Introducción a las ecuaciones diferenciales

2. INTRODUCCI ´ON A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. UNA PRIMERA DEFINICI ´ON
UNA PRIMERA DEFINICI ´ON
ECUACI ´ON DIFERENCIAL
Una ecuaci´on que contiene derivadas de una o m´as variables respecto a una o
m´as variables independientes, se dice que es una ecuaci´on diferencial (ED).
EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1 xy + y = x
2
dy
dx
= 3xy2
3 uxx + 3uxy − u2
yy = 0
4 xt + yt = 2xy
Una parte fundamental para la comprensi´on de las ecuacones diferenciales con-
siste en la clasificaci´on que podemos dar de las mismas. En general, las ED se
pueden clasificar por tipo, orden y linealidad.

4. CLASIFICACI ´ON DE ED CLASIFICACI ´ON POR TIPO
CLASIFICACI ´ON POR TIPO
CLASIFICACI ´ON POR TIPO (EDO)
Si en una ED aparecen s´olo derivadas de una o m´as variables dependientes
respecto a una ´unica variable independiente se dice que es una ecuaci´on
diferencial ordinaria (EDO).
CLASIFICACI ´ON POR TIPO (EDP)
Pero si en la ED aparecen derivadas respecto a m´as de una variable
independiente se dice que es una ecuaci´on diferencial parcial (EDP).
EJEMPLOS
1
dy
dx
= 3x − 5y + 1 (EDO)
2
d2y
dx2
+ 2
dy
dx
+ 5y = 0 (EDO)
3
d3y
dx3
= 3x (EDO)
4 uxx + 3uyy + uxy = u (EDP)
5
dt
dx
−
dt
dy
= 5t (EDP)
6
d2v
dx2
−
d2v
dy2
= 0 (EDP)

5. CLASIFICACI ´ON DE ED CLASIFICACI ´ON POR ORDEN
CLASIFICACI ´ON POR ORDEN
CLASIFICACI ´ON POR ORDEN
El orden de una Ecuaci´on diferencial (ya sea EDO o EDP) se determina por
el orden de la mayor derivada presente en la ecuaci´on. Se pueden clasificar
entonces una ED seg´un su orden.
EJEMPLOS
1
dy
dx
= 3x − 5y + 1 (Orden 1)
2
d2y
dx2
+ 3
dy
dx
4
+ 5y = 0 (Orden 2)
3
d3y
dx3
= 3x (Orden 3)
4 y(5) + 3y(4) − 5y + 2y + y = 3x2 (Orden 5)
5
dny
dxn
= x2y (Orden n)

6. CLASIFICACI ´ON DE ED CLASIFICACI ´ON POR LINEALIDAD
CLASIFICACI ´ON POR LINEALIDAD
CLASIFICACI ´ON POR LINEALIDAD
Una ED de n-´esimo orden es lineal en la variable y si es lineal para y, y ,
y ,..., y(n). Es decir, si podemos escribir la ED como:
an(x)
dny
dxn
+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ ... + a2(x)
d2y
dx2
+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = f(x)
EJEMPLOS
1
dy
dx
= 3x − 5y + 1 (lineal)
2
d2y
dx2
+ 3
dy
dx
4
+ 5y = 0 (no lineal)
3
d3y
dx3
= 3x (lineal)
4 y(5) + 3y(4) − 5y + 2y + y = 3x2 (lineal)

7. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
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NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.