Presentacion t student

Distribución t de Student

La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy
Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de
cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación
de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos
industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el
seudónimo de Student.


William Sealy Gosset (11 de junio de 1876–
16 de octubre de 1937) fue un
estadístico, mejor conocido por su
sobrenombre literario Student. Nacido en
Canterbury, hijo de Agnes Sealy Vidal y el
coronel Frederic Gosset, asistió a la famosa
escuela privada Winchester College, antes de
estudiar química y matemática en el New
College de Oxford. Tras graduarse en
1899, se incorporó a las destilerías Guinness
en Dublín.


o Tras graduarse en 1899, se incorporó a las
destilerías Guinness en Dublín. (negocio
agroquímico progresista)

o Aplico sus conocimientos estadísticos
tanto a la destilería como a la granja (para
seleccionar las mejores variedades de
cebada)

o Guinness prohibió a sus empleados la
publicación de artículos
independientemente de la información
que contuviesen


o De ahí el uso de su pseudónimo Student
en sus publicaciones, para evitar que su
empleador lo detectara,

o su logro más famoso se conoce ahora
como la distribución t de Student

o Gosset publicó El error probable de una
media


R.A. Fisher quien apreció la importancia de
los trabajos de Gosset sobre muestras
pequeñas, tras recibir correspondencia de
Gosset en la que le decía le envío una copia
de las Tablas de Student, ¡ya que es la única
persona que probablemente las use jamás!

La estadística de Gosset era z = t/√(n - 1).
Fisher introdujo la forma t debido a que se
ajustaba a su teoría de grados de libertad
Fisher es responsable también de la
aplicación de la distribución t a la regresión.


En 1935 dejó Dublín para ocupar el puesto de
Destilador Jefe (Head Brewer), a cargo de la
parte científica de la producción, en la nueva
destilería Guinness de Londres. Murió en
Beaconsfield, Inglaterra.

Gosset fue un hombre modesto que cortó a
un admirador con el comentario "Fisher lo
hubiera descubierto de todas maneras".


En probabilidad y estadística la
distribución t de student es una
distribución de probabilidad que
surge del problema de estimar la
media de una población
normalmente distribuida cuando
el tamaño de la muestra es
pequeña


Se utiliza para hacer estimaciones de parámetros de las
poblaciones a partir de los valores de los estadísticos
correspondientes en las muestras, cuando se desconoce el
valor de la varianza o la desviación estándar de la
población.


o 1. cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.
o Cada curva t, es mas dispersa que la curva normal estándar.
o A medida de que aumenta, la dispersión de la curva t
correspondiente disminuye.
o a medida de que k tiende a infinito, la secuencia de curvas t se
aproxima a la curva normal estándar.


Las observaciones proceden de una
población que tiene distribución normal
con media y desviación estándar. En la
practica a no ser que la muestra sea muy
pequeña, es suficiente con que la
población sea simétrica y con un solo
pico. Tanto la media como la desviación
típica son parámetros desconocidos.


Cuando la desviación estándar del estadístico
se estima a partir de datos, el resultado se
llama error estándar del estadístico. El error
estándar se calcula usando la formula:


o Cuando conocemos el valor de la
desviación estándar , basamos los
intervalos de confianza y las pruebas para
la media ene le estadístico z de una
muestra.

o T= media muestra-media/ desviación
estándar/ raíz n


o Representan el número de datos independientes
que se pueden tomar de la población para
construir la muestra, de tal manera que los
valores de los estadísticos en la muestra sean
cercanos a los valores de los parámetros
correspondientes en la población.
o Al escoger una muestra de tamaño n, el numero
de datos independientes que se pueden tomar es
n-1, ya que el ultimo dato que se escoja, es el que
viene a definir el valor del estadístico en la
muestra gl=n-1


Comparación de Tipo de Curvas


Comportamiento de la distribución T comparada con la distribución Z

Representación Grafica


Donde el parámetro n
de tn , se denomina
grados de libertad de
la distribución.

La distribución t de
Student existe para todos
los valor es de x reales, y
es simétrica respecto al
eje y.


Para distintos valores de n y de x se puede
buscar su probabilidad acumulada p


Hipótesis de dos lados

Hacia el lado derecho


Hacia el izquierdo


En esta tabla hay dos entradas, en la fila
superior están los valores de n para los que se
ha calculado la probabilidad, en la columna de
la izquierda los de x, para x igual o mayor que
cero, en incrementos de 0,05, para cada valor
de n y de la x correspondiente tenemos la
probabilidad acumulada, expresada con tres
cifras decimales.


n p 0,50 0,55 0,60 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

1 0,324 919 0,726 543 1,000 001 1,376 382 1,962 612 3,077 685 6,313 749 31,820 96 63,655 90
2 0,288 675 0,617 214 0,816 497 1,060 660 1,386 206 1,885 619 2,919 987 6,964 547 9,924 988
3 0,276 671 0,584 390 0,764 892 0,978 472 1,249 778 1,637 745 2,353 363 4,540 707 5,840 848
4 0,270 722 0,568 649 0,740 697 0,940 964 1,189 567 1,533 206 2,131 846 3,746 936 4,604 080
5 0,267 181 0,559 430 0,726 687 0,919 543 1,155 768 1,475 885 2,015 049 3,364 930 4,032 117
6 0,264 835 0,553 381 0,717 558 0,905 703 1,134 157 1,439 755 1,943 181 3,142 668 3,707 428
7 0,263 167 0,549 110 0,711 142 0,896 030 1,119 159 1,414 924 1,894 578 2,997 949 3,499 481
8 0,261 921 0,545 934 0,706 386 0,888 890 1,108 145 1,396 816 1,859 548 2,896 468 3,355 381
9 0,260 956 0,543 480 0,702 722 0,883 404 1,099 716 1,383 029 1,833 114 2,821 434 3,249 843
10 0,260 185 0,541 528 0,699 812 0,879 057 1,093 058 1,372 184 1,812 462 2,763 772 3,169 262
11 0,259 556 0,539 937 0,697 445 0,875 530 1,087 667 1,363 430 1,795 884 2,718 079 3,105 815
12 0,259 033 0,538 618 0,695 483 0,872 609 1,083 212 1,356 218 1,782 287 2,680 990 3,054 538
13 0,258 591 0,537 504 0,693 830 0,870 151 1,079 469 1,350 172 1,770 932 2,650 304 3,012 283
14 0,258 212 0,536 552 0,692 417 0,868 055 1,076 280 1,345 031 1,761 309 2,624 492 2,976 849
15 0,257 885 0,535 729 0,691 197 0,866 245 1,073 531 1,340 605 1,753 051 2,602 483 2,946 726


1 La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen
media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de
que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del
tornillo sea inferior a 20.5 mm:

P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de
n-1 grados de libertad T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24) P (T<2.5) = 0.9902 P
(μ<20.5)=0.9902 La probabilidad que la longitud media de la
muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%


2. Se desea obtener un intervalo de confianza
al 99% para el de confianza al 99% para el
tiempo medio requerido para tiempo medio
requerido para realizar un trabajo. Realizar un
trabajo.

t= Una confianza del 99% con(n-1) grados de
libertad.(n-1) grados de libertad.


3. Una muestra aleatoria de 16Una muestra aleatoria de 16mediciones produce
una media mediciones produce una media y una desviación estándar de 13y una
desviación estándar de 13 y 5.6 minutos respectivamente y 5.6 minutos
respectivamente

GL=16-1=GL=16-1= 1515
99 %
ά2=.005ά1=.005ά= 1%ά= .01ά/2=.005
n= 16

X=13 minutosX=13 minutos

S= 5.6 minutos S= 5.6 minutos

t=2.947t=2.947∂∂=13=13±2.947(5.6/√16)±2.947(5.6/√16)∂∂=13=13±4.12±4.12∂∂1=17.1
2 minutos1=17.12 minutos∂∂2=8.88 minutos2=8.88 minutos
x=xx=x± t± ts .s .√√nn


X=13 minutos=13 minutos

S= 5.6 minutos= 5.6 minutos

t=2.947t=2.947∂∂=13=13±2.947(5.6/√16)±2.947(5.6/√16)∂∂=13=13±4.12±4.12∂∂1=17.12
minutos1=17.12 minutos∂∂2=8.88 minutos2=8.88 minutos
Tiempo medio requerido para realizar el trabajo será entre 8.88 y 17.12minutos con un
n= 16

X=13 minutos=13 minutos

S= 5.6 minutos= 5.6 minutos

t=2.947t=2.947∂∂=13=13±2.947(5.6/√16)±2.947(5.6/√16)∂∂=13=13±4.12±4.12∂∂1=17.12
minutos1=17.12 minutos∂∂2=8.88 minutos2=8.88 minutos
Tiempo medio requerido para realizar el trabajo será entre 8.88 y 17.12minutos con un

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