Análisis numérico

1. Ecuaciones lineales y
como resolverlas
Autor: Rubén Pérez
Análisis numérico
Unidad III

2. Uno de los métodos aplicables es el método
de eliminación Gaussiana
 Este método consiste en escalonar la matriz
aumentada del sistema: para obtener un
sistema equivalente : donde la notación se usa
simplemente para denotar que el elemento
cambió. Se despejan las incógnitas comenzando
con la última ecuación y hacia arriba.

3.  Aquí podemos observar un ejercicio matriz
aplicando eliminación Gaussiana

4. Método de Gauss Jordán
 El proceso de eliminación de Gauss - Jordán
consiste en realizar transformaciones elementales
en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en
un sistema diagonal.
 El número de operaciones elementales de este
método, es superior al del método de Gauss
(alrededor de un 50% más).

5.  Ejemplo de Gauss Jordán

6. Descomposición LU
 Es una forma de factorización de una matriz como el
producto de una matriz triangular inferior y una superior.
Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse
en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno
o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a
factorizar es cero, es necesario pre multiplicar la matriz
por una o varias matrices elementales de permutación.

7.  Ejemplo

8. Otros métodos utilizados que podemos
mencionar Método Cholesky
 Esta toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky, quien
encontró que una matriz simétrica definida positiva puede
ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y
la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular
inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva
definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con
entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones
matriciales y se deriva de la factorización LU con una pequeña
variación.

9. Descomposición QR
 la descomposición o factorización QR de una
matriz es una descomposición de la misma como
producto de una matriz ortogonal por
una triangular superior. La descomposición QR es
la base del algoritmo QR utilizado para el cálculo
de los vectores y valores propios de una matriz.

10. Método Jacobi
 El Método de Jacobi transforma una matriz
simétrica en una matriz diagonal al eliminar de
forma simétrica los elementos que están fuera de la
diagonal. Desafortunadamente, el método requiere
un número infinito de operaciones, ya que la
eliminación de cada elemento no cero a menudo
crea un nuevo valor no cero en el elemento cero
anterior.

11. Metodo de Gauss-Seidel
 Es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. es similar al método de Jacobi. Aunque
este método puede aplicarse a cualquier sistema de
ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada,
naturalmente pues para que exista solución única, el sistema
debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes
con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia
del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente
dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.