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Trigonometría
                 SEMANA 15
           ECUACIONES                                       3.     Resolver y dar la suma                de
        TRIGONOMÉTRICAS                                            soluciones de la ecuación:


1.      Halle la suma de las 3     primeras                        cos 2 x  sen x  0; x  0º;360º
                                                                                                   
        soluciones   positivas      de   la
                                     2                             A) 450º        B) 630º          C) 540º
        ecuación: sen 5x  10º                                  D) 360º        E) 300º
                                    2

       A) 111º         B) 133º         C) 122º                     RESOLUCIÓN
       D) 132º         E) 123º                                     cos 2 x  sen x  0;x  0º;360º
                                                                                                  
                                                                   1  2 sen x   senx  0
                                                                              2

       RESOLUCIÓN
                                                                   0  2 sen2x  senx  1
                 2                 2
sen 5x  10º     VP  arc sen       45º                            2 sen x        1
                 2                 2 
                                      
                                                                         sen x       -1
        5x  10º  180º n   1 45º
                                           n

                                                                   0   2 senx  1  senx  1
        x  36º n   1 9º  2º;n
                              n


        Si:  n = -1 x = - 43º                                                1    IIIC: x = 210º
             n = 0 x = 11º                                 i)     senx          IVC: x = 330º
                                                                              2
             n = 1 x = 29º
             n = 2  x = 83º                                ii)    sen x = 1      x = 90º
         11º 29º 83º  123º
                                      RPTA.: E                      90º 210º 330º  630º
                                                                                               RPTA.: B
2.      Indique el número de soluciones
        positivas y menores a una vuelta                    4.     Halle la suma de las soluciones de
        de la ecuación: sec x  cos x  sen x                      la ecuación:
                                                                          ctg x – csc 2x = 1
       A) 1            B) 2            C) 3                        Para ángulos positivos menores de
       D) 4            E) 5                                        360º

       RESOLUCIÓN                                                  A) 360º        B) 630º          C) 450º
*       0º < x < 360º                                              D) 660º        E) 810º
                              1
* sec x  cos x  senx            cos x  senx                   RESOLUCIÓN
                            cos x
                                                                   cos x       1
 1  cos2 x  senx cos x  sen2x  senx cos x                                        1
                                                                   sen x 2 sen x cos x
 sen2x  senx cosx  0  senx  senx  cosx   0
                                                                   2cos2 x  1  2senx cos x
i)      senx  0  x  0º,180º,360º,...
                                                                   tg 2x =1
                                          senx
ii)     senx  cos x  0  senx  cos x        1
                                          cos x                                  k 
       tg x= 1 x = 45º, 225º, …                                  de donde: x     
                                                                                  2   8
       Son “3” soluciones: 180;45º;225º
                                                                   Se pide:  Soluc  630º
                                      RPTA.: C                                                 RPTA.: B
                                                     Página 1
Trigonometría
                                                                   A) 30º;90º;150º;270º
5.   Al resolver la ecuación:
                                                                   B) 30º;90º
      tg2 x cos x  3senx
     donde: 0  x  360º , la suma de
                                                                   C) 60º;90º;120º;270º
     todas sus soluciones es:                                      D) 60º;90º
                                                                   E) 30º;60º
     A) 1260º        B) 990º            C) 650º
     D) 720º         E) 570º
                                                                   RESOLUCIÓN
     RESOLUCIÓN                                                    sen2x  cos x;x  0º,360º
                                                                                            
     tg2x  3 tgx                                                  2senx cos x  cos x
       2 tg x                                                      2senx cos x  cos x  0
                3 tg x
     1  tg2 x                                                     cos x 2 senx  1  0
     donde: tg x = 0                                        i)     cos x = 0 x = 90º ; 270º;…
    x = 0; 180º; 360º                                                     1
     Pero: 2 = 3 -3 tg2 x                                   ii)    sen x   x  30;150º;... .
                                                                           2
                     1                                            conjunto solución =
             tg2 x 
                     3                                             30º;90º;150º;270º
    x = 30º; 150º; 210º; 330º                                                               RPTA.: A
     Se pide:  Soluc = 1 260º
                                    RPTA.: A                8.     Siendo tg2x  tgx  sen3x sec x ;
                                                                   x  0; Indique la suma de las
                                                                          
6.   Halle los valores de “x” en el
                                                                   soluciones.
     primer cuadrante que verifican la
     ecuación:
                                                                                                  3
     cos 4 x -3 cos3x+3cos2x -1=0                                  A)            B)          C)
                                                                        2                          2
                                                                                      5
     A) 15º y 75º             B) 45º y 30º                         D) 2         E)
                                                                                      2
     C) 30º y 60º             D) 15º y 30º
     E) 18º y 60º
                                                                   RESOLUCIÓN
     RESOLUCIÓN                                                    tg2x  tgx  sen3x sec x, x  0;  
     - 3 cos 3x = 1 - cos 4x-3 cos 2x                                          3
                                                                   x  ,x  ,        ,
                                   
     -3cos 3x=1- 2 cos2 2x  1  3cos2x                                2       4 4
                                                                     sen  3x      sen3x
     -3cos 3x=2-3cos2x-2cos2 2x                                                            ;cos x  0
                                                                   cos 2x cos x       cos x
     -3cosx 2cos2x-1  2  cos2x 1  2cos2x                                   k              
                                                            i)     sen 3x = 0 x         k=1  x=
                                                                                    3               3
     de donde: x = 30º y 60º
                                                                                                   2
                                     RPTA.: C                                             k=2  x=
                                                                                                   3
7.   Resolver        la      ecuación:                                                    k=3  x=
     sen 2x = cos x     e indicar sus
     soluciones para x 0º;360º                           ii)    cos 2x = 1  2x = 2   x = 
                               
                                                                   (ya se considero)
                                                                  Suma = 2 
                                                                                             RPTA.: D
                                                     Página 2
Trigonometría
                                                              RESOLUCIÓN
9.     Resolver:                                                                sen x   1
       cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x                   sen x  cos x 
                                                                                cos x cos x
       Indique el número de soluciones
       en el intervalo de 0;
                                                                           
                                                              cos3 x  senx 1  cos2 x   
                                                              3
                                                              tg x  1  tgx  1
       A) 5           B) 6            C) 7                              
                                                             x = k +
       D) 8           E) 9                                              4
                                                                                         RPTA.: E
       RESOLUCIÓN
                                                       11.    Determine la suma de soluciones
       2 cos2 x  2 cos2 2x  2 cos2 3x  2 cos2 4x
                                                              de la ecuación:
      cos2 x  cos 4 x  cos6 x  cos8 x
                                                              senx  3 cos x  1 ;x  0;2 
                                                                                           
       2 cos3 x cos x  2 cos7 x cos x
                           
i)     cos x = 0 x                                             2           3                  5
                           2                                  A)           B)                C)
                                                                 3             5                  3
ii) cos3x  cos7x  0  2sen5x sen2x  0
                                                                 3           
                                                              D)           E)
                                                                  2           6
                      k
a) sen 2x = 0 x             k = 0x = 0
                      2
                                                              RESOLUCIÓN
                                        
                              k = 1x =                       senx  3 cos x  1
                                        2
                              k= 2 x =                      1  3 cos x  senx
                                                              1     3           1
                    k                                                cos x    sen x
b) sen 5x = 0  x            k=1 x                         2    2            2
                    5                     5                   1
                                         2                      cos 30º cos x  sen30º sen x
                              k= 2 x                        2
                                         5                    1
                                          3                     cos  x  30º 
                              k = 3 x                       2
                                          5
                                         4                                           60º
                              k = 4 x                                          1
                                         5
      Hay 7 soluciones                                                          2
                                      RPTA.: C                                    1
10.    Resolver: senx  cos x  tgx sec x                                         2
                                                                                      300º
       La solución de la ecuación es:
                                                                    C.T.
       (K es un número entero)
                                                                                            
                                                       i)     x  30º  60º  x  30º 
                                                                                      6
       A) k               B) k     
                4                    6                                                 3
                                                       ii)    x  30º  300º  x  270º 
                                                                                     2
       C) k               D) k                              3 5
                12                   18                   6  2  3
                
       E) k   
                4
                                                                                             RPTA.: C

                                                Página 3
Trigonometría
                                                        i)          cos 4x  0  4x  90º  x  22º30'
12.   Halle uno de los valores de x que                 ii)         cos6x  1  6x  360º  x  60º
      satisfacen la ecuación
                                                                                        11 
      cos5x  3 sen5x  2 cos x  0                                  22º30' 60º  8  3  24
      (K es un número entero)                                                                        RPTA.: E

           K                                        14.    Al resolver la ecuación:
      A)           
            2    12                                   1  tgx  1  sen2x   1  tgx  1  cos2x 
           K                                                    La suma de las soluciones
      B)           
            3    12                                               comprendidos entre 0 y 180º
           K                                                    será:
      C)           
            4    12 
                                                                    A) 360º           B) 240º         C) 245º
           K                                                    D) 315º           E) 325º
      D)           
            2    18 

      E)
           K 
                
                                                                  RESOLUCIÓN
                    
            2    12                                                      2 tgx                1  tg2x 
                                                            1  tgx  1      2 
                                                                                     1  tgx  1     2 
                                                                        1  tg x                1  tg x 
      RESOLUCIÓN                                                        1  tgx 2                2 tg2x 
      cos x  3 sen5 x  2 cos x                            1  tgx          2
                                                                                       1  tgx        2  
                                                                        1  tg x 
                                                                                                  1  tg x 
                 
      cos   5 x   cos x                                                                      
           3                                                     de donde: x1  k 
      de donde:                                                                                  4
            k                                                                                  
      x1                                                                             x2  k 
             2   12                                                                              6
            k                                                    Se pide:  Soluc.  315º
      x2      
             3   18                                                                                 RPTA.: D
                                   RPTA.: A
                                                        15.         Al resolver la ecuación:
13.   Resolver e indicar la suma de las                             sen 2x =cos2 x tgx csc x
      2 primeras soluciones positivas                               Calcule la diferencia entre                 las
      de la ecuación:                                               menores soluciones positivas.
      cos2 5x  sen2 x  cos 4x
                                                                       2                                  
         5             5             7
                                                                    A)                B)              C)
      A)             B)             C)                                 3                 6                 12
         12             24             24                              2                3
         7             11 
                                                                    D)                E)
      D)             E)                                                15                4
         12              24
                                                                    RESOLUCIÓN
      RESOLUCIÓN                                                                                                k
           2             2
                                                                    sen2x  cos2 x tg x csc x, x 
     cos 5x  sen x  cos 4x  0                                                                               2
      cos 5x  x  cos 5x  x   cos 4x  0              2 sen x cos x  cos2 x
                                                                                     senx 1
                                                                                                 ; senx  0
      cos 6 x cos 4x  cos 4x  0                                                    cos x sen x
                                                                                                    cos x  0
      cos 4 x  cos 6x  1  0

                                                 Página 4
Trigonometría
                                                                       2        2                 2
                                                                       senx    cos x  2 senx
                             x                                        2        2                 2
                   1            6                                   tg x = - 1
        sen x                  5
                   2         x                                    x = - 45º
                                 6                                                              RPTA.: C

                             2                              18.    Resolver la ecuación:
       Diferencia =
                             3                                      3 1  cos x   sen2 x;n 

                                        RPTA.: A
                                                                                                    
                                                                    A) { 2  n } B) {  n }     C)  n
16.     Determinar todas las soluciones                                                            2 
        de la ecuación:                                                                   
                                                                    D) 4  n    E)  n
        1  tgx 3  ctgx                                                                 4 
                        k 
        1  tgx 3  ctgx
                                                                    RESOLUCIÓN
                                                              3 1  cos x   sen2 x
        A) k                  B) K   
                    4                    6                      3  3cos x  1  cos2 x
                                                              c os2 x  3cos x  2  0
        C) K                  D) K      
                    12                   18                     cos x            -2
                                                                 cos x            -1
        E) K        
                    4
                                                             i)     c os x  2  0  cos x  2  x
        RESOLUCIÓN                                                                   ¡Incompatible!
          2        6
                                                            ii)    cos x -1 = 0  cos x =1
        2 tg x 2 ctg x
                                                                   x  2  n ; "n"
        ctgx  3 tgx
                                                                                                RPTA.: A
        ctg2 x  3
                                                             19.    Indique la solución general de la
                                                                   ecuación:
       x  k 
                 6                                                                     5
                                        RPTA.: B                    sen4 x  cos4 x  ;"n"
                                                                                       8

17.     Al resolver la ecuación:                                                     
sen  x  135º  cos  x  135º  cos  x  135º                 A) x  2  n 
                                                                                     6
        El mayor ángulo negativo x es:                                           
                                                                    B) x     n
                                                                           2      3
        A) 15º          B) – 75º         C)  45º                                  
        D) 87º          E) – 39º                                   C) x  2  n 
                                                                                    3
                                                                                  
        RESOLUCIÓN                                                  D) x  n 
                                                                           2       6
sen  x  135   c os  x  135   cos  x  135                           
                                                                    E) x   n 
sen  x  135   2 sen x sen135                                              6



                                                      Página 5
Trigonometría
       RESOLUCIÓN
                            5                           21.        Resolver           la          ecuación
        sen4 x  cos4 x                                           trigonométrica:
                            8
                                                            0,5cos2 x  3 senx cos x  0,5sen2 x  0, k 
        3  cos 4x          5
                        
             4              8                                          k                         
                                                                   A)                    B)  k   
                                1                                      2     6                     3
         co s 4x          
                                2                                      k                    k     
                      1
                                                                   C)                    D)         
       VP  arc cos     120                                      2     3                2    12 
                      2                                                   
       4x  360 n  120                                         E) k   
                                                                            6
        x  90 n  30
                                                                 RESOLUCIÓN
       x     n     ; "n"
            2      6                                                cos2 x  sen2 x  3 2senx cos x  0
                                       RPTA.: D
                                                                                                    3
                                                                    3 sen2x   cos2x  tg2x  
20.    Resolver la siguiente ecuación                                                              3
       trigonométrica                                                               k           
                                                                   2x  k    x          ,k  
                           3                                                  6       2    12      
       cos2 5x  sen2 3 x  cos2x ,  k 
                           2                                                                         RPTA.: D

                                                     22.         Resolver          la       ecuación
       A)  2K  1 
                   2                                              trigonométrica
                                                                                     x
       B)  2K  1                                               3 cos x  7  4 cos
                   4                                                                  2
                                                                    Indique la suma de las soluciones
                   
       C)  2K  1                                               en el intervalo de 0;6 
                                                                                            
                   3
                   
       D)  2K  1                                              A) 2            B) 4             C) 6 
                   5
                                                                D) 8            E) 10 
       E)  2K  1 
                   8
                                                                   RESOLUCIÓN
                                                                               x         x       x
       RESOLUCIÓN                                       3cos x  7  4 cos        6 cos2  4 cos  10  0
                                                                               2         2       2
                                    3
        cos2 5x  sen2 3x           cos 2x                    x   
                                    2                  3  2 cos2  1
                                                                2   
                             3
        cos 8x cos 2x        cos 2x
                             2
                                                                x       x               x         x 
i) cos 2x  0  2x  2k  1  x  2k  1 ,k  Z     3cos2        2cos  5  0   3cos  5   cos  1  0
                             2              2                     2       2               2  2 
                    3                                             x
ii)     cos 8 x    x                                   3 cos           -5            0
                    2                                             2
                                                             x                           x
       x   2k  1 ,k                                 cos             + 1  cos  1
                      4                                       2                           2
                                       RPTA.: B
                                                 Página 6
Trigonometría
                 x
      Luego:         2k  1 
                 2                                                   Halle: “x” y “y”,                 si    0 x ;
                                                                     0 y 
     x  2 2k  1               k  0 x  2                           7        
                                                                     A) x     ;y 
                                    k  1 x  6                           12      12
                                                                            7        
                                                                     B) x     ;y 
     Suma = 8                                                             10      10
                                                                            3       
                                                                     C) x     ;y 
                                         RPTA.: D                            4       2
                                                                            2       
                                                                     D) x     ;y 
23.   Dado el sistema:                                                       3       4
                                                                                3
      xy                                                           E) x  ;y 
             2                                                              8       8
      cos x               
                     3  2 cos y
      Indique una solución general de y
                                                                     RESOLUCIÓN
       k                                                         Como:
                                                                                  6        x  y     x  y
                                                         a) senx  seny          2sen       cos  2  
      A)    k                                                                 2         2             
                   24 
                                                                         6
                                                                  =     ………………………………….……(1)
      B)    k                                                        2
                  12 
                                                                  Como:
      C)     k       
                   10                                                          2        x  y      x  y
                                                         b) cos x  cos y       2cos       cos  2  
      D)     k                                                               2         2              
                    6
                                                                         2
                                                                  =     ……………………………………..(2)
      E)     k                                                       2
                   3
                                                                     (1)  (2)
      RESOLUCIÓN                                                  x  y                              2
                                   
                                                            tg              3  x  y  3 ………   
Como: x       y  cos x  cos   y    seny                   2 
            2                   2                                  También:
Luego en: cos x               
                          3  2 cos y , se tiene:            a : sen2 x  sen2 y  2 sen x sen y  ……(3)
                                                                2                                             3
                                                                                                              2
                                                                                                             1
      tgy  2  3  y  k      ,k                      b : cos2 x  cos2 y  2 cos x cos y  .….(4)
                                                                2

                              12                                                                              2
                                                                     (3) + (4):
                                         RPTA.: B                                                                
                                                            2  2cos  x  y   2  cos  x  y   0  x  y  …   
                                                                                                                 2
24.   Dado el sistema:
                                                                                                   7              7
                       6                                                    : 2x                  x 
      sen x  sen y                                                                                6              12
                      2
                                                                                                        
      cos x  cos y 
                      2                                                    :   2y          y 
                                                                                                6       12
                      2
                                                                                                            RPTA.: A
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  • 1. Trigonometría SEMANA 15 ECUACIONES 3. Resolver y dar la suma de TRIGONOMÉTRICAS soluciones de la ecuación: 1. Halle la suma de las 3 primeras cos 2 x  sen x  0; x  0º;360º   soluciones positivas de la 2 A) 450º B) 630º C) 540º ecuación: sen 5x  10º  D) 360º E) 300º 2 A) 111º B) 133º C) 122º RESOLUCIÓN D) 132º E) 123º cos 2 x  sen x  0;x  0º;360º   1  2 sen x   senx  0 2 RESOLUCIÓN 0  2 sen2x  senx  1 2  2 sen 5x  10º   VP  arc sen   45º 2 sen x 1 2  2     sen x -1 5x  10º  180º n   1 45º n  0   2 senx  1  senx  1 x  36º n   1 9º  2º;n n Si: n = -1 x = - 43º 1 IIIC: x = 210º n = 0 x = 11º i) senx   IVC: x = 330º 2 n = 1 x = 29º n = 2  x = 83º ii) sen x = 1 x = 90º    11º 29º 83º  123º RPTA.: E    90º 210º 330º  630º RPTA.: B 2. Indique el número de soluciones positivas y menores a una vuelta 4. Halle la suma de las soluciones de de la ecuación: sec x  cos x  sen x la ecuación: ctg x – csc 2x = 1 A) 1 B) 2 C) 3 Para ángulos positivos menores de D) 4 E) 5 360º RESOLUCIÓN A) 360º B) 630º C) 450º * 0º < x < 360º D) 660º E) 810º 1 * sec x  cos x  senx   cos x  senx RESOLUCIÓN cos x cos x 1  1  cos2 x  senx cos x  sen2x  senx cos x  1 sen x 2 sen x cos x  sen2x  senx cosx  0  senx  senx  cosx   0 2cos2 x  1  2senx cos x i) senx  0  x  0º,180º,360º,... tg 2x =1 senx ii) senx  cos x  0  senx  cos x  1 cos x k   tg x= 1 x = 45º, 225º, … de donde: x   2 8  Son “3” soluciones: 180;45º;225º Se pide:  Soluc  630º RPTA.: C RPTA.: B Página 1
  • 2. Trigonometría A) 30º;90º;150º;270º 5. Al resolver la ecuación: B) 30º;90º tg2 x cos x  3senx donde: 0  x  360º , la suma de C) 60º;90º;120º;270º todas sus soluciones es: D) 60º;90º E) 30º;60º A) 1260º B) 990º C) 650º D) 720º E) 570º RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN sen2x  cos x;x  0º,360º   tg2x  3 tgx 2senx cos x  cos x 2 tg x 2senx cos x  cos x  0  3 tg x 1  tg2 x cos x 2 senx  1  0 donde: tg x = 0 i) cos x = 0 x = 90º ; 270º;…  x = 0; 180º; 360º 1 Pero: 2 = 3 -3 tg2 x ii) sen x   x  30;150º;... . 2 1  conjunto solución = tg2 x  3 30º;90º;150º;270º  x = 30º; 150º; 210º; 330º RPTA.: A Se pide:  Soluc = 1 260º RPTA.: A 8. Siendo tg2x  tgx  sen3x sec x ; x  0; Indique la suma de las  6. Halle los valores de “x” en el soluciones. primer cuadrante que verifican la ecuación:  3 cos 4 x -3 cos3x+3cos2x -1=0 A) B)  C) 2 2 5 A) 15º y 75º B) 45º y 30º D) 2  E) 2 C) 30º y 60º D) 15º y 30º E) 18º y 60º RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN tg2x  tgx  sen3x sec x, x  0;  - 3 cos 3x = 1 - cos 4x-3 cos 2x   3 x  ,x  , ,   -3cos 3x=1- 2 cos2 2x  1  3cos2x 2 4 4 sen  3x  sen3x -3cos 3x=2-3cos2x-2cos2 2x  ;cos x  0 cos 2x cos x cos x -3cosx 2cos2x-1  2  cos2x 1  2cos2x  k  i) sen 3x = 0 x  k=1  x= 3 3 de donde: x = 30º y 60º 2 RPTA.: C k=2  x= 3 7. Resolver la ecuación: k=3  x= sen 2x = cos x e indicar sus soluciones para x 0º;360º ii) cos 2x = 1  2x = 2   x =    (ya se considero)  Suma = 2  RPTA.: D Página 2
  • 3. Trigonometría RESOLUCIÓN 9. Resolver: sen x 1 cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x sen x  cos x  cos x cos x Indique el número de soluciones en el intervalo de 0;  cos3 x  senx 1  cos2 x    3 tg x  1  tgx  1 A) 5 B) 6 C) 7   x = k + D) 8 E) 9 4 RPTA.: E RESOLUCIÓN 11. Determine la suma de soluciones 2 cos2 x  2 cos2 2x  2 cos2 3x  2 cos2 4x de la ecuación:  cos2 x  cos 4 x  cos6 x  cos8 x senx  3 cos x  1 ;x  0;2    2 cos3 x cos x  2 cos7 x cos x  i) cos x = 0 x  2 3 5 2 A) B) C) 3 5 3 ii) cos3x  cos7x  0  2sen5x sen2x  0 3  D) E) 2 6 k a) sen 2x = 0 x  k = 0x = 0 2 RESOLUCIÓN  k = 1x = senx  3 cos x  1 2 k= 2 x =  1  3 cos x  senx 1 3 1 k   cos x  sen x b) sen 5x = 0  x  k=1 x 2 2 2 5 5 1 2  cos 30º cos x  sen30º sen x k= 2 x  2 5 1 3  cos  x  30º  k = 3 x  2 5 4 60º k = 4 x  1 5  Hay 7 soluciones 2 RPTA.: C 1 10. Resolver: senx  cos x  tgx sec x 2 300º La solución de la ecuación es: C.T. (K es un número entero)  i) x  30º  60º  x  30º      6 A) k    B) k     4  6 3 ii) x  30º  300º  x  270º        2 C) k    D) k     3 5  12   18    6  2  3   E) k     4 RPTA.: C Página 3
  • 4. Trigonometría i) cos 4x  0  4x  90º  x  22º30' 12. Halle uno de los valores de x que ii) cos6x  1  6x  360º  x  60º satisfacen la ecuación   11  cos5x  3 sen5x  2 cos x  0    22º30' 60º  8  3  24 (K es un número entero) RPTA.: E K    14. Al resolver la ecuación: A)     2 12  1  tgx  1  sen2x   1  tgx  1  cos2x  K    La suma de las soluciones B)     3 12  comprendidos entre 0 y 180º K    será: C)     4 12  A) 360º B) 240º C) 245º K    D) 315º E) 325º D)     2 18  E) K     RESOLUCIÓN    2 12   2 tgx   1  tg2x  1  tgx  1  2   1  tgx  1  2   1  tg x   1  tg x  RESOLUCIÓN  1  tgx 2   2 tg2x  cos x  3 sen5 x  2 cos x 1  tgx   2   1  tgx   2   1  tg x    1  tg x    cos   5 x   cos x   3  de donde: x1  k  de donde: 4 k   x1   x2  k  2 12 6 k  Se pide:  Soluc.  315º x2   3 18 RPTA.: D RPTA.: A 15. Al resolver la ecuación: 13. Resolver e indicar la suma de las sen 2x =cos2 x tgx csc x 2 primeras soluciones positivas Calcule la diferencia entre las de la ecuación: menores soluciones positivas. cos2 5x  sen2 x  cos 4x 2   5 5 7 A) B) C) A) B) C) 3 6 12 12 24 24 2 3 7 11  D) E) D) E) 15 4 12 24 RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN k 2 2 sen2x  cos2 x tg x csc x, x   cos 5x  sen x  cos 4x  0 2 cos 5x  x  cos 5x  x   cos 4x  0 2 sen x cos x  cos2 x senx 1 ; senx  0 cos 6 x cos 4x  cos 4x  0 cos x sen x cos x  0 cos 4 x  cos 6x  1  0 Página 4
  • 5. Trigonometría 2 2 2   senx  cos x  2 senx x 2 2 2 1 6 tg x = - 1 sen x  5 2 x  x = - 45º 6 RPTA.: C 2 18. Resolver la ecuación:  Diferencia = 3 3 1  cos x   sen2 x;n  RPTA.: A   A) { 2  n } B) {  n } C)  n 16. Determinar todas las soluciones 2  de la ecuación:   D) 4  n E)  n 1  tgx 3  ctgx 4   k  1  tgx 3  ctgx RESOLUCIÓN     3 1  cos x   sen2 x A) k    B) K     4  6 3  3cos x  1  cos2 x       c os2 x  3cos x  2  0 C) K    D) K     12   18  cos x -2   cos x -1 E) K     4 i) c os x  2  0  cos x  2  x RESOLUCIÓN ¡Incompatible! 2 6  ii) cos x -1 = 0  cos x =1 2 tg x 2 ctg x  x  2  n ; "n" ctgx  3 tgx RPTA.: A ctg2 x  3 19. Indique la solución general de la  ecuación:  x  k  6 5 RPTA.: B sen4 x  cos4 x  ;"n" 8 17. Al resolver la ecuación:  sen  x  135º  cos  x  135º  cos  x  135º A) x  2  n  6 El mayor ángulo negativo x es:   B) x  n 2 3 A) 15º B) – 75º C)  45º  D) 87º E) – 39º C) x  2  n  3   RESOLUCIÓN D) x  n  2 6 sen  x  135   c os  x  135   cos  x  135   E) x   n  sen  x  135   2 sen x sen135 6 Página 5
  • 6. Trigonometría RESOLUCIÓN 5 21. Resolver la ecuación sen4 x  cos4 x  trigonométrica: 8 0,5cos2 x  3 senx cos x  0,5sen2 x  0, k  3  cos 4x 5  4 8  k     A)    B)  k    1  2 6  3 co s 4x   2  k    k    1 C)    D)     VP  arc cos     120  2 3  2 12   2    4x  360 n  120 E) k     6 x  90 n  30   RESOLUCIÓN  x n ; "n" 2 6 cos2 x  sen2 x  3 2senx cos x  0 RPTA.: D 3  3 sen2x   cos2x  tg2x   20. Resolver la siguiente ecuación 3 trigonométrica  k     2x  k    x    ,k   3 6  2 12  cos2 5x  sen2 3 x  cos2x ,  k  2 RPTA.: D   22. Resolver la ecuación A)  2K  1   2 trigonométrica   x B)  2K  1  3 cos x  7  4 cos  4 2 Indique la suma de las soluciones   C)  2K  1  en el intervalo de 0;6     3   D)  2K  1  A) 2  B) 4  C) 6   5   D) 8  E) 10  E)  2K  1   8 RESOLUCIÓN x x x RESOLUCIÓN 3cos x  7  4 cos  6 cos2  4 cos  10  0 2 2 2 3 cos2 5x  sen2 3x   cos 2x  x  2 3  2 cos2  1  2  3 cos 8x cos 2x   cos 2x 2   x x  x  x  i) cos 2x  0  2x  2k  1  x  2k  1 ,k  Z 3cos2  2cos  5  0   3cos  5   cos  1  0 2 2 2 2  2  2  3 x ii) cos 8 x    x   3 cos -5 0 2 2    x x  x   2k  1 ,k   cos + 1  cos  1  4  2 2 RPTA.: B Página 6
  • 7. Trigonometría x Luego:   2k  1  2 Halle: “x” y “y”, si 0 x ; 0 y   x  2 2k  1  k  0 x  2  7  A) x  ;y  k  1 x  6  12 12 7  B) x  ;y   Suma = 8  10 10 3  C) x  ;y  RPTA.: D 4 2 2  D) x  ;y  23. Dado el sistema: 3 4   3 xy E) x  ;y  2 8 8 cos x    3  2 cos y Indique una solución general de y RESOLUCIÓN  k   Como: 6 x  y x  y    a) senx  seny   2sen   cos  2   A) k    2  2     24  6    = ………………………………….……(1) B) k    2  12     Como: C) k     10  2 x  y  x  y   b) cos x  cos y   2cos   cos  2   D) k    2  2     6 2   = ……………………………………..(2) E) k    2  3 (1)  (2) RESOLUCIÓN x  y 2    tg    3  x  y  3 ………    Como: x   y  cos x  cos   y    seny  2  2 2  También: Luego en: cos x    3  2 cos y , se tiene:  a : sen2 x  sen2 y  2 sen x sen y  ……(3) 2 3 2    1 tgy  2  3  y  k   ,k   b : cos2 x  cos2 y  2 cos x cos y  .….(4) 2  12  2 (3) + (4): RPTA.: B  2  2cos  x  y   2  cos  x  y   0  x  y  …    2 24. Dado el sistema: 7 7 6       : 2x   x  sen x  sen y  6 12 2   cos x  cos y  2       : 2y   y  6 12 2 RPTA.: A Página 7