1. Trigonometría
SEMANA 15
ECUACIONES 3. Resolver y dar la suma de
TRIGONOMÉTRICAS soluciones de la ecuación:
1. Halle la suma de las 3 primeras cos 2 x  sen x  0; x  0º;360º
 
soluciones positivas de la
2 A) 450º B) 630º C) 540º
ecuación: sen 5x  10º  D) 360º E) 300º
2
A) 111º B) 133º C) 122º RESOLUCIÓN
D) 132º E) 123º cos 2 x  sen x  0;x  0º;360º
 
1  2 sen x   senx  0
2
RESOLUCIÓN
0  2 sen2x  senx  1
2  2
sen 5x  10º   VP  arc sen   45º 2 sen x 1
2  2 

  sen x -1
5x  10º  180º n   1 45º
n

0   2 senx  1  senx  1
x  36º n   1 9º  2º;n
n
Si: n = -1 x = - 43º 1 IIIC: x = 210º
n = 0 x = 11º i) senx   IVC: x = 330º
2
n = 1 x = 29º
n = 2  x = 83º ii) sen x = 1 x = 90º
   11º 29º 83º  123º
RPTA.: E    90º 210º 330º  630º
RPTA.: B
2. Indique el número de soluciones
positivas y menores a una vuelta 4. Halle la suma de las soluciones de
de la ecuación: sec x  cos x  sen x la ecuación:
ctg x – csc 2x = 1
A) 1 B) 2 C) 3 Para ángulos positivos menores de
D) 4 E) 5 360º
RESOLUCIÓN A) 360º B) 630º C) 450º
* 0º < x < 360º D) 660º E) 810º
1
* sec x  cos x  senx   cos x  senx RESOLUCIÓN
cos x
cos x 1
 1  cos2 x  senx cos x  sen2x  senx cos x  1
sen x 2 sen x cos x
 sen2x  senx cosx  0  senx  senx  cosx   0
2cos2 x  1  2senx cos x
i) senx  0  x  0º,180º,360º,...
tg 2x =1
senx
ii) senx  cos x  0  senx  cos x  1
cos x k 
 tg x= 1 x = 45º, 225º, … de donde: x  
2 8
 Son “3” soluciones: 180;45º;225º
Se pide:  Soluc  630º
RPTA.: C RPTA.: B
Página 1

2. Trigonometría
A) 30º;90º;150º;270º
5. Al resolver la ecuación:
B) 30º;90º
tg2 x cos x  3senx
donde: 0  x  360º , la suma de
C) 60º;90º;120º;270º
todas sus soluciones es: D) 60º;90º
E) 30º;60º
A) 1260º B) 990º C) 650º
D) 720º E) 570º
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN sen2x  cos x;x  0º,360º
 
tg2x  3 tgx 2senx cos x  cos x
2 tg x 2senx cos x  cos x  0
 3 tg x
1  tg2 x cos x 2 senx  1  0
donde: tg x = 0 i) cos x = 0 x = 90º ; 270º;…
 x = 0; 180º; 360º 1
Pero: 2 = 3 -3 tg2 x ii) sen x   x  30;150º;... .
2
1  conjunto solución =
tg2 x 
3 30º;90º;150º;270º
 x = 30º; 150º; 210º; 330º RPTA.: A
Se pide:  Soluc = 1 260º
RPTA.: A 8. Siendo tg2x  tgx  sen3x sec x ;
x  0; Indique la suma de las

6. Halle los valores de “x” en el
soluciones.
primer cuadrante que verifican la
ecuación:
 3
cos 4 x -3 cos3x+3cos2x -1=0 A) B)  C)
2 2
5
A) 15º y 75º B) 45º y 30º D) 2  E)
2
C) 30º y 60º D) 15º y 30º
E) 18º y 60º
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN tg2x  tgx  sen3x sec x, x  0; 
- 3 cos 3x = 1 - cos 4x-3 cos 2x   3
x  ,x  , ,
 
-3cos 3x=1- 2 cos2 2x  1  3cos2x 2 4 4
sen  3x  sen3x
-3cos 3x=2-3cos2x-2cos2 2x  ;cos x  0
cos 2x cos x cos x
-3cosx 2cos2x-1  2  cos2x 1  2cos2x  k 
i) sen 3x = 0 x  k=1  x=
3 3
de donde: x = 30º y 60º
2
RPTA.: C k=2  x=
3
7. Resolver la ecuación: k=3  x=
sen 2x = cos x e indicar sus
soluciones para x 0º;360º ii) cos 2x = 1  2x = 2   x = 
 
(ya se considero)
 Suma = 2 
RPTA.: D
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3. Trigonometría
RESOLUCIÓN
9. Resolver: sen x 1
cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x sen x  cos x 
cos x cos x
Indique el número de soluciones
en el intervalo de 0;

cos3 x  senx 1  cos2 x 
  3
tg x  1  tgx  1
A) 5 B) 6 C) 7 
 x = k +
D) 8 E) 9 4
RPTA.: E
RESOLUCIÓN
11. Determine la suma de soluciones
2 cos2 x  2 cos2 2x  2 cos2 3x  2 cos2 4x
de la ecuación:
 cos2 x  cos 4 x  cos6 x  cos8 x
senx  3 cos x  1 ;x  0;2 
 
2 cos3 x cos x  2 cos7 x cos x

i) cos x = 0 x  2 3 5
2 A) B) C)
3 5 3
ii) cos3x  cos7x  0  2sen5x sen2x  0
3 
D) E)
2 6
k
a) sen 2x = 0 x  k = 0x = 0
2
RESOLUCIÓN

k = 1x = senx  3 cos x  1
2
k= 2 x =  1  3 cos x  senx
1 3 1
k   cos x  sen x
b) sen 5x = 0  x  k=1 x 2 2 2
5 5 1
2  cos 30º cos x  sen30º sen x
k= 2 x  2
5 1
3  cos  x  30º 
k = 3 x  2
5
4 60º
k = 4 x  1
5
 Hay 7 soluciones 2
RPTA.: C 1
10. Resolver: senx  cos x  tgx sec x 2
300º
La solución de la ecuación es:
C.T.
(K es un número entero)

i) x  30º  60º  x  30º 
    6
A) k    B) k   
 4  6 3
ii) x  30º  300º  x  270º 
      2
C) k    D) k     3 5
 12   18    6  2  3
 
E) k   
 4
RPTA.: C
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4. Trigonometría
i) cos 4x  0  4x  90º  x  22º30'
12. Halle uno de los valores de x que ii) cos6x  1  6x  360º  x  60º
satisfacen la ecuación
  11 
cos5x  3 sen5x  2 cos x  0    22º30' 60º  8  3  24
(K es un número entero) RPTA.: E
K    14. Al resolver la ecuación:
A)   
 2 12  1  tgx  1  sen2x   1  tgx  1  cos2x 
K    La suma de las soluciones
B)   
 3 12  comprendidos entre 0 y 180º
K    será:
C)   
 4 12 
A) 360º B) 240º C) 245º
K    D) 315º E) 325º
D)   
 2 18 
E)
K 

  RESOLUCIÓN
 
 2 12   2 tgx   1  tg2x 
1  tgx  1  2 
 1  tgx  1  2 
 1  tg x   1  tg x 
RESOLUCIÓN  1  tgx 2   2 tg2x 
cos x  3 sen5 x  2 cos x 1  tgx   2
  1  tgx   2 
 1  tg x 
  1  tg x 
 
cos   5 x   cos x 
 3  de donde: x1  k 
de donde: 4
k  
x1   x2  k 
2 12 6
k  Se pide:  Soluc.  315º
x2  
3 18 RPTA.: D
RPTA.: A
15. Al resolver la ecuación:
13. Resolver e indicar la suma de las sen 2x =cos2 x tgx csc x
2 primeras soluciones positivas Calcule la diferencia entre las
de la ecuación: menores soluciones positivas.
cos2 5x  sen2 x  cos 4x
2  
5 5 7
A) B) C)
A) B) C) 3 6 12
12 24 24 2 3
7 11 
D) E)
D) E) 15 4
12 24
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN k
2 2
sen2x  cos2 x tg x csc x, x 
 cos 5x  sen x  cos 4x  0 2
cos 5x  x  cos 5x  x   cos 4x  0 2 sen x cos x  cos2 x
senx 1
; senx  0
cos 6 x cos 4x  cos 4x  0 cos x sen x
cos x  0
cos 4 x  cos 6x  1  0
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5. Trigonometría
2 2 2
  senx  cos x  2 senx
x 2 2 2
1 6 tg x = - 1
sen x  5
2 x  x = - 45º
6 RPTA.: C
2 18. Resolver la ecuación:
 Diferencia =
3 3 1  cos x   sen2 x;n 
RPTA.: A
 
A) { 2  n } B) {  n } C)  n
16. Determinar todas las soluciones 2 
de la ecuación:  
D) 4  n E)  n
1  tgx 3  ctgx 4 
 k 
1  tgx 3  ctgx
RESOLUCIÓN
    3 1  cos x   sen2 x
A) k    B) K   
 4  6 3  3cos x  1  cos2 x
      c os2 x  3cos x  2  0
C) K    D) K   
 12   18  cos x -2
  cos x -1
E) K   
 4
i) c os x  2  0  cos x  2  x
RESOLUCIÓN ¡Incompatible!
2 6
 ii) cos x -1 = 0  cos x =1
2 tg x 2 ctg x
 x  2  n ; "n"
ctgx  3 tgx
RPTA.: A
ctg2 x  3
19. Indique la solución general de la
 ecuación:
 x  k 
6 5
RPTA.: B sen4 x  cos4 x  ;"n"
8
17. Al resolver la ecuación: 
sen  x  135º  cos  x  135º  cos  x  135º A) x  2  n 
6
El mayor ángulo negativo x es:  
B) x  n
2 3
A) 15º B) – 75º C)  45º 
D) 87º E) – 39º C) x  2  n 
3
 
RESOLUCIÓN D) x  n 
2 6
sen  x  135   c os  x  135   cos  x  135  
E) x   n 
sen  x  135   2 sen x sen135 6
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6. Trigonometría
RESOLUCIÓN
5 21. Resolver la ecuación
sen4 x  cos4 x  trigonométrica:
8
0,5cos2 x  3 senx cos x  0,5sen2 x  0, k 
3  cos 4x 5

4 8  k    
A)    B)  k   
1  2 6  3
co s 4x  
2  k    k  
 1
C)    D)   
 VP  arc cos     120  2 3  2 12 
 2  
 4x  360 n  120 E) k   
 6
x  90 n  30
  RESOLUCIÓN
 x n ; "n"
2 6 cos2 x  sen2 x  3 2senx cos x  0
RPTA.: D
3
 3 sen2x   cos2x  tg2x  
20. Resolver la siguiente ecuación 3
trigonométrica  k   
 2x  k    x    ,k  
3 6  2 12 
cos2 5x  sen2 3 x  cos2x ,  k 
2 RPTA.: D
  22. Resolver la ecuación
A)  2K  1 
 2 trigonométrica
  x
B)  2K  1  3 cos x  7  4 cos
 4 2
Indique la suma de las soluciones
 
C)  2K  1  en el intervalo de 0;6 
 
 3
 
D)  2K  1  A) 2  B) 4  C) 6 
 5
  D) 8  E) 10 
E)  2K  1 
 8
RESOLUCIÓN
x x x
RESOLUCIÓN 3cos x  7  4 cos  6 cos2  4 cos  10  0
2 2 2
3
cos2 5x  sen2 3x   cos 2x  x 
2 3  2 cos2  1
 2 
3
cos 8x cos 2x   cos 2x
2
  x x  x  x 
i) cos 2x  0  2x  2k  1  x  2k  1 ,k  Z 3cos2  2cos  5  0   3cos  5   cos  1  0
2 2 2 2  2  2 
3 x
ii) cos 8 x    x   3 cos -5 0
2 2
   x x
 x   2k  1 ,k   cos + 1  cos  1
 4  2 2
RPTA.: B
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7. Trigonometría
x
Luego:   2k  1 
2 Halle: “x” y “y”, si 0 x ;
0 y 
 x  2 2k  1  k  0 x  2  7 
A) x  ;y 
k  1 x  6  12 12
7 
B) x  ;y 
 Suma = 8  10 10
3 
C) x  ;y 
RPTA.: D 4 2
2 
D) x  ;y 
23. Dado el sistema: 3 4
  3
xy E) x  ;y 
2 8 8
cos x   
3  2 cos y
Indique una solución general de y
RESOLUCIÓN
 k   Como:
6 x  y x  y
   a) senx  seny   2sen   cos  2  
A) k    2  2   
 24 
6
   = ………………………………….……(1)
B) k    2
 12 
   Como:
C) k   
 10  2 x  y  x  y
  b) cos x  cos y   2cos   cos  2  
D) k    2  2   
 6
2
  = ……………………………………..(2)
E) k    2
 3
(1)  (2)
RESOLUCIÓN x  y 2
  
tg    3  x  y  3 ………   
Como: x   y  cos x  cos   y    seny  2 
2 2  También:
Luego en: cos x   
3  2 cos y , se tiene:  a : sen2 x  sen2 y  2 sen x sen y  ……(3)
2 3
2
   1
tgy  2  3  y  k   ,k   b : cos2 x  cos2 y  2 cos x cos y  .….(4)
2
 12  2
(3) + (4):
RPTA.: B 
2  2cos  x  y   2  cos  x  y   0  x  y  …   
2
24. Dado el sistema:
7 7
6       : 2x   x 
sen x  sen y  6 12
2
 
cos x  cos y 
2       : 2y   y 
6 12
2
RPTA.: A
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