Resolución de ecuaciones cilíndricas Materia: Física

1. Nombre: María Susana Gualpa
Materia: Física Clásica
Curso: Primero “A”
Tema: Ecuaciones del movimiento en coordenadas
cilíndricas
Docente: Ing Diego Proaño
Periodo: Mayo 2020-Septiembre 2020

2. Ecuaciones del
movimiento en
coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de
coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide
la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el
sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres
dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por z
haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (𝑟, 𝜃, 𝑧)
Cuando todas las fuerzas actúan sobre una partícula
son resueltas en componentes cilíndricas, es decir, a
lo largo de las direcciones de los vectores unitarios
𝑢 𝑟, 𝑢 𝜃,𝑢 𝑧,la ecuación del movimiento que se expresa
como.
𝐹 =ma
𝐹𝑟 𝑢 𝑟 + 𝐹𝜃 𝑢 𝜃 + 𝐹𝑧 𝑢 𝑧 = 𝑚𝑎 𝑟 𝑢 𝑟
+ 𝑚𝑎 𝜃 𝑢 𝜃 +𝑚𝑎 𝑧 𝑢 𝑧

3. Modelo Matemático
Generalmente las ecuaciones vienen dadas en coordenadas polares
𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽
Desarrollo
𝑢 𝑟 = cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗
𝑢 𝜃= − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗
𝑑𝑢 𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗
𝑢 𝑟= sin 𝜃 𝜃i + cos 𝜃 𝜃j
= 𝜃 − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗
𝑢 𝑟= 𝜃 𝑢 𝜃
𝑑𝑢 𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗
𝑢 𝜃= - cos 𝜃 𝜃𝑖- sin 𝜃 𝜃j
= 𝜃 cos 𝜃 𝑖 − sin 𝜃 𝑗
𝑢 𝜃=− 𝜃 𝑢 𝑟

4. 𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑 𝑟𝑢 𝑟
𝑑𝑡
+
𝑑 𝑧𝑢 𝑧
𝑑𝑡
Ecuación de la velocidad
𝑣= 𝑟𝑢 𝑟 + 𝑟 𝑢 𝑟+ 𝑧𝑢 𝑧+𝑧 𝑢 𝑧
Ecuación de la aceleración
𝑎=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑟𝑢 𝑟 + 𝜃𝑟𝑢 𝜃 + 𝑧𝑢 𝑧
𝑎= 𝑟𝑢 𝑟 + 𝑟 𝑢 𝑟 + 𝜃𝑟𝑢 𝜃 + 𝜃 𝑟𝑢 𝜃 + 𝜃𝑟 𝑢 𝜃 + 𝑧𝑢 𝑧
Ecuación de la posición
𝑟=𝑟𝑢 𝑟 + 𝑧𝑢 𝑧
𝑣= 𝑟𝑢 𝑟+ 𝜃𝑟𝑢 𝜃+ 𝑧𝑢 𝑧
𝑎= 𝑟 − 𝜃2
𝑢 𝑟 + 𝜃𝑟 + 2 𝜃 𝑟 𝑢 𝜃 + 𝑧𝑢 𝑧

5. En la dirección “𝑟" : 𝐹𝑟 =𝑚𝑎 𝑟
En la dirección: z": 𝐹𝑧=𝑚𝑎 𝑧
En la dirección "θ": 𝐹𝜃=𝑚𝑎 𝜃
𝑎 𝑟= 𝑟-𝑟 𝜃
2
, 𝑎 𝜃= 𝑟 𝜃+2 𝑟 𝜃
La ecuación escalares de
movimiento, en
coordenadas cilíndricas
𝑎 𝑧= 𝑧

6. Fuerzas
Tangenciales y
normales
completo en el instante dado, entonces alguna información relativa a
las direcciones o magnitudes de las fuerzas que actúan sobre la
partícula debe ser conocida o calculada para resolver las ecuaciones
13-9.Por ejemplo, la fuerza P ocasiona que la partícula mostrada en la
figura13-17ª se mueve a lo largo de una trayectoria
El tipo más directo de problema que implica coordenadas
cilíndricas requiere la determinación de las componentes de la
fuerza resultante 𝐹𝑟 , 𝐹𝜃 , 𝐹𝑧 que ocasionan que una
partícula se mueva con aceleración conocida. Sin embargo, si el
movimiento acelerado de la partícula no se especifica por
𝑟 = 𝑓 𝜃 .La fuerza normal N que la trayectoria ejerce sobre la partícula es
siempre perpendicular a la tangente de la trayectoria ,mientras que la fuerza
de fricción F actúan siempre a lo largo de la tangente en la dirección
opuesta del movimiento. Las direcciones de N y F pueden ser especificadas
con respecto a la coordenada radial usando el Angulo 𝜓 (psi), figura 13-
17b el cual está definido entre la línea radial extendida y la tangente a la
curva.

7. Graficas de fuerzas
tangenciales y
normales
Fuerzas Tangenciales y normales.- El tipo más directo de problema que implica
coordenadas cilíndricas requiere la determinación de las componentes de la fuerza
resultante 𝐹𝑟 , 𝐹𝜃 , 𝐹𝑧 que ocasionan que una partícula se mueva con aceleración

8. Gracias por su atención