estatica

1. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 0
2.12. PROBLEMAS RESUELTOS
2.12.1. Del siguiente grupo de vectores Hallar si |A⃗⃗ | = 10 m , |B⃗⃗ | = 20 m, |C⃗ | = 5 m, |D⃗⃗ | = 22 m, α = 40°, φ =
75°, θ = 35° Hallar: a) σR−D b) RC−C
Solución:
       
  21,712288,68-90288,68
,3884
11,020-
Rx
Ry
tg
resultantevectordeldireccionlacalcularparangentefuncion talaAplicando
m11,861R11,020-,3884RyRxR
:PitagorasdeteoremaelAplicando
m11,020-Rym,3884Rx
75sen5-35sen2240sen10Ry2075cos540cos1053cos22Rx
Cy-DyAyRyB-Cx-AxDxRx
RyCy-DyAyRxB-Cx-AxDx
RyVRxV
YejeyXejeelenevectoresdesumatoriaAplicando
2222
YX






 

a) Calculo del ángulo entre la resultante y el vector D ( σR−D )
b) Calculo de la componente de la resultante encima del eje formado por el vector C
Datos
A = 10 m
α = 40°
B = 20 m
C = 5 m
φ = 75°
D = 22 m
θ = 35°
𝑨⃗⃗
𝛼
𝑪⃗⃗
𝜑
𝑫⃗⃗
𝜃
𝑩⃗⃗
𝑨⃗⃗
𝑩 𝛼
𝑪⃗⃗
𝜑
𝑫⃗⃗
𝜃
AxCx
Cy
Dx
Ay
Dy
R
Ǿ
Ry
Rx
β
𝑫⃗⃗
𝜽
β
δ
𝑹⃗⃗
288,33
712,215390
90
90








𝑪
𝑹⃗⃗
𝜑
15°°
𝛽
𝑪
𝑹 𝑪−𝑪
834,8
)712,2115cos(020,11
)15cos(
mR
R
RR
CC
CC
CC





 

2. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 1
2.12.2. Tres vectores de |A⃗⃗ | = 100 m, |B⃗⃗ | = 75 m y |C⃗ | = 165 m, tienen como resultante |R⃗⃗ | qué forma 315° con el
vector B⃗⃗ , asimismo el vector B y C forman un ángulo de 250°. (Nota: los ángulos se miden en sentido contrario
de las agujas del reloj). Hallar: a) El ángulo que forma el vector A⃗⃗ con la resultante R⃗⃗ , b) La componente del
vector R⃗⃗ sobre el eje formado por el vector A-A.
Solución:
   
 
       
      





 






 






 
813,298627,02sen11,86272sen3648,1sencos21
100
7570cos16570sen165
sensencos2cos
BCxCy
sencos
BCxCysenAcosA
BCxCyAyAx
CyAyxAx
RyRx
2Ec.RyCyAy1Ec.RxxAx
RyVRxV
YejeyXejeelenevectoresdesumatoriaAplicando
2
2
22
2
2
YX




A
CB
CB
a) El ángulo que forma el vector A⃗⃗ con la resultante R⃗⃗
b) La componente del vector R⃗⃗ sobre el eje formado por el vector A-A.
Datos
A = 100 u
B = 75 u
C = 165 u
θ = 70°
R=
σ = 45°
Axθ
α
Cx
Ay
B
C
A
Cy
R
σ
Ry
Rx
B
α
A
θ
C



813,74
813,2945



     
024,39
)813,74cos(962,148
)cos(
RcomponenteladeCalculo
m962,481R
70cos16575813,29cos10045cosR
xAxRx
1Ec.De
A-A
mR
R
RR
CB
AA
AA
AA








 
R
α
Ǿ
A
σ
R
Ǿ
A
A
RA-A

3. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 2
2.12.3. Tres vectores situados en un plano tienen de |A⃗⃗ | = 22 m, |B⃗⃗ | = 35 m y |C⃗ | = 15 m de magnitud. El primero y
el segundo forman un ángulo de β=80º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de θ =130º.a)
Encontrar la magnitud del vector |L⃗ |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los
vectores. b) Encontrar la magnitud del vector dado por F⃗ = −2 ∙ A⃗⃗ + 3 ∙ R⃗⃗ (todos los ángulos se miden en
sentido anti horario).
Solución:
a) Encontrar la magnitud del vector |L⃗ |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los vectores.
b) Encontrar la magnitud del vector dado por F⃗ = −2 ∙ A⃗⃗ + 3 ∙ R⃗⃗
Datos
A = 22 m
B = 35 m
C = 15 m
𝛽 = 80°
θ = 30°



22,149
224,299030
CyLentreangulodelCalculo




           
         
m91,80
776,60cos222901,3032222901,303
cos23223
cosenosdeteoremaelAplicando
22
222



F
F
ARARF 
𝑨⃗⃗
θ
𝑪⃗⃗
𝑩⃗⃗
𝛽 Bx
θ
Cx
By
C
B
Cy
Aβ




776,60
90224,29180
180
180




       
       
29,224776,601,787
087,15
26,968
Dx
Dy
)tan(
vectordeldireccionladeCalculo
m901,30R26,968087,15RyRx
vectordelmodulodelCalculo
m26,968Rym087,15Rx
30518035Ry30cos1580cos3522Rx
RyByRxCx
RyVRxV
YejeyXejeelenevectoresdesumatoriaAplicando
2222
YX





 

R
R
R
sensen
CyBxA

 R
Ǿ
𝑪⃗⃗
βφ
θ
𝑳⃗⃗
Ǿ
α
α
mL
L
RL
80,61
901,302
2
LvectordelmodulodelCalculo





β
δ
𝟑 ∙ 𝑹⃗⃗
−𝟐 ∙ 𝑨⃗⃗
𝜶
∅
𝟑 ∙ 𝑹⃗⃗
−𝟐 ∙ 𝑨⃗⃗
𝑭⃗⃗
∅

4. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 3
2.12.4. Cuatro vectores de |A⃗⃗ | = 50 u, |B⃗⃗ | = 75 u, |C⃗ | = 90 u y D⃗⃗ tienen como resultante |R⃗⃗ | = 50 u y se encuentra
en el tercer cuadrante formando un ángulo de 25° con la vertical , α = 40°, φ = 35°, θ = 75°. Hallar: a) El
ángulo que forma el vector D⃗⃗ con la resultante R⃗⃗ b) El modulo y dirección del vector R1
⃗⃗⃗⃗ = 3 ∙ D⃗⃗ +C⃗
Solución:
a) El ángulo que forma el vector D⃗⃗ con la resultante R⃗⃗
b) El modulo del vector R1
⃗⃗⃗⃗ = 3 ∙ D⃗⃗ +C⃗ y el ángulo que forma el vector R1 con el vector C
Datos
A = 50 u
B = 75 u
C = 90 u
α = 40°
𝜑 = 35°
θ = 70°
R= 50 u
σ = 65°
Dx
θ
Cx
Dy
B
C
D
Cy
R
σ
Ry
Rx
B
α
𝑫⃗⃗
θ
𝑪⃗⃗



948,139
948,7465



           
         
         
     










 745,2254,6770
254,67
96,994
917,153052,35sen
sen
R
D3sen
sen
R
sen
D3
sen
senoslosdeteoremaelAplicando
994,96
052,35cos90917,513290917,513
cos323
cosenosdeteoremaelAplicando
11
11
1
22
1
222
1
CRCR
uR
R
CDCDR






𝑩⃗⃗
𝜑
By
Bx
α
𝜑
β
𝑨⃗⃗ A Ay
Ax β
R
βǾ
D
σ




052,35
948,7470180
180
180




               
       
948,74-3,718
483,13
50,136
Dx
Dy
)tan(
vectordeldireccionladeCalculo
917,51D50,136483,13DyDxD
vectordelmodulodelCalculo
u50,136Dyu483,13Dx
6550709040503575Dy65cos5070cos9040cos5035cos75Dx
RyCyAyDyRxCxxBx
RyCyAyDyRxCxxBx
RyVRxV
YejeyXejeelenevectoresdesumatoriaAplicando
2222
YX








 

D
u
D
sensensensen
ByADx
ByADx


γ
δ
3.𝑫⃗⃗
𝑪⃗⃗
R1
⃗⃗⃗⃗
R1
C
β
γ
D
θδ

5. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 4
2.12.5. Dado los siguientes vectores en el espacio B⃗⃗ = (5,4,3) y F⃗ = (2,3, −4) : a) realizar los gráficos, b) hallar los
vectores unitarios B̂ y F̂ c) Hallar los cosenos directores de los vectores B⃗⃗ y F⃗
a) realizar los gráficos
B⃗⃗ = (5,4,3) F⃗ = (2,3, −4)
b) hallar los vectores unitarios B̂ y F̂
c) Hallar los cosenos directores de los vectores B⃗⃗ y F⃗
B⃗⃗ = (5,4,3) F⃗ = (2,3, −4)
Bx= 5
By= 4
Bz= 3
𝐵⃗
𝛼
𝜃
𝛽
Fx= 2
Fy= 3
Fz=- 4
𝐹
∅
𝛿
𝜑
     
     
kji
kji
u
BzByBx
ˆ4243,0ˆ5657,0ˆ7071,0b
071,7
ˆ3ˆ4ˆ5
B
B
b
bunitariovectordelCalculo
071,7B
345B
B
BdemodulodelCalculo
222
222















     
     
kji
kji
u
FzFyFxF
ˆ743,0ˆ557,0ˆ371,0fˆ
385,5
ˆ4ˆ3ˆ2
F
F
fˆ
fˆunitariovectordelCalculo
385,5F
432F
FdemodulodelCalculo
222
222












 
 
  


89,644243,0
071,7
3
B
cos
55,555657,0
071,7
4
B
cos
0,457071,0
071,7
5
B
cos






Bz
By
Bx
 
 
  




01,42743,0
385,5
4
F
cos
15,56557,0
385,5
3
F
cos
22,68371,0
385,5
2
F
cos






Fz
Fy
Fx

6. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 5
2.12.6. Dado los vectores A⃗⃗ = (2,5, −3) y C⃗ = (−3,4,4), a) Graficar los vectores b) Hallar el ángulo que forman los
vectores A⃗⃗ y C⃗ en forma escalar , c) Hallar el ángulo que forman los vectores A⃗⃗ y C⃗ en forma vectorial
a) Grafico de los vectores A⃗⃗ y C⃗
b) Hallar el ángulo que forman los vectores A⃗⃗ y C⃗ en forma escalar
c) Hallar el ángulo que forman los vectores A⃗⃗ y C⃗ en forma vectorial
𝐴
∅
𝐶
𝑥
𝑦
𝑧
           
           
       
   
   








1,870,0507
4031,61644,6
2
CA
CA
coscosCACA
2CA43-453-24,4,32,5,-3CA
4031,6443C
1644,6A352A
2
222222
222222
 















u
uCCzCyCx
uAzAyAx
       
 
     
   
   











1,870,9987
4031,61644,6
4208,39
CA
CxA
CACxA
4208,39CxA
23132CxA
ˆ23ˆ1ˆ32CxA
ˆ)5()3()4(2ˆ)3()3()4(2)3()4()4()5(
443
352
ˆˆ
CxA
2
222
 








sensen
u
kji
kji
kji

7. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 6
2.12.7. Si la superficie de un terreno tiene forma de un paralelogramo y está definido por dos vectores A(5,-3,3) km y
B( 6,3,-2) km. a) Graficar la forma del terreno, b) Hallar el área del terreno en forma vectorial, c) Hallar los
ángulos internos del terreno.
a) Graficar la forma del terreno
b) Hallar el área del terreno en forma vectorial
c) Hallar los ángulos internos del terreno.
           
           
   
   













06,109
2
94,702360
2
2360
36022
angulodel
94,709452,0
557,67
382,43
AB
AB
ABAB
7B236B
557,6A335A
222222
222222






Calculo
x
sensenx
kmBzByBx
kmAzAyAx





𝐵⃗
∅
𝐴
𝑥
𝑦
𝑧
∅
𝛼
𝛼
       
 
     
2
2
222
382,43
382,43AxB
33283AxB
ˆ33ˆ28ˆ3AxB
ˆ)3()5()3(6ˆ)2()5()3(6)2()3()3()3(
335
236
ˆˆ
AxB
kmArea
km
kji
kji
kji














8. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 7
2.12.8. Dado los vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ mostrados en la figura en donde |A⃗⃗ | = 30 m y |B⃗⃗ | = 50 m. Hallar : a) El producto
escalar A⃗⃗ oB⃗⃗ , b) Hallar el ángulo que forman A⃗⃗ y B⃗⃗ en forma vectorial.
a) El producto escalar A⃗⃗ xB⃗⃗
b) Hallar el ángulo que forman A⃗⃗ y B⃗⃗ en forma vectorial.
8
m6
m
3
m
𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗
Y
X
Z
           
  kjik,j,i-,b
k,j,i-,bk,j,i-,
kji
F
F
mFFzFyFxF
FHNFNFH
736,28368,1438,314B57470287407663050ˆBB
574702874076630ˆ574702874076630
10,440
638
fˆ
440,10638
)6,3,8()0,3,0()6,0,8(
obtienesegraficoDel
222222











𝑯⃗⃗⃗
𝑭⃗⃗
𝑵⃗⃗
𝒇̂
           
 
   
   
2
222222
57,1231AB
)82,26(736,28)41,13()368,14(038,314)(AB
82,2641,130736,28368,1438,314AB
escalarproductodelCalculo
82,2641,130A89404470030ˆAA
894044700ˆ894044700
6,708
630
ˆ
708,6630
)6,3,0()6,0,8()0,3,8(
obtienesegraficoDel
m
kjikji
kjik,j,ia
k,j,iak,j,i
kji
S
S
s
mSSzSySxS
SNCSCSN
























𝑪⃗⃗
𝑺⃗⃗
𝑵⃗⃗
𝒔̂
   
   




 81,340,8210
3050
57,1231
A
A
coscos  






B
B
ABAB

9. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 8
2.12.9. Dado los vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ mostrados en la figura en donde |A⃗⃗ | = 10 m y |B⃗⃗ | = 20 m. Hallar :a) Hallar el
producto vectorial A⃗⃗ xB⃗⃗ , b) Hallar la componente del vector A⃗⃗ sobre eje formado por el vector B-B
a) Hallar el producto vectorial A⃗⃗ xB⃗⃗
b) Hallar la componente del vector A⃗⃗ sobre eje formado por el vector B-B
5
m8
m
2
m
𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗
Y
X
Z
           
  kjikj,i-,b
kj,i-,bkj,i-,
kji
F
F
mFFzFyFxF
FHNFNFH
0428,718,57B0371409285020ˆBB
03714092850ˆ03714092850
385,5
025
fˆ
385,5025
)0,2,5()8,2,0()8,0,5(
obtienesegraficoDel
222222











           
  kjik,j,ia
k,j,iak,j,i
kji
S
S
s
mSSzSySxS
SNCSCSN
702,9425,20A9702024250010ˆAA
97020242500ˆ97020242500
8,246
820
ˆ
246,8820
)8,2,0()8,0,5()0,2,5(
obtienesegraficoDel
222222











𝑪⃗⃗
𝑺⃗⃗
𝑵⃗⃗
𝒔̂
   
     
   
   
mA
AA
kjikji
B
B
ABAB
BB
BB
901,0
83,84cos10cos
83,84
0,0901
1020
702,9425,200428,718,57
cos
A
A
coscos










 


 






𝑯⃗⃗⃗
𝑭⃗⃗
𝑵⃗⃗
𝒇̂
       
 kji
kji
kji
ˆ032,45ˆ166,180ˆ066,73BxA
ˆ)425,2()57,18()4,7(0ˆ),7029()57,18()0(0),7029()428,7()0()4,2(
0428,757,18
,7029425,20
ˆˆ
BxA









10. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 9
2.12.10. La suma de de 2 vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ es 5i + j + 3k, su producto vectorial A⃗⃗ xB⃗⃗ = -10i – j + 17k y su producto escalar
A⃗⃗ ∙ B⃗⃗ = 6 u. ¿Hallar los vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ ?.
         
              
           
           
   
     
     
 
         
     
 
     
 
   
   
   
     
   
   
k)0,0543,351244,0(Byk)946,2351,2244,5(A
2Solucion
k)661,2220,2101,4(Byk)339,0220,3899,0(A
1Solucion
0,054946,23946,2
5
1
244,5
5
3
661,2339,03339,0
5
1
899,0
5
3
3,351351,21351,2
5
17
244,5
5
1
220,2220,31220,3
5
17
899,0
5
1
244,0244,55244,5
101,4899,05899,0
352
165354215215
016521535
22516915452893485525125
2251315451785525125
(25)*10
5
1
5
3
5
1
5
3
3
5
17
5
1
5
17
5
1
5
1035
10315
10
5
17
5
1
5
1
5
3
1751531013
1751531013
17511531013
17110
1710
315
315
35
2
2
222
222
22
2
222



















































jiji
jiji
BzBzAzAz
BzBzAzAz
ByByAyAy
ByByAyAy
BxBxAx
BxBxAx
Ax
AxAx
AxAxAxAxAxAxAxAx
AxAxAxAxAxAx
AxAxAxAxAxAx
AzAzAyAyAxAx
AzAzAyAyAxAx
BzAzByAyBxAxBzByBxAzAyAxBA
AyAxAzAx
AyAxAzAxAzAy
AxAyAyAyAxAxAzAxAzAzAxAxAyAzAzAyAzAy
AxAyAyAxAxAzAzAxAyAzAzAy
AyBxByAxAzBxBzAxAzByBzAy
kjikAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAy
BzByBx
AzAyAx
BxA
AzBzAyByAxBx
BzAzByAyBxAx
kjikBzAzjByAyiBxAxkBzjByiBxkAzjAyiAxBA









11. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 10
2.12.11. Se tiene dos vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ cuya suma es S⃗ = A⃗⃗ + B⃗⃗ = −4î − 6ĵ + 2k̂ paralelos entre si y cuyo producto
escalar es -22. Hallar dichos vectores
         
              
           
           
   
     
     
         
     
 
 
     
 
   
   
     
     
     
     
k)4,9542,862908,1(Byk)954,2862,8908,5(A
2Solucion
k)393,1821,7241,5(Byk)607,0821,1241,1(A
1Solucion
4,954954,222954,2908,55,050
393,1607,022607,0214,15,050
2,862,862866862,8908,55,151
821,7821,166821,1214,15,151
908,15,90844908,5
241,5241,144241,1
32
22341414
022143
022143
22,25025,294
22,50,5025,15,164
22264
22264
22
5,1,50
05,10203
046042062
046042062
000
000
264
264
264
2
2
2
222
222
222



























jiji
jiji
BzAzBzAzAx,Az
BzAzBzAzAx,Az
ByAyByAyAx,Ay
ByAyByAyAx,Ay
BxAxBxAx
BxAxBxAx
Ax
AxAx
AxAx
AxAxAxAxAxAx
AxAxAxAxAxAx
AzAzAyAyAxAx
AzAzAyAyAxAx
BzAzByAyBxAxBzByBxAzAyAxBA
AyAxAzAx
AyAxAzAxAzAy
AxAyAyAyAxAxAzAxAzAzAxAxAyAzAzAyAzAy
AxAyAyAxAxAzAzAxAyAzAzAy
AyBxByAxAzBxBzAxAzByBzAy
kjikAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAy
BzByBx
AzAyAx
BxA
AzBzAyByAxBx
BzAzByAyBxAx
kjikBzAzjByAyiBxAxkBzjByiBxkAzjAyiAxBA









12. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 11
2.12.12. Hallar el vector unitario de un vector de módulo 20 que sea perpendicular a (2, –4, 0) y forme un ángulo de 30°
con (0, 0, 4).
 
             
 
     
       
   
   
     
     
     
   
 
 
 
k)544,18350,3,7006(A
1Solucion
350,3700,65,05,0
2Ec.De
700,6
896,44
120,5625,1
400880,34325,0
400544,185,0
400
1Ec.laen2Ec.y3Ec.ladoReemplazan
3Ec.544,18
20
22cos
20420
4
0,0,4,,
4,0,0,,
coscos
22angulounformen(0,0,4)vectorelconvectorelqueparaCondicion
2Ec.5,004200,4,2,,0
0,4,2vectorelconvectordellaridadperpenticudeCondicion
1Ec.40020
buscadovectoralLlamamos
2
2
22
222
222
222222




















ji
AyAxAy
Ax
Ax
Ax
AxAx
AxAx
AzAyAx
Az
Az
AzAz
AzAyAx
AzAyAx
CA
CA
CACA
CA
AxAyAyAxAzAyAxBA
BA
AzAyAxAzAyAxA
kAzjAyiAxA
























13. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 12
2.12.13. Hallar el volumen y superficie en forma vectorial de una prisma de base un hexágono de lado a y altura 4.a.
a
4.a
Y
X
Z
a
60°
60°60°
aa
 
 
                    
   
    392,106012433
:1EclaeneldoReemplazan
4
00cos00cos40000
040
00
0cos
volumendelCalculo
1Ec3
2
6
prismaladevolumendelCalculo
)0;4;0()0;0;();0;cos(
:vectoreslosobtienesegraficoDel
prismaladevolumendelCalculoa)
333
1
1
3
1
1
1
1
1
1
asenasena
sena
aasenaaaasena
a
a
senaa
HBxA
aCaBsenaaA
TTT
TT













 











𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗
𝑯⃗⃗⃗
Y
X
Z
a
4.a
θ
𝑪⃗⃗
𝑯⃗⃗⃗
Y
Z
4.a
a
𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗
X
Z
aθ
 
                
     
 
              
     
   
   22
22
2121
2
1
2
2
2222
2
2
2
2
1
2222
1
2
1
1
1
196,26046
46666
2
626
:totalAreadelCalculo
00
00cos0cosi000
00
0cos
4004
0040040000400
040
00
volumendelCalculo
)0;4;0();0;0()0;0;();0;cos(
:vectoreslosobtienesegraficoDel
prismaladelsuperficiaareadelCalculob)
aAsenaA
senaaAAAA
A
AA
senaAsenaA
kaajsenaaasenaA
a
senaa
BxAA
aAaA
kjiakajaiaaA
a
a
HxCA
aHaCaBsenaaA
TT
T





































14. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 13
2.12.14. Una prisma de base un pentágono de lado b y altura 5 u tiene un volumen de 2000 u³ Hallar: a) El lado del
pentágono en forma vectorial b) La superficie externa de dicho pentágono en forma vectoria .
 
 
                    
   
       uausenbsenah
senah
aasenaaahsena
h
a
senaa
HBxA
hCaBsenaaA
T
TT
971,12249,15b2000728506,055,25,25,2
:1EclaeneldoReemplazan
00cos00cos0000
00
00
0cos
volumendelCalculo
1Ec5,2
2
5
prismaladevolumendelCalculo
)0;;0()0;0;();0;cos(
:vectoreslosobtienesegraficoDel
prismaladealturaladeCalculoa)
22
1
1
2
1
1
1
1
1
1












 











𝑪⃗⃗
𝑯⃗⃗⃗
Y
Z
5
a
𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗
X
Z
aθ
 
                
     
 
              
     
   
         ²24,112472971,12971,1255
5555
2
525
:totalAreadelCalculo
00
00cos0cosi000
00
0cos
00
0000000000
00
00
volumendelCalculo
)0;;0();0;0()0;0;();0;cos(
:vectoreslosobtienesegraficoDel
prismaladelsuperficiaareadelCalculob)
2
2
2121
2
1
2
2
2222
2
2
2
1
222
1
1
1
1
uAsenA
senaahAAAA
A
AA
senaAsenaA
kaajsenaaasenaA
a
senaa
BxAA
ahAahA
kjiahkhjaiahA
h
a
HxCA
hHaCaBsenaaA
TT
T



































Y
XZ
b
5 u
𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗
𝑯⃗⃗⃗
Y
X
Z
b
h=5
θ
b5,0
b
72°
54°54°
aa
36°
a
  ba
a
b
sen 

 8506,0
5,0
36

15. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 14
2.12.15. Cuatro vectores A⃗⃗ , B⃗⃗ , C⃗ y D⃗⃗ definen una prisma en el espacio, el vector de menor longitud es el vector que
define la prisma, A(5,5,3), B(-2,2,2), C(2,5,-2), D(-3,4,-1): Hallar el volumen de la prisma y
 
                                
3
52
343731447213431
321
434
137
prismaladevolumendelCalculo
)3;2;1()2;2;2()1;4;3(
)4;3;4()2;2;2()2;5;2(
)1;3;7()2;2;2()3;5;5(
:vectoreslosobtienesegraficoDel
prismaladevolumendelCalculoa)
u
HNxL
HHBDHDHB
NNBCNCNB
LLBALALB














𝐴
𝐵⃗
𝐶
𝐷⃗⃗ 𝑵⃗⃗
𝑳⃗⃗
𝑯⃗⃗⃗