Unidad nº1 naturales 1º ciclo básico

Matemática. 1er año Ciclo Básico
Unidad Nº 1. Números Naturales
Prof. Carlos Neves

• Objetivos Didácticos

En esta unidad se pretende que todo lo comprendido en números naturales se presente desde
una nueva perspectiva con respecto a lo visto en niveles anteriores, con una elevación del nivel de
formalización de conceptos, y la incorporación de otros que serán base para el resto del curso y de la
formación matemática del alumno.
Es importante que se comiencen a incorporar pequeños problemas en los diferentes apartados,
ya que ésta es una forma de visualizar cuan arraigado se encuentra el conocimiento en el alumno,
además en general son motores que desestabilizan la estructura cognitiva del alumno. Sin abusar de
dichos problemas, pueden llegar a caracterizar a las propuestas como un poco más innovadoras, sin
despreciar y dejar de lado los aportes que puedan realizar las clases expositivas y de refuerzo.
Se considerará también la posibilidad de agregar hacia el rumbo del curso a la mayor cantidad
de alumnos posible, por lo que se prevé como estrategia diversos problemas de complejidad menor
para que en muchas ocasiones los alumnos tengan la posibilidad de integrarse.
• Contenidos
 Procedimentales
- Incorporación e identificación de nueva notación, como una nueva forma de enunciar los
conceptos.
- Desarrollar habilidades de cálculo mental y estimación.
- Incorporación de la calculadora, como herramienta que facilita el cálculo numérico.
- Extracción, ordenamiento y conexión de datos de un problema para la resolución del
mismo.
- Manejo de diagramas de árbol para la resolución de problemas de conteo.
 Conceptuales
- Conjunto de Números Naturales
- Operaciones en N. Propiedades.
- Prioridades entre las operaciones. Uso de paréntesis.
- Orden en N
 Actitudinales
- Fomentar la actitud crítica frente a lo aprendido. De a poco se plantearán situaciones en que
los alumnos manifiesten su postura frente a lo que se enseña.(Propuestas con más de una
solución).
- Comenzar la integración y consolidación del grupo, con actividades que ayuden a que todos
se conozcan con todos.
- La participación constante e interesada por parte de los alumnos, así como la manifestación
de los mismos ante conceptos que no comprendieron.

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- Demostración del manejo de un lenguaje que se adecua al ámbito liceal y específicamente a
la materia.

• Introducción al conjunto de los Números Naturales
Mucho antes de que surgiera la historia, el hombre ha tenido la necesidad de contar.
Al comienzo los pueblos son “pastoriles” y nómadas, por lo que necesitan contar sus animales
domésticos (su ganado. Al principio lo hicieron con piedras (que es el significado de la palabra cálculo),
haciendo incisiones en huesos o nudos en una cuerda, pero a medida que las civilizaciones se van
desarrollando, aparece la agricultura y con ella los excedentes de producción y el comercio, resultando
poco práctica la forma utilizada de contar hasta ese momento. El surgimiento de los sistemas numéricos
es la respuesta a esta necesidad.
Existen varios sistemas numéricos, entre ellos el que utilizamos nosotros hoy en día para contar objetos
(que es en base diez o sistema decimal), y a estos números que utilizamos para contar los denominamos
Números Naturales.-
Para referirse al conjunto de los números naturales, se usa el símbolo N. También se suele escribirse el
conjunto de los números naturales: N = { 0,1,2,3,.....}. lo que se lee, N es el conjunto formado por
0,1,2,3,4, etc.
Los números naturales tienen su utilidad como números cardinales y como números ordinales. Los
primeros representan a un conjunto: al contar los elementos del mencionado conjunto, cardinal es el
número que corresponde al último elemento.
Ejemplo: Sea el conjunto de letras M, N, O y P. A = {M, N, O, P} , cardinal del conjunto A = 4.
Como número ordinal, representan el elemento teniendo en cuenta el orden.
Ejemplo: M es la 2ª letra de la palabra AMOR
Si dos números son tales que uno es el siguiente del otro, como por ejemplo 4 es el siguiente de 3, se
denominan consecutivos.
El primer número natural es el cero y cada número tiene un sucesor o siguiente, que se obtiene
sumándole 1.
Entre dos números naturales consecutivos, no existe ningún número natural.

 Actividad Nº1
Escribe los números ordinales de los siguientes días de la semana:
Lunes ___________ Jueves ____________ Domingo __________
Martes __________ Viernes ____________ Sábado ___________

 Actividad Nº2
Une con una línea cada orden con su correspondiente:
1º TERCERO 6º QUINTO
2º CUARTO 3º NOVENO
7º DÉCIMO 5º SEGUNDO
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9º PRIMERO 10º OCTAVO
4º SEXTO 8º SÉPTIMO

Definición: Se conforman a partir
0 1 2 3 4 ....... del 0 y se suma 1
Orden 1 < 4 determinando el
7>3 NÚMEROS NATURALES consecutivo
0+1=1
1+1=2

Representación: N = { 0,1,2,3,.....} Se simboliza por N, notación
Determinada por los matemáticos

• Sistemas numéricos

Las formas de representar cantidades han ido variando a través del tiempo según las
necesidades y conocimientos numéricos de cada época y dieron lugar a los diferentes sistemas de
numeración.
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que indican de
qué manera se combinan para representar cantidades.
Existen dos grandes tipos de sistemas numeración: los aditivos y los posicionales. El sistema romano
es aditivo, porque un número se escribe con una sucesión de símbolos y para conocer su valor en
necesario sumar (y a veces restar) los valores de cada símbolo, que no cambian según su posición.
En los sistemas posicionales como el decimal, que es el que usamos actualmente, cada cifra tiene un
valoren sí misma y, a la vez, tiene un valor relativo, que depende de la posición en el número.
Por ejemplo el número 3256, la cifra 5 vale cinco veces diez:
3256= 3 x 1000 + 2 x 100 + 5 x 10 + 6
y en 2541 vale cinco veces cien:
2541= 2 x 1000 + 5 x 100 + 4 x 10 + 1
• Recta numérica

Una manera de representar los números naturales es señalarlos en la recta numérica.
En una recta, se marca el 0, que es el origen desde donde se empieza a contar; la unidad es la distancia
que separa dos números naturales consecutivos, y la flecha indica el orden creciente.

Quedando formada la semirrecta de los números naturales
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• Operaciones con números naturales
Tenemos dos operaciones definidas en los números naturales “ + “ y “ x “.
Son operaciones en los naturales las funciones que toman dos elementos cualesquiera del conjunto, y
me devuelven un elemento del mismo conjunto.

 Suma: Es la operación que me permite obtener como resultado la adición de números.
Propiedades

I) Asociativa: Es posible agrupar o asociar, distintos sumandos sin modificar el resultado de la suma.
a B c a +( b + c) (a+b)+c
2 3 9 2 + 12 = 14 5 + 9 = 14

Cualesquiera sean los números naturales a, b, c, se verifica:
a + (b + c) = (a + b) + c
∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ∀c ∈ N
II) Conmutativa: La suma es una operación conmutativa pues al cambiar el orden de los sumandos no se
modifica el resultado.
a b a+b b+a
2 5 2+5=7 2+5=7

Cualesquiera sean los números naturales a, b, se verifica:

a+b =b+a
∀a ∈ N , ∀b ∈ N , ∀c ∈ N
III) Neutro: Para todo número natural se cumple que si le sumamos cero me da el mismo número
natural. Tenemos que ∀a ∈ N a + 0 = a
2+0=2

 Producto

Muchas veces utilizamos el punto "." en lugar del "x" para simbolizar el producto entre números
I) Asociativa: Es posible multiplicar agrupando distintos factores sin modificar el resultado.

a b C a x( b x c) (axb)xc
2 3 9 2 x 27 = 54 6 x 9 = 54

Cualquiera sean los números naturales a, b, c, se verifica:

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a × (b × c) = (a × b) × c
∀a ∈ N , ∀b ∈ N

II) Conmutativa: Es posible cambiar el orden de los factores y no se modifica el resultado de la
multiplicación.
a b axb bxa
2 7 2 x 7 = 14 7 x 2 = 14

Cualquiera sean los números naturales a, b, se verifica:
a×b = b×a
∀a ∈ N , ∀b ∈ N

III) Neutro: Para todo número natural se cumple que si lo multiplicamos por uno me da el mismo
número natural. Tenemos que ∀a∈ N a x 1 = a

En la multiplicación el cero se llama absorbente porque cualquier número
natural multiplicado por 0 da 0.

 Distributiva del producto respecto de la suma

Dados tres números naturales a, b y c cualesquiera, si a la suma de b y c se la multiplica por c, se
obtiene el mismo resultado que si se multiplica a por b , y a por c, y se suman ambos productos.
a b c b+c a.(b + c) a.b a.c a.b + a.c
3 2 8 2+8=10 3.10=30 3.2=6 3.8=24 6+24=30

Conclusión: Cualquiera sean los números naturales a, b, c, se verifica:

a (b + c) = ab + ac
∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ∀c ∈ N

Si observamos la siguiente igualdad vemos que:
Desarrollar el producto a.(b + c) es sustituirlo por la suma a.b + a.c
Factorizar la suma a.b + a.c es sustituirla por el producto a.(b + c)

D
Desarrollar

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Factorizar

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 Actividad Nº3

Anota en los casilleros números del 1 al 8, sin que haya números consecutivos juntos, ni aún
diagonalmente no se permite además repetir números.

 Actividad Nº4
Completa las hileras del triángulo con los números del 1 al 9 de manera que cada hilera sume 17.

• Operaciones definidas en el conjunto de los naturales
 Definición: Para que una operación esté bien definida en un conjunto numérico, es necesario
que si tomamos dos o más elementos de dicho conjunto y lo combinamos mediante una
operación, el resultado de la misma pertenezca siempre al mencionado conjunto.
Por tal motivo, las operaciones suma y multiplicación, están bien definidas en el conjunto de los
números naturales, en cambio las operaciones resta y división no lo están.
Ejemplos:
1) 5 + 3 = 8 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 8 ∈ N
2) 5 x 3 = 15 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 15 ∈N
3) 5 – 3 = 2 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 2 ∈ N
4) 3 – 5 = - 2 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y – 2 ∉ N
5) 8 % 4 = 2 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 2 ∈ N
6) 5 % 3 = 5/3 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 5/3 ∉ N

a + b = c ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ⇒ c ∈ N
 Resumen: 1) a x b = d ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ⇒ d ∈ N operaciones bien definidas en el conjunto.


a − b = e ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, e ∈ N ⇔ a > b 
2) a / b = f ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, f ∈ N ⇔ a esmúltiplo de b operaciones no definidas.


¿Cómo se usan las letras al trabajar con números?
En algunas expresiones, cuando se usan letras, como n, a, b, c y otras, éstas representan cualquier
número.
Las letras permiten expresar los números de manera general.

 Cálculo mental

Las propiedades vistas, tanto de la suma como del producto, nos permiten muchas veces simplificar los
cálculos.
Estos ejemplos son a modo de resumen del que se pretende apliquen los alumnos con el calculo mental.
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Ejemplos:
1) 6 + 12 + 4 + 5 + 8 + 5 + 7 + 20 + 13 =
Aplicando propiedad conmutativa de la suma
6 + 4 + 12 + 8 + 5 + 5 + 7 + 13 + 20=
Aplicando asociativa de la suma
10 + 20 + 10 + 20 + 20 = 80

2) 16 x 25 x 5 x 4=
Aplicando propiedad conmutativa del producto
16 x 5 x 25 x 4 =
Aplicando propiedad asociativa del producto
80 x 100 = 800

3) 120 x 12 =
Podemos descomponer uno de los factores en dos números usando una suma.
120 x ( 10 + 2 )=
Desarrollamos, propiedad distributiva del producto respecto de la suma
120 x 10 + 120 x 2 = 1200 + 240 = 1440

4) 45 x 18 =
Podemos descomponer uno de los factores en dos números usando una resta.
45 x (20 – 2)
Aplicando propiedad distributiva del producto respecto de la resta
45 x 20 – 45 x 2
En una multiplicación podemos factorizar uno o más factores sin que cambie el resultado.
45 x 10 x 2 – 45 x 2 = 450 x 2 – 90 = 900 – 90
En una suma o una resta, podemos sumar y restar el mismo número sin variar el resultado
900 – 90 – 10 + 10 = 900 – 100 + 10 = 810.

 Uso de paréntesis y prioridad de las operaciones en ausencia de paréntesis

Al resolver un cálculo que involucra distintas operaciones, hay que prestar particular atención al
orden en que se realizan dichas operaciones. Este orden esta dado por convención, al igual que para
gramática existen reglas para realizar las operaciones matemáticas.

Siempre, cuando hay que resolver cálculos donde aparecen varias operaciones en ausencia de
paréntesis, se resuelven en el siguiente orden:

= 2 + 5 x 7 − 6 : 3 x9 + 8 : 4 − 2 =
Las operaciones de
 Multiplicaciones y divisiones igual jerarquía se
realizan de izquierda
a derecha
= 2 + 35 − 18 + 2 − 2 =

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 Sumas y restas
En caso de que se necesite modificar este orden, se utilizan paréntesis y lo que está dentro de
éstos se debe resolver primero.

 Actividad Nº5
En el campeonato de fútbol, se juegan 4 partidos por fin de semana. En la cancha del club A se
vendieron 83 entradas, en la del club B se vendieron 235, en la del club C se vendieron 126 mientras
que en la cancha del club D se vendieron 173. Las entradas cuestan $ 20.
a) Calcula mentalmente lo recaudado en el fin de semana.
83 x 20 + 235 x 20 + 126 x 20 + 173 x 20 = 83 x 10 x 2 + 235 x 10 x 2 + 126 x 10 x 2 + 173 x 10 x 2
= 1660 + 4700 + 2520 + 3460 = $ 12340
b) Expresa de la manera más simple las operaciones necesarias para realizar el cálculo de
recaudación.
(83 + 235 + 126 + 173) x 20 = (617) x 20 = 617 x 10 x 2 = 6170 x 2 = 12340.

 Orden

Para comparar dos números naturales es necesario conocer los símbolos que nos permiten
indicar cuando dos números son iguales, o cuando uno es mayor o menor que el otro
El signo de igualdad es “ = ” , e indica cuando dos números son iguales. Por ejemplo 37 = 37, o de modo
más general a = b indica que a y b son números iguales.
Los signos de desigualdad son: menor “ <”, mayor “>”, mayor o igual “ ≥ ” y menor o igual “ ≤ ” .
Ejemplo:
6<12 6 es menor que 12
15>4 15 es mayor que 4

Se pretende que de una actividad se desprenda la propiedad de tricotomía.
Dados dos números naturales a y b siempre se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones:
a=b a<b a>b
(Se puede trabajar sobre la recta numérica)
 Potencia

Cuando en una multiplicación todos los factores son iguales, es posible definir una nueva
operación: la potenciación.

Por ejemplo, en 2x2x2x2= 24 , que se lee dos a la cuarta, el número 4, llamado exponente, indica
la cantidad de veces que se repite el 2 como factor. El factor que se repite se denomina base y se llama
potencia al resultado.

Base Exponente Desarrollo Resultado
3 5 (5 veces 3 ) 3x3x3x3x3 35 = 243
(4 veces 2)
2 4 24 = 16
2x2x2x2
a n (n veces a) axaxa..xa an

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Las potencias de 2 y 3 se usan con bastante frecuencia en cálculos de medidas de figuras y
cuerpos. Si recordamos el área del cuadrado, o el volumen del cubo.

Dado un número natural a distinto de cero, que se multiplica “n” veces por sí mismo (axaxaxa....xa),
podemos expresar este producto como an. A esta notación la denominamos potencia de un número
natural.
En la misma aparece el factor a, al cual llamamos base de la potencia, y “n” al que denominamos
exponente de la potencia, que nos indica el número de veces que la base está multiplicada por sí
misma.

Exponente
n
a Base an = a.a.a.a.a.....a a≠ 0

n veces
Potencia
Actividad Nº6: Calcula las siguientes potencias. ¿Puedes llegar a una conclusión?

a) (2.3)3 =
b) 23.33 =
c) (22)3 =
d) 26 =
e) (3.5)2 =
f) 32.52 =
g) (32)3 =
h) 36=
i) 35/33=
j) 66/63=

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Observamos que:
(22)3 = 26
3 3 3 .
(2.3) = 2 .3 (am)n = am n
n n n
(a.b) = a .b 2 3
(3 ) = 3 6
2 2 2
(3.5) = 3 .5

35 3.3.3.3.3 
= = 3.3 = 32  am
33
3.3.3  m−n
⇒ n = a m≥n
6 6
6.6.6.6.6.6 a
= = 6.6.6 = 63 
6 3
6.6.6 


 Propiedades de la Potencia

 Producto de potencias de igual base
am.an = a m + n ∀ a ∈ N , ∀ n ∈ N , ∀ m ∈ N y a ≠ 0.-

 (a.b)n = an.bn ∀ a ∈ N , ∀ b ∈ N , ∀ n ∈ N , a ≠ 0 b ≠ 0.-

 Potencias de potencia
(am)n = am.n ∀ a ∈ N , ∀ n ∈ N , ∀ m ∈ N y a ≠ 0.-

 Cociente de potencias de igual base
am
n
= a m–n ∀ a ∈ N, a ≠ 0, ∀ n ∈ N , ∀ m ∈ N que cumplen que m ≥ n.-
a

 Por definición de potencia. Si a ≠ 0 ⇒ a0 = 1

 Notación científica – potencia de base 10.

Completa el siguiente cuadro:

Potencia de 10 Definido por Resultado en not. decimal
0
10 Definición 1
101 10 10
102 10.10 100
106 10.10.10.10.10.10 1000000
1011 10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10 100000000000
“Una potencia de 10 y exponente natural, es igual a un 1 seguido de tantos ceros como indica el
exponente”.

 Notación científica.

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Las potencias de 10 facilitan a (por ejemplo) los astrónomos al trabajo con “números
enormes” como la distancia que nos separa de la constelación de Andrómeda:
9500000000000000000, la cuál se puede expresar como 9,5 x 1018

“Un número esta expresado en notación científica si esta escrito como el producto de un
número comprendido entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10”.

 Actividad Nº 7) Escribe como una potencia de 10

10000
Cien millones
1000
Cien mil
1000000000
Cien mil millones

 Actividad Nº 8) Halla en cada caso el producto

359 x 108 0,91 x 104
4,263 x 102 95,3 x 105
832,5 x 103 121 x 100

 Actividad Nº 9) Expresemos los siguientes números utilizando potencia de 10
2000 = 2 x 1000 = 2 x 103
1250000 =
422 =

 Actividad Nº 10) Completa:

Notación decimal Notación científica
238000
7100
12000
10000000
4000000000
123456789
239,5

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