axial y momento resistente, o en términos de
carga axial resistente para una determinada
excentricidad.

14. b.1) FALLA POR COMPRESION
Para determinar la ecuación que corresponde a la
condición de falla por compresión, se asume un
diagrama de deformaciones.
𝑃𝑛 = 0.85 𝑓′
𝑐 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝐴′
𝑠 ∗ 𝑓′
𝑠 − 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑠
𝑀𝑛 = 0.85𝑓′𝑐 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎
ℎ
2
−
𝑎
2
+ 𝐴′𝑠 ∗ 𝑓′𝑠
ℎ
2
− 𝑑′ + 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑠(𝑑 −
ℎ
2
)

15. Los esfuerzos en el acero en compresión y en tensión se
determinan por semejanza de triángulos:
Whitney propuso la siguiente expresión aproximada para
determinar la resistencia a la compresión
de una columna que falla en compresión:
𝒇′
𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 ∗
𝒄 − 𝒅′
𝒄
𝑬𝒔 = 𝟔𝟏𝟏𝟕
( 𝒄 − 𝒅′
)
𝒄
≤ 𝒇𝒚
𝒇𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 ∗
𝒄 − 𝒅
𝒄
𝑬𝒔 = 𝟔𝟏𝟏𝟕
( 𝒄 − 𝒅)
𝒄
𝑷𝒏 =
𝑨′
𝒔 ∗ 𝒇𝒚
𝒆
𝒅 − 𝒅′ + 𝟎. 𝟓
+
𝒃 ∗ 𝒉 ∗ 𝒇′
𝒄
𝟑𝒉 ∗ 𝒆
𝒅𝟐 + 𝟏. 𝟏𝟖

16. b.2) FALLA BALANCEADA
Cuando la falla es balanceada, el refuerzo en tensión
alcanza el esfuerzo de fluencia y simultáneamente, el
concreto llega a una deformación unitaria de 0.003.

17. La deformación en la sección es como se muestra en la figura En
este caso, la resistencia de la columna será:
𝑷𝒏𝒃 = 𝟎. 𝟖𝟓 𝒇′𝒄 ∗ 𝒃 ∗ 𝒂𝒃 + 𝑨′𝒔 ∗ 𝒇′𝒔 − 𝑨𝒔 ∗ 𝒇𝒚
𝑴𝒏𝒃 = 𝟎. 𝟖𝟓𝒇′𝒄 ∗ 𝒃 ∗ 𝒂𝒃
𝒉
𝟐
−
𝒂𝒃
𝟐
+ 𝑨′𝒔 ∗ 𝒇′𝒔
𝒉
𝟐
− 𝒅′ + 𝑨𝒔 ∗ 𝒇𝒚(𝒅 −
𝒉
𝟐
)
𝒂𝒃 = 𝜷𝟏 ∗
𝟔𝟏𝟏𝟕
𝟔𝟏𝟏𝟕 + 𝒇𝒚
∗ 𝒅

18. La excentricidad balanceada de la
sección estará dada por:
𝒆𝒃 =
𝑴𝒏𝒃
𝑷𝒏𝒃
• Expresiones simplificadas para la
determinación de la excentricidad
balanceada de una sección:
Sección rectangular:
Sección circular:
𝒆𝒃 = 𝒉(𝟎. 𝟐𝟒 + 𝟎. 𝟑𝟗𝝆𝒕𝒎
𝒆𝒃 = 𝒉(𝟎. 𝟐𝟎 + 𝟎. 𝟕𝟕𝝆𝒕𝒎
𝝆𝒕 = 𝑨𝒔𝒕/(𝒃 ∗ 𝒅)
𝒎 = 𝒇𝒚/(𝟎. 𝟖𝟓 ∗ 𝒇′𝒄)

19. b.3) FALLA POR TRACCION
El acero en tensión alcanzará el esfuerzo de fluencia, la
carga última será menor que P, y la excentricidad de la
carga será mayor que la excentricidad balanceada y su
resistencia estará dada por:
𝑷𝒏 = 𝟎. 𝟖𝟓 𝒇′𝒄 ∗ 𝒃 ∗ 𝒂 + 𝑨′𝒔 ∗ 𝒇′𝒔 − 𝑨𝒔 ∗ 𝒇𝒚
𝑴𝒏 = 𝟎. 𝟖𝟓𝒇′𝒄 ∗ 𝒃 ∗ 𝒂𝒃
𝒉
𝟐
−
𝒂
𝟐
+ 𝑨′𝒔 ∗ 𝒇′𝒔
𝒉
𝟐
− 𝒅′ + 𝑨𝒔 ∗ 𝒇𝒚(𝒅 −
𝒉
𝟐
)

20. b.4) FALLA POR TENSION:
La resistencia nominal de una columna que falla por tensión
se puede determinar aproximadamente a través de la
siguiente expresión, propuesta por el código del ACI de 1963:
𝑷𝒏 = 𝟎. 𝟖𝟓 𝒇′
𝒄 ∗ 𝒃 ∗ 𝒅 −𝝆 + 𝟏 −
𝒆′
𝒅
+ 𝟏 −
𝒆′
𝒅
𝟐
+ 𝟐𝝆 ∗ 𝒎′ 𝟏 −
𝒅′
𝒅
+ 𝟐𝝆 ∗ 𝒆′/𝒅

21. La representación gráfica de las combinaciones carga axial
momento flector que generan la falla de una sección se
denomina diagrama de interacción.
DIAGRAMA DE ITERACCION

22. C) DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS DE CONCRETO ARMADO
C.1) Para columnas con estribos:
𝑨𝒈 ≥
𝑷𝒖
𝟎. 𝟒𝟓(𝒇′𝒄 + 𝒇𝒚 ∗ 𝝆𝒕
𝑨𝒈 ≥
𝑷
𝟎. 𝟒𝟓 ∗ 𝒇′𝒄
ó
C.2) Para columnas con refuerzo en espiral:
𝐴𝑔 ≥
𝑃𝑢
0.55(𝑓′𝑐 + 𝑓𝑦 ∗ 𝜌𝑡
𝐴𝑔 ≥
𝑃
0.55 ∗ 𝑓′𝑐
donde:
𝝆𝒕 =
𝑨𝒔𝒕
𝑨𝒈
ó

23. C.2) Limitaciones del refuerzo en miembros a compresión:
• El código ACI recomienda un área de refuerzo
longitudinal de, por lo menos, 0.01 veces el área de la
sección bruta de la columna debido a que le provee
resistencia a la flexión y reduce los efectos de creep y
contracción del concreto bajo cargas sostenidas.
• Las columnas con cuantías altas sugieren que es
conveniente reconsiderar las dimensiones de la
sección transversal. El código sugiere, como máximo,
un área de acero equivalente a 0.06 veces el área de
la sección de la columna

24. CONSULTAS

25. 2.- COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS:
En las columnas esbeltas no sólo se debe resolver el
problema de resistencia, sino también el de estabilidad,
La falta de estabilidad en columnas lleva al problema
de pandeo.
2.1 COLUMNAS ESBELTAS SOMETIDAS A FLEXO-COMPRESION:
• la carga crítica de pandeo o
carga de Euler:
𝑃𝑐 =
𝜋 ∗ 𝐸𝐼
𝐿2
E: Módulo de elasticidad del material
I: Momento de inercia de la sección en la
dirección analizada
L: Longitud de la columna

26. • Para obtener el esfuerzo en el elemento y reemplazando 1 por A𝑟2
𝑷𝒄
𝑨
= 𝝈𝑪
𝝅𝟐 ∗ 𝑬𝑰
𝑳𝟐 ∗ 𝑨𝟐
= 𝝅𝟐 ∗
𝑬
(
𝑳
𝒓
)^𝟐
La relación (L/r) se denomina esbeltez de la columna. Existe una
esbeltez a partir de la cual la falla se produce por resistencia y no por
pandeo.
La esbeltez que corresponde al límite entre ambos tipos de falla es:
𝑳
𝒓
𝐥𝐢𝐦 =
𝝅𝟐 ∗ 𝑬
𝝈𝒎𝒂𝒙

27. La longitud efectiva es la porción de la longitud de la columna que se
puede asumir trabaja como un elemento biarticulado.
𝐏𝐜 =
𝛑𝟐
∗ 𝐄𝐈
(𝐤 ∗ 𝐋)^𝟐

28. La determinación de la longitud efectiva no es tan sencilla ya que los
extremos del elemento no están ni totalmente empotrados ni
totalmente articulados.
Uno de los métodos empleados para estimar el valor de k es haciendo
uso de los nomogramas de Jackson & Moreland.

29. El factor de longitud efectiva se determina evaluando el parámetro y
en ambos extremos de la columna, a través de la siguiente relación:
𝝋 =
(𝑬𝒄 ∗ 𝑰𝒄
𝑳𝒄
(
𝑬𝒈 ∗ 𝑰𝒈
𝑳𝒈)
Ic: Momento de inercia de la columna
Ig: Momento de inercia de la viga
Lc: Longitud de la columna, entre ejes
Lg: Longitud de la viga, entre ejes
Ec,Eg: Módulo de elasticidad de las
columnas y vigas, respectivamente.
DONDE:

30. • En el PRIMER NOMOGRAMA, los valores de k van desde 0.5
a 1, mientras para el SEGUNDO NOMOGRAMA, el mínimo valor
de k es igual a 1 y corresponde a una columna bien
empotrada con desplazamiento lateral.
• Si están arriostrados, las vigas deben presentar curvatura simple y las
columnas deben pandear simultáneamente, Si no lo están las vigas y
columnas deben deformarse bajo curvatura doble.

31. 2.2 COLUMNAS ESBELTAS DE CONCRETO ARMADO
Las columnas de concreto armado, por lo general, son poco esbeltas y su
falla no se produce por pandeo
El momento flector en el
elemento es constante e igual
a Pe y genera una deformada
cuya configuración
corresponde,
aproximadamente, a media
onda sinusoidal.
• Columna de concreto armado sometida a carga P. excéntric

32. Se muestra el diagrama de interacción de una columna, el cual
como ya se indicó, es la representación gráfica de las
combinaciones de carga axial y momento flector que ocasionan la
falla del elemento.
DIAGRAMA DE ITERACCION DE UNA COLUMNA ESBELTA
La falla definida por el diagrama de interacción se produce cuando
se alcanza la resistencia del concreto y por lo tanto, es
independiente de la esbeltez.

33. El código del ACI recomienda que el efecto de esbeltez se desprecie si
se cumple:
• Para columnas no arriostradas:
• Para columnas arriostradas:
𝑘 ∗ 𝐿𝑢
𝑟
≤ 22
𝑘 ∗ 𝐿𝑢
𝑟
≤ 34 − 12
𝑀1
𝑀2
donde:
k: Factor de longitud efectiva
Lu: Longitud libre de la columna.
r: Radio de giro de la sección de la columna
M1: Menor momento amplificado en el extremo de la columna
M2: Mayor momento amplificado en el extremo de la columna

34. ACI sugiere dos criterios para clasificar las columnas en arriostradas y no
arriostradas:
• Si los momentos de 2" orden no exceden el 5% de los momentos de 1er
orden, la estructura se considerará arriostrada.
• Si el índice de estabilidad, Q, es menor que 0.05, la estructura podrá ser
considerada arriostrada, donde:
𝑄 =
𝑃𝑢 ∗ ∆𝑜
𝑉
𝑢 ∗ 𝐿𝑐
donde: 𝑃𝑢 ∶ Suma de las cargas axiales amplificadas de las
columnas del entrepiso en estudio.
∆0 : Desplazamiento lateral de entrepiso.
Vu : Fuerza cortante amplificada del entrepiso en estudio
Lc : Longitud de la columna medida a ejes.

35. 2.3 DISEÑO DE COLUMNAS ESBELTAS
Las columnas esbeltas según el código del ACI se diseñan por los mismos
métodos que las columnas cortas. La diferencia se encuentra en que los
momentos de diseño incluyen los efectos de segundo orden.
a) METODO DE AMPLIFICACION DE MOMENTOS
Se basa en un análisis de 2" orden. no debe utilizarse para el diseño de
columnas cuya esbeltez (
𝐤𝒍𝒖
𝒓
)supere 100.

36. la deflexión producida por los momentos de
segundo orden ∆a es:
∆𝒂=
𝑷
𝑬𝑰
∆𝑶 + ∆𝒂 ∗
𝟏
𝝅
∗
𝟏
𝝅
Reemplazando en la expresión
anterior, se obtiene:
∆𝑎= ∆𝑂 + ∆𝑎 ∗
𝑃
𝑃𝑐
y la deflexión total en el centro
de la columna es:
∆= ∆𝑂 + ∆𝑎 =
∆
1 +
𝑃
𝑃𝑐
El momento total en esta sección es:
𝑀𝑐 = 𝑀0 + 𝑃∆

37. sabiendo que:
∆𝑎=
𝑀𝑜𝑙2
8𝐸𝐼
𝑀𝑐 = 𝑀0 1 +
𝑃 ∗ 𝑙2
8𝐸𝐼
1
1 − 𝑃/𝑃𝑐
Empleando la siguiente identidad:
𝑃 =
𝑃
𝑃𝑐
∗
𝜋2𝐸𝐼
𝑙2
en la expresión anterior se obtiene, después de acomodar términos:
𝑀𝑐 =
𝑀𝑐 (1 +
0.23𝑃
𝑃𝑐
)
(1 −
𝑃
𝑃𝑐
)
= 𝛿𝑀𝐶 𝛿 = (1 + 0.23
𝑃
𝑃𝑐
)/(1 −
𝑃
𝑃𝑐
)

38. En columnas sometidas a momentos diferentes en sus
extremos, resulta conservador despreciarlo y de este modo se
obtiene:
𝛿 = 1/(1 −
𝑃
𝑃𝑐
)
Método de amplificación aplicado columnas de pórticos sin
desplazamiento horizontal.
𝑘𝑙𝑢
𝑟
≤ 34 − 12
𝑀1
𝑀2
𝑘𝑙𝑢
𝑟
≤ 40
No se toma en
cuenta cuando:
M1= Menor momento amplificado en los extremo del elemento
, positivo si la flexión es en simple curvatura y negativo si lo es
en doble curvatura.
M2= Mayor momento amplificado en los extremos en la
columna, siempre positivo.

39. En el primer caso, los elementos a compresión se diseñarán para
P y Mc donde:
𝑀𝐶 = 𝛿𝑛𝑠 ∗ 𝑀2
El factor de amplificación 𝛿𝑛𝑠 está definido por:
𝛿𝑛𝑠 =
𝐶𝑚
1 −
𝑃𝑢
0.75𝑃𝑢
≥ 1

40. El factor φ se ha reemplazado por 0.75 ya que se ha demostrado
el tipo de refuerzo transversal de la columna no afecta el cálculo
de δns.
𝑃𝑐 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐾𝑙𝑢
2
El término E1 se
considerará igual a:
𝐸𝐼 =
(0.2𝐸𝑐 ∗ 𝐼𝑔 + 𝐸𝑠𝐼𝑠𝑒)
1 + 𝛽𝑑
𝐸𝐼 =
0.4 ∗ 𝐸𝑐 ∗ 𝐼𝑔
1 + 𝛽𝑑
Donde:
Es: Módulo de elasticidad del acero.
Ise: Momento de inercia del refuerzo respecto al eje centroidal de la sección bruta.
Βd: Máxima carga axial amplificada sostenida
Máxima carga axial amplificada
En forma aproximada se puede tomar βd= 0.6 por lo que
EI = 0.25*Ec*Ig el parámetro Cm está
definido por:
𝐶𝑚 = 0.6 + 0.4 ∗
𝑀1
𝑀2
≥ 0.4
El momento M2, no se tomará menor que: 𝑀2𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢(1.5 + 0.03ℎ)

41. Método de amplificación aplicado columnas de pórticos con
desplazamiento horizontal.
No se toma en cuenta cuando: 𝐾𝑙𝑢
𝑟
≤ 22
Los momentos en los extremos del elemento sometido a compresión,
M, y M,, se determinan a través de las siguientes expresiones:
𝑀1 = 𝑀1𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 ∗ 𝑀𝑙𝑠 𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 ∗ 𝑀25
donde:
𝑀1𝑛𝑠 = 𝑀1 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠.
𝑀2𝑛𝑠 = 𝑀2 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠.
𝑀1𝑆 = 𝑀1 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠.
𝑀2𝑆 = 𝑀2 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠.
δ𝑆 = 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠.

42. DISEÑO DE COLUMNAS DE CONCRETO ARMADO SOMETIDAS A FLEXIÓN
BIAXIAL
Las columnas sometidas a flexión biaxial se ubican, generalmente, en las esquinas de las edificaciones.
La falla de estos elementos es función de tres variables: carga axial, momento en la dirección X y
momento en la dirección Y, por lo que el diagrama de interacción deja de ser una curva
Excentricidad de la carga axial
respecto a los ejes X e Y
Superficie de interacción de una
columna

43. Es posible determinar una serie de puntos y establecer la forma de la superficie de interacción.
Para ello, se asume un eje neutro con una inclinación a respecto al eje centroidal y una distribución de
deformaciones en la sección.
ESFUERZO Y DEFORMACIONES

44. A). Método de Bresler o de la carga recíproca
puede representarse de modo equivalente sobre un sistema cuyos
ejes sean Pn, ex y ey como se muestra

45. PRINCIPIO DEL METODO BRESLER
La ecuación de S', está dada por:
1
𝑃𝐼
=
1
𝑃𝑛𝑥
+
1
𝑃𝑛𝑦
−
1
𝑃0
𝑃𝑖: 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑥 𝑦 𝑒𝑦
𝑃𝑛𝑥: 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑦 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛.
𝑃𝑖: 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑢𝑙𝑎
𝑃𝑛𝑦: 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑥 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛.

46. Esta relación se puede transformar, para cargas últimas, en:
1
𝜑𝑃𝐼
=
1
𝜑𝑃𝑛𝑥
+
1
𝜑𝑃
𝑛𝑦
−
1
𝜑𝑃0
Para el diseño, Pnx y Pny se determinan de los diagramas de interacción para
flexión en un sentido
B) MÉTODO DE CONTORNO DE CARGA
Basa el desarrollo de sus fórmulas en la superficie de interacción de dicha
superficie con un plano paralelo al Mnx – Mny a una distancia Pn.
(
𝑀𝑛𝑥
𝑀𝑛0𝑥
)𝛼+(
𝑀𝑛𝑦
𝑀𝑛0𝑦
)𝛼= 1
𝛼 =
log 0.5
log 𝛽
α: Exponente que depende de la
geometría de la sección transversal.

47. Para transformarlos a
cargas Últimas:
(
𝑀𝑢𝑥
𝑀0𝑥
)𝛼+(
𝑀𝑢𝑦
𝑀0𝑦
)𝛼= 1
𝑀𝑈𝑋 = 𝛽 ∗ 𝑀𝑂𝑋
𝑀𝑈𝑌 = 𝛽 ∗ 𝑀𝑂𝑦
Contorno de
carga

48. El parámetro β representa la fracción de la capacidad resistente de la columna, Su valor oscila entre
0.55 y 0.90 pero se le suele tomar igual a 0.65 para iniciar el diseño.
𝑠𝑖
𝑀𝑢𝑦
𝑀𝑢𝑥
>
𝑀𝑜𝑦
𝑀𝑜𝑥
𝑠𝑖
𝑀𝑢𝑦
𝑀𝑢𝑥
>
𝑀𝑜𝑦
𝑀𝑜𝑥
𝑀𝑜𝑦 = 𝑀𝑢𝑦 + 𝑀𝑢𝑥(
𝑀𝑜𝑦
𝑀𝑜𝑥
)(
1 − 𝛽
𝛽
)
Grafica para la determinación del
parámetro β.

49. Para secciones rectangulares con refuerzo uniformemente
distribuido en las cuatro caras, las expresiones se pueden
aproximar a:
𝑠𝑖
𝑀𝑢𝑦
𝑀𝑢𝑥
>
𝑀𝑜𝑦
𝑀𝑜𝑥
ó
𝑀𝑢𝑦
𝑀𝑢𝑥
>
𝑏
ℎ 𝑀𝑜𝑦 = 𝑀𝑢𝑦 + 𝑀𝑢𝑥(
𝑏
ℎ
)(
1 − 𝛽
𝛽
)
𝑠𝑖
𝑀𝑢𝑦
𝑀𝑢𝑥
≤
𝑀𝑜𝑦
𝑀𝑜𝑥
ó
𝑀𝑢𝑦
𝑀𝑢𝑥
≤
𝑏
ℎ
𝑀𝑜𝑥 = 𝑀𝑢𝑥 + 𝑀𝑢𝑦(
𝑏
ℎ
)(
1 − 𝛽
𝛽
)
Donde b y h son las dimensiones de la sección
rectangular en la dirección X e Y respectivamente. Estas
dos últimas expresiones son las más utilizadas en el
diseño.

50. EJERCICIO:
Diseñar una columna de sección rectangular, No
considerar efectos de esbeltez. Utilizar el método de
Bresler.
DATOS: Pn= 100 tn
Mux= 22.5 tn-m
Muy= 15.5 tn-m
F’c= 280 kg/cm2
Fy = 4200 kg/cm2
SOLUCION:
La columna se predimensionará considerando
una cuantía de 2%: 𝝆𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟐
𝑨𝒈 >
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟎. 𝟒𝟓 ∗ 𝟐𝟖𝟎 + 𝟒𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟐
𝑨𝒈 >
𝑷𝒖
𝟎. 𝟒𝟓 ∗ 𝒇′𝒄 + 𝒇𝒚 ∗ 𝝆𝒕 𝑨𝒈 > 𝟔𝟏𝟎. 𝟓 𝒄𝒎𝟐
Se puede considerar una sección de 25x25 cm. o una de 20x30
cm, pero debido a que la columna resiste momentos
considerables en dos direcciones, las dimensiones de la columna
se tomarán mayores que las estimadas.
30x40 cm.

52. DETERMINAR EL REFUERZO DE LA COLUMNA
EN LAS DOS DIRECCIONES
A) Dirección X-X 𝒉 = 𝟒𝟎 𝒄𝒎 𝒃 = 𝟑𝟎𝒄𝒎 𝜸 =
𝟒𝟎 − 𝟏𝟐
𝟒𝟎
= 𝟎. 𝟕
• Para determinar la cuantía de fuerzo
usamos:
𝑲𝒏 =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟎 ∗ 𝟒𝟎 ∗ 𝟎. 𝟔𝟓 ∗ 𝟐𝟖𝟎
= 𝟎. 𝟒𝟔
𝑹𝒏 =
𝟐𝟐. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟓
𝟑𝟎 ∗ 𝟒𝟎𝟐 ∗ 𝟎. 𝟔𝟓 ∗ 𝟐𝟖𝟎
= 𝟎. 𝟐𝟔
• Con la tabla
obtenemos ρt=
3.5%

53. • Con la cuantía obtenida hallamos Ast
mediante la formula:
𝝆 =
𝑨𝒔𝒕
𝒃 ∗ 𝒉
𝑨𝒔𝒕 = 𝟑𝟎 ∗ 𝟒𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟑𝟓 = 𝟒𝟐 𝒄𝒎𝟐
𝑨𝒔𝒕 = 42cm2
• Se toma :
4 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 ∅ 3/4“ y 6 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 ∅ 1"
• Debido a que la sección es muy pequeña se incrementara a: 𝟑𝟓 𝒙 𝟒𝟓 𝒄𝒎
NUEVO ANALISIS::
ℎ = 40 𝑐𝑚 𝑏 = 30𝑐𝑚
𝜸 =
𝟒𝟓 − 𝟏𝟐
𝟒𝟓
= 𝟎. 𝟕𝟑 𝑲𝒏 =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟎 ∗ 𝟒𝟎 ∗ 𝟎. 𝟔𝟓 ∗ 𝟐𝟖𝟎
= 𝟎. 𝟒𝟔
𝑅𝑛 =
22.5 ∗ 105
30 ∗ 402 ∗ 0.65 ∗ 280
= 0.26 • Con la tabla obtenemos ρt= 3.5%

54. • Para determinar la cuantía de fuerzo usamos:
𝐾𝑛 =
100000
35 ∗ 45 ∗ 0.65 ∗ 280
= 0.34
𝑅𝑛 =
22.5 ∗ 105
35 ∗ 452 ∗ 0.65 ∗ 280
= 0.17
• Con la tabla obtenemos ρt= 1.3%
𝛾 = 0.7
Asumimos:
𝐴𝑠𝑡 = 35 ∗ 45 ∗ 0.013 = 20.48𝑐𝑚2
• Se toma :
𝟒 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔 ∅ 𝟏"

55. DETERMINAR EL REFUERZO DE LA COLUMNA EN LAS DOS
DIRECCIONES
A) Dirección Y - Y ℎ = 35 𝑐𝑚 𝑏 = 45𝑐𝑚 𝛾 =
35 − 12
35
= 0.66
• Para determinar la cuantía de fuerzo usamos:
𝑲𝒔 =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟓 ∗ 𝟒𝟓 ∗ 𝟎. 𝟔𝟓 ∗ 𝟐𝟖𝟎
= 𝟎. 𝟑𝟓
𝑹𝒏 =
𝟏𝟓. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟓
𝟒𝟓 ∗ 𝟑𝟓𝟐 ∗ 𝟎. 𝟔𝟓 ∗ 𝟐𝟖𝟎
= 𝟎. 𝟏𝟓
• Con la tabla obtenemos ρt= 1%
𝛾 = 0.7
Asumimos:

56. • Con la tabla obtenemos ρt= 1%
𝐴𝑠𝑡 = 35 ∗ 45 ∗ 0.01 = 15. 75 𝑐𝑚2
• Se toma :
2 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔 ∅ 𝟏“ y 𝟐 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔 ∅ 𝟑/𝟒"
ESTIMAR LA RESISTENCIA DE LA PIEZA A LA COMPRESIÓN
La cuantía total de la columna, considerando el refuerzo requerido en la dirección X-X e Y-Y es:
𝜌 =
6 ∗ 5.1 + 2 ∗ 2.85
45 ∗ 35
= 2.3 %
Determinarnos la resistencia a la compresión axial
de la columna, haciendo uso de los diagramas de
interacción correspondientes, se obtiene los
siguientes resultados.

57. • En la Dirección X – X:
𝛾 = 0.7 𝑅𝑛 = 0.17
Del diagrama Kn = 0.48
𝑃𝑛 = 0.65 ∗ 280 ∗ 35 ∗ 45 ∗ 0.48
𝑃𝑛 = 0.65 ∗ 𝑓´𝑐 ∗ 𝑏 ∗ ℎ ∗ 𝐾𝑛
𝑷𝒏 = 𝟏𝟑𝟕. 𝟔 𝐭𝐨𝐧
• En la Dirección Y – Y: 𝛾 = 0.66 𝑅𝑛 = 0.15
Para 𝛾 = 0.7 , 𝐾𝑢 = 0.66
𝑃𝑛 = 0.65 ∗ 280 ∗ 35 ∗ 45 ∗ 0.66
𝑷𝒏 = 𝟏𝟖𝟗. 𝟐 𝐭𝐨𝐧

58. • La resistencia a la compresión pura de la pieza es:
𝝋𝑷𝒐 = 𝟎. 𝟔𝟓 𝟎. 𝟖𝟓 ∗ 𝟐𝟖𝟎 ∗ 𝟑𝟓 ∗ 𝟒𝟓 − 𝟑𝟔. 𝟑 + 𝟒𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟔. 𝟑 = 𝟑𝟑𝟕. 𝟏 𝒕𝒐𝒏
• Con los parámetros determinados es posible estimar la resistencia a la
compresión de la columna sometida a flexión biaxial:
1
𝑃𝐼
=
1
𝑃𝑛𝑥
+
1
𝑃𝑛𝑦
−
1
𝑃0
1
𝑃𝐼
=
1
137.6
+
1
189.2
−
1
337.1
METODO DE BRESLER
𝑷𝑰 = 𝟏𝟎𝟒. 𝟑 𝒕𝒐𝒏 > 𝑷𝒏 = 𝟏𝟎𝟎 𝒕𝒐𝒏
OK !!!
𝝋𝑷𝒐 = 𝟎. 𝟔𝟓 𝟎. 𝟖𝟓 ∗ 𝒇′𝒄 ∗ 𝑨𝒈 − 𝑨𝒔𝒕 + 𝒇𝒚 ∗ 𝑨𝒔𝒕