Este documento presenta los conceptos básicos de los números complejos. Define un número complejo como una suma de una parte real y una parte imaginaria. Introduce las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división con números complejos. Explica cómo simplificar potencias de i y calcular conjugados de números complejos.

1. 1

2. 2
Objetivos:
1. Definir el conjunto de los números complejos.
2. Simplificar potencias de i.
3. Difinir y usar las operaciones con números
complejos.

3. 3
Definición
Un número de la forma a + bi donde a y b son
números reales, se conoce como un
número complejo .
La a se conoce como la parte real y la b se conoce
como la parte imaginaria del número complejo.
se conoce como la raíz imaginaria.
1


i
1
 
i

4. 4
Definición
Al conjunto de números
 
1
;
,
/ 2





 i
R
b
R
a
bi
a
C
se le conoce como el conjunto de números complejos.

5. 5
Ejemplos de números complejos:
i
3
5
)
1 
i
4
7
)
2 
i
6
1
)
3 

i
5
)
4
7
)
5

6. 6
Calcule las siguientes raíces.
4 1
  
11 i
1) 4
 
2) 25
 
3) 12
 
4) 11
 
i
2
i
5
2 3 i

4 3 1
  
25 1
  
Raíces pares de números negativos

7. 7


 8
1
)
5   
1 4 2 1
 
1 2 2 i
 
1 4 2 1
    

8. 8
Definición
Dos números complejos son iguales si las partes reales
son iguales y las partes imaginarias también son
iguales .
Si a + bi = c + di entonces a = c y b = d.

9. 9
Ejemplo:
Determine el valor de a y de b si
  i
bi
a 5
6
2
6 



6
6
Si 

a 2 5
y b  
0

a
2
5


b

10. 10
Potencias de i
, ,1, 1.
i i
 
1
2


i
3 2
1
i i i i i
      
  
4 2 2
1 1 1
i i i
     
Este último resultado hace que las potencias de i solo
tengan como resultados a:
1


i

11. 11
Procedimiento para simplificar potencias de i
1. Divida el exponente por 4 y el resultado será i
elevado al residuo de la división.
2. Para simplificar use;
a.
b.
c.
d. i
i 

3
1
i i

1
0

i
2
1
i  

12. 12
Simplifica las potencias de i
8
1) i  1
10
2) i  2
1
i  
540
3) i 
0
1
i 
0
20
20
12
14
135
4
540
4

13. 13
13
4) i  i
227
5) i  i

285
6) i 
1
i
1127
7) i  i

  1
71
4
285 

i

 
1127 4 281 3
 
3
i 
3
i 

14. 14
Definiciones de las Operaciones con
Números Complejos
   
1. :
Suma a bi c di
  
   i
d
b
c
a 



   
Ej 5
em 1: 6
plo 2
   
i i
   
5 6 1 2
    i
i

11

15. 15
   
2. Resta : a bi c di
  
   i
d
b
c
a 



   
3
Ejemplo 1: 2 6 3
    
i i
   
3 2 6 3
i i
   
9 5i
 
   
a bi c di
    
La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.

16. 16
   
Ejemplo 2: 8 18 5 50
     
   
8 3 2 5 5 2
i i
   
   
8 3 2 5 5 2
i i
    
3 8 2 i
 

17. 17
   
3. Multiplicación : .
a bi c di
 
   
ac bd ad bc i
   
Aclaración: La multiplicación se puede llevar a cabo
como si fuera una multiplicación de polinomios.
  
a bi c di
   ac ad i
  bc i
  2
bd i
 
   
1
ac ad bc i bd
    
   
ac bd ad bc i
   

18. 18
  
Ejemplo 1: 4 2 3 5
  
i i
2
10
6
20
12 i
i
i 



12 14 10
i
  
i
14
22

 
12 20 6 10 1
i i
    

19. 19
 
2
Ejemplo 2: 4 5
 
i
25
40
16 

 i
i
40
9


  
4 5 4 5
i i
  
2
16 20 20 25
i i i
   
 
16 40 25 1
i
   

20. 20
 
3
Ejemplo 3: 2 3
 
i
46 9i
  
   
2
2 3 2 3
i i
 
  
2
4 12 9 2 3
i i i
   
 
  
4 12 9 1 2 3
i i
    
  
4 12 9 2 3
i i
   
  
5 12 2 3
i i
   
2
10 15 24 36
i i i
    
10 15 24 36
i i
    

21. 21
El conjugado de se define por .
Definición
z a bi z a bi a bi
     
Encuentra el conjugado de cada
Ejemplo
núm
s:
ero.
1. 2 4
2. 2 4
3. 64
4. 12 24
5. 13
i
i
i
i
 
 

 

i
4
2
2 4i

64i

12 24i

13

22. 22
8 7
Ejemplo 1:
1 3



i
i
1 3
8 7
•
1 3 1 3
i
i
i
i

 

2
2
9
1
21
7
24
8
i
i
i
i





La división se hace multiplicando por el conjugado
del denominador.
 
 
4. División:
a bi
c di



.
a bi c di
c di c di
   

   
 


  

23. 23
 
 
8 17 21 1
1 9 1
i
  

 
8 17 21
1 9
i
 

 10
17
29 i


i
10
17
10
29



24. 24
4 5
Ejemplo 2:
3


i
i
4 5 3
3
•
3
i
i
i
i



2
2
9
15
12
i
i
i




9
15
12 


i

25. 25
9
15
12 


i
9
15
9
12


 i
3
5
3
4


 i
i
3
4
3
5



26. 26
Ejercicios:
Lleva a cabo la operación indicada.
   
1) 5 7 2
i i
   
   
2) 3 12 6 3
i i
     
   
3) 12 23 16 13
i i
    
   
4) 13 32 36 53
i i
     
  
5) 3 2 6 3
i i
   

27. 27
  
6) 5 7 2
i i
  
  
7) 3 12 6 3
i i
    
1 2
8)
6 3


 
i
i
3 2
9)
6 3


 
i
i

28. 28
   
1) 5 7 2
i i
    12 i
   
2) 3 12 6 3
i i
     
   
3 12 6 3
    
i i 3 15
  i
   
3) 12 23 16 13
i i
    
   
12 23 16 13
   
i i 28 36
 i

29. 29
   
4) 13 32 36 53
i i
      49 21
  i
  
5) 3 2 6 3
i i
    2
18 9 12 6
   
i i i
 
18 21 6 1
    
i
12 21
   i
  
6) 5 7 2
i i
   2
35 10 7 2
  
i i i
35 3 2
  
i
37 3
  i

30. 30
  
7) 3 12 6 3
i i
     2
18 9 72 36
   
i i i
18 63 36
  
i
54 63
  i
1 2
8)
6 3


 
i
i
1 2 6 3
6 3 6 3
  

   
i i
i i
2
2
6 3 12 6
36 9
   


i i i
i
6 9 6
36 9
  


i 12 9
45
 
 
i 4 3
15
  i

31. 31
3 2
9)
6 3


 
i
i
3 2 6 3
=
6 3 6 3
  
   
i i
i i
2
18 9 12 6
=
36 9
   

i i i
18 3 6
=
36 9
  

i
24 3
=
45
  i 8
=
15
  i

32. Representación gráfica
• Para representar un número complejo o de
la forma a + bi, se utiliza un sistema de
coordenadas rectangulares, en el cual la
parte real se representa en el eje horizontal
y la imaginaria en el eje vertical.

33. Ejemplos:

35. Valor Absoluto
• Es la distancia entre el origen y el punto que
representa al número complejo.
• El valor absoluto o módulo de un número
complejo a + bi está definido como:
» |a + bi| = √(a² + b²)
• Ejemplo:
– |-4+2i| =
√(-4)²+(2)² = √20 = 2√5