diseño

2. ÓscarM.GonzálezCuevas es ingenierocivilegresadodelaUniversidad
de Yucatán, con grados de maestro en Ingeniería y de doctor en
Ingeniería,conespecialidadenestructuras,por laUniversidadNacional
AutónomadeMéxico.
Actualmente es profesor de tiempo completo en la Universidad
AutónomaMetropolitana(uam), UnidadAzcapotzalco. Enestainstitución
imparte cursos de Estática, Diseño estructural. Análisis estructural y
Estructuras de concreto. También realiza investigaciones en elcampo
de la reparación de estructuras dañadas por sismos y coordina el
posgradoen Ingenieríaestructural queha iniciadoactividadesenelaño
2001.Fuefundadordela uam en elañode 1974y haocupadodiversos
cargosde dirección, incluyendoél de Directorde la DivisióndeCiencias
Básicas e Ingeniería (1979-1981), Rector de la Unidad Azcapotzalco
(1981-1985) y Rector general (1985-1989).
El Dr. González Cuevas es autor, con el Ing. Francisco Robles
Fernández, del libroAspectos Fundamentales delConcreto Reforzado,
queha venido publicando esta misma casa editorial, en tres ediciones
(1974,1985,1995), y que se usa ampliamente como libróde texto en
escuelasy facultades de Ingeniería de varios países de hablahispana.
Ha escrito otros libros y artículos sobre Ingeniería estructural, y sobre
planeacióny administraciónuniversitaria,asícomotrabajospresentados
en congresos nacionales e internacionales. Es miembrodel Comité^
SeguridadEstructuraldelGobiernodelDistritoFederalyenestecarácter
participa en la revisión y elaboración del Reglamento para las
Construcciones del Distrito Federal.
Entre las principales distincionesy reconocimientosqueha recibido
destacan el doctorado Honoris Causa de la Universidad de Yucatán
(1977), Presea GuillermoÁlvarez Macíasdela CooperativadeCemento
La Cniz Azul (1990), Premio "El Registro’ del instituto Mexicano del
Cemento y dé] Concreto (1999), Académico Emérito de la Academia
NacionaldeIngeniería (2001)y Premioa la Docenciaen IngenieríaCM
2001 dela Fundación ica . Ha sido Presidente delaAcademiaNacional
de ingeniería (1986-1967) y de la Sociedad Mexicana de Ingeniería
Estructural (1906-1997).
Acerca del autor

3. Presentación
Este libro ha sido escrito con el propósito fundamental.ge ayudar a profesores)
enseflanzay el aprendizajedel análisisestructural. Estadisciplinaconstituyeuna
dsefl"«!^ í dominio es indispensable para los profesionales^
presas, plantas industriales, plataformasmarítimas,etc. El anáfisisestructura?esJ
lasasignaturasquemáscontribuyenalaformacióndélosalumnos,asuenH^H
deconceptosabstractosy a la adquisicióndehabilidadesintelectuales re^^^H
profesional de la ingenierfa. Por estas razones, ha ocupado, desde hace mucho tiempo, un lugar I
destacadoen los planesdeestudio.
Los métodos básicos del análisis estructural conducen a la formulación de sistemas de
ecuacionessimultáneasque, paraestructurasderegulartamaño, llegan a serdegradoelevado. Su
resolución por métodos manuales consume mücho tiempo. Para solucionar este problema, se
desarrollaronmétodosnuméricosqueresultabanmenoslentos,peroqueseguíansiendolaboriosos
y propensos a que se cometiesen errores. El método de Cross es un ejemplo típico. Con él
advenimiento de las computadoras, la resolución de grandes sistemas de ecuaciones simultáneas
dejóde ser un problema, y se regresó a los métodos fundamentales, el de las fuerzas y el de las
deformaciones o desplazamientos. Peroestos métodos se replantearoncon un enfoque matricial
más adecuado a la utilización de computadoras. Distintos libros de análisis estructural utilizan
enfoquestambiéndiferentessegúnel desarrollohistóricomencionado.
El enfoqueseguidoenestelibroesel siguiente. Enel primercapitulosehaceuna revisióndél
procesogeneral de diserto y seubica a laetapa dél análisisestructuraldentrodeesteproceso. El
capitulo2comprendeunarevisióndeltemadeestructurasisostáticas,estudiadogeneralmenteencur­
ios previosa losdeanálisisestructural, llamadosestáticaoestructuras isostáticasenlasescuelasde
ingenierfa; el dominio de este tema es fundamental y por eso su inclusión en este libro y la
recomendacióndequenosecontinúeconlosotroscapítulossiestenosehaestudiadoaprofundidad,
la resoluciónde estructurashiperestáticas, campodeestudiodel análisisestructural, requieredel
cücutodedeformacionesdeestructurasisostáticas;enel capitulo3seestudiaestetemaenforma
completa,aunquealgunosmétodosincluidosenellibro, notodos,sevenencursosprevia*. Losca­
pítulos4 y 5presentanlosmétodo»básicosofundamentalesdelanálisisestructural:eldelasfaena*
y eldela»deformaciones,respectivamente. El métodopendiente-deflexión,queeselmismodelas
deformaciones en sus principio» básicos, se incluye en el capitulo 6. El método de Cross, ya
mencionado, sepresentaenloscapítulos7,8 y9,tratandoporseparadoloscasosdevigascontinuas,
marcossindi*pla*aml»ntolateraly marcoscondesplazamientolateral;suinclusiónobedeceaqu»
Iconsideraimportantea pesardequeya nose incluyeen alguno»programasdeestudio.

4. Elestudiodelanálisisestructural resulladifícil,enocasiones, paraalgunosalumnos. POresla
razón, el autor hatratadodepresentar el material dela manera misclara posible, conservando I
desdeluegoel rigordeladisciplinaeincluyendooldesarrollototal delas demostraciones.Seha
tenidoespecialcuidadodeexplicarcondetalleaquellosconceptosque,enlaexperienciadelautor,
sondemás difícil comprensión, aun a riesgode caer en repeticiones. Los numerososejemplos
resueltossopresentanen formacompletaeincluyenel trazadodelos diagramasdeacciones, ya
que es convenientequeel alumnoadquiera el entrenamiento de obtener estos diagramas o
Interpretarlosdebidamente. Losejemplossepresentanenhojasenmarcadas,enformasimilarala
empleadaendespachosdecálculo,acompañadosdecomentariossobresudesarrollo. Estemétodo
del ConctclpRetoñado. Con baseen varios testimonios recibidos, se considera que facilitael
entendimientodolosejemplos.
Debidoaqueelcontenidodellibroestáconstituidoporprincipiosyconceptoscuyavigencia
tieneunanaturalezamásomenospermanente, nose|iacereferenciacontinuaa librosyartículos
quepresentenavancessobreeltema.SIsepresenta,alfinaldelmismo,unabibliografíaconalgunos
textosqueel autor consideradeexcelentecalidady querecomiendaconsultar siemprequesea
ppsible. Algunosson libros.clásicos, comoel deTimoshenko. y otros son textos modernoscon
cualidadesdidácticasy magnificaspresentaciones. . ,,
El material Incluidopuedeconstituir la basedeun primer cursode análisis estructural con
duracióndeunsemestre,siemprequelosalumnostenganunabuenabasedeestáticaquepermita
queelcapitulo2ypaitedelcapítulo3puedanestudiarsearitmodeunrepaso.Algunosprofesores
........ >deltiempodisponibleyde
paitedesuticm poaiBPH
contenidodellibro;lehadadolaoportunidaddeenseñarlaasignaturadurantevariosaños,yleha
brindadorecursos materialesindispensables. El contactoconsusalumnos, ha motivadoal autora
tratardecomprendermejorIndisciplina,parapoderlatransmitir,y lobaImpulsadoaembarcarseen
laempresadeescribirunlibroquecontribuya• facilitarsuenseñanza.JulioLabastida,profesor
deanálisisestructuralenlaUniversidadVeracnjzana,revisóbuenapartedelmaterial,especialmentede
k»ejemplos,yseñalóalautorerroresyomisionesquefueron oportunamentecorregidos;losqueno
hansidodetectadossonresponsabilidadexclusivadequienescribe.JuanCasillasyJosédelaCera,
profesoresdeja UAM, hicieronvaliosas sugerenciasparamejora,elmaterial.Y alounosalumnos
hanayudadodirectamentealaútorenlapreparacióndeejemplosyenlacapturaddmaterial;éntre
eUosAlejandroViverosVizquez,ManudCoronaLocra,julioPinedaBlanca»y EduantoAidto»
Méndez. nnatowa*.seapafccealequipodeUmusalaconfianzadepositadaenelautot
ÓscarM. GonzálezGiews
on^cVfOlMaM^jm^

5. Contenido
Introducción 19
2.3.1 Sistemadefuerzasparalelasen
unplano 22
2.3.2 Sistemadefuerzasnoparalelas
2.3.3 Sistemadefuerzasconcurren­
tesenunplano 22
2.3.4 Sistemadefuerzasenel.,
espacio 22
ecuacionesdecondición .-22-,v
AccionesInternas 23 »■<
Cálculodelgradod*
2.6.1 Vigas 25
•2.6.2.. Armaduras 28 .1 ,
2.6.4 Inestabilidadgeométrica. 34
AnálisisdevigasIsostítlcas 36ts t.»
2.7.1 Determinacióndelasreacciones
enlosapoyos 35- rgjf
Determinacióndel diagrama
[defuerzacortante 35
IDeterminacióndeldiagrama
demomentd'flexiónante 35
Determinacióndelasreacciones 51
Determinación1’délastuerzas
Determinacióndelasfuerzas
cortantesymomentos*
flexionantes S7* füM
el métododeNewmarfc
2.T0.2 Cargasdistribuidas ' /!
Introducción-.97 IIiy0a
Teoríadelavigaelástica 99 M -
Cálculodedeformacionesporel
método.deladobleintegración 103
Cákulojde.deformacionesifitiiizaodolos
^.Métodadel^yigacooiufada .125
3.5.1 Presentacióndel método 125
3.5.2 Condicionesdeapoyodelaviga
conjugada. 128
| 3.5.3 Convencióndesigna#.'*130

7. 7.1 Introducción 403
7.2 Conceptos fundamentales del
método 403
porte, momentotransportado y
rigidez lineal 403
7.2.2 Factoresde distribución 406
73 Presentación del método 408
Problemas 436
Métodode Cross para vigas continuas 403
Capítulo 8
Método de Cross para marcos sin despla­
zamiento lateral 439
8.1 Introducción 439
8.2 Descripción del método 439
Problemas 455
Capítulo 9
Método de Cross para marcos con despla­
zamiento lateral 457
9.1 Introducción 457
9.2 Marcos de un nivel 457
9.3 Marcos de varios niveles 474
Problemas 494
10.2 Métododirecto 499
10.3 Lineasdeinfluenciaporel principiode
MQIIer-BresIau 510
10.4 Aplicacionesdelineasde influenciaen
vigas 521 •!.:
10.5 Momentoflexionantemáximo
absoluto 526
10.6 Lineasdeinfluenciadearmaduras
isostáticas 530
Problemas 542
Capítulo11
Líneas de influencia de estructuras
hiperestáticas 547
11.1 Métododirecto 547
11.1.1 Estructurasconungradode
indeterminación 547 ..■ Mi
11.1.2 Estructurasconvariosgradosde
indeterminación .-.557 jn
11.2 Método de Müller-Breslau 565 , ■
mjiffi 11.2.1 Estructurascon ungradode
indeterminación 565
11.2.2 Estructurascon varios grados
de indeterminación 569
Problemas 580
10.1 Concepto de línea de influencia 497 BIBLIOGRAFIA 584

8. sua

9. Figura1.1. Procedimientogeneral
entreélproyectoarquitectónicoyeldiseño
estructuralyeldeinstalaciones.Losestudios
descritos y el diseñoarquitectónicose lie*
van a cabosiguiendo las disposicionesde
losreglamentosdeconstrucciónaplicables.
A continuación, sepasaa laetapadel
diseñoestructural.Enlafigura1.1 seindica
queestaetapapuededividirseentrespartes:
estructuración, análisisy dimensionamiento.
En la partede estructuración, seestablece
lageometríageneraldelaobra, respetando
eldiseAoarquitectónico,sefijanlosclarosde
lasvigas,laseparaciónyalturadelascolum­
nas,seseleccionanlosmaterialesaemplear,
se eligen sistemas de piso, etc. Esta parte
suelellamarse'concepcióndelaestructura*
o ‘configuraciónestructural'. Eslapartemás
subjetivadeldiseñoestructuralyaquellaen
quelaexperiencia, buenjuicio e Intuición
ddingenierojueganelpagelmásimportante.
Una estructura mal concebida presentará
Problemas, independientemente déqué tan
bienodeconquétantaprecisiónmhaganlas
Iparaeldiseñoyconstruccióndéobras
etapas de análisis y dimensionamiento.1
Duranteestaparte,esnecesariohaceralgu­
nasestimacionespreliminaresdeltamañode
los miembrosestructurales, tantoparaesti­
marsu pesopropio, queforma partedelas
cargasactuantes,comoparacalcularsusri­
gideces relativas, lascuales serequierenen
lapartedelanálisis. Estasestimacionespue­
denhacerseutilizandoprocedimientossim­
plificadosde análisis y dimensionamiento.
0 únicamenteconbaseenlaexperienciadel
proyectista':
Después sigue la parte del análisisde
la estructura, quees el tema deestetexto-
Laacepciónmisgeneraldelapalabra'aná­
lisis*es:distinciónyseparacióndelaspaites
deuntodohattallegaraconocersusprlnch
1 Aunqueel temanoformapanedeesteloto,*
recomiendaalo»alumnosdeIngonlerfácuruca»-
ralleeralgúnlibioali—pacto,comopore|WH*!
C.AmoldyB.Réftbenftan;fCOnflgúracIdnyP*j*-
AoSísmicode(díñelos*.LIMUSA,México,

10. péoioelementos(DiccionariodeI* Lengua
Española,RealAcademiaEspañola).Aplica­
daesla Ideaa unaoslructura,loqueelanáli-
en sus elementos conslitulivos y la deter­
minacióndelefectodelascargasaplicadasa
la estructura en cada elemento: Cualquier
estructura es un lodo continuo, pero para
finesdeanálisis sepuededividirendistin-
tosmiembros,comoserfanlasbarrasehuna
armadura, olasvigas, columnasy losasen
bos,sistemasdepisoycables,en umpuenie
colgante. Una vez dividida latestructuraen
susdistintosmiembros,ladeterminacióndel
efectodelascargasencadamiembroselleva
acabocalculandolasacciones'internripro­
ducidas por esas cargas, o sea, las fuerzas
axiales, lasfuerzascortantes, losmomentos
flexfonantesylosmomentostorsionantesen
cada miembro,asfcomolasdeformaciones
decadaelementoydelaestructuracompleta.
Estecálculoeslaesenciadel análisisestruc­
tura/yel objetivodeeste libroespresentar
distintosmétodospara realizarlo.
Aunqueelprocesocompletodediseño
estructural esenbuena medida subjetivo y
notienesoluciones únicas, como ya se ha
comentado, lapartedel análisisestructural
escompletamente rigurosay conducea so­
lucionesúnicas. Unavez planteada unaes­
tructura, lascargasquesobreella actúany
loselementos estructuralesen los quese ha
dividido, las acciones internas en cada
miembrotienenunvalorcometoúnico. Las
tuerzas axiales, las fuerzas cortantes, los
momentos flexionantes y los momentos lor-
sionantes en cada miembro deben ser loa
mismos, cualquiera que sea el método
empleado para calcularlos. Si se usan
métodosaproximadosdeanálisis, seobten­
dránaccione»interna*parecidasalasdelas
solucione*completas,quepuedenaceptarse
según su grado de aproximación. Sin
embarra,elquela*solucionesteóricassean
únicas,nosignificaqueenlaestructurareal
distribución delascargasy deotrosfactores
¡Implican;trabajar sobre ui
coincidetotalmenteconlaestructurareal.pJ H
estarazón,nosejustificarealizarloscálculos
conunaprecisiónexcesiva,aunquelasolución
La tercera partedelaetapadel diseño
estructuralserefierealdlmensionamientode I
los miembros estructurales. A partir de las I
acciones internas calculadas en el análisis I
estructural, se dlmenslonan miembros que
puedan resistir dichas acciones dentrode
condicionesdeservicioaceptables.Porejem­
plo;sisetratadeuna estructuradeconcreto,
será necesariodeterminar el tamaño de los
elementosestructurales,elacerolongitudinal
y transversal, detallar anclajes y traslapes,
revisardeflexionesy agrietamientos,etc. En
esta parteserecurremásqueen laanterior
afórmulasempíricasyadisposicionesregla­
mentarias. El proyectista tiene más libertad
deacciónyla*solucione*correctaspueden
variarsegúnsucriterioolosreglamentosque
use.Porejemplo,siestádimensionandouna
vigadeacero,puedeencontrardiversosper­
files que resistan el momento flexionante
calculadoenelanálisisdelaestructura.Osi
la viga esdeconcreto, puede usardistintas
relacionesentresualturaysuancho.Enlos
programasdeingenieríacivil,generalmente
se ofrecencursos de dimensionamientode
distintos materiales, concreto, acerooma­
dera, posteriora*aloscurso*deanálisises­
tructural, paraseguirlasecuenciadel proceso
dediseño.
Puedesucederqueunavez terminada
la partededimensionamiento, losmiembro*
de la estructura resultende un tamañodife­
rentealsupuestoenlapartedeetmicturacMn.
Estosuele pasarcuandonosetienemucha
experiencia. Si se presenta esta situación,

11. seíinnecesarios,dependerádeladiferencia
iosvaloressupuestos,ydealguno»oírosfac-
cargatotal;sise subestimaronlostamaños
delodoslosmiembros,susrigidecesrelativas,
que son!(as que importan en el anáfisis,
rigidecesabsolutas. El buenjuiciodel pro­
yectista;nuevamentejugará unpapeldeter­
minanteenladecisióncorrespondiente.
lapartedeanálisisestructural únicamente.
Enlodoslosproblemasseplanteala ideali­
zacióndeunaestructurarealydelascargas
quesobreellaactúan.4Sinembargo,el lec­
tordeberáestarconscientede la ubicación
seAo, asi como de su antecedente, la
estructuración; y de su consecuentt, el
el riesgodenootorgarlesu justa importún­
elaalcontenidodelcunoodeconsiderarlo
comounejercicioacadémicodesvinculado
delarealidad.
Enlafigura1.1 seincluyenotrasetapas
delprocedimientogeneraldediseñoy cons­
trucción. Simultáneamente con el diseño,
estructural, se puede realizar el diseño de
lasinstalaciones,cuyaimportanciavariase­
gúneltipodeobra.Aunqueambosdiseños
sehagansimultáneamente,nodebenhacer­
seindependientemente,yaquelaubicación
delasinstalacionespuedeafectarel diseño
Una vez realizados el dimensionam.cnn, y
,.| diseño de instalaciones, y plasmadossus
caciones de construcción, se elabora el
presupuestodelaobrayelprogramadecons-
tracción. Despuésseejecutalaobra,conuna
coordinaciónysupervisióntécnicaadecuada.
Estasetapas nosecomentan mayormenteen
estetexto,noporsermenosimportantes,sino
por noestardirectamentevinculadas altema
1.2 Tipos de estructuras
En la práctica de la Ingeniería se pueden
encontrar muchos tipos de estructuras. Por
ejemplo, existen puentes de distinto tipo,
como apoyadossobre vigas longitudinales,
apoyados sobre una retícula de vigas, col­
gantes, atirantados, conarmaduras; etc. Existen
bóvedasdediversascaracterísticas,cilindri­
cas, con anillo central de compresión, con
tirantes. Cascarones cilindricos o en forma
de paraboloide. Arcos de distintas formas.
Vigas de un claro' o continuas. Marcos
rígidos. Muros con cargas normalesa supla­
no, como los de contención, o muros con
cargas en su plano, como los utilizados en
edificios altos. Estructuras a base decables
colgantes.Aveces secombinandosomásde
estosdiversostipos, comoen edificios altos
En este texto se tratan únicamentetres
tiposdeestructuras: vigas de unsoloclaroo
devariosclaros,armadurasy marcosrígidos.
Puedeparecer que es un númeromuylimi­
tadode casos en comparación con la gran
variedadexistenteen la realidad. Sinembar­
go,el objetivoprincipal del libroesmostrar
losprincipios fundamentalesdelanálisises­
tructural, y esto puede hacerse a partir de

13. Figura1.3. Idealizacióndeunaestructura
de vigas y armaduras. Por lo tanto> las
estructuras de la figura 1.2 ya son ideali­
zacionesdeestructurasplanas.
- Otra idealización Importanteserefiere
almaterial delasestructuras. Losmiembros
deconcretoreforzadoydeaceroestructural,
los materiales más usados en estructuras,
tienegráficas caiga-deflexióncomo las de
lasfiguras 1A-ay 6,respectivamente.Ambas
tienenunazonaaproximadamentelinealal
inicio de la gráfica y.después, una amplia
zona de comportamiento no lineal. En los
métodosdeanálisisestructuralpresentadosen
este texto, se supone que los miembros
estructurales tienen un comportamiento
linealyelástico,osea, quesugráficacarga-
deflexiónescomola mostradaen la figura
1A<. Existenmétodosdeanálisisestructural
•n losquenoesnecesariaestaidealización
o suposición.Sellamanmétodosnolineales
deanálisis, perocaen fuera del alcance de
este texto. Esta suposición conduce a que
las acciones internas calculadas con los
métodos aquípresentados, se aproximen a
lasqueocurriríanen laestructura real bajo
el«fadodecargasrelativamentebajas,osea,
nocercanasalasqueproduciríanelcolapso
de la estructura, sino a las que producen
esfuerzos dentro de la zona de compor­
tamiento lineal da'los materiales o de los
miembros estructurales. Estas cargas sonlas
llamadascarga»deservicioy,porlotanto,el
análisissedebellevara caboconellas.Sib
tercerapaitedelaetapadediseñoestructural,
eldimensionamiento,sehaceconcriteriosde
resistencia última, lasaccionesobtenidasen
elanálisisdebenmultiplicarseporlosfactores
de carga especificados en el reglamentode
construccionesaplicable. Elmismoresultado
seobtieneefectuandoelanálisisconlascaigas
deserviciomultiplicadaspreviamenteporlos
factoresdecaiga.
Lasuposicióndequeel materialdelas
estructuras es lineal y elástico permite
efectuar simplificaciones importantesenel
análisis. Todos los efectos de las cargas
aplicadas yarían linealmente. Por ejemplo,
si se duplican las cargas, seduplicantodas
Jasaccrones internas; si el módulo de
elasticidad se reduce a la mitad, todaslas
deformaciones se duplican, ya que son
inversamenteproporcionalesalmódulo.U11
principio muy importante llamado de
isuperposición de causas y efectos, que*
estudiará masadelante, sóloesaplicablesi
el material et lineal y elástico.

14. roestructural Hb)Coftcreloreforcado I
.Gráficascarga-deflexión(P-6)demiembrosestructuralescon>distiñtosmateriales
Una tercera Idealización Se refiere al
tamañoycomportamientodelosapoyosde
lasestructurasydelasinterseccionesdesus
miembros.LosapoyosIdeales,queseConten­
tancondetalleenelcapítuló'2; representan
puntosenlosquenohayfricciones'queres­
trinjaneldesplazamientoo*lasrotacionesdé
losmiembros,obien, quelesproporcionen
un empotramiento perfecto. En los1apoyos
reales nose presenta esta situación'ideal;
tienen dimensiones apréciables y siempre
hayfriccionesoempotramientosquenoson
perfectos.Lomismosucedeconlasintersec­
ciones de miembros estructurales. Tienen
dimensionesconsiderablesydeformaciones
dentrodelaintersecciónquenoseconside­
ran normalmenteen el análisis estructural.
Severáenlosejemplosdel libro,queesfre­
cuenteconsiderarquelosmarcosestánem­
potrados ensus bases. En la realidadestán
ligadosa lascimentaciones,quelespropor­
cionan un empotramiento parcial, quede­
pendedeltipodecimentaciónydeterreno.
Éstaesotraidealización importante.
Algunasde las’cargasque actúansobre las
estructuro tienen un valor que nocambia
conel tiempo. El peso propiodelosmiem­
bros estructurales o el peso de los muros
divisorios en un edificio de oficinas son
ejemplosdeestetipodecargas.Otrascargas,
comoiJascargasvivas,aunquecambiancon
el tiempo, 'lo'hacen>en periodos largos, y
puedenconsiderarsecomoconstantes, con
un valorparecidoal máximoquealcancen^
para!-finesdeanálisis.Cuandoelanálisises­
tructural seefectúaconcargaspermanentes,
como<las'anteriores, se denomina análisis I
estático:'Estetipodeanálisisesel estudiado
enestelibro.
Las estructuras pueden estar sujetas a
accionesexternascuyamagnitudvarfarápi­
damenteconel tiempo, comolossismoso
el viento. Losefectos de estas acciones se
estudianenloscunosdedinámicaestructu­
ral y no están incluidosen este texto. Sin
embargo,losmétodosdeladinámicaestruc­
turalpermitencalcularcargasqueseaplican
a lasestructuras,lascualesseanalizandes­
pués con los métodos estudiados en este
cursoparaencontrarlasacciones internas,o
sea,losmomentosflexionantesytorsionanlES,
y lasfuerzasaxialesycortantes.
Otro tipo de acciones extemas es el
debido1'a vehículos en movimiento, como
Irenesocamionesquecirculensobrepuen­
tes. Enestecaso, el efectodel movimiento
se toma en cuenta multiplicando la carga
serdesordende 1.30, osea, se incrementa
lacarga en30 por ciento. Laestructurase
analizaronestacargaincrementadaconlos
métodosdeanálisisestático.

16. C a p ít u l o 2
Estructuras
isostáticas
2.1 Introducción/ 2.2 Reaccionesen los
apoyos / 2.3 Ecuaciones de equilibrio /
Accionesinternas/ 2.6Calculodelgrado
deindeterminación/2.7Anilisisdevigas
isostáticas/2.8Armaduras/ 2.9Marcos/
2.10Determinacióndereacciones,fuerzas
métododeNewmark
2.1 Introducción
lías estructuras se dividen, desde el punto
de vista de los métodos de'análisis, en
isostáticas oestáticamente determinadas, y
en hiperestáticas o estáticamente indeter­
minadas.Lasprimerassonaquellasquepueden
analizarse utilizando únicamente las ecua­
cionesdeequilibriodela'estática. Es decir,
que puedenencontrarse las*fuerzascortan­
tes, momentos flexionanteS,i>fuerzas nor­
malesy momentos torsionantes; a partirde
2.2 Reacciones en los
Unodelospasosnecesariosparaestablecer
siunaestructuraesisostáticaohiperestática
consisteen calcular el númerode reaccio­
nes que sedesarrollanen los apoyos de la
estructura. Por 1°tanto, es necesariodeter­
minar lasreacciones queocurrenen losdi­
versos tiposdeapoyoqueseencuentranen
la práctica. 1
Lostrestiposbásicosde'apoyosemues­
tranesquemáticamente en la figura2.1. El
áiSoyO1Simple restringea la estructura con­
tra desplazamientos verticales, peropermite
desplazamientos horizontales y rotaciones
o giros. En estos apoyos*se desarrolla una

17. Figura2.2.Empotra
f e -
reacciónVertical, R^perola reacciónhori­
zontal,R^yel [nomento,Mr}sonnulos. Por
lo tantosóloexiste unareaccióndeapoyo.
Elappvparticuladorestringelosdespla­
zamientos verticales y horizontales, pero
permitela]rotación. Existenpoclotantodos
reaccionesdeapoyo,RryR^yel momento,
El apoyoempotrado restringe los tres
movimientosquepuedenocurrirenel plano:
losdesplazamientos verticales y horizonta­
les y la rotación. Enestos apoyos sedesa­
rrollantresreacciones, ft R yM .
Los casos mostrados en la figura 2.1
representan apoyos de estructuras conte­
nidas en un plano, o sea, estructuras bidi-
mensionales. Muchas.estructuras reales
puedenidealizarseorepresentarseenforma
bldimensional, aunque en realidad sean
tridimensionales. Esto suele hacerse por
facilidaddeanálisisoporquelosresultados
queseobtienenenunanálisisbidimensionáf
nodifierenmuchodelosdeunanálisistridi­
mensional. Sin embargo, en algunas oca­
siones es conveniente realizar el análisis
estructuralconsiderandoelcomportamiento
entresdimensiones. Enestecasodebeob­
servarsequeérí'bn apoyoexistenseis posi­
bles desplazamientos: tres lineales y tres
rotaciones. Tamblán existirán por lo tanto j
seisposiblesreaccionesdeapoyo,R, R''R, I
Lai’lrespri/ñérásrestringenlos I
posiblesdesplazamientoslinealesylasotras I
tres, Fas'poslbíes rotaciones. Nóteseque la I
reacción M_ restringe la rotación del I
elementoestructural en’fnVplarioparaleloa I
su sección transversal, ocasionando una
torsión en el elemento. En la figura 2.2se
muestraelcasodeunempotramientoentres
dimensionesenelquesedesarrollanlasseis
reaccionesdeapoyo.
Todos los casos mostrados correspon­
denaapoyosidealesquesondifícilesdelo­
grar totalmente en estructuras reales. Pan
obtener,porejemplo, unapoyolibredeben
colocarserodillosentredosplacasrígidasy
reducirse a| máximo la fricción entrerodi­
llosyplacasparaque las fuerzashorizonta­
lessean mínimas.Aún así es prácticamente
imposiblelograrunapoyolibreperfecto.En
unapoyoarticulado,esnecesariocolocaruna
rótula o un cojinete que pueda girarcon
una fricción támbfén muy pequeña. Los
empotramientos requierendeelementosde
apoyomuyrígidosomasivospararestringir
larotacióndelosmiembrosestructuralesque
llegana bichos apoyos; aunqueenalgunas
ocasiones,losempotramientosselogranpor
condicionesespecialesdesimetría,comoen
•I caso mustiado en la figura 2.3. La viga

19. &•. ecuacionesllamad»ecuacionesdeequilibrio.
Estasecuacionesdependendelascaracterísti­
casdelsistemadefuerzas.Acontinuaciónse
analizanloscasosmáscomunes.
23.1Sistemadefuerzasparalelasenunpji-
estructurasplanassujetasúnicamenteacar­
gas porgravedad. Lascargas y las reaccio-
lf r =0 y lMom0 ‘T i l
dondeI f representa la sumade las cargas
verticales,osea,paralelasal eje Y,yZMere­
presentalasumademomentosalrededorde
cualquier puntosituadoenel planoenque
estáncontenidas las fuerzas. En.formaalter­
nativasepuedenplanteardosecuacionesde
equilibrioqueexpresenlasuma,demomen­
tosalrededorde dos puntosdistintosA y 8,
peroel númerodeecuacionesnosealtera:
LUa»0 y LMe=0 (2,2)
2.J.2 Sistemadetuerzasnoparalelasenun
plano. Cuandoen.unai,estructuraplanaac­
túan cargas en distintas direcciones, estas
tuerzasy lasreaccionesdeapoyoconstitu­
yenunsistemadefuerzasnoparalelas.Setie­
nenenestecasotresecuacionesdeequilibrio:
l f , =0. l f f =0, IMo»0 (2.3)
dondeZF,eslasumadefuerzasparalelasal
eje X y los otros términos han'flordefini­
dos.Enformaalternativa,elsistema(2.3)se
puedeplantearen laforma
U O0, tht¿mO y ZM,mO (2.4)
siemprey cuandola Ifneaqueunelos pun­
tos A y 0 nosea perpendicular al eje Y, o
bien,enlaforma
ZM ,-0, ZMb =0 Y SMc mQ (2.5)
siemprey cuando los puntos A, B y C no
2.3.3Sistemadefuerzasconcurrentesenun
plano. Lasecuacionesdeequilibrioparaun
sistemadefuerzascomprendidasenunpla­
no y que además concurren en un punto,
puedeexpresarsedelastresmanerassiguien-
Zf, rn0,, l f f =.Ó .... (2.6)
siempreycuandoelpuntoA noestésituado
sobrelarectaperpendicularalejeVquepasa
porel puntodeconcurrencia, y
, £Mg.4(£ ^ (2.8)
siemprey cuando la.rectaqueune lospun­
tosA y B no pasepor el puntode concu­
rrenciadelas fuerzas.
2,3,4 Sistemadefuerzasenel espacio.Este
esel,«somásgeneralysepresentaenestruc-
turas tridimensionales con cargas noparale­
las.Setienenseisecuacionesdeequilibrio:
, . E%=0, Zfr m0,¡ i ,ll'
£M, =0, !Mr -0 , lMt =0 (2.9)
dondeEF, es la sumadelas fuerzasparale­
lasálejeZ, IlWt, ZM. sonlassumasde
momentosalrededordelosejesX,YyZ, res­
pectivamente, ylosotrostérminoshansido
definidos.
2.4 Ecuaciones de condición
Algunas estructuras poseen características
especialesquepermitenplantearecuaciones

20. . Las articulación
placimientolineal relativodelaspartesq
concurrenenlaarticulaciónsinpermitirque
“ ; ' iLasecuaciones
la fuerza cortante es nula enestasartic
Obsérvesequeenlas'articulaciones
aunque él momento
flexionanteseanulo, existefuerzacorlante,
___ique en las articulaciones de ce
tante,nohayfuerzacortanteperosíhaym
mentóflexionante.
[iasS
Figura2.5.Vigasarticuladas
25 Acciones internas
Enel interiordelosmiembrosestructurales
sedesarrollanaccionesquepuedenserfuer­
zasnormales, fuerzascortantes; momentos
flexionantes y momentos torsionantesi En
este texto se tratan principalmente los tres
primerostiposdeacciones;quesonlospie-
dominantesenestructurasplanas.
Enla figura2.6seindicanestasaccio­
nesInterioresylaconvencióndesignosque
sesigueen el texto.La figura 2.6a muestra
un tramo de un miembro estructural en el
quesehaceuncorteenlasecciónala.Exis­
tendosmanerasdeanalizar loquesucedea
ambos lados de este corte. En la primera
manera, simplemente se separan los dos
Cuerpos libres y soanalizan lasfuerzas in­
ternasen lascaras.adyacentesalcorte,figu­
ra2.6b. Enlasegundamanera,seconsidera
que entre los dos cuerpos libres queda un
elementodelongituddiferencialy seanali­
zan las fuerzas internas que actúanen este
elementodiferencial, figura2.6c. _.
Las fuerzas¡normales se consideran
positivascuandoproducenesfuerzosdeten­
siónen las carasdeloscuerpos libresenla
seccióna-a,obien, esfuerzosdetensiónen
elelementodiferencial,figura2.6d. Lasfuer­
zas normales positivas tienden entonces a
alargaralosmiembrosestructuralesysere­
presentanporvectoresque sealejandelas
carasde loscuerposlibresodeloselemen­
tosdiferenciales.
Enjafigura2-6esemuestralaconven­
cióndesignosparafuera*cortante.Esposi-

21. libredelaizquierday haciaambaenelcuer­
polibredela derecha,o loqueesequiva­
lente, hacia arribaenla cara izquierdadel
telementodiferencialyhaciaabajoenlacara
derecha. 'Una fuerza cortame positiva
tiendea desplazar hacia abajo el cuerpo
dela izquierda.
>flexionanteseindicaen.lafigura2.6f.Un
compresión en las fibras superiores de los
miembros o del elemento diferencial yde
tensióncmlasfibras inferiores. Porlotanto,
un miembro estructural sujeto a momento
flexionante positivose deformade tal ma­
neraquetiendea sercóncavohaciaarriba.
i — Q —r
« . ( □ >
figura2.6, Convencióndesigno»paralasSe

23. ato, si Inscargasfuesentodasverticales, ha- porqueal‘
qulllbrloy unasolaecuacióndecondición, ecuación<
EJEMPLO2.1. CÁLCULODEL GRADODE INDETERMINACIÓN ENVARIASVIGAS
'M p p
I A 1 ' ä
^ á á ¿ à À s s l
■
Ê k À
^ S .
j É
— 1 «•
I — J— ^ - 1 g g y °
. 4 . 1 1 ¿ °
dü sïïsr j
E - „ v 1 . e s t j
f l l l j i
¿ s r — 4
1 i ilm»Wn«li.. I

25. 2.6.2 Armaduras. Lasarmaduraspuedenser
externamenteindeterminadasointernamen­
te indeterminadas. Sonexternamente inde­
terminadas, igual que las-vigas, cuando el
número de reacciones de apoyoes mayor
queel númerodeecuacionesdeequilibrio
máselnúmerodeecuacionesdecondición,
Siambosnúmerossoniguales«sonexterna­
mente ¡sostálicas. Por lo tanto, las ecua­
ciones 2.10 puedenusarsepara calcular la
indeterminaciónexterna.
La indeterminación interna ocurre
cuando el númerode miembros es mayor
queel mínimonecesarioparaque la arma­
duraseaestable. Enestecaso, las armadu-
iashopuedenresolverseconlasecuacionesde
equilibrio únicamente, empleando los
métodos de los nudos o de las secciones
estudiadosenloscursosdeestática.Acon­
tinuaciónse presenta la forma de calcular
elgradodeIndeterminacióninterna.Consi­
déreselaarmaduramássencillaposible,que
es el triángulo mostradoen la figura 2.7a.
Esta armadura puederesolverse porel mé­
tododelosnudos,planteandoparacadauno
lasecuacionesdeequilibrioZf,=0 yI f =
0. Es,porlotanto,estáticamentedetermina­
da.Sisedenominaalnúmerodereacciones
deapoyocon laletrar, al númerodenudos
con la letrayy al númerode barras con la
letrab, laecuación
r +tr=2/ 0.11)
secumpleparaestaarmadura,yaquer, 6 y/'
valen 3, cada una. Si a la armadura básica
delafigura2.7a,seleagregaotrotriángulo,
comosemuestraenlafigura2.7b, lanueva
armaduraestambiénestableoisostática ya
que puede resolverse aplicando las
ecuacionesdeequilibrioal nuevonudo. La
ecuación 2.11sesiguecumpliendo,porque
Mhanagregadounnudoy 2 barras. La ar-
triánguk», figura 2.7c, y seguirá siendoesta- I
ble.sepodráresolveraplicandolasecuaciones I
deequilibrioa cada nuevonudo ytambién I
seseguirácumpliendolaecuación2.11. Por
lo tanto, para cualqúie'r armadura establee I
Isostáticase cumple la ecuación 2.11.
SI a una armadura estable e isostática I
se le agrega una barra adicional, como la I
barraA i en lafigura2.7d, lanuevaarmadu- I
ra sigue siendo estable pero ya no puede I
resolversecon las ecuaciones de equilibrio
únicamente, porque en el nuevo nudo hay
más barras, y por lo tanto más incógnitas,
queecuaciones de equilibrio. Se concluye
entonces que si t + b > 2J la armadura es
estáticamente indeterminada. La diferencia
indicaelgradodeIndeterminación.Porelcon-
trario,sir +b <2/, laarmaduraesinestable. I
Estastrescondicionespuedenentonces I
resumirse de la siguiente manera:
Si t +b =2¡, laarmadura es isostática
SI (r +b) > 2j, la armadura eshiperestática
Si (r ♦b) <2j laarmaduraesinestable.
(2.12)
Obsérveseque una armadura puedeser
isostáticaexternamentee hiperestáticainter­
namenteo viceversa. Desde luego, quetam­
biénpuedeserhiperestáticatantointernamente
comoexternamente,las ecuaciones2.12son
válidaspara todos loscasos e indican, ensu
caso,elgradototaldeindeterminación.Nótese
tambiénquealcontarel númerodenudos,o
nodoscomoigualmentesedenominan,deben
incluirteloslocalizadosen losapoyos.
Ejemplo2.2
Se ilustrael cálculodel gradode indetermi­
nacióndedosarmaduras. Laprimera,esuna

26. apoyadoy dos articulados. Por lotanto, e
- decondición,
C,elgradode indeterminaciónexterna que
seobtienecon lasecuaciones 2.10esde 2. j
POrotraparte,alaplicarlasecuaciones2.12
seobtieneun gradodeIndeterminaciónto-.
tal también de 2, ya queel númerodé nu­
dos,/, esde 10, el númerodebarrras, b, es
del7yelnúme
«sponde al de indetermina

28. m
% f ¡ ;
§ 1
p
y y j 1
i
H-J
i
Figura2.8.Cálcalodelgradodeindeterminaciónenm<
Siahoraseconsideranlosdiagramasde
cuerpo libre de los nudos de la estructura,
figura2.8b, sepuedeverqueencadanudo,
incluyendo los apoyos, se puedenplantear
tres ecuaciones independientes de equili­
brio.Considerandoquelaestructuratienen
nudos, el número total de ecuaciones de
equilibrioserá3n. Cuandoelnúmerodein­
cógnitas sea igual al de ecuaciones de
equilibrio, la estructura será estáticamente
determinada,si esmayor, será Indetermina­
day siesmenor, será inestable.
Cuando existan ecuaciones de condi­
ción,comoen el casodearticulaciones in­
ternas en la estructura, su número deberá
añadirse al deecuacionesde equilibrio. SI
se denomina con la letra c al número de
ecuacionesdecondición, puedenplantear­
selassiguientesecuacionesparaestablecer
elgradodeindeterminacióndemarcos:
el marcoes«tilicamenteindeterminado.
el marcoesinestable
Enlafigura2.9seilustraotramanerade
obtenerel gradodeindeterminacióndemar­
cos,queresultamásconvenienteparamarcos
devariosniveles.Supóngasequeenelmarco
delafigura2.9asehacencortesenlassecck»;
nesa-ay b~bdetal maneraquelaestructura
original se transformaen las tresestructuras
mostradasenla figura2.9b. Cadaunadees­
tas estructurases isostática, yaque.tienetres
reaccionesdeapoyoytresecuacionesdeécjug
librio, peroencadaseccióndecorteexisten
tresincógnitas:lafuerzanormal,lafoerzacor­
tanteyelmomentoflexionante.Sepuedever
entonces queel númerototal de incógnitas
redundantes; oseael gradodeindetermina­
ción, es igual atresveceselnúmerodesec­
cionesdecorteenlasvigas,yaquelasfuerzas
internasa unladodelaseccióndecorteson
igualesalasdelotrolado.Enelejemplodela
figura2.9estenúmerodecortesesde10. ¡ •

29. Figura 2.9. Métodoalternativoparaelcálculodelgradodeindeterminaciónen
Ejemplo 2.3
En estéejemplo se ilustra el cálculo del gra­
do de indeterminaciónde varios marcos. En
el primero, se tienen 4 nudos, n, dos que
corresponden a la unión de columna y viga
y dos qué corresponden a los apoyos; setie­
nen 3 miembros, m, y 6 reacciones de apo­
yo, r, J en cada empotramiento. Deacuerdo
con las ecuaciones 2.13 el marco es inde­
terminado de tercer grado. Con el segundo
método expuesto, se haría un corte en la
sección 1-1, en la cual aparecerían 3 accio­
nesInternas desconocidasque indicaríanal
godo de Indeterminación.
En el segundo marco se tienen 4 nu*
dos, n, unointeriory 3 apoyos; 3 miembros,
m, y 9 reacciones de apoyo, r, 3 en oada
«nootramiento. Según las ecuaciones 2.1,3
el gradode indeterminación esde6.Porel
segundométodo,hayquehacerlosdoscor­
tes señalados para que queden tresestruc­
turas ¡sostálicas. En cada unodeestosdos
cortesquedarían.(resaccionesinternasdes­
conocidas.
El tercer ejemplo puede resolvene<Jq
manerasemejantea losanteriores,obttflM'
doseungradoejeindeterminaciónde9.
Enel últimoejemplo se ilustraelcaso
dequeexistanecuacionesdecondición,t"
las dos articulaciones el momento flexio-
nantevale0.Obsérvesequeenesteejemplo*
al aplicar el segundo método, resultacon­
veniente hacer loscortesjustamenteenI»
articulaciones, porque encada unahayt>?!
lamentedosaccionesinternasdesconocida
la(uerzacortantey lafuenanormal,y*I*
el momentoílexionanteesnulo.

30. EJEMPLO 2.3. CÁLCULO DEL GRADO DE INDETERMINACIÓN DE VARIOS
MARCOS POR LOS DOS MÉTODOS

31. 2.6.4 Inestabilidadgeométrica. Existenalgu­
nasestructura«quesonInestable«a pesarde
quealaplicarloscriteriosanterioresresuden
estáticamente determinadasoaunindetermi-
nadas.la inestabilidadsedativadeunnúmero
Insuficienteodeunadisposicióninadecuada
delosapoyos,obien,deunarregloinadecua­
dodepartesdelaestructura.Enelprimercaso
sedicequela estructuratieneuna inestabili­
dadgeométricaexlemayonci segundocaso,
unaInestabilidadgeométricainterna.
Considérese, porejemplo, lavigaconti­
nuade la figura2.10. Al aplicar loscriterios
delasección2.6.1, seencuentraqueel nú­
merodereacciones deapoyoes tres, igual
al númerode ecuaciones de equilibrio. Se
dirla entonces que la viga esestáticamente
determinada.Sinembargo,bajolaaccióndt
lascaigasIndicadas,lavigasedesplazarlaho-
rizonlalmenle hacia la derecha ya queon
ningunode losapoyossepuededesarrollar
una reacciónhorizontal que lo impida. Si
tratadeuncasodeinestabilidadgeométrica1
En la figura 2.11 se ilustra uncasoda
inestabilidadgeométrica interna. El mareo
mostrado tiene 12 nudos, n, 3 ecuaciones
decondición,c, (unaporcadaarticulación
interna)y 15 miembros,m. Porlotanto,se­
gúnlasecuaciones2.13seríaestáticamente
indeterminado.Sinembargo, laviga3-7no
podría resistir las cargas aplicadas porque
sedeformarlacomoseindicaconIfneapun­
teada. Habrfa una falla local enestaviga.
« tiú k
Figura2.10.Ejemplodeinestabilidadgeométrica
_ ________ 9
Figura2.11. EjemplodeinestabilidadgeométricaInterna'enmarco

34. Finalmente,sehantrazadoenetci
piolosdiagramasde fuerzacortantey i
cortanteet constanteentrocargasconsi
llvas. Poresoel diagramaestá formado
lineas horizontales entrelas cargas. El.
mento flexionante varía linealmente o
cargasconsecutivas, yaquesi seplante
+->»> 0
H - 601 90- 601B05-;0.
< - * 0,- 10S- 105kN

35. Sección 2a la Izq.: V-IOSkN
Sección 2a la der.: Vm105- 60- 45kN
Sección3 a lader.: V - 105- 60- 90 - -45 kN
Sección 4a la Izq.: V= 105-60-90--4S kN
Sección 4a lader.: /= 10S-60-90- 60 =105 - 210=-IOS kN
b) (M)
♦C »
Sección2: M, -105(3) « 315 kN•m
Sección 3: M, -105(7) - 60(4)- 735- 240- 495 kN •m
Sección4: M, -105(11)- 6016)- 90(4) - 11SS- 480- 360 - 315 kN•m

36. Ejemplo2.5
Setratadeunavigaconunextremoenvola­
dizoy condiversostiposdecarga.Sepuede
verificar fácilmentequees isostática porque
tiene3reaccione«deapoyoyexistentambién
3ecuacionesdeequilibrio:Lasreaccionesde
apoyosecalcularon,comoenelejemploan­
terior, con las ecuaciones 2.3. Enestecaso,
porexistirunacargainclinadayunacaigaho­
rizontal,lareacciónA, esdiferentedecero.
El cálculodelasfuerzascortantesyde
los momentos flexionantes se hizo eneste

37. ejemploplanteandolas ecuacionescorre»-'
una.ecuacióncontinuaentreelapoyodela
Izquierdayel punto.deaplicacióndelacar-
queseplanteóotraecuaciónválidaentrela
cargaconcentradayelapoyodeladerecha.
Entre el apoyode la derecha y el extremó
del voladizose requiereotra ecuación. En ■■
estetramoresultómásconvenientecambiar
elorigenalextremodelvoladizoy cambiar
tambiénel signode la fuerza corlantepor­
queseestabanconsiderandolasfuerzasa la
derecha de cada sección. Teniendo las
ecuaciones, puedecalcularseel valordela
fuerzacorlanteencualquiersección.Como
concalculardospuntosparacadaintervalo
devalidez y unirlosconuna Ifnearecta.
■ ■ primer orden de las fuerzas
lluadas'» lawzqulerda de la sección
correspondiente. Asf se calcularonenuna
seccióna6mdelapoyoizquierdo,enlasec­
ción en que está aplicada la carga
concentrada y en al apoyo derecho. Este
último pudo calcularse también en forma
mássencilla, comoel momentodelafuerza
de 180 kN, con signo cambiado. El lector
puede comprobar que el resultado esel
mismo.Tambiénsecalculaenel ejemploel
momentomáximo,queocurreenlasección
de fuerza cortante nula, según indicala
ecuación 2. 16, y la sección en que el
momentoflexionanteesnulo.Finalmentese
trazan los diagramas de acciones internas
conlos valoresobtenidos.
SCXUOÓN:
11Cálculodelasreacciones.

38. r — m f T " "
AnálisisdevigasIsostítícu
■>CZMÁ=O
I +60(18) (9) +135 (12)- R8y(18) + li80/(24) = Ò
I R|)yM870'kNT
+ îï/j,=0
2)Cálculodéla fuerzacortante, normal y momentoflexionante.
Sección B LFX=0 -135 +N= 0 .,
N=13SkN
La fuerza normal esconstantea todolo largodela viga y esdetensión.
CORTANTE
SecciónA V- kAí- 525 kN
Sección6
-6° <18*- 135-180 +870 - 0
R ,,,-1395-870
:R^=525|(Nt
+,-»IF,«P
+ ,1351 0;
60kN/m
i ¡ £
Ala Izquierda -tv{() ■ 1-60(12)+525
,•-195 kN

39. EJEMPLO2.5 (continuación)
Aladerecha
w(3/2 O -135 • 525-60 (18)- 135
_ 135+«70- 525- 60(18) -135 +870
iïf * (12)- w(12) (6)
i<t ■525(121-60 (12)(6)
A.m 1980kN■m
H H » 35 (6)
Mc - 525 (18)-60 (18)(9)-135 (6)
Mf-m-1080kN -m
Seccióndemomentomáximo
El momentoatmáximodondela fuerza cc
fuerzacorlante):
Vi»525- 60x, • 0; * i - ~
is.Igual a 0 (ver diagramt oe

40. EJEMPLO2.5 (conllnuècìón)
Seccióndemomentonulo
. -, Ecuacióndemomentosentrelas seccionesB yC:
M- S25*- — -.135 (X- 12)=0
I ; _.X=16.31 m(desdeA)
• 'X2■18.00- 16.31 ■1.69m(desdeO
3) Diagramasde N, V y M

43. Ejemplo 2.7
Soilustra la resolucióndeunaviga que tic-
ros. En esteejemplo, primerose resolvióel
tramoIF comprendidoentre lasdosarticu­
laciones. Estetramopuedetratarsecomosi
fueraunavigalibrementeapoyada,cuyasre­
accionesdeapoyoson lasfuerzascortantes
en lospuntosf y F.Así, la reacciónR, que
resultade405 kN,esla fuerzaqueluegose
aplica, con signo cambiado, en el puntof
del tramo AC. ol cual ya resulta isostático.
a, lareacciónR,„deltra-
isostáticos, puedencalcularselas4 reacción«. I
deapoyo. Una vezobtenidasestasreaccio. I
nes, ya se puedencalcular las fuerzascor.
lamesy losmomentosflexionantcscomoen
losejemplosanteriores.
El procedimientoseguidoenesleejcm-1
píoesdiferenteal delejemploanieriofljjll
lo que es Importante observar es quJ
viga cumple con la condición n +c
isostüticay es resolublecon ecuacionesd»
equilibrio únicamente.
450kN270kN 225kN 4.05kN360kN
' I _ L '
1)Determinacióndelas reacciones
TramoÍF
450(1) +270 0)-Rfr (‘
o . J i S £ . 3,5kN
* tZ f » o
315- 450-270 * “ 0
Rlf .7 20- 315- 405 kN

44. Análisisdevigasisostáticas
EJEMPLO2.7 (continuación)
Tramo jjf o ‘À*- 450kN/m B 6UoskN
+CrM„= 0 ' 450(6)(3)- Rgy(6)+ 405 (9)=0
H j 1957.5 kN ■
TramoFD 315kÑ 225kN405kN360kN

45. EJEMPLO2.7(continuación)
SecciónBa laizquierda:
H V,»1147.5-450(6)—1552.5kN (1)
SecciónBaladerecha:
V,■1147.5-450(6)+1957.5»1957.5-
Seccióna laderechadelacargade450kN:
- V-1147.5-450(61+1957.5-450- 40Í
Secciónaladerechadelacaigade270kN:
SecciónG a laderecha:
ANALISISDEDERECHAAIZQUIERDA(CONSIGNOCAMBIADO)
SecciónI alaizquierda:
SecciónHalaIzquierda:
SecciónC a laIzquierda:
j V¡¡*-180+360+405-1125

46. M3- 1147.5(3)-(450X3X1.5)
M ,-1417.5kN-m
SecciónB:
Mb =1147.5(6)- (450X6X3)
M, =.r1215 kN■m
Articulación£:
M „ - 1147.5(9)- 450(6X6) +(1957.5X2
SecciónG;
1147.5(10)- (450X6K7)+(1957.5X4)
) - (450X6X9)♦(1957.5X6)- (450X2)
17.5(13)- 450(61(10) | (1957.5X7)- (450)(3)- 270(1) ■0
'.5(15)- 450(6X12)i (1957.5X9)- (450X5)- 270(3)

48. 2.8 Armaduras
Losmiembrosdeunaarmadura,porencon-
trarsearticuladosensusextremos,trabajan
únicamentea tensiónoacompresiónaxial.
Entonces, la resolución de una armadura
consisteendeterminarlasreaccionesenlos
apoyosy lasfuerzasaxialesencadaunode
susmiembros.
determinandelamismamaneraqueenvigas,
osea;planteandofasecuacionesdeequilibrio
y,ensucaso,lasecuacionesdecondición,en
función de las reacciones de apoyo, y
despejandosuvalordelsistemadeecuaciones
queresulta.
2.8.2Determinacióndolasfuerzasaxiales.Una
vez obtenidas las reacciones, las fuerzas
axialesenlosmiembrospuedencalcularsepor
elmétododelo»nudosoporelmétododelas
secciones.Elprimeroconslsleenplantearun
dandoque sóloaparezcan dos incógnitas.
Despuésse plantean lasdos ecuacionesde
equilibrioquecorrespondena unsistemade
fuerzasconcurrentes, * 0yZF ■0.Resol­
viendoelsistemadedosecuacionesseobtie­
nenlosvaloresdelasdosincógnitas.Sedebe
dosincógnitas;conformeseavanzaenlaso­
lución,lasfuerzasyacalculadaspermitenre­
solver nudos en los que concurran varios
miembros.Cuandosetratadearmadurasen
elespacio,envezdedosecuacionesdeLequ&
"Ene| métododelas secciones,setra­
zandiagramasdecuerpolibredeparlesde
queintersectenavariosmiembros.Después
seplanteanlasecuacionesdeequilibriodel
tantresecuaciones, correspondientesa un
sistemadefuerzasplanasnoconcurrentes,
y para armaduras^en el espado, seis
ecuaciones, correspondientesalcasogene­
raldefuerzasenelespado.S

49. El métododetasseccionesresultamás
convenientequeeldetosnudoscuandosólo
miembros,yaquenoesnecesarioavanzaren
obtenerlasfuerzasentodoslosmiembros,por
combinacióndelosdosmétodos, resolvien-
seccionesparaavanzarmásrápido.
Recuérdesequelaconvencióndesignos
siderarpositivaslastuerzasaxialesdetensión
ynegativaslasdecompresión(sección2.5).
í;También debe recordarse que si al
analizarunnudoounasección,laincógnita
resultapositivaalserdespejada,estosignifica
que el sentido supuesto es el correcto,
independientementedequeseadetensióno
decompresión.
Laarmaduradeesteejemploes¡si
deapoyoy tresecuacionesde equilibrio, y
f.+6 =2;(ecuación 2,12). Lanotaciónem-
conlasdosecuacionesdeequilibriocorras*
pondientesafuerzasconcurrentesenunpto*
quedabanya dos fuerzas desconocidas. Dt
queporsimetríanoeranecesarioanalizarlos
nudosdelamitadderechadelaarmadura.

50. EJEMPLO2.8 (continuación)

52. pideencontrar las fue
laarmadura, laL.L¡y
nesdeapoyoseobiuvi
enlosejemplos [ Unavezobleni-
lerza en la barra
laciendouncorteen
cortalabarracuyafuerzasedeseacalcular,
y que las otrasdos barras cortadasconcu*
rren enel nudo alrededor del cual seto-
| única incógnita queaparece en la ecua*
ción de•momentos es la fuerza buscada.
Oe forma similar secalculó la fuerza en
labarra UlUi.

56. Figura2.13.Convencióndesignos.encolumnasdemarcos
convencióndeconsiderarquelaparleInfe-
qiilérdódelasvigas, yla panesuperior, al
extremoderecho,figura2.'15¡i:Estoequiva­
leaconsiderar quelas columnas se miran
desdelos'puntosdeobservaciónindicados
enlafigura2.156.tosdiagramasdemórnen­
loflexionante setrazansiempreen lacara
de -osmiembrosenque existenesfuerzos
Lasfuerzascorlantes enlas columnas
seconsideranpositivascuandotienenelsén^
nasemiracómosemuestraeníafigura2.15.
Losdiagramaspositivosdefuerza cortante
setrazana la izquierdadélascolumnas, y
losnegativos,a laderecha.
2.9.3Determinacióndefuerzasnormales.Las
landocadamiembrodel marco, despuésde
obtenersusdogramasdemomentoflexionante
tambiéntieneunaarticulacióndemomento
enelpuntoC,secumplelacondiciónñ+c
■<y él marcoes, porlo tanto, isostático
determinaciónconlaecuaciónr+3/77=3i?
+.C(ecuación2.13):Enefecto,mvale3por­
queelmárcotienetresmiembros,resigua'
a4,hesiguala4(incluyendolosapoyos)y
ción, la que indica que enel pumoC el
momentofiexlorianteesnulo.
Paraobtenerlasreacciones,primerose
planteólaecuacióndecondición,calculan­
do el momentoflexionanteenel puntoC
comolasumadelasfuerzasaladerechade
lasección consignocambiado. Estaecua­
ciónpermitióobtenerunarelaciónentrelas
reaccionesRb y jt^. Obsérvesequecomo
nohayningunafuerzaentrelareacciónEy
laarticulaciónC, laresultantedeRfl y R¡
debepasarporel puntoC paraqueeimo-
Estoseha Indicadoconlíneapunteadaen
elejemplo!
Después se 'plantearon1las tres
ecuacionesdeequilibrio1MA■0.Zf, ■0.
yZf b0. Porlascaracterísticasdelmarco,
coníaprimeradeestasecuacionesy*sepu­
dieronobtenerlasreacciones'^,yR¿ycon
cadaunadelasotrasdosecuacionesleob­
tuvounadelasreaccionesfallantes;!nofae
necesario, por lo tanto, resolverel sistema
decuatroecuacionesconcuatroIncógnitas

59. EJEMPLO2.10.RESOLUCIÓNDÉUNMARCOISOSTÁTICO
CONARTICULACIÓNINTERIOR _________________________ _________|
Rí/= |R£.
La reacciónen| debepasar por C, ya queel tramode marcoentreC y £ notiene
cargasexternas.
-9^,-2^,+18x3+12x6-0
9/^+2/Jfc»126
9x¿«¿+2%,-126
-91on

65. üll

67. If, - 47.89- 38.31- X^-O, - 9.58Ion |
V,-9.tS-UA9*XaimO. x<*. 2.34Ion g
W C-30+47«X10^4-».31XJ.22-«|C<-0. «„-330100-0,

69. BEMno 2.12(continuación)

72. to'flexionantesonnulo*enelextremodela defuerzacortanteodemomentoflexionante
viga,ylaIntegraciónnuméricapudoiniciar-1 nulos.Enelsiguienteejemploseilustrauna
EJEMPLO2.13. RESOLUCIÓNDEUNVOLADIZOPORElMÉTODODENEWMARK

75. El procedimientopara resolver vigas con
cargas distribuidas consiste en sustituir la
cargadistribuida por cargas concentradas.
Yaquesetenganlascargasconcentradas,la
resolución se efectúa comose vio en tos
ejemplosanteriores. Lascargasconcentradas
debenserequfvalemes ala cargadistribui­
da,enelsentidodequelasfuerzascortan­
tesymomento;flçxlonanlcsproducidospor
ambos tipos de cargas sean iguales en
A-B se sustituye por las doscargasconcen­
tradas PAy P8, de tal manera quela füeo*
cortameyelmomentoflexionanteenlospi*
tosAy0seanigualesconambostiposdeex-
ga, aunquedifieranen el interiordd tram*
Enlasfiguras 2.19ay 2.196, semuestranco*
trazolleno losdiagramas correspondientes'
lascaigas concentradas y con lineapunte*
da, loscorrespondientes a lacargadistrict*’
da. EniospuntosA y 0, losdiagramasdd**

76. coincidir!Acontinuaciónsemuestralaforma
decalcularlascargasconcentradasequiva­
lentesdistinguiendodoscasos:quela carga
distribuidatengaunavariación lineal o que
tengaunavariaciónnolineal.
neal,comoenlavigadelafigura2.20a, el
procedimientoconsisteensustituir lacarga
por las reacciones de una'viga libremente
apoyadasujetalamismacarga,figura2.20c.
Estas recciones puedencalcularse con los
principiosdeEstáticaya conocidos.Asf,.si
seconsideraquelacargatrapecialsesusti-
dránlossiguientesvalores. Paralacargauni­
formementedistribuida
X J 1 1 A BMA n >

78. 11IIi

79. Figura2.22.CaigacondlHribuclónno
Seresuelvelamismavigadelejemploonle-
rior, calculandolasfuerzasequivalentesto­
tales en las secciones 2 y 3. ‘El valor de
-4.17, por ejemplo, resulta de aplicar la
ecuación2.23delasiguientemanera:
P¡=|(0+;4x2:50+íx2.50),-4.17
Sólose calculan las fuerzas cortantes
ciónlineal,puedeobtenersepor log«
unaaproximaciónsuficientementepro
sufuncióndevariación,suponiendoqti
funciónesunaparáboladesegundog
Enlafigura2.22semuestrandostramo]
N-1, Ny N* 1, respectivamente.Sep
suponerquelafuncióndelacargasej
representar por la ecuacióny =Ax*+
C.yajustarlasconstantesA, 8yC par.
lacurvapáseporlospuntosN - 1, N;
1. Siseeligenlosejesdecoordenadas<
semuestraen la figura2-22, lascoon
das de lospuntos A/- 1. N y N +1s
respectivamente: (-/>, a), (0, b)
r).Sustituyendo estos tres pares decot
nadasenla ecuaciónde la curva, sec
nenlastressiguientesecuaciones:
a-Ah1-B h*C

82. diferentes.Sinembargo,losvaloresdelmo-
atnbosladosdelapoyo.Ladlfeiièntìia4*dobe
Porlo’tanto, deboincluirseunaconfigura­
cióncorrectivai'BsíotehaceIntroduciendo
unmomentode42^3^13,95* 96.27ala
dMdudelapoyoderecho,figuri2.24,ya
queelvalorde-13.35escorrecto.Éstemo­
mentocorrectivoproduceunareacciónha­
da «bajo(negativa)enel apoyoizquierdoy
unafuerzacortantecorrectivaVeconstante
entrelosdosapoyosde56.27/2*26.13,con
•Igno negativo. Esta fueraa.cortante
correctiva,renglón7ysesumabaJasíimtih
corlantescalculadasprovisionalmenteenlos
renglón«4ySparaobtenerla»fuerzascgs

83. Figura2.21.Configuración«correctivasdeleiemplo2.17
tantetfinalesenlosrenglones8y9.Suman­
donuevamentelosyatòrcsdeP apartirdel
apoyoizquierdo,seobtienenlosmomentos
finales enel renglón 10. Obsérvese que
apoyoderediosimandodeIzquierdaaderecha
ysumandodedereehaaizquierda.
Seilustralaresolucióndeunav¡8acon^
articulaciónInterior;yconcargasdistribuí»7
concentradas slipultáneamome. Lact1‘
distribuida tlenp una variación ¡ H l
renglón2, porloquelascargasconcentra»“

86. 1
P
1 r
1 j s b - h *^ r //Jy/Jz 1
ÿ>x /
/ffs/Js / $ })/ /rfsft? ^ /tVs/Js
4 . ¡1 4— A -

89. i B B & ------------------ h
/ / / / / / / •
. H S — H*— --------1 — H
^ r-------------- i ---------------¿ r y - y - y - y ^ o .
/ t ^ • S B

91. 2.6Encadaunad»lasvigasdelproblema2.4establecerlasfuncionesquerepresentan
èlafuerzacorlanteyalmomentoflexionante,ytrazarlosdiagrama»correspondientes.
Determinar encadacasoelyalordel;momento'fisionantemáximoy lalecciónen
2.7Trazarlosdiagramasdefuerzacortanteymomentoflexionanteenlosmáteosdel
problema2.5
2.8Obtenerlosdiagramasdefuerzacortanteymomentoflexionanteenlassiguientes
vigasporelmétododeNewmark.

95. Figura3.2.Deformacionesde
dinales, alargamientoso acortamientos, en
lascolumnasy en lasvigasdel marco. Esta
hipótesisesusual porquelasdeformaciones
producidas por los momentos flexionantes
ducldasporlascargasaxiales.Tambiénson
mayoresquelasproducidasporfuerzascor­
tantes. Poresoenlosmétodoicjuese-verán
másadelantesóloseconsiderandcformacio-
brosestructurales tienen los tres tipos de
deformacionesyenalgunoscasosesconve­
nientecalcular losotros dos.'Los métodos
correspondientescaenfueradel alcancede
estetexto.
Aunqueen este capitulose presentan
métodosparaelcálculoprecisodedeforma-
peratrazarlaformaaproximadadeestructu­
ras<Mormadas.Estopuedehacerseatendiendo
longitudoriginal de los miembros, y otras
consideracionesgeométricasydecargasse-
casohayqueanalizar lascaracterísticasde
laestructura', la Importanciadeestahablll-
deformadada unabuenaIdeadel signode
*los momentos flexionantes en las distintas
zonas dela estructura. Asi, en el marcode
la figura 3.2 y usando la convención de
signos del capítulo 2, se sabría que en la
colutnnaABhaymomentonegativoentreel
empotramientoA y el punto de inflexión
turaes cóncava hacia abajo, mientrasque
entreel puntodeinflexióny el nudoB el
momento es positivo, porque es cóncava
torpuedetrazarasíeldiagramademomentos
flexionantes,enformacualitativa,deestaes­
tructurahiperestátlca.Conelusogeneralizado
delos programasdecómputoparaanalizar
estructuras, este métodoes muy útil para
detectarerroresgrandesenlaalimentaciónde
datosoenelmodeladodelaestructura.
3.2 Teoría dela viga elástica
El pbjetivodeesta teoríaes establecer las
enlavigaporunsistemacualquieradecar­
gas. Considéreseuna viga librementeapo-
mostradaenla figuraM

96. seccionesA~AyB-Bseparadasunadistancia
infinitesimaldx.Sesupone,enestateoría,que
al deformarse lavigasus secciones trans­
versalescontinúansiendoplanas,bfpóMtit
conocidacomode Éuler-Bemoulli. Porlo
tanto, enla figura3.3-b, dondesemuest»
I, vigadeformada, seIndica quelas
don»»AÂ y B-Bya nosonparalelas,p,,.
siguensiendoplanas, por lo queestán
presentadasporlíneasrectas.

98. ö H * r

99. Estasdosecuacionespermitenobtenerlas
deformacionesdeunavigaelásticaenfunción
ción dex, aunque-en,algúncasopuede ser
constante.Elmódulodeelasticidad£estam­
biénconstanteenJamayorfadeloscasosalo
largodelaviga.Elmomentodeinerciaescons-
comofuncióndex. Deberecordarsequees­
tasecuacionessólosonválidasparadeforma­
cionespequeñasproducidasexclusivamente
porflexión,y paravigasdematerialdecom­
portamientolinealyelástico,deacuerdoalas
hipótesishechasdurantesudeducción.Laviga
deformadaquecumpleestascondicionessue-
Lasrotaciones*0,ylasdeflexiones,y,deuna
viga puedeo. calcularse integrando las
ecuaciones3.17y 3.18obtenidasenlasec­
ciónanterior.-La primera integración pro-
porciona las. rotaciones y la segunda,,las
deflexiones.Alllevaracaboestasintegracio­
nesaparecenconstantesdeintegraciónque
debendeterminarseapartirdelasllamadas
condicionesdefrontera*quevienensiendo
valoresdelasdeformacionesquedependen
condicionesdecontinuidaddela viga»Por
ejemplo, enun empotramientola rotación
délavigaysudeflexióndebenser-nulas;en
ftfnra1A.ConvencióndeUgnot

100. unapoyo llbrp, po#d*haberrotaciónpeto
nodeflexión;envnavigasimétrlcaencarga
y geometríala rotaciónal centrodel claro
debesernula.Lascondicione*decontínui-
dadseestablecencomldenndoquelacur­
vaelásticadebesercontinua, amenosque
bayacircunstanciasespecialesquepermitir»
por ejemplo, unaarticulación Intermedia
permiteunadiscontinuidadenrotación. En
fin.estascondicionesdefronteraodeconti­
nuidaddebenserdeterminadasencadacaso
particular. El trazoaproximadode la viga
deformadaocurvaelásticaresultaútilpara
hacerestadeterminación.
Encuantoal momentoMqueaparece
enlasecuaciones3.17y 3.18.yquecomo
sehadichogeneralmenteesunafunciónde«.
deberevisarseelintervalodevalidezdelas
funciones. Enlos punios deaplicaciónde
cargasconcentradascambianlasecuaciones
correspondientesalmomento.Eitrazodelos
diagramas de momentoflexionante ayuda
tambiénparallevaracaboestarevisión.
CONVENCIÓNOESIGNOS
Enlafigura3.4seilustralaconvenciónde
signos,congruenteconlaconvenciónpara
momentoflexionantedelcapitulo2yconla
deduccióndelasecuaciones3.17y3.18de
muestranenlafigura3.4-ason positivosy
hacenquelavigasedeformeconunacon­
cavidadhaciaarriba.Losejesdecoordena­
dasindicadosenlafigura3.4-bsonpositivos
ycoincidenconlosdejafigura3.3-a.Enal
tramodeyjgaA-Bdelafigura3.4-bcrecen
losvaloresdeyydex,osea,tamodycomo
yseránpositivashaciaarribay lasrotacio­
nes 8 serán positivas cuandoel giro sea
antihorario(contrario Alas manecillas del
reloj)segúnsemuestraenlafiguro.
Ejemplo3.T
Seobtienen expresiones para calcularI*
rotacionesydeflexionesenunvoladizo*,
jejoj carga uniformementedistribuida.Se
suponeque la seccióntransversalescons.
lameporloquetambiénloeselvalorde¿(
•Enprimertérminosehatrazadolactata
elásticaenformaaproximada,enlacual«
puede ver que tanto la rotacióncomoU
deflexión deben ser nulas en el empoia.
miento. Después se obtuvo el momento
flexionante en el empotramientocoah
expresión iv/J/2 y laecuacióndelmomia,
loflexionanteencualquiersecciónquere-
Acontinuación seaplicaronlasco»
dones 3.17y 3.18sustituyendoelvalor*
Mporlafunciónanterior.Obsérveseque»
laprimeraintegraciónapareceunaconjun­
tedeintegraciónC, quehayqueincluiré»
elIntegrandodelasegundaintegral.Deesa
manera en la expresión para 8 apareceU
constanteC, yenlaexpresiónparayapare­
cenestamismaconstantey una nueva
surgealrealizarlasegundaintegración,C,-
Lasdosconstantespuedenobtenerseapar­
tirdelasdoscondicionesdefrontera8^=®
yYa “ O-Paraesteejemploambasconsta»
lesresultaronnulas.
Yaobtenidas lasconstantesde¡*1*
clón,puedenplantearselasecuacionesSal­
lesparacalcularlarotaciónyladeflexión«1
cualquierpuntodeabscisax. Estas¿cuati»-
nes quedan en función de Cl, quef¡>**
constantesetactorizáenlaIntegración,
quequedaréexpresadaenradianes,o*
deflexión,quequedaréenunidadesdegjj
gltud,deberánsustituirselosvalores
pondlenteedexy deEl. Yaquelacargt

102. DIAGRAMADEMOMENTOSfLEXIONANJES
CÁLCULODEROTACIONESYDEFLEXION
- / I ' ”
¡ t i l
(-9x+3x2-^-+C,)<fc
-(--x2+jx34^x4‘+Cÿr+Ç1)
*0. 0-0parax=0, ,-.C|=0
f-w6*(2y>(ia-ei|
«oueion1 lamludrielduo: x> 1.5b,
••¿[-9(USI+í0.5)2-.ljiJ .-Z ÍÍ

104. EJEMPLO3.2. CALCULODEDEFORMACIONESENUNAVIGALIBREMENTE
APOYADAPORELMÉTODODE INTEGRACIÓN

105. EJEMPLO3.2(continuación)
DIAGRAMADÉMpMENTOSFLEXIONANTES
CALCULOOEROTACIONESYDEFLEXIONES
Para0sxs2
I >11 Cly Ely ,. i
y‘ /i^ A ' s í (&í+c,)* _ s ( ! xí+c,x+Ci)
Pan l í x s í
d«-¿(30Jir.2*J+Cí),
11fljjdx I gj(30x- Ix'+Cjldx- l i l i tCjX+Q)

106. EJEMPLO3.2 Icontinuación) -----
CONDICIONESDiFRONTERA
g |(0)+C|(ffl+C2»0 '
1SW*- |(6)’+Cj(6)+Ci=o
360+6Cj+¿4=0
CONDICIONESDECONTINUIDAD
Six=2, losvaloresde9yysonigualesenlosdosintervalos
5B), +C,-3<X2)-|<2)?+C3
-30+fc|-Cj=0
- > |ffl)+C,(2)+C2=,5(2)2- | (2)3+Cj(2)+C4
-40+2C1+C2-2C3-C4- 0
C' ” -33-33;C2=0;C,m-63.33;C4=20
RotaciónenA:
* £/ — jr- radianes
DeflexiónenB:

108. E S i s E

110. IcISegmentodeparáboladesegundogrado w■ çargauniforme
,lpm **■| | | Vdto.ncia»cenlroldal«1 alguna,figura.

112. nenireflyC SccdónenlieAy8 |
Cajcularla.roUcMn enC. ladeflexìónenB y ladeflexiónent
CURVAELASTICA

114. k ^ w a . | H

115. esigualalárendeldiagramaM/ll entreAy
C. osea, media parábola. Esta área se ha
calculadoconlaecuacióndelafigura3.6*6.
Ladeflexión Ac, igual a la desviación
tangencialtA¿ porelsegundoteorema,esel
momentodeprimerordendelamismame-
puntocuyadistanciaalatangentetrazadapor
elpuntoCsequieredeterminar.Páracalcular
este momentose multiplicóel área de la
media parábolapor la distanciacentroidal
ir,puesseutilizaconmuchafrecuencia.
riorménte. íSAes el momento de toda la
parábolarespectoal punto>Byel centroide
triángulossemejantes.Y eselmomento
del segmento de parábola entre A y D,
respecto álDféI cual se calculó'con las
ecuacionesdelafigura3.6-c.Nótesequeel
valordeADresultómenorqueelde como
seinfieredelaformadelacurvaelástica.
Respectoa los signosenesteejemplo,
obsérvesequecomoel momentoespositivo,
6,"-resultatambiénpositiva.Estesignoescon-
Delamismamanerat„cresultapositiva,yen
efecto,elpuntoAestáarribadelatangenteen
C.EstoindicaqueelpuntoCsedesplazahacia
abajo.Lomismosucedeconá»
BSsíM? 011X5 DEFORMACIONESENUNAVIGALIBREMENTE j
APOYADA PORELMÉTODODELOSTEOREMASAREA-MOMENTO

118. ¡ ¡ ¡ g g “ 1
"
B B I

121. I»™»«— •
H ö ä B lf i
h É ÌIÌIh ÌI "
p i U i i l i .

122. l c1Vigaconjugadaconlacargaelástica
Figura3.7.Vigarealsimplementeapoyadayvigaconjugada
mostradoenlaSección3.2quela rotación
8 y la deflexióny deéstavigapuedencal­
culan*conlasecuaciones3.17y 3.18que
fe reproducenacontinuación:
* ” J B * 0.17)
«■>»
Supóngaseahora que a otraviga.*
Igualclaro,*elaaplicacomocaigaeldüg»
mademomentoflexionantedividido«*■*
larigidez£f,comoseindicaenlafiguraJ í
c. (Al plantear misadelantelacomcnc*
designesseexplicaporquésecolocaI»<*
gaactuandohadaarriba).Aestaa« «•**
lellamarévigaconjugadaya lacaifa
selellamarácargaelástica.O*acue'doc’’"
lasecuaciones 2;15y 2.17,yconsiderara0
quelacargaivesIgualaM/CI,lafuer»*40'

124. flexionantellenenunvalordiferentedecero,
mientrasqueenelextremolibredeladere-
chaambo»valoressonnulos.Porelcontra­
rio,enelextremoIzquierdolarotaciónyJa
deflexiónsonnulas,mientrasqueenel ex­
tremoderechotienenunvalordiferentede
cero,figura3.6-c.Ahorabien,silavigacon­
jugadaatuvieseempotradatambiénensu
extremoizquierdo, la fuerzacorlantey el
momentoflexionanteseriannulosenelex­
tremoderecho,locualIndicaríaqueeneste
extremonohayni rotaciónnideflexión, lo
cualnoesciertocomoseVeenlafigura3.8-
c. Laexplicacióndeesladiscrepanciaradica
enquelasconstantesde integraciónde las
ecuaciones2.15y2.17sondiferentesalasde
las ecuaciones 3’.1'7 y 3.18, porque fas
Condicionesdefronterasontambiéndiferen­
tes,exceptoenla viga librementeapoyada
enquecoinciden.Enefecto,enestavigala
fuerzacortantellene unvalor diferentede
ceroenlosapoyosmientrasqueelmomen­
toflexionanteesnulo; en losmismosapo­
yoslarotaciónesdiferentedeceromientras <
queladeflexiónesnula.Petonosucedeasf
enotrotipodevigas,comoseacabadever
paraelvoladizodelafigura3.8.Porestara-'
librementeapoyadasiguesiendoválida,siém-
preycuandosemodifiquenlascondiciona
deapoyode la vigaconjugada respectoa
lasdelavigareal,comosemuestraacomi­
zacórtame;sihay-deflexionesenlavigaIt)| I
debehabermomentoflexionanteenlavj^ I
conjugada;si porel contrarionohayeg) I
momento flexionante, ______
acuerdoconesteprincipio,semuestranen I
lafigura3.9lasvigasconjugadasquecon«. |j
continuaciónsemuestracómosehaaplica, i
doel principio general enunciadoparala I
apoyosdeestasvigas.
Extremos libremente apoyados. Comope- I
mitónglroi ynqpermitendeflexiones,enli I
vigaconjugadadebenserapoyoslibres,ya ■
queen éstos hay.fuerza cortanteynohay I
momentoflexionante. Es.elcasodelosdos I
apoyosdelavigareal(a),rielextremoizquiadn H
devigareal(d)ydelosextremosderechosde I
lasvigasreales(ftylgl. Entodosestoscasos, I
Extremoslibres.Enlasvigasrealeshaygiros
ydeflexiones.Porlotanto,enlosapoyosdr
lavigaconjugadadebehaberfuerzacora»
teymomentoflexionante.Elempotran**
esel únicoapoyoquecumpleestascondi­
ciones.Eselcasodelextremoderechodeb
vigareal(b)ydelextremoderechodelaviga
real fef)queensusrespectivasvigasconju*
gadas se han'iransformado en empoto*
Elprincipiogeneralparamodificarlas<un­
taquesienlavigarealhayrotacionesenun
apoyo,enlavigaconjugadadebehaberfuer­
ApoyoslibresInteriores.Eselcasodeláfiffl}
derechoda la viga.realId). Enesteapoyo
hayrotaciónpeitonohaydeflexión.EnU«H*
conjugadadebehaberfuerzacórtame,
no debehaber momento flexionante.
articulación interior cumpleestereqe
comoseveenlavigaconjugadacouoP^"

125. I
1 1 — i
¿ ¡a l td t^
I----------
Hpn ì.9.vìrmcoiijugid
1Vigaconjugada
■ £* A .

126. litis

129. EJEMPLO 3.6 (continuación)
DiagramadeV
Parael casoA:
Caso B
DiagramadeMfCI
Diagrama deMU
t r m i r í
Cipconjugadacon*ucaiga

130. * - ! -
B U
" ■ - i "
l i
2 T “ S S s :ä ä ' ^

132. Calcular lasrelaciona ylasdeflexiones enlospunios ByC.
EntreA yC laviga esuna IRde305mmX 66.9kg/m.1=14568cm4
EntreC y D laviga esunaIRde305mmX 96.7kg/m,/-22185an4
APLICACIÓNDELPRINCIPIODESUPERPOSICIÓN

135. Calculodereacciones:
ÄA” l.52£^,
CorunteymomentoflexionanteenelpuntoB:.
^ s; V* " "ì5 p b .. ^
| 3 g Í ¡ É S É S É Í É
Cenanteymomentoflexionanteenel puntoC: ■’,¿*V
V* “ l32£fe^J3':8b “ l-52«|>
■ • *>,~ 'ï j Î ^ ( Î ><B‘<2’<<><2) ‘ ~l-5a«»________ S I

136. Deformacionestotales
Esquemaefedeformacionesparaelcaso8:

137. 3.6 Métodode Ñewmark
EnlaSección2.10sepresentóelmétodode
Newmarkparaelcálculodefuerzascortantes
ymomentosflexionantes,ysedijoqueeraes­
pecialmenteútilparacasosdecargasirregula­
res.7Elmétodopuedeampliarsealcálculode
rotacionesydeflexiones.Unamanerasencilla
dehacerloescombinándolocon el método
de la vigaconjugada. Ya queestemétodo,
comosevioenlasecciónanterior,sebasaen
elcálculodefuerzascortantes y momentos
flexionantesenunavigaconjugada,elméto­
dodeNewmarlepuede usarseparacalcular
exasfuerzasymomentos,delamismamane­
raquesevioenlaSección2.10.Elmétodoes
gacargassencillas, las cargasquese apli­
canalavigaconjugada,quesoneldiagrama
deM/Ef,yaresultano
w enel ejemplo3.7 queseacabadepre­
sentar.Enelejemplo3.8 seilustralautiliza­
cióndelMétododeNewmarkpararesolverla
manoquenoesdeestamaneraenlaquese
Setratadeunvoladizoconcargasconcen­
tradasysepideobtenerlasrotacionesy las
deflexionesenlospuntosdeaplicaciónde
lascargas.Seempiezaporcalcularlosmo-
vio en iaSección2.10. Sesabequeenel
extremodelvoladizolafuerzacortanteyel
momentofléxionañtesonnulos,porloque
tearunaconfiguracióncorrectiva.Deestama-
ddrenglón5delapartesuperiordelejemplo.
jugada,queesunvoladizoempotradoenel
gaconeldiagramadeM/B. Comolosmo­
mentosflexionantesresultaronnegativos,las
cargasenlavigaconjugadasonhaciaabajo,
havenidousando.Ahorasecalculanlasfuer­
enestaviga.Losvaloresdelrenglón2repre­
sentanlascargasdistribuidasenlassecciones

138. | ¡ i
peundoconvaloresnulosenelextremode-
lasrotaciones0enlasseccionesdeaplica­
cióndelascargasconcentradas, ylosvalo­
resdeMdel renglón 7, las deflexión«
estos mismospuntos. Desde luegoque|,
rotaciónyJadeflexiónenelempotramiM
medioen los tramos respectivos; sonla,
pendientesdelassecantesquevandeun&
tremoaotrodeltramoenlavigadeformada
Obsérvesequesisesustituyeelvalordefi
enton-m2, lasrotacionesquedanenradianes
y lasdeflexionesenm.
EJEMPLO3.8. CALCULODELASDEFORMACIONESENUNVOLADIZOPOR 'i
ELMÉTODODENEWMARKYLAVICACONJUGADA
I B
M
1 ,
■'«— .
B S g g á l M i
i s s
t e i i
¡ ¡ | j
l y ¡ l
S I # ! •' 1 I aJ H

139. EJEMPLO3.8(continuación)
EiMétododeNewmarkparaél'cálculo
dedeformacionespuedeplantearsesobrela
basede consideraciones puramente geo­
métricasyesasícomoresulta máspráctico^
y eficiente. Considérese un tramode una
curvacualquiera,comolamostradacontra­
zogruesoen la figura 3.10, quepuedeser
untramodeunavigadeformada.Enestetra­
mosehanmarcadotresseccionesa, 6ye,
lastangentesalacurvaenestostrespuntos
y lassecantesocuerdasqueunenlospun­
tosconlineasrectas. Entrelospuntosayb,
lapendientedelacurvavacambiandogra­
dualmente,detalmaneraqueelcambioan­
gulartotal serfa el ánguloformadopor las
tangentesenambospuntos, Enlafigura
puede verseque esteángulo es igual a la
sumadelos ángulos formados por laí tan­
gentesy lascuerdas<¡¿ ya,,,. Estosángu-
equivaleal cambioangulargradual entrea
y b. Puedeverselasemejanzaentreloscam­
biosangularesconcentradosequivalentesy
lascargasconcentradasequivalentesquese
hanusadoenelcálculodefuerzascortantes
elcambioangulartotalentrelospuntos6y
c,9¿¿ sería lasumadelosángulosconcen-
delMétododeNewmarkparaelcálculode
deformaciones,segúnsedescribemásade­
lante, consisteen sustituir las rotaciones
continuas,d8, delafigura3.3pórcambios
tenerla rotaciónentredosseccionescomo
lasuntadeestosángulosenvezdeobtenerla
dosequlvalentes’5 y la rondóny ladefle­

140. figura3.10.ConstruccióngeométricaparaelmétododeNewmarlc
xión de la curva en algún punto, pt
obtenerselasrotacionesydeflexiones*
otrospumoscomoseíndica
Enunalabia,comolamost
3.10,seanotanenelprimer
gulds.concentrados equlva
conoce Q¡¡ la pendil
puedeobtenersesumandoa"
veenel detalledelpuntoamostrado«*!*
parteinferiordelafigura(obsérveseq**1
comoestálafigura,elángulo esnegtj'
voporqueel girodelatangenteolac<
llene sentido horario). A eominuactó
puedeobtener la pendientedeli M
en b, 0¡jsumando el ángulo concern
equivalenteatea lapendienteyaSus

142. rr*. &í(3ac* 10a6-a,) (3.32)
0^.^170^+606-0,1 (3.33)
comolasumade yde sepuedeusar
unaecuaciónequivalentea la(2.29):
Enesleúltimocaso, las longitudesde
lostramosdeberánseriguales.
los ángulosconcentradosequivalentes, se
requeríaconocerlarotaciónyladefinía,
algúnpuntodelaviga.Estopuedededúc­
elelascondiciones doapoyodelaviga.^
ejemplo,siesunvoladizocomoeldeleja,,,
píoanterior,larotaciónyladeflexiónson^
lasenelempotramiento.Sinosecotitxenen
ningúnpunto, entoncessesuponeunvalor
cualquieraenunodelosapoyos,ydespués»
revisanlascondicionesdedeformaciónen«
otroapoyo.SisonIncompatiblesconlasres.
friccionesqueImponeesteapoyo,seintrate»
unacírnfiguracióncorrectiva,enformateme.
|anteacomo'sehacíaenelcálculodetozg
Cálculodedeformaciones,lasconfiguraba**
conectivassebasanenlasrestriccionesadefe
maciónenlosapoyos,comoseilustraenla
¡ejemplossiguientes.
Enresumen,elmétodoaplicadoalcálalo
dedeformacionesesigualalmétodoaplicado
al cálculode fuerzas cortantesy niomenttt
flexionantes si se hacen las siguientes

143. Secalculanlasdeformacionesenelvoladi­
zodelejemploanterior,perosinplantearla
vigaconjugada, sinoqueusandolasconsta
deracionesgeométricas planteadas en lo
al aladelejemplo3.8
plementeseha factorizadoa la derechaI
losvaloresdeesterenglónsonigualesalq_
delanterior.A partirdelascurvaturasa se
hancalculadoenel renglón 7 losángulos
concentrados equivalentes a. Ya que las
cargasdelavigasonconcentradas,eldiagra-L
mademomentoseslineal,yelcálculodebe
hacerseconlasecuaciones3.27^£,28..Por;
ejemplo,elvalorde-22'.50sehacalculado
conlaecuación3.27delasiguientemanera:
a jj-i|g[21-0.50)+(-8.00l|. "-I1—
Aladerechadelrenglónsehafactorizadoel1A.
Despuéssehancalculadolas rotacio­
nesdelastangentesalassecciones,9 ylas
rotacionesdelascuerdas6(véasela figura
3.10).Parahacerestecálculo,se partiódel
valorconocidode6 enel empotramiento,
yaquesesabequeesnulo.Estevalorcono­
cidose haencerradoen un cuadroen el
ejemplo.Alvalorde8 enelempotramiento
selesumóelvalordea,enel mismoempo­
tramiento.como«muestraconlapequeña
flechaquevadeO.ar-41.25.Elyalorquese
obtieneesel delarotacióndelacuerda0
eneltramo3-4;comoseestásumandode
derecha a izquierda, se debe cambiar el
úgno. igual que en el cálculode fuerza»
alapendientedelacuerdaenel tramo3-4
se le suma el ángulo equivalentea a la
deesteúltimoporirdederechaaIzquierda.
Seobtieneasfel valorde +63.75,quees la
rotacióndélatangentealasección3.Secon-
'tirilladélamismamanerahastacompletarlos
renglones8y9.
----Teniéndolosvaloresde lasrotaciones
delascuerdas8semultiplicanporlaslon-
, gitudesde|ostramos,h, conlocualseob­
tienen los incrementos de deflexión Oh,
comosehaexplicadoenreferencia alafi-
-deflexiones'/?seempiezaconunvalorde0
: enelempotramientoysevansumandolos
incrementosOh,hastallegaral extremodel
‘Wládizo,renglón11.
Sepuedeverenesteejemplolaequi­
valenciaentreelcálculodedeformaciones
y el defuerzas cortantesy momentosque
tribuidaen cada sección, p. Losángulos
equivalentes a a las cargas concentrada»
equivalentesP.Lasrotaciones8y8alasfuer­
zascortantesenlasseccionesy enlostra­
mos,respectivamente.Ylasdeflexionesy,a
losmomentosflexionantesM. Haciendoes­
tosequivalencias,lasecuenciadeloscálcu­
loseslamisma,peroesimportanteobservar
quelascondicione»defrontera»(sondife­
rentes. Mientrasqueenel cálculodefuer­
za»cortantes y momentossepartiódelo»
valore»conocidosdeVm0 y M ■Oenel
extremolibradelvoladizo,enelcálculode
deformaciones se partióde los valores
conocido»• •0yy«0enelempotramiento.

144. ,9.CÁLCULODELVOLADIZOPORELMÉTODODENEWMARK(VERSIÓNI I
•v©'"
g i l
I R ■
B E T
§ & » , .
M
::0*
‘■ '® í
¡ p i
Enlafigura3.11semuestraelsignifica­
dofísicodealgunosdelosvaloresquesehan
obtenidoenelejemplo3.9.Conlíneasllenas
setentazadolascuerdasqueunenlasseccio­
nesdelavigadeformadayconlíneaspuntea*
das,bstangentesalassecciones(porclaridad
delafiguranosemuestralavigacontinuade­
formada).Empezandoconlasección*. elán­
guloequivalentede*41.25 proporciona la
rotacióndelacuerda3-4,yaquelapendiente
es nulaenel empotramiento. Esle valor, su­
madoalánguloequivalentede-22.50,amBj»
con signos Cambiados, permiteobtener
rotacióndelatangenteenlaSección3
a la horizontal, osea,'+63.75. Continúan*
las sumas hacia la izquierda, se llega1“
rotaciónenelextremodeivoladizode
Obsérwsequeestarotacióndebeser_poS**
deacuerdoconlaconvencióndesijg¡ü£**
quelarotaciónd«lahorizontalalajaffijS
enlasección 1es ensentidoantihorario,if |
deflexiónenelextremodelvoladizoiW*1* ;

145. 0 - g © ; ©

146. le lasdeflexiones, losángulo»equivalentes
o secalcularoncon iaecuación 3.3*1que
dael valordel ánguloequivalentetotalen
cadasección.Porlamismarazón,noesne­
cesariocalcularlosángulosequivalentesen
losapoyos,yaquenoserequieren,comose
deflexiones. Desde luego que se pueden
calcularlosángulosequivalentesacadalado
de la sección y en los apoyos con las
ecuaciones3.30a3.33,peroaumentalala-
esteejemplo'el diagramadeM/EI noes Il­
laecuación3.34semuestraacontinuación
elcálculodelvalorde+28-43delrenglón10
y lasección2:
AliniciarelrenglónII seencuentraque
noseconocelarotaciónenningúnpuntode
la viga. Se supuso entonces una rotación
cualquiera0*eneltramo1-2, eñestecasode
pío.Apartirdeestevalor,yasepuedecaleular
lodoel renglón;sumandoalosvaloresdeV,
losvaloresdeo,comosemuestraconlasAe­
chas pequeñas. Después se calculan las
deflexionesenel renglón12,iniciandoconun
vajorconectode0 enel apoyoizquierdo,y
sumandolosvaloresdeV del renglónante­
rior; nose hacalculadounrenglónconlos
valoresdeVh. porquehesconstanteeneste
ejemplo.Al terminarel renglón 12,sellega
aunadeflexiónde+80.16enel apoyode­
recho,lacual«(’Incorrectayaquedcbc^l
nula.EstaIncompatibilidaddedeformaaj,
enel apoyoderechosedebeaqueelval*
supuestode(-28.43)noescorrecto.FUreso
seobtieneunavigadeformadacomolamo$.
tradaenlaparteInferiordelejemplo,sefa.
lada con y', en la cual hay unadeflexión
derechode+80.16. EsnecesarioiniHH
entoncesfcn'aconfiguracióncorrectivacon«
la señalada con y en la parte Inferiordel
ejemplo,conun«deflexiónde-80.16en«
extremoderecho,para anularlaIncompjti.
bllldad,y0enel extremoizquierdo,yaque
aqufelvalor’lnldaleselcorrecto. Loque¡n.
dlca la configuración,correctivaesque«
valorde0enel apoyoizquierdonoendé
(-28.43), como se supuso, sinoquedete
ser(-28.43 - 20.04 =-48.47). Elvalordi
-20.04 seobtienedividiendoelvalordey
enelapoyoderechoentreloscuatrotramos
delaviga.Ellectorpuedecomprobarquea
seiniciaelrenglón11con-48.47,sellep
aunadeflexión nulaenel apoyoderecha-
Enesteejemplosepuedeverlaequin-
IencíaentrelasconfiguracionescomcM
paracortantesy momentos, yparaf
nesydeflexiones.Enlasprimeras,se
yen las reacciones que debehaberente
apoyos,mientrasqueenlassegundas,se»
tituyenlascondiciones de deforraacidna
losapoyos.Tambiénsepuedeverla
cidaddel Métodode Newmarfcencoop­
taciónconlosmétodosanalíticos,sobe»6
paracargasirregulares.Laresolucióndees*
problema por algunode losmétodosantfr
ñoresconduceaecuacionesycálculos
complicados,yaquelaecuacióndel«¡ají
mademomentosy ladeM/ffsonfundí»*
difícilesdeoperar.

148. ejemplo, el valorde -20 a ladendia^.
'sección4ü Calculócomo: 1 •• 'í “
20, el momentoenlaarticulación, sección
loressehanencerradoenuncuadro, para
doconlospequeñosnúmeros1,2y 3,res­
pectivamente.SIahorasesumaal’momento
.ceroenlasección I, elvalordeVenelIra-'
mo1-2, seobtieneelvalordeM= -5enla
sección2, quetambiénsehaencerradoen
uncuadro.SilosvaloresdeMénlasseccíO-
elcálculodefu
valor de Ven la sección 2-3tieneque ser
+5,yaquesóloasisepuedepasardeM=-S
enlasección2aM~0_enlasección3.Yate­
niendoestevalorde Venel tramo2-3, se
puedecompletarelrenglón3delatablasu­
mandolas cargas de izquierda a derecha;
porejemplo,elvalorde-5eneltramo3-4es
lasumade+5eneltramo2-3y lacargade
-10enlasección3.Yyateniendocompleto
elrenglón3.sepuedecompletartambiénel
renglón4sumandolosvaloresde.Va partir
delmomentoenla sección3. Deestama­
nerayasetieneeldiagrama demomentos.
ElrenglónSdecurvaturastienelosmis­
mosvaloresdelrenglóndemomentos,yaque
£1es constante. Debeobservarseque este
dúgramaeslineal,poiquelascargassoncon­
centradas.asíquelosángulosequivalentesa
del renglón 6 se deben calcular con las
ecuaciones3.27y3.28.Aquísehancalculado
gambosladosdecadasección,paraobtener
todaslasrotacionesyporquehayunadiscon­
tinuidadangularenlaarticulaciónInterior.Poí
Losrenglones7ySpuedeninicianecH
el valordeO=Oenel empotramiento,»
cíón6. Despuéssevansumandolosvalog
deadederechaa izquierdacambiándolesd
signo. Deesta manerase puedencoi^fc*
dichosrengloneshastaelvalordeeenlas«,
ción3ydeéeneltramo3-4.NoesposHeo»
tinuar sumando hacía la izquierdaporque
comoyasedijo, hayunadiscontinuidad»!
guiar en la articulación localizadaenlaI
sección3.Loquesfsepuedehaceresempéu
I .calcular los valores de las deflexión«,
renglón 9, empezando con y ■Oenti
empotramiento.Sumandolosvaloresdeldt
derechaa izquierda, sepuedellegarbastad
valordeyenlasección3;todosestosvaina
sehanencerradoenuncuadro.Ahorabfei
sesabequey=Oenelapoyodelasección1
Entonces, a partir de losvaloresdeyente
secciones2y3sepuedeobtenerelvalordel
en el tramo 2-3, el cual debeserde-3»
Teniendoestevalorya sepuedencompkur
losrenglones7y8.sumandolosvaloresdei
dederechaa izquierdaconsignócambiado.
Finalmente,sepuedeobtenerelvalordey*
elextremodelvoladizo,sumandoelvalorde
8eneltramo1-2{álivalornulodeyenel
yodelasección2.
Enlaparteinferiordelejemplosemu**-
tralaformadelavigadeformada,enlaq*
puedeversela discontinuidadangula?«jg
correspondealladoderechodelaarticula«#»
yaquesecalculósumandolosvalores<*•
de derecha a izquierda desdeel
mionto, Elvalorde8alaIzquierdadelaj»Jj
culaclónseobtienesumandoalvalo'd*®
eltramo2-3.eldeci alaIzquierdadsI**?

149. cióu3.Estosvaloresde0sehanseñaladoen
lafiguradelaparteInferiordelejemplo.Ob­
sérvesequelossignosestándeacuerdocon
laconvenciónempleada.
Esimportanteobservarenesteejemplo mrloquecadacasoparticulardé­
loIntroducirlasycómodebenser.
h b í
i ¡ § :
® p
.,©.v
■©«
(?)«.»
w m e é . m i i V ' f - .
|p]fi'nlf’ÁtonÆI '

153. A
guioadeb, ylanuevafuerzaaplicadaP,. un
Irabajoigualaláreadeltriánguloac&,véanse
lasfiguras3.12-cy -rf. Estoseexplica por*
constantemientras labarrasufreel alarga*
aumentasuvalordesde6hastaPr Eltrabajo
realizado'enestasegundaetapaporP0será
jn Es importante'observar la diferencia
IenUeeltrabajorealizadoporunafuerzaque
I mantieneconstantesuvalor,yelrealizadopor
Iotraqueloaumentauniformemente,osea,
Iqueseaplicagradualmente.
I Sienvezdeunabarraaislada,comola
Idelafigura3.12,setieneunaestructuracon
varíascargas aplicadas, cada unadeellas
desarrollará un-trabajoextemoigual a la
magnituddelacargaporlamitaddesudes­
plazamiento.silascargasseaplicanconforme
sedeformaI* estructura; oIgual a lamag­
nituddelacargaportodoeldesplazamien­
to. si las cargas seaplican previamenteal
desplazamiento. '

160. virtual,comokilogramoso toneladas;Y las
deformacionesdt encadamiembrosepue­
dencalcularconlaecuación3.42delaSec­
ción3:7.4;observandoqueeltérmino&de
dichaecuaciónequivaleal términod£ dela
figura 3.14 (es la deformaciónaxial deun
elemento);quelacargaP0equivalealasfuer-
miembrodelaarmadura, lascualespueden
calcularse,porlotamo,resolviendolaatma>
duradelafigura3.15-a;queeltérminoAvie­
nesiendoel i'ea dela seccióntransversal
decadamiembrodelaarmadura:yeltérmiL
noí. Mmódulodeelasticidadameipondlen*
le.Haciendolasequivalenciasmencionadas,
teecuacióngeneral3.52tetransformaenla
siguienteecuaciónparacalculardeflexiones
ümarmadurasproducidasporcargas:
■ y II»
5K3t
s, resumiendo lo explicadoan
V, deflexiónenelpuntodeaplicaciénde
lacargavirtualunitaria,enladiftt*
cióndelacarga;
L fuerzasproducidasporlacargavirtud
unitariaenlosmiembrosdela*"**'
dura(figura3J S-b):
asproducidasporlascargasr«-

162. CÁLCULODCFUtRZASS

166. EJEMPLO3.1S. CALCUURIADEFLEXIÓNVERTICALDELNUDOL.DE LAARMADU­
RADELEJEMPLOANTERIORSI LASCUERDASINFERIORYSUPERIOREXPERIMENTAN
UNAUMENTODETPMpERATURADE40°C, LACUERDAVERTICALU, L, UNAUMEN­
TODE 10“CY LASCUERDASINTERIORESUNAUMENTODE5°C. SUPONGASEQUE1
¡Í. .5.«R.?.:ASDc LAPER,FER,A ESTÁN FORMADASPORDOS ANGULOSDELADOSi
¡£w dÍmensiÓnesMMVLAScueiidas INTER,°RES por un Angulo de lasmis-

168. üf

169. B a

172. EJEMPLO3.16(continuación)
CAlCUlOD€mPARAROTÂCI0NES:
. f3(-120+25»M-6+«).
2O
A,=— ¿CBn2- 270x+720»dx
Para 3 Í*S6
Aj j* (-90+15«)<-6+x>x
A,-—£(15»*-180«♦540)dx
A,-¿[s*’-*>«*♦540,]*-±(,35)
A, - ¿<720)i
■

173. RESORCIÓNCAMBIANDOElORIGIN(NEl TRAMOBC
A, y8, sonIguales
orlgmengI punióC .

174. Setratadeunavigalibrementeapoyadacon
un voladizoy carga uniformemente distri­
buidaenlaquesedeseacalcularladeflexión
y larotaciónenunpuntosituadoa2mdel
apoyode la derecha, puntoB. Primerose
planteanlasecuacionesdelmomentoMpro-
«lucidopor lacargaextema. Lafunciónde
Mesdiferenteentrelosapoyosyenelvola­
dizo, porloquees necesarioplantear dos
ecuaciones. Entrelosapoyos, secolocóel
origendecoordenadasenel apoyoizquier­
do, y enel voladizo, enel extremo. Enel
primercaso, a la variable te le denominó
yelsegundocaso,x2.Esconvenienteusar
notacionesdistintasparalavariablecuando
tecambiaelorigendecoordenadas.
deflexiónenti punto0, tecolocóunacarga
unitariaendichopuntoyseplanteólaecua­
cióndel momentom. Enestecaso,setiene
unafunciónentre el apoyo izquierdoyd
puntodeaplicacióndelacarga,yotrale
cióndistintaentreesteúltimopuntoyelapo­
yoderecho. Obsérvese que entreelapoto
derechoy el extremodel voladizolacap
unitarianoprexfcicemomento.Condfin*
calcularlarotación,sesiguióunptocedmM
análogo,perocolocandounmomentounD-
rioenelpunto8envezdeunacaigaunita»
Tambiénen estecaso, se tienenfunción»
distintasparamentreelapoyoizqüfenbM
puntoB,yentreésteyelapoyoderecho.
Despuéssesustituyeronlasecuado*1
deMydemenlaecuación3.63¡¡MugSb
ñorladeflexiónbuscada.Aunquela
deMescontinuaentrelosapoyos,esntc«*
riohacerlaintegraciónporseparadoentre''I
B, y entre0yC, porquela funciónde**

178. EJEMPLO3.17(continuación)
Paraos x,S2 (tramoCD), A,»0
Amui-¿(12.96+16.74)
CALCULOOELAROTACIÓNENELPUNTOB
ParaOS x,S2
9,■Ji(l2'6x'~3x?H-0.2ni)
w j w g N É B j
Para2á x, S5
j| J»(12.6x,-
«2- ¿/j(°-6x,3- 5.52XÍ1+12.6x,)ifc
8j - ¿[0.1Sxf-1-Mx,J+6 3xf]sSJ-(8.
ParaOS x,S2 «ramoCO), e, =o
*«ul-¿(-«-32+#.J7)-i^ I
J H H h H

179. Elmétododeltrabajovirtualpresentaclaras
ventajassobrelosotrosmétodosestudiados
enestecapitulocuandosetratadecalcular
I»deformacionesenmarcos.Elprocedimien*
toesigualalutilizadoparaelcálculodede­
formaciones en vigas, pero la integración
planteadaenlasecuaciones 3.63y 3.64 se
llevaacaboatravésdetodoslosmiembros
quecomponenel marco. Desdeluegoque
dentrodecada miembroresulta necesa­
riohacerla integraciónendistintostramos,
nuasalolargodelmiembro.Enelsiguien­
teejemplo se ilustra lo que se acaba de
Ejemplo3.18
Sepidecalculareldesplazamientohorizon­
taldelapoyoEy larotacióndel.apoyoA El:
primeroesunapoyolibreyelsegundo,uno
articulado.Elmarcoesisostáticoyaquetie­
netiesincógnitasenlosapoyosyexistentres
ecuacionesdeequilibrio.Elmomentodeiner­
ciadelavigaeseldobledeldelacolumna.
Primeroseresuelveel marcoparaob­
tener las ecuaciones de momentos
Oexionantesenlacolumnayenlaviga.Pre­
viamente,hasidonecesariocalcularlasre­
accionesenlosapoyos. Lasecuacionesde
momentosehanobtenidoportramosenlos
quelafunciónnovarfa.Asf, enlacolumna
AC,sehaobtenidounaecuaciónentrelos
puntosAy B, yotraentrelospuntos8y C,
yaquelacargaconcentradade10tonhace
quecambie la ecuaciónde momentos. Se
hausadoun origen decoordenadas en el
Punto<4paralacolumna,yunorigendistin­
toenelpunto| paralaviga.Sehadibujado
Hdiagramademomentosflexionantespara

180. ««a ru m i AB LAD triu»n _
NENELPUNTOADEIMARCOMOSTRADO

184. 8 (continuación)
A<=2^(-20*1+133^)®
â<" 2 f i f e + . ' 5 9 - 7 8 )
¿loal- g-<26.67+120.00+142.22+159.78)-— 67 -,
CAlCUtODEIAROTACIÓNENA
Tramo/1S
0 f^dOxiXI)
■*» ffc
t o r t i *
! a - :' . ■

185. EJEMPLO3.18 (continuación)
TramóBD
if 2E'o.
¡HHIJ-120.00* 40.00135.55I4?-03>|-

188. EJEMPIO3.19(continuación)
Tramo8C
TramoDC
I *ftë i 2/jkj)j
4* “ 2^ x¿ x ^2x 20x 4+20k |+80x 4+2x80x | |
* J^(26.67+120+M2J2+1ju , Ü SÍ2

189. CUCULODELAROTACIÓNENA
lnmoAB
B tegngi,
TramoDÇ
®4■ *,2*'+^ l ]
6, ■ — 1x2|2x20k1+20x-+80x1+2x80x
*fcl*
/ J f «1.(20+40+35.53+40)-sr(13S.SS>
a» ,y -

191. Figura3.18.VigaparalademosiraciftndelTeoremadeCaitlgllano
Sepuedeverqueestasecuacionesson
muysemejantes a la ecuación3.63 usada
enélmétododeltrabajovirtual,peroenvez
délafuncióndemomentomproducidapor
el momento virtual unitario, se usa la
derivadaparcialdelmomentoproducidopor
Puedesuceder queenel puntoenel ■
quesedeseacalcular ladeflexión nohaya
ningunacaigaaplicada.Enestecaso,sein­
troduceunacargaficticia,P', enesepunto,
sederivarespectoaestacarga, yalfinalse
le¿signaunvalornulo.Tambiénpuedencal­
cularserotaciones, en vez de deflexiones,
ftraesto,sederiva respectoa unmomento
aplicadoenelpuntoenquesedeseacalcu­
larlarelación;estemomentopuedeserreal
oficticio.SIesficticio,alfinalseleasignaun
valordecero.
II teoremadeCastiglianopuedeusarse
tambiénparacalcularlasdeflexionesenar­
maduras. La obtención de las ecuaciones
correspondientesessimilara lapresentada
Mnel casode vigas. Dichas ecuaciones
Quedanenlaforma:
H (3.73)
enlascualesA, yA, sonlasdeflexionesen
lospuntosdeaplicacióndelascargasP, y
P2, S sonlasfuerzasenlasbarrasdelaar­
maduraproducidasporlascargasaplicadas,
Leslalongituddecadabarra,Aessuárea
transversaly£sumódulodeelasticidad.
Secalcula ladeflexióny
extremovoladodeunavigacondosapoyos.
3.5porelmétododelosTeoremasdeMohr.
Enprimertérminosecalculanlasreac­
ciones y las ecuaciones de momento
flexionante. Nótesequea lacargaaplicada
enel extremodela viga, donde sedesea
calcular ladeflexión, se leha llamadoPv
porquedeotramaneranose'podríaderivar
u variable,
toflexionantese
hanobtenidoporseparadoparaeltremoAB

193. EJEMPLO3.20 (continuación)
I CALCULODELADEFLEXIÓNENC
ECUACIONESDEMOMENTOS
M^IÍX.-O.SP.X.-ÍXÍ
hra qs‘x2£3
4c1 2>,- OJSPf,- 2XÎK-0-5X,)A , I jW ^X-x,
á j - l j | | | 4’0-0633/Vi1I M*»|]j +[ 0.333#V<í](>}
4c «¿I-4J2+1«’, +324+9P|]

194. CÁLCULOOfLAROTACIÓNENC
.ECUACIONESDEMOMENTOS
-- y*/;MB

199. 1ift*1SiII:S
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200. el méIodo * integracióncalcular las rotaciones en los extrem« u
nielcentrodelclaroylasdeflexionesmáximas* lassiguientesvij^
ConsidéreseClconstanteentodosloscasos:
i r _ j

201. 3.2Resolverel problema3.1 usandolosteoremasárea-momento.
33Calcularladeflexióny larotaciónenlosextremoldelosvoladizosdelasiguiente
‘■¿SQL— i--- w . 00 r r r i 2ek.
/ ./ / / / / / .
I ¡ i — * ■— ¡ i
3.4Calcular las rotaciones y las deflexionesenlos puntosdeaplicacióndecargas
concentradasenlassiguientesvigasusandoelmétododelavigaconjugada.Supóngase
&constante.

202. 3.5 Calcular la deflexión máxima de las siguientes vigas por el métododela•
conjugada. SupóngaseElconstante.
H S Í I H — — — — H
G B s S l i J i

203. , 6 Okular Imdeflexiones y rotación«de la<siguientes vicas en Ik
guiadas, porelmétododeNewmark.
K h - ï H * — # — — »H— H
É j t í f c E. ™ 1 ^
/ / / / / / /
É ¿ " > — »H-— * — 4 4.— H ......

205. 3.7 Calcularlosdesplazamientosverticalyhorizontalenelnudo usandoelmétodo
deltrabajovirtual.
3.8 Calcularlosdesplazamientosvertical y horizontalenel nudoL, dela armadura
delproblemaanteriorsi, ademásdelascargasmostradas, labaña U, U, tieneuna
longitud0.75cmmenorquela teórica.
3.9 Rara las siguientes vigascalcular las deflexionesy las rotaciones enlos puntos
MAaladosempleandoel métododeltrabajovirtual.

206. 3.10 CalculareldesplazamientohorizontalenB,eldesplazamientoverticalalcentro
delclarodelavigaBCy la.rotaciónenOdel marcomostrado, usandoel métododH
trabajovirtual, r -

207. K ,C A P ÍT U L O 4
Resolución de estructuras
indeterminadas por el
método de las fuerzas
4.1Introducción /4.2 Planteamiento
Métodode las fuerzas para vigas /4.4
Métododelasfuerzasparaarmaduras/4.5
Métododelasfuerzasparamarcos
4.1Introducción
En*1capituló2seestablecióquelasestruc­
turasisostátlcas pueden resolversea partir
delasecuacionesdeequilibriodelaEstática,
mientrasquelasestructrurashiperestáticasre­
quieren,parasusolución,deecuacionesadi­
cionalesyaqueel númerode incógnitases
nu»wqueelnúmerodeecuacionesdeequi-
ttrio. Existendosenfoques generales para
laresolucióndeestructuras hiperestáticas.
Enelprimero, laestructuraporanalizarse
“ "vierteen unaestructura isostáticaenla
9* fesatisfacenlascondicionesdeequili­
bró.peronosesatisfacenlascondicionesde
ta j»ación o decontinuidad geométrica
<*bestructuraoriginal.Loserroresoincom-
füfibilldadésde geometríaque resultanen
■*M inlin isoslálica se corrigen, en una
"»*d*etapa,conservandotascondiciones
* equilibrio^Enel segundoenfoque, laes-
hiperesláticase transformaenotra
de deformación o de continuidad
®j*^trica,peronolascondicionesdeequl-
™t,* * iw . Enunasegundaetape.seco-
sus principios’.básicos. En este capitulo se
presenta el métodode las fuerzas, y en el
siguiente, el métodode lasdeformaciones.
Comoseveráenlasseccionessiguientes,es
necesario dominar el cálculo de defor­
maciones estudiadoen el capitulo 3 para
poderaplicarestosmétodos.
4.2 Planteamientogeneral del
método de la* fuerzas
Existennumerosasvariantesenlaaplicación
delmétodo,peroentodasellassedistinguen
lossiguientespasos.
3) la estructuraoriginal hiperestáticate
transformaenunaestructuraisostática
eliminandoalgunasdssusreseccio­
nescontradeflexioneso rotaciones.
Engeneral,el númeroderestriccio­
nesquehayqueeliminaresigualal
gradode Indeterminaciónde la es­
tructura.Laestructuraqueresultade
eliminar las restricciones hiperes­
táticasrecibeel nombredeestructura
UauMct fundamental. . d¿¡¡ ■
b) Secalculan lasdeformacionesdela
estructura isostática fundamental
bajolaaccióndelasmismascargas
queactúanenla estructurahiparas-

208. rj (ática.Eslaidolormaclonessedano-
I minanIncompatibilidadesgeométricas
originalenlospuniosenqueseeli­
minaronlasrestricciones.
• cj Seaplicanfuerzasarbitraríasen las
seccionesdonde seeliminaron las
una fuerza por cada restriccióneli­
minadaenlaestructurahlperestática
•.y calcularporseparadolasdeforma*
clonesdebidasacadafuerza.
Iiíd) Seplanteaunsistemadeecuaciones
I para,determinarel valorquedeben
tener las fuerzas correctivas de’tal
maneraquesecorrijanlasIncompa-
i tibilidadesgeométricas.
e) Seobtienenlasaccionesfinales(reac­
ciones, fuerzas cortantes, fuerzas
normales, momentos) sumando las
qué corresponden a la estructura
isostáticafundamentalylasproducidas
porlasfuerzascorrectivas.
Enlasseccionessiguientesseilustrala
aplicacióndelmétododelasfuerzasavigas,
armadurasymarcosatravésdevariosejemplos.
4.3Métododelas fuerzaspara vigas
4.3.1 Planteamientogeneralpaiavigas
Antes de Iniciar la resolución, conviene
calcularel gradodeindeterminacióndela
viga a resolvercon los métodos expuestos
en.la sección 2,6.1. Esto permite saber
cuántasrestriccioneshlperestática*sedeben
Verificar; comose veráposteriormente, el
número de ecuaciones simultáneas que
detenplantearsepararesolverelproblema;
desdeTuegoque'si lavigaesde'unsolo»y
do de indeterminación, en vezdeun.-’
tema"“dé ecuaciones se plantea unaw
ecuación. Las restricciones hipcrestftioj
vigas'ocontinuidades delas mismasisfa.
los apoyos. En el primer caso, seWb
apoyos de tal manera que el número¿
restriccionesenlosapoyosseaigualaldúm*
de ecuaciones de equilibrio, esdecir¿ ■
ecuacionessisoncargasparalelasytres,g
noloson.Enelsegundocaso,loquetehv»
es'Introducir articulaciones InternasenIm
vigas, generalmente spbre los,apoyo;
4.3.2 Vigasde variosclaros
sobreapoyosrígidos noi
Ejemplo4.1
Seresuelveenesteejemplounavigacari
nuadecuatroclaros, conunacargavertica
en uno de los claras. Como.se tienen:
equilibrio, la viga tieneungradode¡«fe
terminaciónde3 (sección2.6J.. ■ ■'
Enel pasoa), la viga hiperestílitaa
hatransformadoenunaisostáticaeliminar
dolostresapoyosinteriores.Pudohabene*
redundantes, pero tal comosehizo«*
más sencillo el-ícálculodedeformado**
portratarsedeunavigalibrementeapoja®
ensusextremos.Laeleccióndélaüasaao
esimportanteporquelalabornuméricap£¡
desimplificarsesignificativamentesde*6*
nandouna Isostáticaconveniente. .
DespuéssepresentanenelpasoU®
deflexionesdelaviga isostática«nl»*^
cionesenlasqueseeliminaranl**1**^
nesredundantes, osea, enlassaccifl**.
Cy O,bajolascargasdelaviga«"*"1* J