La función gamma incompleta se define como una integral definida del mismo integrando que la función gamma. Existen dos tipos dependiendo de si varía el límite inferior o superior de integración. Se describen algunas propiedades como sus relaciones con funciones error, exponencial integral y la función gamma regular. También se explican fórmulas para calcular sus derivadas.

1. FUNCIÓN GAMMA INCOMPLETA
En matemática, la función gamma se define como una integral definida. La función gamma
incompleta se define como una integral definida del mismo integrando.
Hay dos tipos de función gamma incompleta, una para el caso en el que varía el límite inferior de
integración, y otro cuando varía el límite superior. La primera se denota como  ,x y se define
como
  -1
,x t
x
t e dt



  
La segunda se escribe y se define como
  -1
0
,x
x
t
t e dt
 
  
En ambos casos, x es una variable real mayor o igual que cero, y a es una variable compleja, cuya
parte real es positiva.
Índice
 1 Propiedades
 2 Funciones Gamma regularizadas
 3 Derivadas
 4 Notas
 5 Enlaces externos
 6 Referencias
Propiedades
Integrando por partes se demuestra que
   
   
1,x ,x
1,x ,x
x
x
x e
x e


  
  


    
    
Dado que la función gamma ordinaria se define como
  -1
0
t
t e dt



  
tenemos que :      ,x ,x     

2. Además,    
1
0
,x 1 !
!
k
x
k
x
e
k

 



    si a es un número entero. (Weisstein)
   ,0   
   1 !    si a es un número entero.
Y    ,x cuando x   
También,
 
 
 
 
 
0,x Ei(-x) for x>0
1
,x erfc x
2
1
,x erf x
2
1,x
1,x 1
x
x
e
e




 
 
  
 
 
  
 
 
  
Donde:
Ei= es la función integral exponencial,
erf =es la función de error, y
erfc= la función de error complementaria,
erfc(x)=1- erf(x)
FUNCIONES GAMMA REGULARIZADAS
Dos funciones relacionadas son las funciones Gamma regularizadas:
 
 
 
 
 
 
 
,x
P ,x
,x
,x 1 P ,xQ




 





  


3. Derivadas
La derivada de la función gamma incompleta  ,x en x es bien conocida. Es dado simplemente por el
integrando de su definición completa:
  1; xx
x e
x
  
 

La derivada con respecto a la parámetro a viene dada por1
 
     
;
ln , 3, ,
x
x x xT x

 


  

y la segunda derivada es:
 
          
2
2
2
;
ln , 2 ln 3, , 4, ,
x
x x x x T x T x

  

 
   

donde la función "T(m,a,x)" es un caso especial de Meijer función G
   ,0 0,0,...,0
1, 1, 1,..., 1, 1, , m
m mT m z G x      
Este caso tiene propiedades internas de cierre de los suyos, dado que puede expresar todas las derivadas
sucesivas. En general,
 
     
1
1 m-i-1
0
;
ln , ln ( ) 3 , ,
m m
m m
im
i
x
x x mx P x T i x

 




 
   


Dónde
i
jP es la permutación definida por el símbolo de Pochhammer:
   
!
!
!
i i
j j
i
P j
i j
 

Todos estos derivados pueden ser producidos a partir de:
 
       
, ;
ln , , 1 1, ,
T m x
x T m x m T m x

 


   


4. y
 
   
, ; 1
( 1, , , ,
T m x
T m x T m x
x

 


   

Esta función T(m,a,x) se puede calcular por su representación estándar, siempre que: 1z 
 
 
 
   
 
 
1 2 1
1
12 0
0
1 1
, ;
2 ! !
m im i
t
mm t
i
d z
T m x t z
m dt i i

 

   

 

 
    
  

y siempre que el parámetro a no es un número entero negativo o cero. En este último caso, se debe utilizar
un límite. Resultados de 1z  Se puede obtener por una extensión analítica. Algunos casos especiales de
esta función se pueden simplificar. Por ejemplo,
 
 
   1
,
2, ;
3,1;
x
T x
x
xT x E x





donde  1E x es la función integral exponenciel. Los derivados y la función T(m,a,x) proporcionar
soluciones exactas a un número de integrales por la diferenciación repetido de la definición completa de la
función gamma incompleta  ;x . Por ejemplo,
   1 m 1
ln ;
m m
t t
m mx x
t t e t e x 

 
 
    
  
  
Esta fórmula se puede "inflar" o más generalizado a una gran clase de la transformada de Laplace o de Mellin.
Una vez combinado con un sistema algebraico computacional, funcionamiento de las funciones especiales
proporciona un método poderoso para resolver integrales definidas, en particular los que se enfrentan los
ingenieros de aplicaciones prácticas. Este método fue inventado por el sistema Maple2 y, más tarde imitada
por Mathematica, MuPAD y otros sistemas. La función "T(m,a,x)" era conocido en el grupo de investigación
de arce como una función de Scott-G.
Notas
 K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore y T.C. Scott, Evaluation ofClasses of Definite Integrals Involving
Elementary Functionsvia Differentiation ofSpecial Functions,AAECC (Applicable Algebra in Engineering,
Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.149-165, [1]
 K.O. Geddes y T.C. Scott, Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and
Logarithms, Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 de junio, 1989),
editado por E. Kaltofen y S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [2]