Resumen de formulas de amortización

1. RESUMEN DE FINANCIERA
SISTEMA ACUMULATIVO O
PROGRESIVO (FRANCES): En
este sistema la deuda es 𝑽 𝒏|��� abonada
en n cuotas vencidas de $c c/u a la
tasa i por período.
Es una renta cierta, constante,
temporaria y vencida.
Deuda actual
𝑽 𝒏|��� = 𝒄. 𝓪 𝓷 = 𝒄.
( 𝟏 + 𝒊) 𝒏 − 𝟏
𝒊( 𝟏 + 𝒊) 𝒏
Cuota
𝒄 = 𝑽 𝒏|� . 𝓪 𝓷
−𝟏
Amortización real inicial
𝒕 𝟏 = 𝒄 − 𝑽 𝒏|� . 𝒊
Amortización de un período p
𝒕 𝒑 = 𝒕 𝒑−𝟏. (𝟏 + 𝒊) 𝒑−𝟏
• La deuda en función del
fondo amortizante: la suma de
los n amort reales debe ser igual a
la deuda original.
𝑽 𝒏|��� = 𝒕 𝟏. 𝓼 𝒏|��� = 𝒕 𝟏.
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
− 𝟏
𝒊
Fondo amortizante en función de la deuda
𝒕 𝟏 = 𝑽 𝒏|���. 𝓼 𝒏|���
−𝟏
= 𝑽 𝒏|���.
𝒊
(𝟏 + 𝒊) 𝒏 − 𝟏
Total Amortizante
𝒕 𝒑|� = 𝒕 𝟏. 𝓼 𝒑|� = 𝑽 𝒏|� . 𝓼 𝒏|�
−𝟏
. 𝓼 𝒑|�
𝒕 𝒑|� = 𝑽 𝒏|���.
(𝟏 + 𝒊) 𝒑
− 𝟏
(𝟏 + 𝒊) 𝒏 − 𝟏
Deuda pendiente: es igual al V.A de
las cuotas que falta pagar.
𝑽 𝒏−𝒑|������� = 𝑽 𝒏|��� . 𝓪 𝓷
−𝟏
. 𝓪 𝓷−𝒑 = 𝒄. 𝓪 𝓷−𝒑
• Amortizaciones reales
en función de la cuota:
Amortización real inicial
𝒕 𝟏= 𝒄. 𝒗 𝒏
Amortización real del período p
𝒕 𝒑= 𝒄. 𝒗 𝒏−𝒑+𝟏
Interés del período p
𝒕 𝒑= 𝒄. (𝟏 − 𝒗 𝒏−𝒑+𝟏
)
Interés Total
𝑰 = 𝒏. 𝒄. 𝑽 𝒏|�
• Cuadro de amortización:
n Deuda
inicial
Int
del
perío
do
Amort
Real
del
per
Total
amor
tiza
do
Deuda
pendie
nte
1 2 3 4 5 6
1) 1,2…..n
2) 𝑽 𝒏|���
3) 𝑰 𝟏 = 𝑽 𝒏|� . 𝒊
4) 𝒕 𝟏 = 𝒄 − 𝑰 𝟏
5) T=𝒕 𝟏 + ⋯ 𝒕 𝒏
6) 𝑽 𝒏−𝟏|������� = 𝑽 𝒏|��� .T1
• Período al cabo del cual se amortiza la
deuda inicial:
Período Medio de Reembolso:
Sirve para averiguar después de cuantos
períodos se amortizado una fracción de
la deuda.
Sea q la inversa de la fracción.
m es el período.
𝒎 =
𝒍𝒐𝒈[(𝟏 + 𝒊) 𝒏
+ (𝒒 − 𝟏)] − 𝒍𝒐𝒈 𝒒
𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊)
• Tasa de Amortización: es el fondo
amortizante para extinguir una deuda
de un peso, pagaderas en n cuotas a
la tasa i de interés por período.
𝒏 =
𝒍𝒐𝒈(
𝒊
+ 𝟏)
𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊)
Cuando las cuotas son subperíodicas y se
aplican tasas proporcionales en el
subperíodo, el número de cuotas resulta:
𝒏. 𝒎 =
𝒍𝒐𝒈(
𝒊
+ 𝟏)
𝒍𝒐𝒈 (𝟏 +
𝒊
𝒎
)
La suma nos da la cuota:
𝒄 = 𝑽 𝒏|� .( + 𝒊)
• Pagos adelantados y anticipados:
El préstamo real estaría dado por
𝑽 𝒏|��� - c y se amortizaría en n-1 cuotas
vencidas.
a) La cuota adel es el mismo importe
para c/u de las cuotas a pagar:
𝒄 =
𝑽´ 𝒏|�
(𝓪 𝓷−𝟏) + 𝟏
b) El pago adel es un anticipo, se
soluciona hallando la cuota vencida
igual a la venta menos el anticipo.
SISTEMA AMERICANO: En este
sistema consite en prestar una suma
V, en n períodos, a la tasa períodica i.
Al final de cada período se abona el
int vencido ( V.i) y al concluir el plazo,
junto con el último pago de int
devuelve la suma prestada (V).
Cuota del sistema:
c`= V.i + t
valor de la deuda
𝑽 = 𝒕. 𝓼 𝒏|𝒊�����´ = 𝒕 .
(𝟏+𝒊) 𝒏
−𝟏
𝒊
Amortización real
𝒕 = 𝑽. 𝓼 𝒏|𝒊�����´
−𝟏 = 𝑽.
𝒊
(𝟏+𝒊) 𝒏
−𝟏
Normalmente: i´< i
• Comparación con el sistema
acumulativo: Si i´= i
c`= V.𝓪 𝓷
−𝟏
El importe de la cuota en este
caso resulta igual en el sist
americano y en el sist.
Acumulativo.
• La Tasa efectiva en el sist.
Americano: 𝒊´ ≠ 𝒊
Es una renta constante, vencida,
temporaria e inmediata..
𝒄´= 𝐕. 𝐢 + 𝑽. 𝓼 𝒏|𝒊�����´
−𝟏
Luego se aplica Baily:
𝒉 = (
𝒏. 𝒄
𝒎/ 𝑽 𝒏|����
)
𝟐
𝟐𝒎+𝒏+𝟏
𝒊 = 𝒉.
𝟏𝟐 − ( 𝒏 − 𝟏). 𝒉
𝟏𝟐 − 𝟐( 𝒏 − 𝟏). 𝒉
Este es la tasa del deudor y costo unitario
del crédito obtenido.

2. RESUMEN DE FINANCIERA
SISTEMA DE AMORTIZACIÓN
REAL CONSTANTE (SISTEMA
ALEMAN): En este sistema de
amortización acumulativo, la cuota es
constante, siendo decreciente el
interés, se paga sobre saldo y la
amortización real es creciente).
Amortización real de una deuda V :
𝒕 =
𝑽
𝒏
Progresión aritmética de razón r
𝒓 = −
𝑽. 𝒊
𝒏
Interés calculado s/deuda pendiente
𝑰 𝒉= 𝑽. 𝒊. (𝟏 −
𝒉−𝟏
𝒏
)
La cuota del Período h
𝒄 𝒉= 𝑽.�𝒊 +
𝟏
𝒏
� −
(𝒉−𝟏).𝑽.𝒊
𝒏
Cuadro de amortizaciones
n Deu
da
inici
al
Int
del
perí
odo
Amor
t
Real
del
per
Tot
al
am
or
ti
za
d
o
Deuda
pendien
te
Cuota
1 2 3 4 5 6 7
Ver amortización en cuotas variables:
En progresión aritmética y geométrica
𝒄 = �𝑽 +
𝒏. 𝒓
𝒊
+� 𝒂 𝒏|���
−𝟏
−
𝒓
𝒊
+ 𝒏𝒓
𝒄 =
𝑽
𝒏. 𝒗
Notaciones y relaciones
V: valor nominal del empréstito
N: número de obligaciones emitidas
C: valor nominal de cada obligación
n: plazo en números de períodos.
i: tasa nominal
c: cuota de servicio destinado a
rescate y pago de intereses
(cupones)
****************************
E: precio de emisión
V´: valor efectivo del empréstito
i´: tasa efectiva
L:importe destinado a lotes en cada
período
c´: cuota de servicio destinado a
cubrir rescates, cupones y lotes
Np: números de obligaciones a
rescatar
Np
(ₑ)
: números de obligaciones
rescatadas hasta el período de
orden p.
Np(v)
:números de obligaciones en
vigencias (vivas) después del
período de orden p
C- E: prima de reembolso
E- C: prima de emisión
• Relaciones lógicas:
V=N.C
V´=E.N
c´= c + L
• Relaciones Derivadas:
En el sistema de amortización
progresiva o acumulativa.
tp: amort. Del periodo p.
𝑽 𝒏−𝒑|�������: deuda pendiente después del
período p.
𝑵𝒑 =
𝒕𝒑
𝑪
𝑵𝒑(𝒆)
=
𝒕𝒑
𝑪
𝑵𝒑(𝒗)
=
𝑽 𝒏|�
𝑪
Sus fórmulas derivadas, estas
fórmulas requieren un ajuste.
• Empréstito a la par con
amortización acumulativa
(FRANCES): las propiedades, leyes
matemáticas y formulas del sistema
de amortización Francés se aplican
a los empréstitos que cumplen
ciertas condiciones:
La amortización de deudas y que
representa la equivalencia de
capitales entre el valor nominal del
empréstito (V) y el valor actual de
las cuotas o servicios (c) que lo han
de extinguir:
𝑽 = 𝒄. 𝓪 𝓷
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒐𝒕𝒂
𝒄 = 𝑽. 𝓪 𝓷
• Emisión fuera de la Par:
𝑽 = 𝒄. 𝓪 𝓷|𝒊 (valor nom. del empr.)
𝑽´ = 𝒄. 𝓪 𝓷|𝒊´ (valor efectivo del empr.)
Ejemplo :
1°) con el valor nominal del empréstito,
se calcula la cuota del cupón
𝒄 = 𝑽. 𝓪 𝓷|𝒊
−𝟏
a) Se calcula el valor real (efectivo)
que se obtendrá con la emisión del
empréstito).
𝑽´ = 𝒄. 𝓪 𝓷|𝒊´
b) Se calcula el precio de emisión:
𝑬 =
𝑽´
𝑵
• Empréstitos con Lotes: los premios o lotes
son para el emisor egresos periódicos
ciertos, que incrementan la cuota o servicio
(c).
Las ecuaciones básicas para resolver los
problemas de empréstitos con lotes, en
régimen de amort. Acum. son:
𝑽 = 𝒄. 𝓪 𝓷|𝒊
𝑽´ = 𝒄. 𝓪 𝓷|𝒊´
𝑽´ = 𝒄´. 𝓪 𝓷|𝒊´´
Ejemplo bajo la par:
1°) con el valor nominal del empréstito, se
calcula la cuota del cupón
𝒄 = 𝑽. 𝓪 𝓷|𝒊
−𝟏
2°) Se calcula el valor real (efectivo) que se
obtendrá con la emisión del empréstito).
𝑽´ = 𝒄. 𝓪 𝓷|𝒊´
a) Precio de Emisión : 𝑬 =
𝑽´
𝑵
b) Importe anual destinado a premios:
Se halla primero la cuota (con lotes) (c´)
𝒄´ = 𝑽´. 𝓪 𝓷|𝒊´´
−𝟏
L = c´ - c (importe anual destinado a
premio)