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2
Objetivos:
1. Definir el conjunto de los números complejos.
2. Simplificar potencias de i.
3. Difinir y usar las operaciones con números
complejos.
3
Definición
Un número de la forma a + bi donde a y b son
números reales, se conoce como un
número complejo .
La a se conoce como la parte real y la b se conoce
como la parte imaginaria del número complejo.
se conoce como la raíz imaginaria.
1


i
1
 
i
4
Definición
Al conjunto de números
 
1
;
,
/ 2





 i
R
b
R
a
bi
a
C
se le conoce como el conjunto de números complejos.
5
Ejemplos de números complejos:
i
3
5
)
1 
i
4
7
)
2 
i
6
1
)
3 

i
5
)
4
7
)
5
6
Calcule las siguientes raíces.
4 1
  
11 i
1) 4
 
2) 25
 
3) 12
 
4) 11
 
i
2
i
5
2 3 i

4 3 1
  
25 1
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  • 1. 1
  • 2. 2 Objetivos: 1. Definir el conjunto de los números complejos. 2. Simplificar potencias de i. 3. Difinir y usar las operaciones con números complejos.
  • 3. 3 Definición Un número de la forma a + bi donde a y b son números reales, se conoce como un número complejo . La a se conoce como la parte real y la b se conoce como la parte imaginaria del número complejo. se conoce como la raíz imaginaria. 1   i 1   i
  • 4. 4 Definición Al conjunto de números   1 ; , / 2       i R b R a bi a C se le conoce como el conjunto de números complejos.
  • 5. 5 Ejemplos de números complejos: i 3 5 ) 1  i 4 7 ) 2  i 6 1 ) 3   i 5 ) 4 7 ) 5
  • 6. 6 Calcule las siguientes raíces. 4 1    11 i 1) 4   2) 25   3) 12   4) 11   i 2 i 5 2 3 i  4 3 1    25 1    Raíces pares de números negativos
  • 7. 7    8 1 ) 5    1 4 2 1   1 2 2 i   1 4 2 1     
  • 8. 8 Definición Dos números complejos son iguales si las partes reales son iguales y las partes imaginarias también son iguales . Si a + bi = c + di entonces a = c y b = d.
  • 9. 9 Ejemplo: Determine el valor de a y de b si   i bi a 5 6 2 6     6 6 Si   a 2 5 y b   0  a 2 5   b
  • 10. 10 Potencias de i , ,1, 1. i i   1 2   i 3 2 1 i i i i i           4 2 2 1 1 1 i i i       Este último resultado hace que las potencias de i solo tengan como resultados a: 1   i
  • 11. 11 Procedimiento para simplificar potencias de i 1. Divida el exponente por 4 y el resultado será i elevado al residuo de la división. 2. Para simplificar use; a. b. c. d. i i   3 1 i i  1 0  i 2 1 i  
  • 12. 12 Simplifica las potencias de i 8 1) i  1 10 2) i  2 1 i   540 3) i  0 1 i  0 20 20 12 14 135 4 540 4
  • 13. 13 13 4) i  i 227 5) i  i  285 6) i  1 i 1127 7) i  i    1 71 4 285   i    1127 4 281 3   3 i  3 i 
  • 14. 14 Definiciones de las Operaciones con Números Complejos     1. : Suma a bi c di       i d b c a         Ej 5 em 1: 6 plo 2     i i     5 6 1 2     i i  11
  • 15. 15     2. Resta : a bi c di       i d b c a         3 Ejemplo 1: 2 6 3      i i     3 2 6 3 i i     9 5i       a bi c di      La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.
  • 16. 16     Ejemplo 2: 8 18 5 50           8 3 2 5 5 2 i i         8 3 2 5 5 2 i i      3 8 2 i  
  • 17. 17     3. Multiplicación : . a bi c di       ac bd ad bc i     Aclaración: La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios.    a bi c di    ac ad i   bc i   2 bd i       1 ac ad bc i bd          ac bd ad bc i    
  • 18. 18    Ejemplo 1: 4 2 3 5    i i 2 10 6 20 12 i i i     12 14 10 i    i 14 22    12 20 6 10 1 i i     
  • 19. 19   2 Ejemplo 2: 4 5   i 25 40 16    i i 40 9      4 5 4 5 i i    2 16 20 20 25 i i i       16 40 25 1 i    
  • 20. 20   3 Ejemplo 3: 2 3   i 46 9i        2 2 3 2 3 i i      2 4 12 9 2 3 i i i          4 12 9 1 2 3 i i         4 12 9 2 3 i i        5 12 2 3 i i     2 10 15 24 36 i i i      10 15 24 36 i i     
  • 21. 21 El conjugado de se define por . Definición z a bi z a bi a bi       Encuentra el conjugado de cada Ejemplo núm s: ero. 1. 2 4 2. 2 4 3. 64 4. 12 24 5. 13 i i i i         i 4 2 2 4i  64i  12 24i  13
  • 22. 22 8 7 Ejemplo 1: 1 3    i i 1 3 8 7 • 1 3 1 3 i i i i     2 2 9 1 21 7 24 8 i i i i      La división se hace multiplicando por el conjugado del denominador.     4. División: a bi c di    . a bi c di c di c di                
  • 23. 23     8 17 21 1 1 9 1 i       8 17 21 1 9 i     10 17 29 i   i 10 17 10 29  
  • 24. 24 4 5 Ejemplo 2: 3   i i 4 5 3 3 • 3 i i i i    2 2 9 15 12 i i i     9 15 12    i
  • 26. 26 Ejercicios: Lleva a cabo la operación indicada.     1) 5 7 2 i i         2) 3 12 6 3 i i           3) 12 23 16 13 i i          4) 13 32 36 53 i i          5) 3 2 6 3 i i    
  • 27. 27    6) 5 7 2 i i       7) 3 12 6 3 i i      1 2 8) 6 3     i i 3 2 9) 6 3     i i
  • 28. 28     1) 5 7 2 i i     12 i     2) 3 12 6 3 i i           3 12 6 3      i i 3 15   i     3) 12 23 16 13 i i          12 23 16 13     i i 28 36  i
  • 29. 29     4) 13 32 36 53 i i       49 21   i    5) 3 2 6 3 i i     2 18 9 12 6     i i i   18 21 6 1      i 12 21    i    6) 5 7 2 i i    2 35 10 7 2    i i i 35 3 2    i 37 3   i
  • 30. 30    7) 3 12 6 3 i i      2 18 9 72 36     i i i 18 63 36    i 54 63   i 1 2 8) 6 3     i i 1 2 6 3 6 3 6 3         i i i i 2 2 6 3 12 6 36 9       i i i i 6 9 6 36 9      i 12 9 45     i 4 3 15   i
  • 31. 31 3 2 9) 6 3     i i 3 2 6 3 = 6 3 6 3        i i i i 2 18 9 12 6 = 36 9      i i i 18 3 6 = 36 9     i 24 3 = 45   i 8 = 15   i
  • 32. Representación gráfica • Para representar un número complejo o de la forma a + bi, se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.
  • 35. Valor Absoluto • Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo. • El valor absoluto o módulo de un número complejo a + bi está definido como: » |a + bi| = √(a² + b²) • Ejemplo: – |-4+2i| = √(-4)²+(2)² = √20 = 2√5