Pedro Guédez SAIA A Análisis Numérico

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universitaria de Ciencias y Tecnología
Universidad Fermín Toro
Solución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Elaborado por:
Pedro M. Guédez 19.850.475
SAIA A

2. En esta unidad estudiaremos diversos métodos numéricos para la resolución de
sistemas de ecuaciones; entre ellos tenemos:
• Método de Eliminación Gaussiana
• Método de Gauss-Jordan
• Descomposición LU
• Factorización De Cholesky
• Factorización de QR, Householder
Así como también se estudiará la solución de sistemas lineales utilizando métodos
iterativos, tales como:
• Método De Gauss Seidel
• Método de Jacobi

3. Método de Gauss:
Consiste en transformar el sistema inicial en un sistema triangular superior, las
matrices A y B tienen el mismo determinante.
Uno de los problemas radica en que al dividir por un número pequeño en el pivote
un error de redondeo pudiese no ser del todo preciso.
Consiste en eliminar variables en el sistema de ecuaciones hasta que sólo quede una
de ellas, luego por sustitución, encontrar el valor de las demás.
Método de Gauss-Jordan:
Consiste en transformar el sistema inicial en un sistema diagonal. Este método es
superior al método de Gauss cerca de un 50%.
El número de operaciones realizadas es menor, esto implica que sólo haríamos un
proceso de eliminación en la matriz y la resolución del sistema sería muy fácil.

4. Descomposición LU:
Consiste en factorizar una matriz inicial en dos: una matriz triangular inferior, y una
matriz triangular superior, en el cual en el paso de eliminación se utilizan
exclusivamente operaciones sobre los coeficientes de dicha matriz.
Factorización De Cholesky:
Una matriz simétrica es aquella donde se da que la matriz inicial es igual a su
traspuesta. Este tipo de sistemas computacionalmente sólo requieren la mitad de
memoria. No requiere de pivoteo.
Se basa en demostrar que si la matriz A es simétrica y positiva, en lugar de factorizar
como en el método anterior, se factoriza como el producto de una matriz triangular
inferior y la traspuesta de ésta.
Factorización QR, Householder:
Consiste en descomponer la matriz inicial en el producto de dos matrices:
Una matriz ortogonal.
Una matriz triangular superior.

5. Métodos Iterativos
Método de Gauss-Seidel:
Utiliza valores iniciales para luego iterar y obtener estimaciones de la solución.
Cada fórmula para hallar xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada
una de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cada xi de cero.
En este método deben llevarse a cabo los cálculos por orden ya que el nuevo valor
de xi depende de los valores actualizados.
La desventaja de este método es que no siempre converge a la solución exacta o lo
hace de manera muy lenta.
Método de Jacobi:
En este método transformamos una matriz simétrica en una matriz diagonal ya que
se eliminan de forma simétrica los elementos que se encuentren fuera de la diagonal.
Este método requiere un número infinito de operaciones. Si la matriz A es
diagonalmente dominante la sucesión que resulta de esta iteración converge a la
solución Ax = B para cualquier X0.