1. FUERZAS EN EL PLANO SUMA DE DOS FUERZAS SUMA DE VARIAS FUERZAS

2. RESTA DE DOS VECTORES (FUERZAS)

3. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA Cuando se conocen líneas de acción de las dos componentes

4. x y  F x = F x i F y = F y j F i j F = F x i + F y j F x = F cos  F y = F sin  Para poder trabajar con las fuerzas en forma analítica, es conveniente descomponer una fuerza en dos componentes ortogonales, cada una en la dirección de uno de los ejes que definen el plano. Si las direcciones de los ejes x e y se indican por medio de los vectores unitarios i y j , entonces la fuerza se puede expresar como suma de las dos componentes. tan  = F y F x F = F x + F y 2 2

5. R x =   F x R y =   F y Cuando las fuerzas están dadas en función de sus componentes rectangulares, las componentes de la resultante se obtienen sumando correspondientes componentes de todas las fuerzas. La dirección y la magnitud de la resultante se puede obtener de: tan  = R y R x R = R x + R y 2 2

6. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO La partícula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas actuando sobre ésta es cero. Gráficamente esto significa que las fuerzas forman un polígono cerrado Analíticamente esto nos da las ecuaciones del equilibrio de una partícula en el plano:  F x = 0  F y = 0

7. EJEMPLO Un peso (W) está colgando de dos cables. ¿Qué tensiones producirá en cada cable? DIAGRAMA DE PARTICULA LIBRE SOLUCIÓN GRÁFICA SOLUCIÓN ANALITICA 1 - expresar cada fuerza en función de sus componentes rectangulares: 2 - expresar las ecuaciones de equilibrio: Son dos ecuaciones con dos incognitas: magnitudes de las tensiones y Resolviendo las ecuaciones, se resuelve el problema.

8. PRÁCTICA Determine la magnitud de la fuerza “F” de modo que la resultante de las tres fuerzas sea tan pequeña como sea posible. ¿Cuanto es la magnitud de esta resultante? SOLUCIÓN Se trata de construir el polígono de fuerzas y por inspección se nota que la minR se dará cuando es perpendicular a F.

9. x y z A B C D E O F x F y F z F x y z A B C D E O F x F y F z F  x x y z A B C D E O F x F y F z F  y  z Una fuerza F en el e spacio se puede descomponer en tres componentes F x = F cos  x F y = F cos  y F z = F cos  z FUERZAS EN EL ESPACIO

10. x y z F y j F x i F z k   (Magnitud = 1) cos  x i cos  z k cos  y j F = F  F = F x i + F y j + F z k or F = F (cos  x i + cos  y j + cos  z k )

11. x y z F y j F x i F z k   (Magnitud = 1) cos  x i cos  z k cos  y j F = F   = cos  x i + cos  y j + cos  z k cos 2  x + cos 2  y + cos 2  z = 1 F = F x + F y + F z 2 2 2 cos  x = F x F cos  y = F y F cos  z = F z F

12. ¿Cómo expresar una fuerza en función de sus componentes, cuando se conoce su magnitud y las coordenadas de dos puntos por donde pasa su línea de acción? Ejemplo: que la fuerza tenga magnitud F y los dos puntos serán M y N

13. x y z M ( x 1 , y 1 , z 1 ) N ( x 2 , y 2 , z 2 ) d x = x 2 - x 1 dz = z 2 - z 1 < 0 d y = y 2 - y 1 MN  = d x i + d y j + d z k  F  = = ( d x i + d y j + d z k ) MN MN 1 d

14. x y z M ( x 1 , y 1 , z 1 ) N ( x 2 , y 2 , z 2 ) d x = x 2 - x 1 d z = z 2 - z 1 < 0 d y = y 2 - y 1 d = d x + d y + d z 2 2 2 F x = Fd x d F y = Fd y d F z = Fd z d F = F  = ( d x i + d y j + d z k ) F d

15. Cuando dos o más fuerzas actúan sobre una partícula en tres dimensiones , los componentes rectangulares de su resultante R se obtienen al sumar las correspondientes componentes de las fuerzas dadas. La partícula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas actuando sobre ésta es cero. R x =  F x R y =  F y R z =  F z

16.  F x = 0  F y = 0  F z = 0 En dos dimensiones : Para resolver un problema que involucra una partícula en equilibrio, dibuje un diagrama de cuerpo libre mostrando todas las fuerzas actuando sobre la partícula. Las condiciones que debe satisfacer dicha partícula para el equilibrio son:  F x = 0  F y = 0

17. EJEMPLO Se emplea una varilla AB para soportar una carga de 90 kg que cuelga muy próxima a la intersección de dos paredes lisas (planos xy y yz ). Se sabe que la fuerza ejercida sobre el punto B por la varilla debe estar dirigida según la varilla y que la fuerza ejercida en el punto B por cualquiera pared debe ser perpendicular a el. Hallar las fuerzas ejercidas por la varilla y por las paredes, en el punto B. DCL de la partícula B Donde: Ecuaciones del equilibrio: =0 =0 =0 Solucionando las ecuaciones: N=210kgf, R x =180kgf, R z =60kgf