El documento describe el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método involucra transformar la matriz de coeficientes a través de operaciones elementales hasta obtener la matriz identidad. También puede usarse para encontrar la inversa de una matriz aplicando el método a una matriz ampliada con la matriz identidad. El documento explica las propiedades y pasos del método a través de ejemplos.

1. Inicio del Tema:
MÉTODO DE
GAUSS-JORDAN
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2. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
GAUSS, CARL FRIEDRICH
En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así
debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo
numérico para determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de
ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se
obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado
a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita
menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz
de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de
Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta
obtener una matriz diagonal unitaria, también llamada Matriz
Identidad.

3. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
El método de Gauss-Jordan, también conocido como método de eliminación simple de Gauss, es
una de las primeras técnicas empleadas por actuarios, matemáticos e ingenieros para la
resolución de sistemas de ecuaciones lineales, además de la solución, también nos permite
hallar la matriz inversa de la matriz de coeficientes del sistema si así se desea.
En forma matricial, un sistema de ecuaciones simultaneas lineales se expresa de la forma:
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+





2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11














m
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a






2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
Matriz aumentada
𝑨 𝑿 = 𝑩

4. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Si se desea obtener la matriz inversa del sistema, entonces ampliamos la matriz de
coeficientes, agregando a su derecha, una matriz identidad 𝑰 del mismo orden del sistema.
Esto es:
El método consiste, en pasar la matriz identidad 𝑰 al lado izquierdo donde está la matriz de
coeficientes 𝑨 , por medio de las operaciones elementales, al hacerlo, obtendremos la
matriz inversa 𝑨 −𝟏
donde estaba 𝑰 y la solución del sistema donde estaba 𝑩 . Esto es:
𝑰 | 𝑨 −𝟏
| 𝑿
Si no se desea obtener la matriz inversa del sistema, entonces NO ampliamos la matriz de
coeficientes, NO agregamos la matriz identidad 𝑰 . En este caso, aplicamos el método
directamente.
Todo lo anterior, se ilustrará con los ejemplos que a continuación veremos.
Matriz ampliada
𝑨 | 𝑰 𝑿 | 𝑩

5. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Llamamos operaciones elementales a todas aquéllas que transformen el sistema en uno
equivalente. Estas operaciones elementales son:
⇨Multiplicar una fila (una ecuación) por un número distinto de 0 y Sumarla con otra fila
otra, no altera el sistema.
⇨Intercambiar renglones o filas no altera el sistema.
⇨Cambiar el orden de las columnas (de las incógnitas) no altera el sistema.
Aplicamos alguna o todas de estas transformaciones, tantas veces como sea necesario,
hasta que obtengamos la matriz identidad.

6. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Las principales propiedades del método son las siguientes:
1) El método se aplica sobre la diagonal principal.
2) El renglón del pivote no cambia.
3) Si en el renglón del pivote hay valores que son 0s, entonces no alterarán los elementos
de sus columnas correspondientes.
4) Las columnas ya pivoteadas no se alteran.
5) Si el elemento de la diagonal principal con el que vamos a trabajar es 0 (cero), entonces
debemos intercambiar renglones o columnas sin que el resultado se altere.
6) Si el elemento de la diagonal principal con el que vamos a trabajar no es +1, entonces
dividiremos todo el renglón entre el valor con su signo, para obtener el pivote +1.