1) El documento describe el teorema multinomial y cómo se pueden calcular los coeficientes multinomiales para expandir un polinomio elevado a la potencia m. 2) Presenta una nueva versión del teorema multinomial que especifica los valores que toman las variables ni de manera explícita. 3) Muestra un ejemplo numérico para r=4 y m=6.

1. COEFICIENTES MULTINÓMIALES Y DESARROLLO DE UN POLINOMIO
ELEVADO A LA m : TEOREMA MULTINOMIAL Y OTROS TÓPICOS
COMPLEMENTARIOS.
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
= ∑ (
𝒎
𝒏 𝟏, 𝒏 𝟐, … , 𝒏 𝒓
)𝒏 𝟏+𝒏 𝟐+⋯+𝒏 𝒓=𝒎 𝒙 𝟏
𝒏 𝟏
𝒙 𝟐
𝒏 𝟐
… 𝒙 𝒓
𝒏 𝒓
NUEVA VERSION DEL TEOREMA MULTINOMIAL
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
= ∑
(
𝒎
𝒏
𝒊
𝒋
⋮
𝒑
𝒒 )
𝒙 𝟏
𝒎−𝒏
𝒙 𝟐
𝒏−𝒊
…𝒏=𝟎,𝟏,..,𝒎
𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏
𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊
⋮
𝒑=𝟎,𝟏,…,𝒐
𝒒=𝟎,𝟏,…,𝒑
𝒙 𝒓−𝟏
𝒑−𝒒
𝒙 𝒓
𝒒
CONSTRUCCION DE TABLAS I Y II DE COEFICIENTES
CASO: 𝑟 = 4, 𝑦 𝑚 = 6
COEFICIENTE N°𝑇𝑉
1 x 4 = 4
6 x 12 = 72
15 x 12 = 180
20 x 6 = 120
30 x 12 = 360
60 x 24 = 1440
90 x 4 = 360
120 x 4 = 480
180 x 6 = 1080
∑ 𝑁°𝑡 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑒𝑓 = 84 ∑(𝐶𝑜𝑒𝑓𝑥𝑁°𝑡𝑣) =4096 = 46
GEOMETRIA DEL TETRAEDRO SUMA
Enrique R. Acosta R. 2017

2. COEFICIENTES MULTINÓMIALES Y DESARROLLO DE UN POLINOMIO
ELEVADO A LA m : TEOREMA MULTINOMIAL Y OTROS TÓPICOS
COMPLEMENTARIOS.
1.) COEFICIENTES MULTINOMIALES Y TEOREMA MULTINOMIAL
La expresión combinatoria (
𝑚
𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑟
), se denomina normalmente en lenguaje
matemático Coeficiente Multinomial, y puede ser definida de la manera siguiente: Dados un
número natural m, y un conjunto de números enteros 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑟, (con r ≥ 2), tales que su
suma sea igual a m, y sean 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑟} e 𝑌 = {𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑟}, dos conjuntos de números,
de m y r elementos respectivamente. Se denominan coeficientes multinomiales al número de
funciones 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌, tal que |𝑓−1(𝑦𝑖)| = 𝑛𝑖, para 𝑖 = 1,2, … , 𝑟.
Proposición : Si se cumplen las condiciones establecidas en el párrafo anterior, es decir 𝑛𝑖 ≥ 0
,para 𝑖 = 1,2, … , 𝑟 y 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛 𝑟 = 𝑚
Será: (
𝑚
𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑟
) =
𝑚!
𝑛1!𝑛2!…𝑛 𝑟!
Demostración: Sean los conjuntos de números 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑟} , e 𝑌 = {𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑟} de m
y de r elementos respectivamente. Para poder definir una función 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌, tal que
|𝑓−1(𝑦𝑖)| = 𝑛𝑖, para 𝑖 = 1,2, … , 𝑟 , primero seleccionamos los 𝑛1 elementos cuya imagen, sea
𝑦1. Ello se puede realizar de (
𝑚
𝑛1
) maneras, entonces de los 𝑚 − 𝑛1 elementos restantes de X,
seleccionamos todos aquellos cuya imagen sea 𝑦2. Ello se podrá hacer de (
𝑚 − 𝑛1
𝑛2
) maneras,
entonces de los 𝑚 − 𝑛1 − 𝑛2 elementos restantes de X, seleccionamos todos aquellos cuya
imagen sea 𝑦3. Ello se podrá realizar de (
𝑚 − 𝑛1 − 𝑛2
𝑛3
) maneras, y así sucesivamente.
Entonces el número total de maneras de realizar estas escogencias de los elementos restantes
de X, hasta la imagen 𝑦𝑟 , estará dado por el producto de cada uno de los de los combinatorios
anteriores es decir:
(
𝑚
𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑟
) = (
𝑚
𝑛1
) (
𝑚 − 𝑛1
𝑛2
) (
𝑚 − 𝑛1 − 𝑛2
𝑛3
) … (
𝑚 − 𝑛1 − ⋯ − 𝑛 𝑟−1
𝑛 𝑟
)
=
𝑚!
(𝑚 − 𝑛1)! 𝑛1!
(𝑚 − 𝑛1)!
(𝑚 − 𝑛1 − 𝑛2)! 𝑛2!
…
(𝑚 − 𝑛1 − ⋯ − 𝑛 𝑟−1)!
(𝑚 − 𝑛1 − ⋯ − 𝑛 𝑟)! 𝑛 𝑟!
=
𝑚!
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛 𝑟!
En caso de no cumplirse las condiciones iniciales, entonces: (
𝑚
𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑟
) = 0
La definición de estos coeficientes, permite que la expresión conocida para el desarrollo de un
binomio elevado a la potencia m, pueda ser generalizada para obtener una expresión aplicable
al desarrollo de un polinomio de r elementos o monomios, elevado a la potencia m. Ello se
conoce como Teorema Multinomial :

3. (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
= ∑ (
𝒎
𝒏 𝟏, 𝒏 𝟐, … , 𝒏 𝒓
)
𝒏 𝟏+𝒏 𝟐+⋯+𝒏 𝒓=𝒎
𝒙 𝟏
𝒏 𝟏
𝒙 𝟐
𝒏 𝟐
… 𝒙 𝒓
𝒏 𝒓
Como el objetivo en este trabajo no es volcar en el papel, demostraciones ampliamente
conocidas, damos por sentado la validez de este teorema general y procederemos a plantear
algunas observaciones con las cuales pretendemos dar una versión del mismo, donde queden
determinados de manera explícita los valores que deben tomar cada una de las 𝑛𝑖
involucradas en el teorema multinomial. Para ello haremos uso de las expresiones ya
obtenidas y definidas en nuestro trabajo intitulado “Coeficientes multinomiales y
generalización del triángulo de Pascal”. Comencemos con una definición equivalente del
combinatorio denominado “Coeficiente Multinomial”:
Definición:
Dados un sucesión de números enteros (que puede incluir al cero),{𝑎𝑖} = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛} ,
donde 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ ⋯ ≤ 𝑎 𝑛−1 ≤ 𝑎 𝑛 , podemos definir un número combinatorio denominado
multinomial de dicho conjunto, como:
(
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1
𝑎 𝑛−2
...
𝑎3
𝑎2
𝑎1 )
=
𝑎 𝑛!
(𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1)! (𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2)!… (𝑎3 − 𝑎2)! (𝑎2 − 𝑎1)! 𝑎1!
Un multinomial de n elementos, se obtiene como el producto de (𝑛 − 1 ) coeficientes
Binomiales sucesivos, así:
(
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1
𝑎 𝑛−2
...
𝑎3
𝑎2
𝑎1 )
= (
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1
) (
𝑎 𝑛−1
𝑎 𝑛−2
) … (
𝑎3
𝑎2
) (
𝑎2
𝑎1
) =
𝑎 𝑛!
(𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1)! 𝑎 𝑛−1!
𝑎 𝑛−1!
(𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2)! 𝑎 𝑛−2!
…
𝑎3!
(𝑎3 − 𝑎2)! 𝑎2!
𝑎2!
(𝑎2 − 𝑎1)! 𝑎1!
Este concepto nos ayuda a construir “triángulos de coeficientes” trinomiales, Tetranomiales,
pentanomiales, etc., y en general, para cualquier polinomio elevado a la potencia m, como
análogos, o generalizaciones del “triángulo de Pascal”
Así, un trinomial, será el producto de dos Binomiales, por ej. :
(
3
2
1
) = (
3
2
) (
2
1
) = 3𝑥2 = 6
Un tetranomial, será el producto de tres Binomiales, por ej. :
(
5
3
2
1
) = (
5
3
) (
3
2
) (
2
1
) = 10𝑥3𝑥2 = 60

4. Pero también un tetranomial, puede ser visto como el producto de un binomial por un
trinomial, así con los valores del ejemplo anterior, tendremos:
(
5
3
2
1
) = (
5
3
) (
3
2
) (
2
1
) = (
5
3
2
) (
2
1
) = (
5
3
) (
3
2
1
) = 60
Análogamente, el producto de cuatro Binomiales, puede considerarse como un pentanomial,
pero también como el producto de un binomial por un tetranomial, o como el producto de dos
trinomiales, pej. :
(
5
4
3
1
0)
= (
5
4
) (
4
3
) (
3
1
) (
1
0
) = (
5
4
) (
4
3
1
0
) = (
5
4
3
) (
3
1
0
)= 60
Estas interpretaciones pueden extenderse a cualquier orden, siempre que los elementos del
producto, estén organizados de manera que cumplan las condiciones establecidas al inicio.
Caso de los Coeficientes Binomiales:
Si comparamos la expresión ampliamente conocida, utilizada para obtener el desarrollo de un
binomio elevado a la potencia m:
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐) 𝒎
= ∑ (
𝒎
𝒊
)
𝒎
𝒊=𝟎
𝒙 𝟏
𝒎−𝒊
𝒙 𝟐
𝒊
Con la resultante de aplicar el teorema multinomial para el caso de 𝑟 = 2 :
(𝑥1 + 𝑥2) 𝑚
= ∑ (
𝑚
𝑛1, 𝑛2
)
𝑛1+𝑛2=𝑚
𝑥1
𝑛1
𝑥2
𝑛2
Podemos, en esta última expresión hacer las siguientes equivalencias : 𝑛1 = 𝑚 − 𝑖, y 𝑛2 = 𝑖 ,
de manera que se cumpla la condición fundamental 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑚 y que adicionalmente
permita establecer la identidad: (
𝑚
𝑚 − 𝑖, 𝑖) =
𝑚!
(𝑚−𝑖)!𝑖!
= (
𝑚
𝑖
), lo cual a su vez, hace coincidir
la expresión dada por el teorema multinomial, con la expresión Newtoniana, que resulta una
forma mucho más explícita del teorema para este caso.
Así cuando 𝑖 = 0, 𝑠𝑒𝑟á𝑛 ∶ 𝑛1 = 𝑚, 𝑦 𝑛2 = 0
Cuando 𝑖 = 1, 𝑠𝑒𝑟á𝑛 ∶ 𝑛1 = 𝑚 − 1, 𝑦 𝑛2 = 1
Y así sucesivamente, hasta que para 𝑖 = 𝑚, 𝑠𝑒𝑟á𝑛 ∶ 𝑛1 = 0, 𝑦 𝑛2 = 𝑚

5. Caso de los Coeficientes Trinomiales:
La expresión del teorema multinomial para el caso de 𝑟 = 3, será:
(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) 𝑚
= ∑ (
𝑚
𝑛1, 𝑛2, 𝑛3
) 𝑥1
𝑛1
𝑥2
𝑛2
𝑥3
𝑛3
𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑚
Donde (
𝑚
𝑛1, 𝑛2, 𝑛3
) =
𝑚!
𝑛1!𝑛2!𝑛3!
Como hemos establecido anteriormente en la referencia ya citada, la distribución de los
coeficientes trinomiales en los planos ∆ 𝑇 de la pirámide de Pascal se obtiene mediante la
expresión: 𝐹𝑛
𝑚−𝑛
= {(
𝑚
𝑛
𝑖
)}, con 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 ,donde m representa la potencia del trinomio,
y 𝑛 = 0,1, … , 𝑚 , la fila de ∆ 𝑇 considerada.
Según la segunda definición dada para los coeficientes multinomiales, dicho coeficiente
trinomial, equivale a la igualdad: (
𝑚
𝑛
𝑖
) = (
𝑚
𝑛
) (
𝑛
𝑖
) =
𝑚!
(𝑚−𝑛)!𝑛!
𝑛!
(𝑛−𝑖)!𝑖!
=
𝑚!
(𝑚−𝑛)!(𝑛−𝑖)!𝑖!
En este caso las equivalencias para hacer compatibles ambas definiciones serán:
𝑛1 = 𝑚 − 𝑛
𝑛2 = 𝑛 − 𝑖
𝑛3 = 𝑖
De manera que se cumpla la condición fundamental 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 = 𝑚, y con ello quede
establecida la identidad:
(
𝑚
𝑚 − 𝑛, 𝑛 − 𝑖, 𝑖) = (
𝑚
𝑛
𝑖
) =
𝑚!
(𝑚 − 𝑛)! (𝑛 − 𝑖)! 𝑖!
Así si 𝑛 = 0 , 𝑒 𝑖 = 0 sí 𝑛 = 1, 𝑖 = 0 𝑖 = 1
Serán: 𝑛1 = 𝑚 serán: 𝑛1 = 𝑚 − 1 𝑛1 = 𝑚 − 1
𝑛2 = 0 𝑛2 = 1 𝑛2 = 0
𝑛3 = 0 𝑛3 = 0 𝑛3 = 1

6. Sí 𝑛 = 2
Para 𝑖 = 0 𝑖 = 1 𝑖 = 2
Serán: 𝑛1 = 𝑚 − 2 𝑛1 = 𝑚 − 2 𝑛1 = 𝑚 − 2
𝑛2 = 2 𝑛2 = 1 𝑛2 = 0
𝑛3 = 0 𝑛3 = 1 𝑛3 = 2
Y así sucesivamente hasta 𝑛 = 𝑚
Entonces una expresión análoga a la del caso del binomio y mucho más explícita para el
teorema multinomial en el caso de los coeficientes trinomiales, será:
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
= ∑ (
𝒎
𝒏
𝒊
) 𝒙 𝟏
𝒎−𝒏
𝒙 𝟐
𝒏−𝒊
𝒙 𝟑
𝒊
𝒏=𝟎,𝟏,…,𝒎
𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏
Ejemplo de aplicación:
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝟓
= ∑ (
𝟓
𝒏
𝒊
) 𝒙 𝟏
𝟓−𝒏
𝒙 𝟐
𝒏−𝒊
𝒙 𝟑
𝒊
𝒏=𝟎,𝟏,…,𝟓
𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏
= (
5
0
0
) 𝑥1
5
𝑥2
0
𝑥3
0
+ (
5
1
0
) 𝑥1
4
𝑥2
1
𝑥3
0
+ (
5
1
1
) 𝑥1
4
𝑥2
0
𝑥3
1
+ (
5
2
0
) 𝑥1
3
𝑥2
2
𝑥3
0
+ (
5
2
1
) 𝑥1
3
𝑥2
1
𝑥3
1
+ (
5
2
2
) 𝑥1
3
𝑥2
0
𝑥3
2
+ (
5
3
0
) 𝑥1
2
𝑥2
3
𝑥2
0
+ (
5
3
1
) 𝑥1
2
𝑥2
2
𝑥3
1
+ (
5
3
2
) 𝑥1
2
𝑥2
1
𝑥3
2
+ (
5
3
3
) 𝑥1
2
𝑥2
0
𝑥3
3
+ (
5
4
0
) 𝑥1
1
𝑥2
4
𝑥3
0
+ (
5
4
1
) 𝑥1
1
𝑥2
3
𝑥3
1
+ (
5
4
2
) 𝑥1
1
𝑥2
2
𝑥3
2
+ (
5
4
3
) 𝑥1
1
𝑥2
1
𝑥3
3
+ (
5
4
4
) 𝑥1
1
𝑥2
0
𝑥3
4
+ (
5
5
0
) 𝑥1
0
𝑥2
5
𝑥3
0
+ (
5
5
1
) 𝑥1
0
𝑥2
4
𝑥3
1
+ (
5
5
2
) 𝑥1
0
𝑥2
3
𝑥3
2
+ (
5
5
3
) 𝑥1
0
𝑥2
2
𝑥3
3
+ (
5
5
4
) 𝑥1
0
𝑥2
1
𝑥3
4
+ (
5
5
5
) 𝑥1
0
𝑥2
0
𝑥3
5
= 𝑥1
5
+ 5𝑥1
4
𝑥2 + 5𝑥1
4
𝑥3 + 10𝑥1
3
𝑥2
2
+ 20𝑥1
3
𝑥2 𝑥3 + 10𝑥1
3
𝑥3
2
+ 10𝑥1
2
𝑥2
3
+ 30𝑥1
2
𝑥2
2
𝑥3
+ 30𝑥1
2
𝑥2 𝑥3
2
+ 10𝑥1
2
𝑥3
3
+ 5𝑥1 𝑥2
4
+ 20𝑥1 𝑥2
3
𝑥3 + 30𝑥1 𝑥2
2
𝑥3
2
+ 20𝑥1 𝑥2 𝑥3
3
+ 5𝑥1 𝑥3
4
+ 𝑥2
5
+ 5𝑥2
4
𝑥3 + 10𝑥2
3
𝑥3
2
+ 10𝑥2
2
𝑥3
3
+ 5𝑥2 𝑥3
4
+ 𝑥3
5

7. Coef N°veces
1 3
5 6
10 6
20 3
30 3
Como podemos constatar, estos son los coeficientes de la fila 5 del triángulo de coeficientes
trinomiales, así mismo, son los coeficientes iniciales de la columna 5 de la fila 5 del triangulo
de coeficientes Tetranomiales,y a su vez, son los coeficientes iniciales de la subcolumna 5 de la
columna 5 de la fila 5 del triángulo de coeficientes pentanomiales .(ver “Coeficientes
multinomiales y generalización del triángulo de Pascal”)
Caso de los Coeficientes Tetranomiales:
Es evidente que este procedimiento, puede extenderse para r=4 y el caso de los coeficientes
Tetranomiales del Tetraedro Suma o Prisma tetraédrico que los contiene. De manera que en la
expresión del teorema multinomial para r=4
(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4) 𝑚
= ∑ (
𝑚
𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, 𝑛4
) 𝑥1
𝑛1
𝑥2
𝑛2
𝑥3
𝑛3
𝑥4
𝑛4
𝑛1+𝑛2+𝑛3+𝑛4=𝑚
Mediante la sustitución 𝑛1 = 𝑚 − 𝑛
𝑛2 = 𝑛 − 𝑖
𝑛3 = 𝑖 − 𝑗
𝑛4 = 𝑗 ,
Se cumple con la condición fundamental 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 = 𝑚 , y se puede establecer la
identidad:(
𝑚
𝑚 − 𝑛, 𝑛 − 𝑖, 𝑖 − 𝑗, 𝑗) = (
𝑚
𝑛
𝑖
𝑗
) =
𝑚!
(𝑚−𝑛)!(𝑛−𝑖)!(𝑖−𝑗)!𝑗!
lo que a su vez, nos
permite obtener una expresión expandida, análoga a las anteriores y mucho más explícita
para el caso de los coeficientes tetranomiales
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
= ∑ (
𝒎
𝒏
𝒊
𝒋
)𝒏=𝟎,𝟏,…,𝒎
𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏
𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊
𝒙 𝟏
𝒎−𝒏
𝒙 𝟐
𝒏−𝒊
𝒙 𝟑
𝒊−𝒋
𝒙 𝟒
𝒋
Es evidente que de igual forma podemos extender estos resultados para cualquier
valor de r y m enteros positivos.

8. Así para el caso general tendremos:
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
= ∑
(
𝒎
𝒏
𝒊
𝒋
⋮
𝒑
𝒒 )
𝒙 𝟏
𝒎−𝒏
𝒙 𝟐
𝒏−𝒊
…𝒏=𝟎,𝟏,..,𝒎
𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏
𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊
⋮
𝒑=𝟎,𝟏,…,𝒐
𝒒=𝟎,𝟏,…,𝒑
𝒙 𝒓−𝟏
𝒑−𝒒
𝒙 𝒓
𝒒
Donde el coeficiente multinomial consta de r elementos
2.) CONSTRUCCION DE LAS TABLAS I Y II DE COEFICIENTES POSIBLES Y SU NUMERO DE
VECES EN (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
Estas tablas se presentan en el trabajo intitulado “Distribución tetraédrica de
Coeficientes Tetranomiales”, y recogen tanto los coeficientes posibles en el desarrollo
de un polinomio tal como (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
, en función de los valores de m y r, así
como el número de veces que un determinado coeficiente se repite en cada caso
específico.
Recordemos que un coeficiente multinomial, se puede definir en términos
combinatorios, como una permutación con repetición . Por ello creemos conveniente
comenzar este punto con un pequeño repaso conceptual:
Permutaciones con repetición ( 𝑷𝒓 𝒎 )
Se denominan así a las agrupaciones que podemos formar con un conjunto de m elementos,
tomados m a m (repetidos o no en cada agrupación), que se diferencian entre sí por el orden o
por tener diferente, al menos, uno de sus elementos constituyentes.
Por la definición anterior, es evidente que las permutaciones con repetición pueden
considerarse como un caso particular ( y especial) de las variaciones con repetición, en el cual
n= m, y por lo tanto, su expresión matemática, si utilizamos 𝑷𝒓 𝒎 , en lugar de 𝑽𝒓 𝒎,𝒎, vendrá
dada por:
𝑷𝒓 𝒎 = 𝒎 𝒎
,( no es necesario escribir 𝑷𝒓 𝒎 ,𝒎), y existirá una sola posibilidad para cada
conjunto dado de elementos diferentes.
Sea por ej. El conjunto {𝑎, 𝑏} de dos elementos diferentes, entonces, las permutaciones con
repetición que se pueden formar con un conjunto tal serán:
[
[𝑎, 𝑎] [𝑏, 𝑎]
[𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏]
], y 𝑷𝒓 𝟐 = 𝟐 𝟐
= 𝟒

9. Si llamamos 𝑃(𝑎), a las permutaciones con repetición de dicho conjunto, que comienzan con 𝑎,
entonces será 𝑃(𝑎) = 2, y si llamamos 𝑃(𝑏), las permutaciones que comienzan con b, se tendrá:
𝑃(𝑏) = 2, entonces: 𝑷𝒓 𝟐 = 𝑃(𝑎) + 𝑃(𝑏) = 2.2 = 22
= 4
Consideremos ahora el conjunto {𝑎, 𝑏, 𝑐}, donde m= 3 .Las permutaciones con repetición que
se pueden formar en este caso serán:
[
[𝑎, 𝑎, 𝑎] [𝑎, 𝑏, 𝑎] [𝑎, 𝑐, 𝑎]
[𝑎, 𝑎, 𝑏] [𝑎, 𝑏, 𝑏] [𝑎, 𝑐, 𝑏]
[𝑎, 𝑎, 𝑐]
[𝑏, 𝑎, 𝑎]
[𝑏, 𝑎, 𝑏]
[𝑏, 𝑎, 𝑐]
[𝑐, 𝑎, 𝑎]
[𝑐, 𝑎, 𝑏]
[𝑐, 𝑎, 𝑐]
[𝑎, 𝑏, 𝑐]
[𝑏. 𝑏. 𝑎]
[𝑏, 𝑏, 𝑏]
[𝑏, 𝑏, 𝑐]
[𝑐, 𝑏, 𝑎]
[𝑐, 𝑏, 𝑏]
[𝑐, 𝑏, 𝑐]
[𝑎, 𝑐, 𝑐]
[𝑏, 𝑐, 𝑎]
[𝑏, 𝑐, 𝑏]
[𝑏, 𝑐, 𝑐]
[𝑐, 𝑐, 𝑎]
[𝑐, 𝑐, 𝑏]
[𝑐, 𝑐, 𝑐]]
Simbólicamente, podemos escribir 𝑃(𝑎) = 9, 𝑃(𝑏) = 9, y 𝑃(𝑐) = 9, entonces:
𝑷𝒓 𝟑 = 𝑷(𝒂) + 𝑷(𝒃) + 𝑷(𝒄) = 𝟑. 𝟗 = 𝟑 𝟑
= 𝟐𝟕
Análogamente, también podríamos escribir:
𝑃(𝑎,𝑎) = 3 𝑃(𝑎,𝑏) = 3 𝑃(𝑎,𝑐) = 3
𝑃(𝑏,𝑎) = 3 𝑃(𝑏,𝑏) = 3 𝑃(𝑏,𝑐) = 3
𝑃(𝑐,𝑎) = 3 𝑃(𝑐,𝑏) = 3 𝑃(𝑐,𝑐) = 3
𝑷𝒓 𝟑=𝑃(𝑎,𝑎) + 𝑃(𝑏,𝑎) + 𝑃(𝑐,𝑎) + 𝑃(𝑎,𝑏) + 𝑃(𝑏,𝑏) + 𝑃(𝑐,𝑏) + 𝑃(𝑎,𝑐) + 𝑃(𝑏,𝑐) + 𝑃(𝑐,𝑐) = 9.3 = 33
= 27
Notamos que las 𝑷(𝒊,𝒋) = 31
, mientras que las 𝑷(𝒊) = 32
. Y 𝑷𝒓 𝟑 = 𝑷(𝒊,𝒋). 𝑷(𝒊)
Apliquemos esta propiedad* para obtener 𝑷𝒓 𝟒, para el conjunto de cuatro elementos
diferentes
{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. Entonces utilizando una nomenclatura simbólica análoga a la anterior, tendríamos:
[
𝑃(𝑎,𝑎,𝑎) = 4
𝑃(𝑎,𝑎,𝑏) = 4
𝑃(𝑎,𝑎,𝑐) = 4
𝑃(𝑎,𝑎,𝑑) = 4]
y 𝑃(𝑎,𝑎) = 42
= 16
[
𝑃(𝑎,𝑏,𝑎) = 4
𝑃(𝑎,𝑏,𝑏) = 4
𝑃(𝑎,𝑏,𝑐) = 4
𝑃(𝑎,𝑏,𝑑) = 4]
y 𝑃(𝑎,𝑏) = 42
= 16
[
𝑃(𝑎,𝑐,𝑎) = 4
𝑃(𝑎,𝑐,𝑏) = 4
𝑃(𝑎,𝑐,𝑐) = 4
𝑃(𝑎,𝑐,𝑑) = 4]
y 𝑃(𝑎,𝑐) = 42
= 16
[
𝑃(𝑎,𝑑,𝑎) = 4
𝑃(𝑎,𝑑,𝑏) = 4
𝑃(𝑎,𝑑,𝑐) = 4
𝑃(𝑎,𝑑,𝑑) = 4]
y 𝑃(𝑎,𝑑) = 42
= 16

10. De manera que:
[
𝑃(𝑎,𝑎,) = 16
𝑃(𝑎,𝑏) = 16
𝑃(𝑎,𝑐) = 16
𝑃(𝑎,𝑑) = 16]
y 𝑃(𝑎) = 4.16 = 43
= 64
De forma similar, resultarían:
[
𝑃(𝑏,𝑎,) = 16
𝑃(𝑏,𝑏) = 16
𝑃(𝑏,𝑐) = 16
𝑃(𝑏,𝑑) = 16]
y 𝑃(𝑏) = 4.16 = 43
= 64
[
𝑃(𝑐,𝑎,) = 16
𝑃(𝑐,𝑏) = 16
𝑃(𝑐,𝑐) = 16
𝑃(𝑐,𝑑) = 16]
y 𝑃(𝑐) = 4.16 = 43
= 64
[
𝑃(𝑑,𝑎,) = 16
𝑃(𝑑,𝑏) = 16
𝑃(𝑑,𝑐) = 16
𝑃(𝑑,𝑑) = 16]
y 𝑃(𝑑) = 4.16 = 43
= 64, y resulta: 𝑷𝒓 𝟒 = 𝟒. 𝟒 𝟑
= 𝟒 𝟒
= 𝟐𝟓𝟔
* (En este caso será: 𝑷𝒓 𝟒 = 𝑷(𝒊,𝒋,𝒌). 𝑷(𝒊) )
O también: 𝑷𝒓 𝟒 = 𝑷(𝒂) + 𝑷(𝒃) + 𝑷(𝒄) + 𝑷(𝒅) = 𝟒. 𝟒 𝟑
= 𝟒 𝟒
= 𝟐𝟓𝟔
Consideremos ahora el caso de conjuntos con elementos repetidos, y definamos de nuevo el
concepto de permutaciones con repetición como el número de permutaciones que se pueden
formar con un conjunto de m elementos donde solo n < m, elementos son diferentes, así por
ej. un primer elemento se repite 𝑛1 veces, un segundo elemento se repite 𝑛2 veces, un tercero
se repite 𝑛3 veces, etc. , de manera que se cumple 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯ + 𝑛 𝑚 = 𝑚, y todas las
agrupaciones (de m elementos c/u) se diferencian solo por el orden de sus elementos.
Para encontrar una expresión matemática para las permutaciones con repetición para estas
condiciones, comencemos por analizar algunos casos.
Sea por ej. el conjunto de m=5 elementos dados por {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏}, donde 𝑎, se repite 2 veces
(𝑛1 = 2) y b, se repite 3 veces (𝑛2 = 3). Para hacer analogía con las permutaciones normales
o corrientes, supongamos que todos los elementos del conjunto, pueden considerarse
diferentes, lo cual denotaremos añadiéndole un subíndice numérico a los elementos que se
repiten, que permita identificarlos como tales en el proceso deductivo posterior. Así el
conjunto original puede rescribirse como {𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2}, entonces las permutaciones simples
que pueden hacerse con tal conjunto, serían: 𝑃5=5! = 120 agrupaciones “diferentes” de 5
elementos c/u.
Analicemos ahora cuantos grupos pueden derivarse a partir de una permutación dada. Para
facilitar dicho análisis, escogeremos la misma agrupación inicial (𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2) y
permutaremos las letras, pero sin mezclar los grupos entre sí, de manera que conserven en
cuanto al orden, su identidad con el grupo original.

11. Si partimos de la permutación (𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2), y permutamos los tres elementos b, dejando
fijos los elementos 𝑎, obtenemos 3!= 6 agrupaciones posibles (incluyendo la original), a
saber:
[
𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2
𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏2, 𝑏1
𝑎, 𝑎1, 𝑏1, 𝑏, 𝑏2
𝑎, 𝑎1, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏
𝑎, 𝑎1, 𝑏2, 𝑏, 𝑏1
𝑎, 𝑎1, 𝑏2, 𝑏1, 𝑏]
Si permutamos ahora los elementos 𝑎, se obtendrán 6 grupos adicionales es
decir
[
𝑎1, 𝑎, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2
𝑎1, 𝑎, 𝑏, 𝑏2, 𝑏1
𝑎1, 𝑎, 𝑏1, 𝑏, 𝑏2
𝑎1, 𝑎, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏
𝑎1, 𝑎, 𝑏2, 𝑏, 𝑏1
𝑎1, 𝑎, 𝑏2, 𝑏1, 𝑏]
Obtenemos 2!.3!=2.6=12 grupos en total
Entonces, a partir de una posible permutación, se han obtenido 12 nuevas, que en realidad
son una misma, la (𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2). Por ello razonando a la inversa, esto significaría que las 120
permutaciones hipotéticas que se derivan de la original considerada como si todos sus
elementos fueran diferentes, se reducen en definitiva a 120/12=10 es decir :(
5!
2!3!
)
Entonces el número de permutaciones con repetición que se pueden formar con un conjunto
de m=5 elementos, como {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏}, donde un primer elemento 𝑎, se repite 2 veces y un
segundo elemento b, se repite tres veces, se puede obtener mediante la expresión:
𝑃𝑟5,2,3 =
5!
2!3!
= 10, donde 2+3=5 , que son: [
𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏
𝑎, 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑎, 𝑏
𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑎
𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑎
]
Analicemos un segundo caso. Por ej. sea el conjunto {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑐, 𝑐} de m=7 elementos,
donde solo n=3 elementos son diferentes. Un primer elemento 𝑎, se repite 2 veces, un
segundo b, se repite también 2 veces y un tercer elemento c, se repite 3 veces. Así 2+2+3=7.
Denotaremos dicho conjunto como {𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑐, 𝑐1, 𝑐2}, de manera que hipotéticamente como
en el ejemplo anterior, podamos considerar todos sus elementos como diferentes entre sí. Si
este fuera el caso, el número de permutaciones posibles con 7 elementos sería: 𝑃7 = 7! =
5040. Análogamente al caso anterior, determinemos el número de permutaciones que se
pueden generar a partir de una permutación dada, y por facilidad en el análisis, escojamos
aquella que conserva la identidad con el grupo inicial 𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑐, 𝑐1, 𝑐2.
Si permutamos solo los tres términos c, se originaran de esta 3!=6 permutaciones adicionales
( incluyendo la original) .Si ahora permutamos los dos elementos b, cada una de estas 6
generan dos adicionales, es decir 2!3!= 2.6=12 grupos en total.

12. Si por último, permutamos los dos elementos 𝑎, en estas 12 agrupaciones, cada una de ellas
genera 2 adicionales mas, para un total de 2! 2! 3!= 2.2.6 = 24 permutaciones nuevas, que en
realidad son una misma. Por ello las hipotéticas 5040 se reducen a 5040/24 = 210, o sean
7!/2! 2! 3! =210 permutaciones reales. Podemos entonces expresar este resultado como:
𝑃𝑟7,2,2,3 =
7!
2!2!3!
= 210, donde 2+2+3 = 7
Estos resultados nos permiten generalizar para obtener la expresión:
𝑷𝒓 𝒎,𝒏 𝟏,𝒏 𝟐,𝒏 𝟑,…,𝒏 𝒓
=
𝒎!
𝒏 𝟏!𝒏 𝟐!𝒏 𝟑!…𝒏 𝒓!
, donde 𝒏 𝟏 + 𝒏 𝟐 + 𝒏 𝟑 + ⋯ + 𝒏 𝒓 = 𝒎
Supongamos ahora que queremos determinar los coeficientes que aparecen en el desarrollo
del siguiente caso de un polinomio elevado a una potencia entera positiva ( 𝑟 = 4, 𝑦 𝑚 = 6)
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝟔
Deberemos seguir los siguientes pasos:
1. Determinar los grupos de 4 (r=4) números enteros que contengan al menos una cifra
distinta del cero, y que sumen 6 (m=6)
Un solo caso : 0,0,0,6
2. Determinar los grupos de 4 números enteros que contengan al menos dos cifras
distintas de cero, y que sumen 6 :
Tres casos : 0,0,1,5 0,0,2,4 0,0,3,3
3. Determinar los grupos de 4 números enteros que contengan al menos tres cifras
distintas de cero, y que sumen 6
Tres casos: 0,1,1,4 0,1,2,3 0,2,2,2
4. Determinar los grupos de 4 números enteros que contengan al menos cuatro cifras
distintas de cero, y que sumen 6
Dos casos: 1,1,1,3 1,1,2,2
Los distintos coeficientes del caso considerado se obtendrán al calcular cada una de
las permutaciones con repetición de m=6 , para cada uno de estos grupos de cifras (los 𝑛𝑖
posibles)
Luego los coeficientes del caso serán:
𝑃𝑟, 6,0,0,0,6 =
6!
0! 0! 0! 6!
= 1
𝑃𝑟, 6,0,0,1,5 =
6!
0! 0! 1! 5!
= 6

13. 𝑃𝑟, 6,0,0,2,4 =
6!
0! 0! 2! 4!
= 15
𝑃𝑟, 6,0,0,3,3 =
6!
0! 0! 3! 3!
= 20
𝑃𝑟, 6,0,1,1,4 =
6!
0! 1! 1! 4!
= 30
𝑃𝑟, 6,0,1,2,3 =
6!
0! 1! 2! 3!
= 60
𝑃𝑟, 6,0,2,2,2 =
6!
0! 2! 2! 2!
= 90
𝑃𝑟, 6,1,1,13 =
6!
1! 1! 1! 3!
= 120
𝑃𝑟, 6,1,1,2,2 =
6!
1! 1! 2! 2!
= 180
Para calcular el número de veces en que aparece cada uno de estos coeficientes en el
desarrollo del polinomio considerado, deberemos proceder de la siguiente manera:
Para cualquier caso podemos notar que la suma del número de veces en que aparecen
cada una de las cifras distintas de 6 que conforman el término Pr, repetidas o no, suman
siempre 4, así por ejemplo para Pr,6,1,1,1,3 la cifra 1 aparece 3 veces y la cifra 3 una sola vez,
y 3+1=4= 𝑟
Entonces, para calcular el número de veces en que aparece un coeficiente determinado,
para m=6 , calculamos las permutaciones con repetición de 4 con respecto a los valores en
que aparece cada cifra distinta de 6 en cada coeficiente ya previamente obtenido, así resultan
los siguientes valores:
Para el coeficiente 1 , serán: 𝑃𝑟, 4,3,1 =
4!
3!1!
= 4 veces
Para el coeficiente 6, serán: 𝑃𝑟, 4,2,1,1 =
4!
2!1!1!
= 12 veces
Para el coeficiente 15, serán: 𝑃𝑟, 4,2,1,1 =
4!
2!1!1!
= 12 veces
Para el coeficiente 20, serán: 𝑃𝑟, 4,2! 2! =
4!
2!2!
= 6 veces
Para el coeficiente 30, serán: 𝑃𝑟, 4,1,2,1 =
4!
1!2!1!
= 12 veces

14. Para el coeficiente 60, serán: 𝑃𝑟, 4,1,1,1,1 =
4!
1!1!1!1!
= 24 veces
Para el coeficiente 90, serán: 𝑃𝑟, 4,1,3 =
4!
1!3!
= 4 veces
Para el coeficiente 120, serán: 𝑃𝑟, 4,3,1 =
4!
3!1!
= 4 veces
Para el coeficiente 180, serán: 𝑃𝑟, 4,2,2 =
4!
2!2!
= 6 veces
Los valores así obtenidos se recopilaron para su presentación en las tablas I y II, ya
referidas, para valores de m desde 1, hasta 9 , y para valores de r, desde 1, hasta 7. También
podemos establecer el número de veces en que aparece un coeficiente determinado para un
m dado , en base a la sucesión correspondiente de veces que aparece en casos anteriores de r
(conociendo la razón incremental de la sucesión).
Regresando al teorema multinomial:
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
= ∑ (
𝒎
𝒏 𝟏, 𝒏 𝟐, … , 𝒏 𝒓
)
𝒏 𝟏+𝒏 𝟐+⋯+𝒏 𝒓=𝒎
𝒙 𝟏
𝒏 𝟏
𝒙 𝟐
𝒏 𝟐
… 𝒙 𝒓
𝒏 𝒓
Si hacemos 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥 𝑟 = 1 ,resultará la expresión :
𝑟 𝑚
= ∑ (
𝒎
𝒏 𝟏, 𝒏 𝟐, … , 𝒏 𝒓
)𝒏 𝟏+𝒏 𝟐+⋯+𝒏 𝒓=𝒎 , o su equivalente:
𝑟 𝑚
= ∑
(
𝒎
𝒏
𝒊
𝒋
⋮
𝒑
𝒒 )
𝒏=𝟎,𝟏,..,𝒎
𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏
𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊
⋮
𝒑=𝟎,𝟏,…,𝒐
𝒒=𝟎,𝟏,…,𝒑
Que nos dice, que la suma total de los coeficientes del desarrollo del polinomio
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
, es igual a 𝒓 𝒎
, pero como cada coeficiente se repite un cierto
número de veces, esta relación debe interpretarse como ∑(𝐶𝑜𝑒𝑓𝑥𝑁°𝑡𝑣) = 𝑟 𝑚
, es decir que si
sumamos los productos de cada coeficiente del caso, multiplicado por el número total de
veces (𝑁°𝑡𝑣) en que aparece en dicho desarrollo, el resultado es igual a 𝑟 𝑚
.
Comprobemos esto para el caso del ejemplo anterior 𝑟 = 4, 𝑦 𝑚 = 6

15. CASO: 𝑟 = 4, 𝑦 𝑚 = 6
COEFICIENTE N°𝑇𝑉
1 x 4 = 4
6 x 12 = 72
15 x 12 = 180
20 x 6 = 120
30 x 12 = 360
60 x 24 = 1440
90 x 4 = 360
120 x 4 = 480
180 x 6 = 1080
∑ 𝑁°𝑡 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑒𝑓 = 84 ∑(𝐶𝑜𝑒𝑓𝑥𝑁°𝑡𝑣) =4096 = 46
Ahora regresemos a las sucesiones paralelas de números combinatorios del triángulo de Pascal:
Como también podemos observar en las tablas I y II, de referencia, el número total de
coeficientes para un determinado caso de 𝑟, 𝑦 𝑚, se corresponde con el valor del elemento de
lugar 𝒓, en la sucesión paralela 𝑺 𝒎+𝟏
Así, si para el caso general, sería: 𝑆 𝑚+1 = {(
𝑖
𝑚
)}, con 𝑖 = 𝑚, … , 𝑚 + 𝑛 − 1,
Para cada 𝑚 = 1,2, … , 𝑛
En nuestro caso con 𝑚 = 6 𝑦 𝑛 = 𝑟 = 4, tendríamos: 𝑖 = 6,7,8,9
Y 𝑆7,4 = {(
6
6
) (
7
6
) (
8
6
) (
9
6
)} = {1,7,28,84} , y el número total de coeficientes para 𝑚 = 6,
𝑦 𝑟 = 4, es 84, el cuarto término de esta sucesión , como ya habíamos indicado en la tabla
anterior.
El mismo resultado se obtiene, si consideramos la suma de los primeros 4 términos de la
sucesión paralela 𝑆6 , es decir 𝑆6,4
+
3.) ALGO DE GEOMETRIA
En este último tópico, intentaremos hacer algunas precisiones sobre la geometría involucrada
en las figuras y cuerpos geométricos en los cuales se distribuyen los coeficientes de un
polinomio de r monomios, elevado a una potencia m. Nos referimos a triángulos isósceles-
rectángulos, triángulos equiláteros y pirámides o tetraedros regulares.

16. Comencemos con un ejemplo para el caso del tetraedro suma o prisma tetraédrico que
contiene la distribución de coeficientes Tetranomiales, como ya hemos establecido en trabajos
anteriores (ver bibliografía).
Figura n° 𝟏:
Representación esquemática y sin escala del tetraedro suma (T. Suma) o prisma tetraédrico
correspondiente a la distribución de coeficientes Tetranomiales para 𝒎 = 𝟔 .
La base de este tetraedro exterior o tetraedro suma, constituido por un tetraedro principal
(T.P), un tetraedro secundario (T.S), y una singularidad, si la hubiere, coincide con el ∆ 𝑻 para
𝒎 = 𝟔, el cual a su vez, constituye la base del tetraedro interior, o pirámide de Pascal del mismo
caso, que tiene como vértice, el origen de coordenadas, y como caras, los triángulos de Pascal
(∆ 𝟎), construidos c/u sobre uno de los tres semiplanos coordenados, que contienen las 6
primeras filas del mismo ∆ 𝟎 (𝒎 = 𝟔).
En la figura, se ha abierto una ventana triangular “ad-hoc” en el tetraedro principal (T.P.) para
poder observar la ubicación y el contenido del tetraedro secundario (T.S.)
T.S
T.P
∆ 𝑇
∆0

17. Para facilitar y lograr una mejor representación gráfica de la geometría involucrada hemos
utilizado un programa muy apropiado al caso, denominado Geogebra, pero nos hemos
limitado al caso de 𝑚 = 5, por razones de espacio y visualización
Figuras n°s 2-a y 2-b
En estas gráficas se pueden observar los tres triángulos (∆𝐴𝐵𝑂, ∆𝐴𝐶𝑂, 𝑦 ∆𝐵𝐶𝑂) isósceles
rectángulos ∆0, donde se distribuyen los coeficientes Binomiales desde una fila cero (en el
origen O ), hasta una fila cinco , que corresponde a la hipotenusa de c/u de ellos, y que
constituyen las tres caras de la pirámide interior , cuyo vértice se ubica en el origen de
coordenadas O , y a su vez se puede observar la propia base de esta pirámide interior o de
Pascal, o triángulo equilátero (∆𝐴𝐵𝐶), que corresponde al ∆ 𝑇, donde se distribuyen los
coeficientes Trinomiales del mismo caso (m=5)
Figura 𝑛° 3

18. En la gráfica 𝑛° 3 se ha representado el tetraedro exterior o tetraedro suma para el caso 𝒎 = 𝟓,
donde se destacan:
La base, triangular equilátera del tetraedro suma, o ∆𝐴𝐵𝐶 , que corresponde al ∆ 𝑇 para 𝑚 =
5, los tres triángulos (∆𝐴𝐵𝐻, ∆𝐴𝐶𝐻, 𝑦 ∆𝐵𝐶𝐻) equiláteros, también iguales a ∆ 𝑇, que
constituyen las caras del tetraedro principal, y su vértice o punto H, situado en la
perpendicular al plano ∆ 𝑇 , trazada desde el origen de coordenadas y que intercepta a dicho
plano en el punto G, centroide o baricentro del plano ABC. En el caso de la figura n°1, se ha
abierto una ventana triangular “ad-hoc” que permite la visualización del tetraedro secundario,
alojado en el interior del tetraedro principal.
Como podemos observar, las figuras geométricas involucradas son:
Triángulos isósceles-rectángulos correspondientes a ∆0 donde se distribuyen en líneas
paralelas a su hipotenusa, los coeficientes Binomiales desde 𝑚 = 0, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚 = 6, en el caso de
la figura n°1, y de 𝑚 = 0, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚 = 5 , en el caso de las figuras 2-a y 2-b.
Sus características geométricas son:
Longitud de cada lado: 𝑚
Hipotenusa: √2 𝑚
Altura: ℎ∆0
=
√2
2
𝑚
Un ángulo recto en O, y dos de 45 grados
Triángulos Equiláteros correspondientes a ∆ 𝑇, para el caso de m considerado.
Sus características geométricas son:
Longitud de cada lado: √2 𝑚
Altura: ℎ∆ 𝑇
=
√3
√2
𝑚 =
√6
2
𝑚
Distancia de un vértice al centroide G:
2
3
ℎ∆ 𝑇
=
√6
3
𝑚
Tres ángulos de 60 grados
Los cuerpos geométricos involucrados son:
Pirámide o tetraedro regular de base triangular equilátera (∆ 𝑻) y caras triangulos isósceles-
rectángulos (∆ 𝟎) (Pirámide de Pascal)
Sus características geométricas son:

19. Aparte de las características ya especificadas de sus figuras geométricas componentes,
podemos resaltar:
Coordenadas del vértice: O(0,0,0)
Coordenadas de los tres puntos que definen el plano ∆ 𝑇, de base:
A(m,0,0)
B(0,m,0
C(0,0,m)
Altura de la pirámide (Tetraedro de Pascal)
𝑂𝐺 = ℎ 𝑇𝑃 =
√3
3
𝑚
Esta altura se mide en la dirección del eje de simetría del primer octante del sistema ortogonal
Tetraedro Suma o prisma tetraedro de base y caras triangulares equiláteras correspondientes a
∆ 𝑻 para el caso de m
Aparte de las características ya especificadas de sus figuras componentes, podemos señalar:
Tetraedro Principal:
Coordenadas de su plano de base: idénticas a las ya establecidas para los puntos A,B, y C, pues
ambos poliedros T.Pascal y T.Principal, tienen como base el plano ∆𝐴𝐵𝐶
Coordenadas del vértice H: 𝐻(𝑚, 𝑚, 𝑚)
Coordenadas del centroide de su base ∆ 𝑻: G(
m
3
,
m
3
,
m
3
)
Altura del tetraedro principal y del T. suma:
𝐺𝐻 = ℎ 𝑇.𝑆 = 2
√3
3
𝑚 (La altura del T.Suma , es el doble de la altura del Tetraedro de Pascal)
Esta altura, se mide en la dirección del eje de simetría del primer octante. Ver fig 𝑛° 3
Todas estas figuras y cuerpos geométricos, se ubican en el primer octante del sistema
ortogonal.
Tetraedro secundario:
Su vértice 𝐻′ se ubica a una distancia constante 2√3, del vértice H del tetraedro principal, y
sus
coordenadas son : 𝐻′
(𝑚 − 2, 𝑚 − 2, 𝑚 − 2)

20. Las coordenadas del centroide de su base triangular son: 𝐺′
(
𝑚+2
3
,
𝑚+2
3
,
𝑚+2
3
),situado sobre la
recta OH ,o eje de simetría del primer octante. Su distancia constante al plano de base del
T.Suma es: 𝐺𝐺′
=
2√3
3
La altura del tetraedro secundario medida en la dirección del eje de simetría del primer
octante es:
ℎ 𝑇.𝑆𝑒𝑐 = 𝐺′
𝐻′
=
2√3(𝑚 − 4)
3
TETRAEDRO PRINCIPAL COMO ESTRUCTURA ISOSTÁTICA
Nivel
(N)
Esquema por nivel Nodos
(n)
N⁰B.Inter N⁰B.Exter N⁰B.Union
NivelesH D Total 3xn total
0 ˚ 1 0 0 0 0 0 3+3x0=
31 ˚
˚ ˚
3 0 0 0 3x1 3
3+3x2=
9
2 ˚
˚ ˚
˚ ˚ ˚
6 1 2 3 3x2 6
3+6x2=
15
3 ˚
˚ ˚
˚ ˚ ˚
˚ ˚ ˚ ˚
10 3 6 9 3x3 9
3+9x2=
21
4 ˚
˚ ˚
˚ ˚ ˚
˚ ˚ ˚ ˚
˚ ˚ ˚ ˚ ˚
15 6 12 18 3x4 12
3+12x2=
27
5 ˚
˚ ˚
˚ ˚ ˚
˚ ˚ ˚ ˚
˚ ˚ ˚ ˚ ˚
˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚
21 10 20 30 3x5 15
3+15x2=
33
Como podemos notar el número de Nodos (n) se incrementan según el nivel (N), siguiendo la
secuencia de la sucesión 𝑺 𝟑=𝟏,𝟑,𝟔,𝟏𝟎,𝟏𝟓,…, entonces para el número de elementos por nivel
podemos escribir:

21. Número de nodos por Nivel:
𝒏 = (
𝑵 + 𝟐
𝟐
)
Si llamamos N.B.I, al número de barras interiores del nivel N, resulta:
𝑵. 𝑩. 𝑰. = 𝟑 (
𝑵
𝟐
) ; Donde (
𝑵
𝟐
) = 𝟎, para todo 𝑵 < 2
Si llamamos N.B.E., al número de barras exteriores del nivel N, resulta:
𝑵. 𝑩. 𝑬. = 𝟑𝑵
Si llamamos N.B.U., al número de barras de unión entre 2 niveles sucesivos, resulta:
𝑵. 𝑩. 𝑼. = 𝟑(𝟏 + 𝟐𝑵)
Si queremos estos mismos parámetros (n , N.B.I. , N.B.E. , y N.B.U.) pero referidos al número
total de elementos que constituyen la armadura isostática de un tetraedro regular equilátero,
hasta el nivel N tendremos:
Número de nodos del tetraedro hasta el nivel N:
𝒏 = (
𝑵 + 𝟑
𝟑
)
Número de barras interiores del tetraedro hasta el nivel N:
𝑵. 𝑩. 𝑰. = 𝟑 (
𝑵 + 𝟏
𝟑
) ; Donde (
𝑵 + 𝟏
𝟑
) = 𝟎, para todo 𝑵 < 2
Número de barras exteriores del tetraedro hasta el nivel N:
𝑵. 𝑩. 𝑬. = 𝟑 (
𝑵 + 𝟏
𝟐
) ; Donde (
𝑵 + 𝟏
𝟐
) = 𝟎, para 𝑵 = 0
Número de barras de unión entre todos los niveles sucesivos del tetraedro hasta el nivel N:
𝑵. 𝑩. 𝑼. = 𝟑𝑵 𝟐
Por último quiero hacer referencia a una Cita encontrada en un artículo de Jim Nugent, conocido
matemático estadounidense, titulado “Tetrahedron or Pascal's Pyramid”, del cual presentamos
la siguiente traducción:
IV La Red-Octaedro Tetraedro
Como Bollinger [6],Staib y Staib [4], afirman “...la naturaleza tridimensional de la pirámide de
Pascal hace que sea difícil utilizar el cálculo manual para obtener los coeficientes del trinomio”.
Ilustraciones de Staib y Staib [4] y Mueller [3], ambas contienen planos y niveles sin
interconexiones entre los niveles. Dibujar un tetraedro, y mucho mas una red tetraédrica
subdividida, puede ser difícil. Sin modelos físicos reales, puede ser desalentador visualizar
como tetraedros en combinación con octaedros podrían proporcionar el paradigma necesario
para la interconexión de los niveles de la pirámide (véase las figuras 3 y 4). Celosías Octaedro-
Tetraedro, son también más difíciles de representar en imágenes, figuras e ilustraciones en
dos dimensiones, porque la mayoría de nuestras convenciones de dibujo se basa en
representar formas cúbicas.

22. Es evidente, con respecto a las afirmaciones de los matemáticos aquí citados, que sus
conclusiones no son muy acertadas, en vista de mis trabajos sobre “Prisma Combinatório” y
sobre todo los desarrollos contenidos en el intitulado “Distribución Tetraédrica de Coeficientes
Tetranomiales”
Por otra parte, con los valores de n , N.B.I. , N.B.E . , y N.B.U, anteriormente determinados en
forma general para cualquier tetraedro regular de caras equiláteras, y de N+1 niveles, puede
construirse fácilmente cualquier modelo pertinente, pero debemos dejar muy claro que dichos
modelos físicos, serían una consecuencia de la elaboración teórica previa sobre la distribución
espacial de los coeficientes de un polinomio elevado a la potencia m, y no a la inversa.
ANEXOS:
1.) Tablas de valores para Estructuras Isostáticas Tetraédricas
Tabla I NUMERO DE ELEMENTOS POR NIVEL DEL TETRAEDRO (desde N=0, hasta N=6)
N 0 1 2 3 4 5 6 (𝑆2)
n 1 3 6 10 15 21 28 (𝑆3)
N.B.I 0 0 3 9 18 30 45 (3𝑆3)
N.B.E. 0 3 6 9 12 15 18 ∆1= 3
N.B.U. 3 9 15 21 27 33 39 ∆1= 6
∆𝑖, representa la 𝑖 𝑎
diferencia constante de la sucesión respectiva
Los triángulos isósceles rectángulos ∆0, caras del tetraedro o pirámide de Pascal, responden a las
mismas fórmulas anteriores, ya que su estructura básica es la misma que los niveles del tetraedro
externo correspondiente para cada caso de m, no así su forma ni sus dimensiones.

23. Tabla II ELEMENTOS DE UN TETRAEDRO REGULAR EQUILATERO desde su vértice, hasta el nivel N,( de N=0, hasta N=6)
N 0 1 2 3 4 5 6 (𝑆2)
n 1 4 10 20 35 56 84 (𝑆4)
N.B.I. 0 0 3 12 30 60 105 (3𝑆4)
N.B.E. 0 3 9 18 30 45 63 ∆2= 3
N.B.U. 0 3 12 27 48 75 108 ∆2= 6
Tabla III ELEMENTOS ACUMULATIVOS DEL HIPERTETRAEDRO desde su vértice, hasta el nivel N
N 0 1 2 3 4 5 6 (𝑆2)
n 1 5 15 35 70 126 210 (𝑆5)
N.B.I. 0 0 3 15 45 105 210 (3𝑆5)
N.B.E. 0 3 12 30 60 105 168 ∆3= 3
N.B.U. 0 3 15 42 90 165 273 ∆3= 6
2.) Modelo de estructura isostática Tetraédrica
MODELO DE ESTRUCTURA ISOSTATICA DEL CONJUNTO TRIÁNGULOS DE PASCAL- PIRAMIDE DE
PASCAL Y TETRAEDRO SUMA CORRESPONDIENTE A LA DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DE LOS
COEFICIENTES DE UN BINOMIO, UN TRINOMIO Y UN TETRANOMIO ELEVADOS A LA m PARA EL
CASO m =3
Fig. 1 Vista Lateral derecha
N 3
n 20
N.B.I. 12
N.B.E. 18
N.B.U. 27

24. Para este pequeño modelo de tetraedro Principal regular equilátero, se necesitaron 57 barras
bipolares, y 20 rodamientos esféricos. Adicionalmente se utilizaron 36 barras bipolares y 10
rodamientos esféricos para los 3 triángulos de Pascal, caras de la pirámide de Pascal de vértice en
el origen
Fig.2 Vi9sta frontal
3.)Teorema Multinomial: Forma clásica Vs forma Newtoniana
Teorema multinomial o polinomio de Leibniz (1646-1716) o series de J.Bernoulli (1654-
1705)
Para cualquier número entero positivo r y cualquier número entero no negativo m, La fórmula
multinomial nos muestra cómo un polinomio se expande cuando se eleva a una potencia
arbitraria m.
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
= ∑ (
𝒎
𝒏 𝟏, 𝒏 𝟐, … , 𝒏 𝒓
)
𝒏 𝟏+𝒏 𝟐+⋯+𝒏 𝒓=𝒎
𝒙 𝟏
𝒏 𝟏
𝒙 𝟐
𝒏 𝟐
… 𝒙 𝒓
𝒏 𝒓
La suma se toma sobre todas las secuencias de índices enteros no negativos 𝑛𝑖 a través de 𝑛 𝑟 . La
suma de todos los 𝑛𝑖 siempre es igual a m, es decir, para cada término de la expansión, los
exponentes deben sumar m , análogamente, como en el teorema del binomio. Las cantidades de
la forma x0
que aparecen se considerarán igual a 1 (incluso cuando x es igual a cero).
Veamos primero la forma de resolver problemas relacionados con la aplicación de este
teorema, de la manera tradicional:
Ejemplo 1: Hallar el coeficiente de 𝑥5
en el desarrollo de (𝑥5
+ 𝑥 − 1)10
Solución: Debemos hallar ( a,c,b) ∈N que verifiquen que a+b+c=10, y además el término que
contiene a 𝑥5
, tiene la forma (
10
𝑎, 𝑏, 𝑐
) (𝑥5
) 𝑎
𝑥 𝑏(−1) 𝑐
.

25. Veremos que esto sólo se cumple si: a=1, b=0, y por lo tanto c=9, lo cual implica que el coeficiente
buscado es - (
10
1,0,9
) = -10. Y la otra opción que tenemos es si a=0, b=5, y c=5; en este caso, el
coeficiente buscado es − (
10
0,5,5
) = −252. Entonces, el coeficiente total de de 𝑥5
es -262.
Ejemplo 2: Hallar el coeficiente de 𝑥3
𝑦4
𝑧2
𝑤 en el desarrollo de (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤)10
y el coeficiente
de 𝑥6
𝑦4
en el mismo desarrollo.
Solución: Basta con aplicar el teorema multinomial directamente, así el coeficiente de 𝑥3
𝑦4
𝑧2
𝑤,
es igual a:
(
10
3,4,2,1
) =
10!
3! 4! 2! 1!
= 12600
Obsérvese que 𝑥6
𝑦4
, puede ser visto como 𝑥6
𝑦4
𝑧0
𝑤0
. Como 4 + 6 = 10, y 0!=1, tenemos
nuevamente del teorema multinomial, que el coeficiente de 𝑥6
𝑦4
, es igual a:
(
10
6,4,0,0
) =
10!
6! 4! 0! 0!
= 210
Ejemplo 3: Hallar el coeficiente de 𝑥4
𝑦4
en el desarrollo de (1 + 𝑥 + 𝑦)10
Solución: Aquí tenemos que tener cuidado porque como 4 + 4 ≠ 10, no tiene sentido hablar del
combinatorio multinomial (
10
4,4
). Por otra parte, para resolver este problema, basta aplicar el
teorema multinomial para el desarrollo de (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)10
con 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 𝑥 , 𝑥3 = 𝑦.Así el
coeficiente de 𝑥4
𝑦4
, tiene una expresión inicial igual al coeficiente de 𝑥1
2
𝑥2
4
𝑥3
4
en dicho desarrollo
.Entoncas, este coeficiente será igual a:
(
10
2,4,4
) =
10!
2! 4! 4!
= 3150
Ejemplo 4: Hallar el coeficiente de 𝑥7
en el desarrollo de (1 + 3𝑥 + 𝑥2)4
Solución: Sean 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3𝑥, 𝑥3 = 𝑥2
. Estamos considerando el desarrollo de (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)4
.
Pero por el teorema multinomial, tal desarrollo es una suma de términos de la forma:
(
4
𝑎, 𝑏, 𝑐
) 𝑥1
𝑎
𝑥2
𝑏
𝑥3
𝑐
= (
4
𝑎, 𝑏, 𝑐
) 1 𝑎
(3𝑥) 𝑏(𝑥2) 𝑐
= (
4
𝑎, 𝑏, 𝑐
) 3 𝑏
𝑥 𝑏+2𝑐
Donde 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4
Para calcular el coeficiente de 𝑥7
, debemos primero calcular para cuales valores enteros no
negativos de 𝑎, 𝑏, 𝑐, el exponente de x en esta última expresión, será igual a 7. Queda claro que
esto solo es posible si 𝑏 + 2𝑐 = 7. Pero como 𝑏 + 𝑐 ≤ 4, es fácil ver que la única posibilidad es
que 𝑏 = 1, 𝑦 𝑐 = 3 , en este caso (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (0,1,3), y para esos valores el coeficiente de 𝑥7
, será
igual a: (
4
0,1,3
) 31
=
4!
3!
. 3 = 12
Ejemplo 5: Hallar el coeficiente de 𝑥4
en el desarrollo de (1 + 3𝑥 − 2𝑥2)10
Solución: Por el mismo motivo del ejemplo anterior, cada término de ese desarrollo es de la
forma: 1 𝑎
(3𝑥) 𝑏(−2𝑥2) 𝑐
= 3 𝑏(−2) 𝑐
𝑥 𝑏+2𝑐
, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐, son enteros no negativos tales que
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 10. Como queremos el coeficiente de 𝑥4
, debemos hacer nuevamente 𝑏 + 2𝑐 = 4.
En este caso tenemos tres posibilidades para (𝑎, 𝑏, 𝑐), que hemos organizado en la tabla siguiente;
ellas pueden ser obtenidas analizando los valores positivos para 𝑐, de donde obtenemos 𝑏, y
enseguida 𝑎 y los demás valores de la tabla.

26. (1) (3x) (-2𝑥2
) (
10
𝑎, 𝑏, 𝑐
) . 1 𝑎(3𝑥) 𝑏
(−2𝑥2
) 𝑐
𝑎 𝑏 𝑐
8 0 2
7 2 1
6 4 0
45 . 4𝑥4
= 180𝑥4
360 . (−18)𝑥4
= −6480𝑥4
210. 81𝑥4
= 17010𝑥4
Los tres términos incluidos en la tabla, hacen parte del desarrollo de (1 + 3𝑥 + 2𝑥2)10
. Por lo
tanto el coeficiente de 𝑥4
por reducción de términos semejantes, se obtiene sumando los
coeficientes de tales términos. Así resulta que el coeficiente buscado es 180 − 6480 + 17010 =
10710
Ejemplo 6: Hallar el coeficiente de 𝑥6
en el desarrollo de (1 + 𝑥 + 𝑥3
+ 𝑥5)21
Solución : El término general del desarrollo de este polinomio vendrá dado por:
(
21
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
) 1 𝑎
𝑥 𝑏(𝑥3) 𝑐(𝑥5) 𝑑
= (
21
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
) 𝑥 𝑏+3𝑐+5𝑑
Donde (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) deben cumplir:
{
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 21
𝑏 + 3𝑐 + 5𝑑 = 6
Organizamos los posibles valores positivos para (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) en la siguiente tabla, donde calculamos
también el valor del término obtenido a partir de cada grupo de valores
1 x 𝑥3
𝑥5
(
21
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
) . 𝑥 𝑏+3𝑐+5𝑑
𝑎 𝑏 𝑐 d
19 1 0 1
19 0 2 0
17 3 1 0
15 6 0 0
420𝑥6
210𝑥6
23940𝑥6
54264𝑥6
Luego el coeficiente de 𝑥6
, en el desarrollo del polinomio (1 + 𝑥 + 𝑥3
+ 𝑥5)21
, es:
420 + 210 + 23940 + 54264 = 78834
Veamos cómo sería la solución de estos mismos ejemplos, pero utilizando la forma Newtoniana
del Teorema Multinomial:
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
= ∑
(
𝒎
𝒏
𝒊
𝒋
⋮
𝒑
𝒒 )
𝒙 𝟏
𝒎−𝒏
𝒙 𝟐
𝒏−𝒊
…𝒏=𝟎,𝟏,..,𝒎
𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏
𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊
⋮
𝒑=𝟎,𝟏,…,𝒐
𝒒=𝟎,𝟏,…,𝒑
𝒙 𝒓−𝟏
𝒑−𝒒
𝒙 𝒓
𝒒

27. Donde el coeficiente multinomial consta de igual número de términos que los del polinomio (r)
En el ejemplo 1, Hallar el coeficiente de 𝑥5
en el desarrollo de (𝑥5
+ 𝑥 − 1)10
la expresión del teorema, se reduce a:
(𝑥5
+ 𝑥 − 1)10
= ∑ (
10
𝑛
𝑖
) (𝑥5
)10−𝑛
𝑥 𝑛−𝑖
(−1)𝑖
𝑛=0,1,…,10
𝑖=0,1,…,𝑛
Hay dos soluciones posibles: para obtener la primera, hacemos 10 − 𝑛 = 1, y 𝑛 − 𝑖 = 0
De donde resultan: 𝑛 = 9 , 𝑒 𝑖 = 9,entonces el coeficiente trinomial pedido será:
− (
10
9
9
) = − (
10
9
) (
9
9
) = −10
La segunda opción, corresponde a : 10 − 𝑛 = 0, 𝑦 𝑛 − 𝑖 = 5, de donde resultan: 𝑛 = 10, 𝑒 𝑖 = 5,
que corresponden al coeficiente trinomial:
− (
10
10
5
) = − (
10
10
) (
10
5
) = −1. 252 = −252 , entonces el coeficiente total de 𝑥5
, será la suma
algebraica de ambos casos: −10 − 252 = −262
En el Ejemplo 2, Hallar el coeficiente de 𝑥3
𝑦4
𝑧2
𝑤 en el desarrollo de (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤)10
y el
coeficiente de 𝑥6
𝑦4
en el mismo desarrollo.
La expresión correspondiente será:
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤)10
= ∑ (
10
𝑛
𝑖
𝑗
)
𝑛=0,1,…,10
𝑖=0,1,…,𝑛
𝑗=0,1,…,𝑖
𝑥10−𝑛
𝑦 𝑛−𝑖
𝑧 𝑖−𝑗
𝑤 𝑗
En el primer caso, para obtener el coeficiente de 𝑥3
𝑦4
𝑧2
𝑤 deberemos hacer:
10 − 𝑛 = 3
𝑛 − 𝑖 = 4
𝑖 − 𝑗 = 2
𝑗 = 1
De este último valor, se deduce que 𝑖 = 3 , 𝑛 = 7 , son la solución buscada, y el coeficiente
tetranomial correspondiente será: (
10
7
3
1
) = (
10
7
) (
7
3
) (
3
1
) = 120. 35. 3 = 12600
Para el segundo caso, para obtener el coeficiente de 𝑥6
𝑦4
, deberemos hacer:
10 − 𝑛 = 6, 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 4
𝑛 − 𝑖 = 4, 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑦𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎: 𝑖 = 0
Luego de 𝑖 − 𝑗 = 0, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑗 = 0
Entonces el coeficiente tetranomial correspondiente será:
(
10
4
0
0
) = (
10
4
) (
4
0
) (
0
0
) = 210 .1 . 1 = 210

28. En el ejemplo 3 Hallar el coeficiente de 𝑥4
𝑦4
en el desarrollo de (1 + 𝑥 + 𝑦)10
En este caso la expresión newtoniana del teorema será:
(1 + 𝑥 + 𝑦)10
= ∑ (
10
𝑛
𝑖
) (1)10−𝑛
𝑥 𝑛−𝑖
𝑦 𝑖
𝑛=0,1,…,10
𝑖=0,1,…,𝑛
En este caso, deberemos hacer: 𝑛 − 𝑖 = 4, 𝑒 𝑖 = 4, de aquí se deduce que: 𝑛 = 8, y nuestro
coeficiente trinomial será:
(
10
8
4
) = (
10
8
) (
8
4
) = 45. 70 = 3150
En el ejemplo 4 Hallar el coeficiente de 𝑥7
en el desarrollo de (1 + 3𝑥 + 𝑥2)4
La expresión del teorema será:
(1 + 3𝑥 + 𝑥2)4
= ∑ (
4
𝑛
𝑖
) (1)4−𝑛
(3𝑥) 𝑛−𝑖(𝑥2)𝑖
𝑛=0,1,…,4
𝑖=0,1,…,𝑛
La única solución posible para las tres condiciones involucradas
𝑛 − 𝑖 + 2𝑖 = 𝑛 + 𝑖 = 7, 𝑛 ≤ 4 , 𝑦 𝑖 ≤ 𝑛 es :
𝑖 = 3, 𝑦 𝑛 = 4, entonces el coeficiente de 𝑥7
, vendrá dado por:
3. (
4
4
3
) = 3. (
4
4
) (
4
3
) = 3.1.4 = 12
En el ejemplo 5 Hallar el coeficiente de 𝑥4
en el desarrollo de (1 + 3𝑥 − 2𝑥2)10
En este caso la forma newtoniana del teorema será:
(1 + 3𝑥 − 2𝑥2)10
= ∑ (
10
𝑛
𝑖
) (1)10−𝑛
(3𝑥) 𝑛−𝑖(−2𝑥2)𝑖
𝑛=0,1,…,10
𝑖=0,1,…,𝑛
Las condiciones en este caso serán: 𝑛 − 𝑖 + 2𝑖 = 𝑛 + 𝑖 = 4, que con 𝑖 ≤ 𝑛 sólo permite las
siguientes posibilidades:
𝑛 𝑖
4 0
3 1
2 2
Como cada uno de los combinatorio trinomiales correspondientes, es un coeficiente de 𝑥4
,en el
desarrollo de (1 + 3𝑥 − 2𝑥2)10
el coeficiente total, será la suma algebraica de los tres términos
que lo contienen .
34
(
10
4
0
) − 32
.2 (
10
3
1
) + 30
. 22
(
10
2
2
) = 81. (
10
4
) (
4
0
) − 18. (
10
3
) (
3
1
) + 4 (
10
2
) (
2
2
)
= 81.210.1 − 18.120.3 + 4.45.1 = 17010 − 6480 + 180 = 10710
En el ejemplo 6 Hallar el coeficiente de 𝑥6
en el desarrollo de (1 + 𝑥 + 𝑥3
+ 𝑥5)21

29. En este caso la expresión newtoniana del teorema será:
(1 + 𝑥 + 𝑥3
+ 𝑥5)21
= ∑ (
21
𝑛
𝑖
𝑗
)
𝑛=0,1,…,21
𝑖=0,1,…,𝑛
𝑗=0,1,…,𝑖
121−𝑛
𝑥 𝑛−𝑖(𝑥3)𝑖−𝑗(𝑥5) 𝑗
Las condiciones en este caso serán:
𝑛 − 𝑖 + 3(𝑖 − 𝑗) + 5𝑗 = 6, que equivale a : 𝑛 + 2(𝑖 + 𝑗) = 6, de donde deducimos que
𝑛 = 2[3 − (𝑖 + 𝑗)], es decir que ambos términos en 𝑛 + 2(𝑖 + 𝑗) = 6 son pares. Las posibilidades
entonces son:
𝑛 2(𝑖 + 𝑗) 𝑖 + 𝑗
0 6 3
2 4 2
4 2 1
6 0 0
Pero tomando en cuenta que 𝑛 ≥ 𝑖 𝑒 𝑖 ≥ 𝑗 , sólo serán posibles las soluciones siguientes:
𝑛 𝑖 𝑗 𝑖 + 𝑗
2 1 1 2
2 2 0 2
4 1 0 1
6 0 0 0
Que responden a los coeficientes tetranomiales siguientes:
(
21
2
1
1
) = (
21
2
) (
2
1
) (
1
1
) = 210. 2. 1 = 420
(
21
2
2
0
) = (
21
2
) (
2
2
) (
2
0
) = 210.1.1 = 210
(
21
4
1
0
) = (
21
4
) (
4
1
) (
1
0
) = 5985.4.1 = 23940
(
21
6
0
0
) = (
21
6
) (
6
0
) (
0
0
) = 54264.1.1 = 54264
El coeficiente total de 𝑥6
, será la suma de estos cuatro valores:
420 + 210 + 23940 + 54264 = 78834

30. Como un último ejemplo proponemos la utilización directa del teorema en su forma newtoniana,
para obtener el desarrollo de un polinomio elevado a la m, tal como: (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝟓
. La
expresión correspondiente del teorema, será:
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝟓
= ∑ (
𝟓
𝒏
𝒊
) 𝒙 𝟏
𝟓−𝒏
𝒙 𝟐
𝒏−𝒊
𝒙 𝟑
𝒊
𝒏=𝟎,𝟏,…,𝟓
𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏
Que podemos desarrollar de manera inmediata como:
= (
5
0
0
) 𝑥1
5
𝑥2
0
𝑥3
0
+ (
5
1
0
) 𝑥1
4
𝑥2
1
𝑥3
0
+ (
5
1
1
) 𝑥1
4
𝑥2
0
𝑥3
1
+ (
5
2
0
) 𝑥1
3
𝑥2
2
𝑥3
0
+ (
5
2
1
) 𝑥1
3
𝑥2
1
𝑥3
1
+ (
5
2
2
) 𝑥1
3
𝑥2
0
𝑥3
2
+ (
5
3
0
) 𝑥1
2
𝑥2
3
𝑥2
0
+ (
5
3
1
) 𝑥1
2
𝑥2
2
𝑥3
1
+ (
5
3
2
) 𝑥1
2
𝑥2
1
𝑥3
2
+ (
5
3
3
) 𝑥1
2
𝑥2
0
𝑥3
3
+ (
5
4
0
) 𝑥1
1
𝑥2
4
𝑥3
0
+ (
5
4
1
) 𝑥1
1
𝑥2
3
𝑥3
1
+ (
5
4
2
) 𝑥1
1
𝑥2
2
𝑥3
2
+ (
5
4
3
) 𝑥1
1
𝑥2
1
𝑥3
3
+ (
5
4
4
) 𝑥1
1
𝑥2
0
𝑥3
4
+ (
5
5
0
) 𝑥1
0
𝑥2
5
𝑥3
0
+ (
5
5
1
) 𝑥1
0
𝑥2
4
𝑥3
1
+ (
5
5
2
) 𝑥1
0
𝑥2
3
𝑥3
2
+ (
5
5
3
) 𝑥1
0
𝑥2
2
𝑥3
3
+ (
5
5
4
) 𝑥1
0
𝑥2
1
𝑥3
4
+ (
5
5
5
) 𝑥1
0
𝑥2
0
𝑥3
5
= 𝑥1
5
+ 5𝑥1
4
𝑥2 + 5𝑥1
4
𝑥3 + 10𝑥1
3
𝑥2
2
+ 20𝑥1
3
𝑥2 𝑥3 + 10𝑥1
3
𝑥3
2
+ 10𝑥1
2
𝑥2
3
+ 30𝑥1
2
𝑥2
2
𝑥3 + 30𝑥1
2
𝑥2 𝑥3
2
+ 10𝑥1
2
𝑥3
3
+ 5𝑥1 𝑥2
4
+ 20𝑥1 𝑥2
3
𝑥3 + 30𝑥1 𝑥2
2
𝑥3
2
+ 20𝑥1 𝑥2 𝑥3
3
+ 5𝑥1 𝑥3
4
+ 𝑥2
5
+ 5𝑥2
4
𝑥3 + 10𝑥2
3
𝑥3
2
+ 10𝑥2
2
𝑥3
3
+ 5𝑥2 𝑥3
4
+ 𝑥3
5
A nuestro juicio, La “forma newtoniana” del Teorema Multinomial, además de facilitar la
obtención del desarrollo de un polinomio elevado a una potencia m, de una manera más
explícita y sistemática, que la forma clásica del mismo, también permite la solución de
problemas relacionados de una forma más coherente y elegante.
Bibliografía:
Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997
Prisma Combinatorio 1997
Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016
Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016
Distribución espacial de Coeficientes de un polinomio elevado a la m: Resumen 2016
Enrique R.Acosta R. Enero 2017