Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de eliminación gaussiana, el método de Gauss-Jordan, y el método de descomposición LU. El método de eliminación gaussiana transforma el sistema en una forma triangular superior resolviéndolo por sustitución hacia atrás. El método de Gauss-Jordan transforma el sistema en una forma diagonal. El método de descomposición LU factoriza la matriz en el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Se proveen ejemplos de cada método.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACÁDEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE COMPUTACION
Análisis numérico
Alumno:
Yosmer Graterol
C.I:16014670

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Estos sistemas están formados por tres métodos, Métodos De Eliminación Gaussiana,
Método de Gauss-Jordan y Método de Descomposición LU
-El método de eliminación gaussiana se define como el
proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar transformaciones
elementales en el sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de columnas,
multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o
columnas), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que
resolveremos por remonte.
-El método de Gauss-Jordan se define como el proceso de eliminación de Gauss -
Jordán consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema
inicial, destinadas a transformarlo en un sistema
diagonal. El número de operaciones elementales de este método, es superior al del
método de Gauss (alrededor de un 50% más).
En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un proceso de eliminación en la
matriz y la resolución de un sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que
se suele usar Gauss - Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la
inversa de A, es calcular N sistemas con la misma matriz.
-El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se
puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz
triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones
sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes
y de manera eficiente.
LU tiene sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las
matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1,
formalmente esto se refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los valores de la
diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se refiere a
la Descomposición de Crout.
Se muestran ejemplos de los métodos antes mencionados:
Ejemplo Gaussiana:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de eliminación
Gaussiana (simple).
Solución. Escalonamos la matriz aumentada del sistema:

3. Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente:
Por lo tanto, el sistema equivale a:
De la última ecuación tenemos; X3 =10; sustituimos este valor en la ecuación de
arriba para obtener X2 = -18; sustituimos estos valores en la ecuación de arriba para
obtener X1 = 7.
Por lo tanto, la solución del sistema es:
Ejemplo Gauss-Jordan:
Dividiendo ahora la segunda fila por 2 y la tercera fila por –3, obtenemos:

4. Hemos llegado a la forma de Gauss Jordan y por lo tanto al sistema de ecuaciones
equivalente:
x1 = - 5/3
x2 + ½ x 4 = 1/2
x3 - x4 = -2/3, de donde
x1 = - 5/3
x2 = (1/2) - ½ x 4
x3 = ( -2/3 ) + x4,
del cual se deduce fácilmente que la variable x 4 se puede tomar como variable
independiente y que por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Este
método denominado método de Gauss Jordan, en el cual los pivotes se convierten a 1,
en alguna parte del proceso y se utilizan para lograr ceros en toda la columna, excepto
en el punto pivote requiere cálculos adicionales y a no ser que sea indispensable llegar a
ésta forma por alguna razón especial, se utiliza poco por la razón citada.