CONSULTA

1. CURSO: MATEMÁTICAS IV
DOCENTE:
ALUMNOS:
DR. HELI MARIANO SANTIAGO
ESPINOZA AGUIRRE, ALVARO WILLIAMS
VILLANUEVA ALEGRIA, JUAN DIEGO
“AÑO DE LA UNIDAD, LA PAZ Y EL DESARROLLO
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
2DO ORDEN PARA EL CÁLCULO DE LA CARGA CRÍTICA
EN EL PANDEO DE UNA COLUMNA DE TIPO
EMPOTRADA-FIJA

2. La importancia de un diseño adecuado de columnas en la construcción de edificaciones no siempre recibe la
atención debida por parte de los profesionales en la carrera. Es fundamental reconocer que las columnas no solo
son elementos estructurales, sino que también desempeñan un papel crucial en la seguridad y estabilidad de las
estructuras. Un diseño deficiente de columnas puede tener consecuencias graves, poniendo en riesgo la vida de
los ocupantes de edificios, casas u otras construcciones. Es imperativo que los ingenieros civiles consideren
detenidamente la eficiencia y la resistencia de las columnas en sus diseños, reconociendo la responsabilidad ética
que implica la seguridad de quienes utilizarán esos espacios.
Un aspecto preocupante es la persistencia en el uso de cálculos manuales en lugar de aprovechar las
herramientas computacionales disponibles. Aunque los ingenieros poseen habilidades analíticas sólidas, los
cálculos manuales están sujetos a errores humanos, lo que puede tener consecuencias significativas en la
integridad estructural de una edificación. La incorporación de métodos computacionales y software
especializado, no solo agiliza el proceso de diseño, sino que también reduce la probabilidad de errores, mejorando
así la confiabilidad de las estructuras construidas.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.FUNDAMENTACIÓN DEL PROBLEMA

3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
¿Cómo afectan las cargas apliocadas a una columna empotrada en un ectremo y libre en el otro?
2. OBJETIVOS
2.1. OBJETIVOS GENERALES
2.2. OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
• Aplicar el uso de las ecuaciones diferenciales de 2do orden en la resolución del
modelo matemático propuesto para determinar la carga crítica de pandeo de la
columna tipo empotrada-fija. .
• Crear un algoritmo en el lenguaje de programación Matlab para resolver la
ecuación diferencial del modelo matemático.
• Demostrar que la deformación máxima permisible es igual al
desplazamiento de la sección transversal en el extremo libre de la
columna.

4. 𝑃𝑐𝑟 : carga axial crítica ((N)
𝑀₀ : momento par ((m.N)
𝑣(𝑥) : deflexión de la columna ((m)
𝑥 : longitud de un segmento de la columna ((m)
𝐸 : módulo de elasticidad ((N/m²)
𝐼𝑓 : momento de inercia en el plano de flexión (()
𝛿 : deflexión máxima de la columna ((m)
𝐿 : longitud nominal de la columna ((m)
𝐿𝑒 : Longitud efectiva de la columna ((m)
LISTA DE SÍMBOLOS:

5. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Llamamos ecuación diferencial lineal de orden “n” a toda ecuación que se puede expresar en la forma:
𝑦𝑛 + 𝑎1(𝑥)𝑦𝑛−1+. . . . . +𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) (1)
Para la que admitimos coeficientes ai(x), i = 1, 2,... ,n y el segundo miembro f(x) son funciones definidas en un
intervalo I ⊆ R.
La ecuación (1) se dice homogénea o incompleta si f(x)=0 para todo x ∈ I. En caso contrario, se dice no
homogénea o completa.
La resolución se hace mediante el teorema de Coeficientes determinados que nos permite encontrar una
solución particular.
Se siguen estos pasos:
Resolver la ecuación diferencial lineal homogénea asociada con la que se obtiene 𝑦ℎ
Obtener alguna solución particular de la ecuación no homogénea 𝑦𝑝.
A partir de ellas 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE ORDEN “n”

6. CONSIDERACIONES ESPECIALES
Una columna es un elemento sometido a compresión, el cual es lo suficientemente delgado respecto a su
longitud para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o
pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por aplastamiento. (Sánchez, 2010).
Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar
que un elemento a compresión es una columna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensión
menor de la sección transversal.
Columnas de acuerdo a su longitud:
Las columnas también se pueden clasificar de acuerdo a sus longitudes, pero en lo relacionado a las fallas
causadas por esta característica, pues esto impacta su capacidad para soportar las cargas involucradas en
la construcción.
• Columnas cortas: Este tipo de elementos fallan por aplastamiento. Es el resultado de una combinación
de momento y carga axial.
• Columnas Intermedias: Fallan por combinación de pandeo y aplastamiento. En este caso la
concentración de fuerzas es tanto horizontal como vertical
• Columnas Largas o esbeltas: En este caso, la sección transversal es muy pequeña en relación a su
longitud, por lo que al aplicarse una carga sobre ella, puede resultar que tenga una falla por pandeo ya
que la carga no es proporcional a la rigidez por flexión las cuales suelen medir de 3.2m de altura para
adelante.

7. Tipos de columnas de acuerdo al material:
Otras clasificaciones para las columnas en construcción, se desprenden del tipo de material
utilizado para su armado: acero, madera, piedra, concreto, tabique y mixto. A continuación, te
contaremos lo más importante sobre cada uno de ellos.
• Acero: Están hechos con perfiles de acero de gran resistencia que aceleran los tiempos de
obra. Se eligen por su agilidad de traslado, instalación y adaptación.
• Madera: Han caído en desuso debido a la resistencia del acero. Sin embargo, actualmente
existen columnas de madera laminada de gran fortaleza.
• Concreto: Se elaboran a partir de cemento, grava, arena, varilla y alambre recocido, lo que
las hace bastante resistentes, incluso ante los movimientos sísmicos.
• Mixtas: Puede ser cualquier combinación de los materiales antes mencionados, pero lo más
común es que se trate de la unión del acero y el concreto.

8. La fluencia del acero es la deformación irrecuperable de una
probeta o material que presenta plasticidad, a partir de la cual solo
se recuperará la parte de su deformación correspondiente a la
deformación elástica, quedando una deformación irreversible que
viene estar representado por el módulo de Elasticidad.

9. Podemos observar que para
el caso de una columna
empotrada con extremo libre
su Longitud efectiva es el
doble de la longitud de toda
la columna.

10. ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA
En general, en la teoría lineal de la elasticidad, los desplazamientos secundarios o efectos de segundo
orden se desprecian, pero en la situación de pandeo, esos efectos de segundo orden no pueden ser
despreciados, Una vez la pieza adopta la forma curvada a partir del punto | σeje | >Pcrit/A, dicha
pieza está en un estado elástico de flexión compuesta ( 𝑁𝑥 ≠ 0, 𝑀𝑓 ≠ 0 ), siendo el esfuerzo axial 𝑁𝑥 ≈ 𝑃𝑐
𝑟𝑖𝑡 y el esfuerzo de flexión o momento flector 𝑀𝑓(𝑥) ≈ 𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡. 𝑌(𝑥), dado por el esfuerzo axial
multiplicado por la excentricidad o desplazamiento y(x) de cada punto de la barra respecto a la
posición recta:
El desplazamiento máximo para una columna aplicando solo una fuerza P en el extremo A esta dado
en este punto tal como: 𝑦𝑚𝑎𝑥 = (𝐿).
El momento máximo y la tensión que adquiere la barra en la configuración deformada vienen dadas
por:
En la teoría de la elasticidad lineal se usa como ecuación de la elástica, es decir, como
ecuación que relaciona el desplazamiento del eje de una pieza prismática recta con el
momento flector, la siguiente
Sabemos la fórmula para el radio de curvatura y entonces, la ecuación de la elástica
exacta en este caso viene dada por:

11. Variables dependientes Pandeo, Carga crítica
Variables independientes Carga axial, Longitud de columna
Variable de caracterización Indicadores Valores finales Tipo de variable
Pandeo Desplazamiento Horizontal 0.0455𝑚 Continua
Carga crítica Carga aplicada 3167.89𝑁 Continua
Longitud Distancia 3.3m Continua
MODELACIÓN DE PROYECTO
La carga crítica de pandeo se define como aquella carga que, al ser superada, lleva a la pieza prismática
a un estado de equilibrio entre las fuerzas elásticas y las internas. Este valor se considera seguro para el
diseño, ya que, por debajo de la carga crítica, la estructura se mantiene estable. Sin embargo, cuando la
carga supera este umbral crítico, el comportamiento se torna inestable, y la rotura de la pieza puede
ocurrir con pequeños incrementos adicionales de carga.
VARIABLES:
OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES:

12. Barra empotrada por un extremo y libre en el otro
Las condiciones de contorno o valores en la frontera:
𝒗 𝟎 = 𝟎, 𝒗′
𝟎 = 𝟎
𝒗 𝑳 = 𝜹, 𝒗′ 𝑳 = 𝜽
Además, debido al desplazamiento de la carga, aparece un momento de
empotramiento adicional debido a dicha excentricidad
𝑴𝒇 = 𝜹. 𝑷
El momento flexionante en la columna a una distancia 𝐱 a partir del
extremo inferior es:
𝑴 = 𝑴𝟎 + 𝑷 −𝒗 = 𝑷. 𝜹 − 𝑷. 𝒗
Al plantear la ecuación de la elástica de la viga, tenemos:
𝑬. 𝑰𝒇
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 = 𝑴 → 𝑬. 𝑰𝒇
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 = (𝑷. 𝜹 − 𝑷. 𝒗)
La ecuación de la elástica es una ecuación lineal no homogénea:
𝒅𝟐𝒗
𝒅𝒙𝟐 +
𝑷𝒗
𝑬𝑰𝒇
=
𝑷𝜹
𝑬𝑰𝒇
Ahora aplicamos la solución para ecuaciones diferenciales no
homogéneas de orden “n”:
Entonces: 𝒗𝒈 = 𝒗𝒉 + 𝒗𝒑

13. Para 𝒗𝒈 tenemos el siguiente polinomio: 𝒑 𝒓 = 𝒓𝟐
+
𝑷
𝑬𝑰𝒇
= 𝟎
Resolviendo este polinomio característico, tenemos:
𝒓 = ± −
𝑷
𝑬𝑰𝒇
→ 𝒓 = 𝟎 + 𝒊.
𝑷
𝑬𝑰𝒇
Luego la solución homogénea 𝒗𝒉 será:
𝒗𝒉 𝒙 = 𝑪𝟏𝒆𝟎
. 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝑷
𝑬𝑰𝒇
+ 𝑪𝟐𝒆𝟎
. 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝑷
𝑬𝑰𝒇
Ahora calculamos la solución particular 𝒗𝒑 :
𝒗𝒑 = 𝑨.
𝑷𝜹
𝑬𝑰𝒇
→ 𝒗′
𝒑 = 𝑨 , 𝒗′′
𝒑 = 𝟎
Reemplazamos en la ecuación original:
𝒅𝟐𝒗
𝒅𝒙𝟐
+
𝑷𝒗
𝑬𝑰𝒇
=
𝑷𝜹
𝑬𝑰𝒇
→ 𝟎 + 𝑨.
𝑷𝒗
𝑬𝑰𝒇
=
𝑷𝜹
𝑬𝑰𝒇
→ 𝒗𝒑 = 𝜹
Entonces: 𝒗𝒑(𝒙) = 𝜹
La ecuación tiene una solución del tipo:
𝒗𝒈 = 𝒗𝒉 + 𝒗𝒑

14. 𝒗 𝒙 = 𝜹 + 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝑷
𝑬𝑰𝒇
+ 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝑷
𝑬𝑰𝒇
Ahora aplicamos las condiciones de frontera:
𝒗 𝟎 = 𝟎 → 𝑪𝟏 = −𝜹; 𝒗′ 𝟎 = 𝟎 → 𝑪𝟐 = 𝟎
→ 𝒗 𝒙 = 𝜹 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝑷
𝑬𝑰𝒇
𝒗 𝑳 = 𝜹 , solo satisface si el argumento de la función senoidal es igual a 𝐧𝛑:
𝒗 𝑳 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝑳
𝑷
𝑬𝑰𝒇
= 𝜹 → 𝒄𝒐𝒔 𝑳
𝑷
𝑬𝑰𝒇
= 𝟎
𝑳
𝑷
𝑬𝑰𝒇
= 𝟐𝒏 − 𝟏
𝝅
𝟐
→ 𝑷𝒏 =
(𝟐𝒏 − 𝟏)𝟐𝝅𝟐𝑬𝑰𝒇
(𝟐𝑳)𝟐
Con 𝐧 = 𝟏 , se obtiene la carga crítica
𝑷𝒄𝒓 =
𝝅𝟐
𝑬𝑰𝒇
𝟒𝑳𝟐

15. PROCESO DE CÁLCULO
MODELO MATEMÁTICO
Para poder hacer un modelo matemático del comportamiento de la columna, se tiene que considerar una pieza
ideal, es decir, la rigidez a flexión (EI) tiene que ser constante a lo largo de la columna.
Teniendo en cuenta las propiedades del material (E), de la sección (I).
A continuación, se ha estudiado una columna de acero de 3.3m de longitud de acero ASTM A572 grado 50, que se
encuentra empotrada en un extremo y libre en el otro, está sometida a una carga centrada P en su extremo libre tal
y como indica la figura 3. El perfil de la columna es el mostrado en la figura 4 y está compuesto por un perfil IPN
120. Suponiendo una perturbación previa que haga que la columna no esté totalmente recta, con un
desplazamiento de 23mm, establecer: En la imagen se puede observar el comportamiento general de la columna al
estar sometida a la carga crítica.
¿Qué carga habría que aplicar para que, aún eliminando dicha perturbación, la columna no recobrará la rectitud?
¿Cuál es la deformación máxima?

16. Solución:
¿Qué carga habría que aplicar para que, aún eliminando dicha perturbación, la columna no
recobrará la rectitud?
Sabemos que es un perfil IPN por ende ya conocemos el momento de Inercia que tiene dicho perfil,
en el anexo
Datos: Llevamos todo a metros ya que N(Newtons) trabajan con m(metros
𝑰𝒙 = 𝟑𝟐𝟖𝒄𝒎𝟒
= 𝟑. 𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔
𝒎𝟒
𝑰𝒚 = 𝟐𝟏. 𝟓𝒄𝒎𝟒
= 𝟐. 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎−𝟕
𝒎𝟒
El módulo de elasticidad, dada en el anexo
𝑬 = 𝟐𝟎𝟕𝑮𝑷𝒂 = 𝟐, 𝟎𝟕 × 𝟏𝟎𝟏𝟏
𝑵/𝒎𝟐
𝜹 = 𝟎. 𝟐𝟑𝒄𝒎 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝒎
𝑳 = 𝟑. 𝟑𝟎𝒎
a) Para el primer caso y la columna no vuelva a ser recta usamos 𝑷𝒄𝒓 = 𝝅𝟐
𝑬𝑰/𝟒𝑳𝟐
, usamos el
momento de inercia menor, porque ahí es donde se pandea la columna
𝑷𝒄𝒓 = 𝝅𝟐
𝟐, 𝟎𝟕 ×
𝟏𝟎𝟏𝟏
𝑵
𝒎𝟐
𝟐. 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎−𝟕
𝒎𝟒
/𝟒(𝟑. 𝟑𝒎)𝟐
𝑷𝒄𝒓 = 𝟏𝟎𝟎𝟖𝟑. 𝟕𝟏𝑵
∴ 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒅𝒆 𝟏𝟎𝟎𝟖𝟑. 𝟕𝟏𝑵 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒚𝒂 𝒏𝒐 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒗𝒆 𝒂 𝒔𝒆𝒓 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂

17. b) ¿Cuál es la deformación máxima?
Usamos la ecuación diferencial para una columna con extremo libre
𝒅𝟐
𝒗
𝒅𝒙𝟐
+
𝑷𝒗
𝑬𝑰
=
𝜹𝑷
𝑬𝑰
𝒅𝟐
𝒗
𝒅𝒙𝟐
+
(𝟑𝟏𝟔𝟕. 𝟖𝟗)𝒗
𝟐, 𝟎𝟕 × 𝟏𝟎𝟏𝟏(𝟐. 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎−𝟕)
=
𝜹(𝟑𝟏𝟔𝟕. 𝟖𝟗)
𝟐, 𝟎𝟕 × 𝟏𝟎𝟏𝟏(𝟐. 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎−𝟕)
𝒗′′
+ 𝟎. 𝟐𝟐𝟔𝒗 = 𝟎. 𝟐𝟐𝟔𝜹
Aplicamos los casos para EDO lineales de orden “n” No Homogénea.
𝒗𝒈 = 𝒗𝒄 + 𝒗𝒑
𝒗𝒄: 𝑷(𝒓) = 𝒓𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟐𝟔
𝒓𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟐𝟔 = 𝟎 → 𝒓 = −𝟎. 𝟐𝟐𝟔 → 𝒓 = ±𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝒊
𝒗𝒉 = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟎. 𝟖𝟒𝟑𝟖𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟎. 𝟖𝟒𝟑𝟖𝒙)
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒗𝒑: 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒗 = 𝑨 → 𝒗′ = 𝟎 → 𝒗′′ = 𝟎
𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒎𝒐𝒔: 𝒗´´ + 𝟎. 𝟐𝟐𝟔𝒗 = 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝜹
𝟎 + 𝟎. 𝟐𝟐𝟔𝑨 = 𝟎. 𝟐𝟐𝟔 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 → 𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 → 𝒗𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑
∴ 𝒗 = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝒙 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟑
𝑺𝒆 𝒔𝒂𝒃𝒆 𝒒𝒖𝒆: 𝑷. 𝑽. 𝑰 𝒗 𝟎 = 𝟎 𝒗′ 𝟎 = 𝟎
𝟎 = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒(𝟎) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒(𝟎) + 𝟎. 𝟎𝟐𝟑
𝟎 = 𝑪𝟏 𝟏 + 𝟎 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟑

18. 𝑪𝟏 = −𝟎. 𝟎𝟐𝟑
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔: 𝒗
= 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝒙 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 𝒚 𝒓𝒆𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒗′ 𝟎
= 𝟎
𝒗′ = −𝟎. 𝟎𝟐𝟑(−𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒 × 𝑪𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝒙 ) + 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒 ×
𝑪𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒(𝒙) + 𝟎
𝟎 = 𝟎 + 𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒 × 𝑪𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟎 → 𝑪𝟐 = 𝟎
∴ 𝑳𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒆𝒔 ∶ 𝒗 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 − 𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝐜𝐨𝐬(𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝒙)
𝐛) 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐝𝐞𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐚 𝐞𝐬 𝒗(𝟑.𝟑)
𝒗 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 − 𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝐜𝐨𝐬(𝟎. 𝟒𝟕𝟓𝟒 𝟑. 𝟑 )
𝒗 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝒎

19. DIAGRAMA DE FLUJO

20. CÓDIGO:
% Cierra todas las figuras previamente abiertas
close all
% Limpia todas las variables de la memoria
clear all
% Limpia la ventana de la consola
clc
% Muestra un mensaje indicando la naturaleza del problema a resolver
fprintf('EDO lineal de orden n No Homogénea')
% Declaración de las variables simbólicas v y x
syms v x
% Cálculo de la primera y segunda derivada de v respecto a x
Dv = diff(v);
D2v = diff(v,2);
% Definición de la ecuación diferencial en forma de cadena de caracteres
f = 'D2v + 0.226 * v = 0.226 * S'
% Resolución de la ecuación diferencial sin condiciones iniciales
v = dsolve(f, 'x')
% Resolución de la ecuación diferencial con condiciones iniciales v(0) = 0 y v'(0) = 0
v = dsolve(f, 'Dv(0) = 0', 'v(0) = 0', 'x')
% Cierra todas las figuras previamente abiertas
close all
% Limpia todas las variables de la memoria
clear all
% Limpia la ventana de la consola
clc
% Muestra un mensaje indicando la naturaleza del problema a resolver
fprintf('EDO lineal de orden n No Homogénea')
% Declaración de las variables simbólicas v y x
syms v x
% Cálculo de la primera y segunda derivada de v respecto a x
Dv = diff(v);
D2v = diff(v,2);
% Definición de la ecuación diferencial en forma de cadena de caracteres
f = 'D2v + 0.226 * v = 0.226 * S'
% Resolución de la ecuación diferencial sin condiciones iniciales
v = dsolve(f, 'x')
% Resolución de la ecuación diferencial con condiciones iniciales v(0) = 0 y v'(0) = 0
v = dsolve(f, 'Dv(0) = 0', 'v(0) = 0', 'x')

21. % Sustitución del valor de S (0.016) en la solución v
vs = subs(v, 'S', 0.023)
% Grafica la solución vs en el intervalo [0,3.3]
ezplot(vs, [0,3.3])
% Activa la cuadrícula en la gráfica
grid on
% Etiqueta del eje x en la gráfica
xlabel('Longitud(m)')
% Etiqueta del eje y en la gráfica
ylabel('Deflexión(m)')
% Calcula el valor de vs en x=3.3
vmax = subs(vs, x, 3.3)
% Muestra el valor de vmax en la consola con un formato específico
fprintf('La deformación maxima es =%4.4f', vmax)
% Sustitución del valor de S (0.016) en la solución v
vs = subs(v, 'S', 0.023)
% Grafica la solución vs en el intervalo [0,3.3]
ezplot(vs, [0,3.3])
% Activa la cuadrícula en la gráfica
grid on
% Etiqueta del eje x en la gráfica
xlabel('Longitud(m)')
% Etiqueta del eje y en la gráfica
ylabel('Deflexión(m)')
% Calcula el valor de vs en x=3.3
vmax = subs(vs, x, 3.3)
% Muestra el valor de vmax en la consola con un formato específico
fprintf('La deformación maxima es =%4.4f', vmax)

22. EJECUCIÓN DEL PROGRAMA GRÁFICA
La siguiente gráfica nos muestra como la deflexión va
aumentando de acuerdo con la longitud de la columna, y
podemos notar que la máxima deflexión se da cuando la
longitud es máxima en nuestro caso de 3.3m de longitud.

23. Para la comprobación de la carga crítica se usó el software “omni calculator”
y se comprobó que la carga crítica era la correcta
Primero ingresamos la inercia mínima, la longitud de la columna y la
longitud efectiva, y el módulo de elasticidad, los demás datos son
calculados a partir de los anteriores datos mencionados. En nuestro cálculo nos salió una
carga crítica de 10083.71 N, es decir
si concuerda con los resultados
obtenidos por el software.

24. APLICACIONES DE INGENIERÍA CIVIL
El pandeo de columnas es un fenómeno crucial en ingeniería civil, especialmente en el diseño de estructuras. El
pandeo ocurre cuando una columna sometida a cargas axiales experimenta una carga compresiva que supera su
capacidad de carga crítica, lo que resulta en un movimiento lateral inestable o colapso. Las aplicaciones en ingeniería
civil relacionadas con el pandeo de columnas incluyen:
• Diseño de estructuras:
• Análisis estructural: Los ingenieros utilizan métodos de análisis para predecir el comportamiento de columnas
bajo diferentes cargas y condiciones. El análisis de pandeo ayuda a determinar la capacidad de carga de una
columna y garantiza que no se produzca un colapso debido a este fenómeno.
• Selección de materiales: La selección del material adecuado es esencial para prevenir el pandeo. Los ingenieros
consideran propiedades como la resistencia a la compresión, la ductilidad y la rigidez para elegir materiales que
minimicen el riesgo de pandeo.

25. CONCLUSIONES
Según lo explicado anteriormente, el valor de la carga crítica de pandeo depende de varios factores, incluido el
material de la columna, su longitud, la carga aplicada y el comportamiento de la columna ante las cargas
aplicadas.
El módulo de rigidez a flexión EI es directamente proporcional a la carga crítica de pandeo. Por lo tanto, la
utilización de columnas con una alta resistencia a la flexión, es decir, con módulos de rigidez a la flexión,
mejorará la resistencia al pandeo.
La carga crítica es inversamente proporcional a la longitud cuadrática de la columna. De esta manera, la longitud
de una columna aumenta la inestabilidad y la probabilidad de que se alcance la carga crítica y se produzca un
pandeo.
Debido a la posibilidad de errores humanos, hacer cálculos manuales es más difícil y agotador a la vez. Por lo
tanto, es preferible emplear un lenguaje de programación en computadoras, ya que evita estos errores y los
cálculos se llevan a cabo en segundos debido a su alta capacidad de procesamiento de información. Dado que se
pueden producir errores al usar el software, es importante tener en cuenta siempre las unidades. Es posible
causar daños irreversibles y catastróficos si se aplica una carga crítica mayor de lo que la columna puede
soportar.

26. ANEXOS
Anexo 1: Dimensiones e inercia del perfil
del acero
Anexo 2: Módulo de elasticidad