Primera parte del Tema 3: Ecuaciones diferenciales lineales de orden n.

1. Tema 3: Ecuaciones
diferenciales lineales de
orden n. (Parte I)
PROFA. NATHALY GUANDA

2. Recordemos: El PVI asociado a una ecuación diferencial lineal de orden n
es de la forma:
(1)
con k=0,…,n y g son funciones continuas en
Se dice que la ED (1) de orden n es homogéneasi Si
En (1) se dice que la ED lineal de orden n es NO homogénea.

3. Ejemplos de ecuaciones de orden superior a 1:
1) y'' - xy = 0 Ecuación de orden 2 homogénea. Ecuaciónde Airy
2) y''(t) + 4sen(y(t)) = 0. Ecuación no lineal de orden 2.
3) Ecuación diferencial lineal de orden 3
no homogénea. Ecuaciónde Euler .
4) Ecuación diferencial lineal de orden 2
homogénea. Ecuaciónde Bessel.
Observación: Una ecuación diferencial lineal de orden n homogénea
siempre tiene la solución trivial
Ejemplo: Las funciones y son soluciones de la
ecuación diferencial de orden 3 homogénea
para
Por el principio de superposición,
Tambiénes solución de dicha ecuación en (0,∞).

4. Definición: Sean n funciones de variablereal definidas en
Una combinación lineal de ellas vienedada por
constantes,
Se dice que las funciones son linealmente
independientes sobre (α, β) si sólo cuando
En caso contrario, se dice que las funciones son linealmente
dependientes.
Nota: Para n=2, y son linealmente dependientes si es múltiplo
de o viceversa.
En la práctica, ¿Cómo determinar si un conjunto de n funciones es
linealmente independientes o linealmentedependientes en ?

5. Se le asignan n valores a la variableindependiente en la siguienteidentidad
Sean , obtenemos el sistemahomogéneode n
ecuaciones
=
A
Si det(A)=0, el sistematiene infinitas soluciones y por lo tanto { } es
linealmente dependiente. Si det(A)≠0, el sistematiene por soluciónúnica a
y por lo tanto { } es linealemente independiente.
Ejemplo: Muestre que el conjunto es linealmente independiente
en .

6. Combinaciónlineal
Asignamos 3 valores arbitrarios de a la variable independiente x
Si x = -1, se tiene
Si x = 1, se tiene
Si x = 2, se tiene , ahora calculando el determinante,
tenemos:
= 4 – 2 + 4 – 1 + 2 – 1 = 6 ≠ 0
Por lo tanto es linealmente independienteen
Definición: El Wronskiano de un conjunto de n funciones { }
definidas sobre se define como

7. Teorema: Si { } es un conjunto de funciones linealmente
dependientes en entonces
Corolario: Si existe tal que entonces el
conjunto { } es linealmente independienteen
Sea ; (2)
Todo conjunto de n soluciones linealmente
independientes de (2) para se denomina conjunto fundamental
de soluciones de (2) en (α,β).
Solución General de las ED de orden n homogéneas (2):
{ } conjunto fundamental de soluciones de (2) en (α,β),
entonces
Con constantes es la solución general de (2).

8. Ejemplo: Halle la solucióngeneral de y''' + y' = 0 sabiendo que ,
, son tres soluciones de dicha ecuación.
Por lo tanto, {1, Cos(x), Sin(x)} es linealmente independiente en y es un
conjunto fundamental de soluciones de y''' + y' = 0.
Solución General:

9. BIBLIOGRAFÍA
❖ Zill, D. G. A First course in differential equations with applications. Editorial
Aaa.
❖ Brown, M. A brief course in ordinary differential equations with
applications. Editorial Aaa.
❖ Polking, Boggess and Arnold. Differential equations with boundary value
problems. University of California, Los Angeles Edition.
❖ EspinosaH. Ernesto J, Canals N. Ignacio, Muñoz M. Ismael, Pérez F.
Rafael, Prado P. Carlos D, Santiago Rubén D, Ulín J. Carlos A. Ecuaciones
diferenciales ordinarias. Introducción. Editorial Reverté UAM, 2010.