Breve clase sobre la teoría general de EDO

1. Tema 2: Introducción a la
teoría general de EDO
Profa. Nathaly Guanda

2. Proposición 1: El PVI
, (1)
es equivalente a la ecuación integral
(2)
Es decir, y(x) es solución del PVI sí y sólo si y(x) es solución de (2).

3. Demostración:
Si la función y es solución de (1) entonces, por el Teorema Fundamental del
Cálculo (TFC),
Hemos obtenido (2).
Si y es solución de (2) entonces, derivando (2) respecto a x, obtenemos
lo cual nos dice que y satisface la ED dada en (1).
Evaluando o en (2) obtenemos lo cual nos resulta ser la
Condición inicial de (1).

4. Observación: De la ecuación integral (2) tenemos que el PVI tendrá solución si f es
una función continua en el dominio de definición del PVI dado que contenga el dato
inicial .
La ecuación integral (2) nos ayudará a construir una sucesión de funciones
tal que, ésta, converja a la solución y(x) del PVI.
Dicha sucesión la construimos como sigue:

5. Luego, .
Las funciones son llamadas aproximaciones sucesivas o iterados de Picard.
Ejemplo: Calcule los iterados de Picard para el PVI
Bien, tenemos que y f(x,y) = y entonces sustituyendo en los iterados de
Picard tenemos:

6. Luego tenemos que,
Así, la solución del PVI dado es
Definición 1: Sea f:[a,b]x[c,d] R una función escalar. Se dice que f satisface la
condición de Lipschitz con respecto a su segunda variable y si existe una constante L>0
tal que
(3)
para todo

7. En tal caso, L es llamada constante de Lipschitz de la función.
Ejemplo: Veamos si la función para satisface la
condición de Lipschitz
Sean
de donde f es Lipschitz en respecto a y y L=4.
Teorema 1: Sean y .s . Si las funciones f y son continuas en D y
además, existe K>0 tal que
entonces f satisface la condición de Lipschitz en D respecto a la variable y, cuya
constante de Lipschitz es L ≤ K.

8. Demostración:
Sean . Para x fijo, el teorema del valor medio aplicado a
f respecto a su segunda variable nos asegura que existe tal que
De donde,
Luego, se desprende el resultado del teorema.
Ejemplo:
Las funciones f y son continuas en D. Además,
entonces f es Lipschitz en D respecto a su segunda variable.

9. Teorema de Existencia y Unicidad:
Consideremos el PVI:
(4)
donde f es continua en el rectángulo
con a,b > 0, y f satisface allí la condición de Lipschitz con respecto a y.
Entonces, existe una única solución de (4), definida para
tal que donde H=min{a,b/M} con

10. Bibliografía
❖ Zill, D. G. A First course in differential equations with applications. Editorial
Aaa.
❖ Brown, M. A brief course in ordinary differential equations with applications.
Editorial Aaa.
❖ Polking, Boggess and Arnold. Differential equations with boundary value
problems. University of California, Los Angeles Edition.