Las potencias y las raíces cuadradas para 6º de Primaria.

1. Matemáticas
Bloque 2
Potencias
Raíces cuadradas

3. El tablero de ajedrez
Para saber cuántas casillas tiene este
tablero de ajedrez puedes fijarte en que hay
8 filas de 8 casillas cada una, luego habrá
8 x 8 = 64 casillas.

4. Siguiendo con el ajedrez, cuenta una leyenda que un rey
muy rico quiso recompensar al inventor del ajedrez
ofreciéndole el premio que él pidiera.
El inventor pidió que en un tablero de ajedrez le pusieran
dos granos de arroz en la primera casilla, 4 en la segunda,
8 en la tercera, 16 en la cuarta y así sucesivamente hasta la
casilla 64.
En cada casilla debería haber el doble de granos de arroz
que en la anterior.
Al rey le pareció que el inventor había pedido un premio
muy pequeño. Se ve que no sabía de matemáticas.
Calcula cuántos granos de arroz habría que poner en la
casilla número 16 (y solo habremos llenado dos filas del
tablero).

5. Potencias
En la casilla 16 habría:
2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 65536 granos
Para escribir esta multiplicación de forma más breve
usamos las potencias. Como multiplicamos el 2
dieciséis veces por sí mismo, escribimos:
216 = 65536
Una potencia es un producto de factores iguales.
El factor que se repite se llama base y el número de
veces que se repite se llama exponente.
2 es la base y 16 es el exponente.

6. En los cuadrados hay que multiplicar el número de casillas
que hay en un lado 2 veces por sí mismo. En los cubos
hay que multiplicar los dados que hay en un lado 3 veces
por sí mismo.
En el cuadrado verde hay 3x3 = 32 = 9 casillas.
32 se nombra 3 elevado a 2 o también 3 al cuadrado.
En el cubo azul habrá 5x5x5 = 53= 125 dados.
53 se nombra 5 elevado a 3 o 5 al cubo.

7. Potencias de base 10
101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000
Las potencias de base 10 son muy prácticas para escribir números
acabados en varios ceros:
100000= 105 25000= 25 x1000= 25x103 600=102
Descomposición polinómica de un número
Ya sabes que un número se puede escribir así:
25673= 2x10000 + 5x1000 + 6x100 + 7X10 + 3
Usando potencias de base 10 escribiremos:
25673= 2x105 + 5x10003 + 6x102 + 7x101 + 3
Números astronómicos
En la astronomía suelen emplearse números enormes. Por ejemplo, se
calcula que en la Vía Láctea hay unos cien mil millones de estrellas.
100.000.000.000 se escribe mucho mejor así: 1011

8. Raíces cuadradas
Recuerda el tablero de ajedrez. Tiene 8 casillas por cada lado y en total
8x8= 82= 64 casillas.
Si te dijeran que tienes 25 piezas cuadradas y vas a colocarlas formando
un cuadrado, ¿cuántas piezas debe tener por cada lado?
Lógicamente, formaremos un cuadrado de cinco piezas por lado, 5x5= 25
piezas.
¿Cuántas piezas tendrá de lado un cuadrado perfecto formado por 49
piezas? ¿Y otro de 36?
El número de piezas que tiene de lado el cuadrado que formamos con
todas las piezas se llama la raíz cuadrada del número total de piezas.
Raíz cuadrada de 64= 8 Raíz cuadrada de 25= 5.

9. En matemáticas, la raíz cuadrada se representa con el símbolo:
64 = 8 36 = 6 49 = 7
Piensa ahora cuáles serán las raíces cuadras de 16 y de 81.
En el vestíbulo principal del colegio hay un cuadrado formado por
baldosas cuadradas. Escribe el total de baldosas y el número de
baldosas por lado usando potencias y raíces.
Una pregunta más:
¿Qué pasaría si quisiéramos formar un tablero de ajedrez con 65
piezas cuadradas?

10. Si ya has averiguado cuántas baldosas negras hay en el
cuadrado del vestíbulo del cole y cuál es la raíz cuadrada de
ese número, imagínate que formáramos un cuadrado que
tuviera por cada lado una baldosa más.
Para calcular el total de baldosas podemos multiplicar:
nº de baldosas por lado x nº de baldosas por lado.
Pero también podemos hacerlo partiendo del cuadrado original
y calcular el nuevo número total sin multiplicar.
¿Cuántas baldosas tendría un cuadrado de 15 baldosas por
cada lado?
Lo calcularíamos así: 152= 15x15 = 225
En clase aprenderemos algunos trucos para realizar
mentalmente esta multiplicación de un número de dos cifras
por sí mismo y para elevar al cuadrado el número siguiente sin
necesidad de hacer operaciones.

11. Truco nº 1
Elevar un número al cuadrado cuando conozco cuánto vale el
cuadrado del número anterior.
Por ejemplo, si 122= 144 ¿cuánto valdrá 132?
Observa que para representar 132
añadimos al cuadrado una fila de 12
casillas por cada lado más una casilla
en la esquina.
Es decir añadimos 2 x12 + 1 casillas.
132 = 122 + 2 x 12 + 1 = 144 + 25 = 169
Si queremos calcular ahora 142:
169 + 2 x 13 + 1 = 169 + 27 = 196

12. Truco nº 2
Calcular mentalmente el cuadrado de un número de dos cifras
Este truco se lo debemos a un matemático, físico y astrónomo inglés que
vivió en el siglo XVIII llamado Isaac Newton. Según opinan muchos
científicos, el mayor físico y matemático de todos los tiempos.
Para ello recordamos antes la propiedad distributiva:
3 x (5 + 2) = 3x5 + 3x2 = 15 + 6 = 21.
Pues bien, voy a calcular 252 = 25 x 25
Sé que 25 = 20 + 5, así que
252 = 25 x (20 +5) = 25x20 + 25x5
Ahora descompongo de nuevo 25 en decenas y unidades:
(20 + 5) x 20 + (20 + 5) x 5 y aplico otra vez la propiedad distributiva:
20x20 + 20x5 + 20x5 + 5x5.
Multiplicamos y sumamos todo: 252 = 400 + 100 + 100 + 25 = 625.

13. Parece un lío, pero observa:
1. Descomponemos el número en decenas y unidades:
25 = 20 + 5
2. Elevamos cada sumando al cuadrado:
20 x 20 = 202 5 x 5 = 52
3. Multiplicamos un sumando por el otro y por 2:
20x5 + 20x5 = 20x5x2
4. Sumamos todo y ya tenemos el número elevado al cuadrado.
400 + 25 + 20x5x2 = 400 + 25 + 200 = 625
En honor a su inventor este procedimiento se llama el
BINOMIO DE NEWTON