Ecuaciones Exactas

2. INTRODUCCI ´ON A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DEFINICI ´ON
ECUACI ´ON EXACTA
DEFINICI ´ON
Una expresi´on diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy es una diferencial exacta
en una regi´on R del plano xy si ´esta corresponde a la diferencial de alguna
funci´on f(x, y) definida en R. Una ecuaci´on diferencial de primer orden de la
forma
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
Se dice que es una ecuaci´on exacta si la expresi´on del lado izquierdo es una
diferencial exacta.
EJEMPLO DE ECUACI ´ON EXACTA
1 la ecuaci´on diferencial y3dx + 3xy2dy = 0 es exacta, porque se puede
obtener inmediatamente al derivar la funci´on f(x, y) = xy3

4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DEFINICI ´ON
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
CRITERIO PARA UNA DIFERENCIAL EXACTA
Sean M(x, y) y N(x, y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales
continuas en una regi´on rectangular R definida por a < x < b, c < y < d.
Una condici´on necesaria y suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy sea
una diferencial exacta es:
dM
dy
=
dN
dx
EJEMPLO
1 La ED (5x + 4y)dx + (4x − 8y3)dy = 0 es Exacta.
Para verificarlo, se toman M(x, y) = 5x + 4y y N(x, y) = 4x − 8y3
y al aplicar el criterio se obtiene:
dM
dy
= 4
dN
dx
= 4

5. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS SOLUCI ´ON
M´ETODO DE SOLUCI ´ON
Si una ED de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es exacta:
1 Existe una funcion f tal que
df
dx
= M(x, y). Se determina f integrando
M(x, y) respecto a x:
f(x, y) = M(x, y)dx + g(y) (1)
2 Se deriva f respecto a y considerando que:
df
dx
= N(x, y) es decir:
g (y) = N(x, y) −
d
dy
M(x, y)dx (2)
3 Por ultimo se integra la ecuaci´on 2 respecto a y y se sustituye el
resultado en la ecuaci´on 1
NOTA: El proceso anterior puede desarrollarse de manera an´aloga
considerando inicialmente que existe una funci´on f tal que df/dy = N(x, y)

6. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS
EJEMPLO
1 Solucionar la ED (2x + y)dx + (x − 2y)dy = 0
Se procede a verificar que sea exacta:
dM
dy
= 1 =
dN
dx
Se calcula f(x, y) = M(x, y)dx + g(y)
f(x, y) = (2x + y)dx + g(y) = x2
+ xy + g(y) + C (3)
Se deriva respecto a y:
df
dy
=
d
dy
(x2 + xy + g(y)) = x + g (y)
Se iguala a N(x, y)
x + g (y) = x − 2y
g (y) = −2y
y al integrar se obtiene la funci´on g(y) = −y2 + C
Y al sustituir en (3) la soluci´on de la ED es: f(x, y) = x2 + xy − y2 + C

7. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
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POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.