El Mtro. Javier Solis Noyola diseña y desarrolla presentación sobre tema PRUEBA DE HIPÓTESIS para distribuciones de probabilidad (Normal, y t de Student)

1. HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS PARA INGENIERÍA
Prueba de Hipótesis para Distribuciones:
Normal y t de Student
Presenta:
MTRO. JAVIER SOLIS NOYOLA

2. OBJETIVOS
• El alumno conocerá y comprenderá el concepto de hipótesis
estadística como herramienta para la toma de decisiones.
• Identificará el proceso de cálculo de hipótesis para
distribuciones de probabilidad: Normal y t de Student
• Desarrollará ejercicios que impliquen cálculos de Hipótesis en
distribuciones de probabildad: Normal y t de Student

3. En el Proceso del Método Científico,
¿Qué es una Hipótesis?
Problema
Observación:
•Identificar
variables.
• Información
Teórica
Hipótesis:
*Propuesta
de posible
solución
Experimentación:
•ejecución de
acciones que
Verifiquen la hipó-
Tesis.
Difusión:
•Conformación
de un nuevos do-
cumentos que con-
tienen nueva in-
formación.

4. Niveles de análisis
(Método Estadístico)
0. Nosotros no tenemos experiencia ni datos, sólo opiniones.
1. Nosotros sólo usamos experiencia, no datos.
2. Nosotros colectamos datos, pero apenas miramos números.
3. Nosotros agrupamos los datos en forma de tablas y gráficas.
4. Nosotros usamos datos muestra con estadísticas descriptivas.
5. Nosotros usamos datos muestra con estadísticas inferencial.
USLT

LSL
¿Qué nivel de análisis usas para
soportar tus decisiones?

5. LA ESTADÍSTICA SEGÚN EL TIPO DE
ESTUDIO CIENTÍFICO
DESCRIPTIVA
• Métodos para organizar, resumir y
presentar datos de manera
informativa.
INFERENCIAL
• Son los métodos para determinar
algo acerca de una población
basándose en una muestra.
USLT

LSL
Aquí es donde estudiaremos cómo
aceptar o rechazar una Hipótesis,
según los parámetros de la muestra
de una población en estudio .

6. PROBLEMA REAL
PROBLEMA
ESTADÍSTICO
SOLUCIÓN
ESTADÍSTICA
APLICACIÓN
PRÁCTICA DE LA
SOLUCIÓN
Campo
Estadístico
Vida Real
Solución de problemas
con Estadística
¿Cómo funciona la
metodología?

7. Una hipótesis estadística es una afirmación o proposición
respecto a alguna característica de una población, generalmente
fundamentada sobre un parámetro de la misma. Contrastar una
hipótesis es comparar las predicciones con la realidad que
observamos ocurrida en una muestra. Si dentro del margen de
error que estamos dispuestos a admitir, hay coincidencia,
aceptaremos la hipótesis y en caso contrario la rechazaremos.
h
i
eó tp s
i
s

8. Hipótesis nula e hipótesis alternativa
•La hipótesis emitida se suele designar por Ho y se llama Hipótesis nula. Lo de
“nula” viene de que partimos del supuesto de que las diferencias entre el
valor verdadero del parámetro y su valor hipotético, en realidad no son tales,
sino debidas al azar, es decir no hay diferencia o dicho de otra forma la
diferencia es nula.
•La hipótesis contraria se designa por H1 y se llama Hipótesis alternativa (en
algunos textos también aparece la notación Ha).
1.- Sospechamos que las bolsas de frutos secos de 100 gramos, realmente no pesan
100 gramos. Para contrastar esta hipótesis plantearíamos:
2.- Estaría contento de comprobar que no pueden demostrar que mi media de notas
ha bajado de 7,785 como parecen indicar los últimos exámenes. Para contrastar esta
hipótesis:
Ejemplos:
Hipótesis nula
Hipótesis nula
Hipótesis alternativa
Hipótesis alternativa

9. Paso 4: Se formula la regla de
decisión
Paso 3: Se identifica el
estadístico de prueba
Paso 5: Se toma una muestra y se
decide: se acepta H0 o se rechaza
H0
Paso 2: Se selecciona el nivel de
significancia (α)
Paso 1: Se plantean las hipótesis
nula (H0) y alternativa (H1)
α α α/2 α/2
ó ; n<30
H0 : µ= µ0
H1 : µ ≠µ0
H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ < µ0
H0 : µ ≤ µ0
H1 : µ > µ0
Cola a la
derecha
Cola a la
Izquierda
Bilateral
(ambas colas)
; n≥30
Sí el valor del Z (calculado por estadístico) < Zα (valor crítico obtenido
en tablas: Normal o T Student)  SE ACEPTA (H0)
Sí el valor del Z (calculado por estadístico) > Zα (valor crítico obtenido
en tablas: Normal o T Student)  SE ACEPTA (H0)
• Sí el valor del Z (calculado por estadístico) > - Zα/2 (cola izquierda)
ó
• Sí el valor del Z (calculado por estadístico) < + Zα/2 (cola derecha)
Cualquiera de los 2 casos anteriores  SE ACEPTA (H0)
Cola a la
derecha
Cola a la
izquierda
Ambas
colas
En función del tamaño la muestra, las condiciones de pasos (1 a 4) y los cálculos
desarrollados  Se ACEPTA (H0) ó se RECHAZA (H0)
Procedimiento de cinco pasos para probar una Hipótesis

10. H0 : µ= µ0
H1 : µ ≠µ0
H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ < µ0
H0 : µ ≤ µ0
H1 : µ > µ0
Cola a la derecha Cola a la Izquierda Bilateral (ambas colas)
Paso 1: Se plantean las hipótesis nula (H0) y alternativa (H1)
Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o afirmaciones acerca de las
poblaciones que se estudian.
La hipótesis nula (H0) se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población. La letra H
significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia.
La hipótesis nula es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos maestrales proporcionen
evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo
de igualdad (= ; ≥; ≤ ) con respecto al valor especificado del parámetro.
La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación
que se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es
falsa. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis
alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.
H0 H0
H0
H1
H1 H1
H1
Identificación simbólica y gráfica en una distribución de las hipótesis: nula (H0) y alternativa H1

11. •Nivel de significancia: Probabilidad de
rechazar la hipótesis nula (H0) cuando es
verdadera. Se le denota mediante la letra
griega α, también es denominada como
nivel de riesgo, este término es mas
adecuado ya que se corre el riesgo de
rechazar la hipótesis nula, cuando en
realidad es verdadera. Este nivel esta bajo el
control de la persona que realiza la prueba.
•Si suponemos que la hipótesis planteada es
verdadera, entonces, el nivel de
significación indicará la probabilidad de no
aceptarla, es decir, estén fuera de área de
aceptación. El nivel de confianza (1-α),
indica la probabilidad de aceptar la hipótesis
planteada, cuando es verdadera en la
población.
Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia (α)

12. Ilustraciones del Nivel de significancia α (0, 1%, 5%, y 10%) para una
prueba bilateral de dos extremos o dos colas de una distribución
Normal, y sus respectivos valores de Z. (Ver TABLA valores de Z en ANEXO A )

13. Distribución Normal:
Prueba para la media de la población:
muestra grande (n≥30) , desviación
estándar de la población conocida.
z
X

 
 / n
Distribución t de Student:
Prueba para la media de la población:
muestra pequeña (n<30) , desviación
estándar poblacional desconocida.
ns
X
t
/


¿Cómo se identifica el estadístico para una prueba de Hipótesis ?
Existen muchos estadísticos de prueba. En esta presentación, sólo se analizan 2 de ellos: Distribución
Normal y distribución t de Student.
Donde:
= media muestral
µ = Media Poblacional
σ = Desviación Estándar
Poblacional
n = número en la muestra
Donde:
= media muestral
µ = Media Poblacional
s = Desviación Estándar de la
muestra
n = número en la muestra
Paso 3: Se identifica el estadístico de prueba

14. Paso 4: Formulación de la regla de decisión
Sí el valor del Z (calculado por estadístico) > Zα (valor crítico
obtenido en tablas: Normal )  SE ACEPTA (H0)
Sí el valor del Z (calculado por estadístico) < Zα (valor crítico
obtenido en tablas: Normal )  SE ACEPTA (H0)
• Sí el valor del Z (calculado por estadístico) > - Zα/2 (cola izquierda*)
y
• Sí el valor del Z (calculado por estadístico) < + Zα/2 (cola derecha*)
O bien , si el Z calculado esta entre valores de ±Zα/2  SE
ACEPTA (H0)
Nota:
Los valores de - Zα/2 y + Zα/2 se obtienen de tablas de datos de
distribución Normal (Esto también aplica de igual forma para una
distribución t de Student )
Cola a la
Izquierda
valor crítico (-)
Cola a la
derecha
Bilateral: Ambas colas
valor crítico (+)
valor crítico (+)
- Zα/2 + Zα/2
H0
H0
H0
Una regla de decisión establece las condiciones específicas en las que se rechaza la Hipótesis Nula (H0), y las
condiciones en las que no se rechaza. La región de rechazo (establecidos en α) define la probabilidad de que No se
acepte la hipótesis nula (H0) o que sea aceptada la hipótesis alterna (H1)
valor crítico (-)
Valor Crítico (-Zα ó +Zα )es el punto de división entre la
región en la que se rechaza la hipótesis nula y la región
en la que no se rechaza la hipótesis nula. Este valor se
obtiene mediante la tablas de distribución Normal. Esto
también aplica de igual forma para una distribución t de
Student. (ver ANEXOS A y B al final de presentación)

15. El quinto y último paso en una prueba de Hipótesis es calcular el estadístico de prueba Z ó t (por medio
de fórmulas de distribución: Normal o t de Student), compararlos con el valor crítico (-Zα , +Zα , - ±Zα/2 ;
-tα, +tα, ±tα/2 ) , que se obtiene de tablas de distribución: Normal o t de Student ), y tomar la decisión de
rechazar o no la Hipótesis nula
Paso 5: Se toma una muestra y se decide: se acepta H0 o se rechaza H0
- Zα/2 + Zα/2
z
X

 
 / n
ns
X
t
/


-Zα, +Zα, ± Zα/2
SE ACEPTA (H0)
NO SE ACEPTA (H0)
-tα, +tα, ±tα/2

16. Ejemplo 1
𝐻0: 𝜇 ≤ 20 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ó en análisis de valores Z  𝐻0: 𝜇 ≤ 0
𝐻1: 𝜇 > 20 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ó en análisis de valores Z  𝐻0: 𝜇 > 0
El administrador de un centro de salud desea saber si el tiempo medio invertido
por los pacientes en la sala de espera es mayor de 20 minutos. Un muestra de 100
pacientes permanecieron, en promedio, 23 minutos en la sala de espera entre el
registro y la atención por algún médico del centro de salud. La desviación
estándar de la muestra fue de 10. use un nivel de significancia del 5%.
𝑛 = 100
𝜶 = 5% ó (0.05) 1- 𝜶 = 95% ó (0.95)
𝑥 = 23 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝝈 = 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Distribución Normal (n ≥30)
𝑍 =
𝒙 − 𝝁
𝝈
𝒏
Paso 3: Se identifica el
estadístico de prueba
Paso 2: Se selecciona el nivel de
significancia (α)
Paso 1: Se plantean las hipótesis
nula (H0) y alternativa (H1)

17. Región de rechazo
Región de
aceptación
𝒁 𝒄 =
𝟐𝟑 − 𝟐𝟎
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟑
𝒁 𝜶 = 𝟏. 𝟔𝟒𝟓
La regla de decisión es rechazar 𝑯 𝟎 𝒔𝒊 𝒁 𝒄 > 𝒁 𝜶
Como: 𝟑 > 𝟏. 𝟔𝟓 , rechazamos la hipótesis nula 𝑯 𝟎 .
Paso 4: Se formula la regla de
decisión
Paso 5: Se toma una muestra y se
decide: se acepta H0 o se rechaza H0
𝒁 𝒄 = 𝟑
𝑯 𝟎: 𝑬𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒔𝒂𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂 𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝟐𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 ó menor
𝑯 𝟏: 𝑬𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒔𝒂𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂 𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝟐𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
Ver cálculo de
𝒁 𝜶 = 𝟏. 𝟔𝟒𝟓
En Tabla de ANEXO A
Sí el valor del Zc (calculado por estadístico) > Zα (valor
crítico obtenido en tabla Normal  SE RECHAZA (H0)
Aceptando Hipótesis Alterna (H1)
𝑯 𝟎
𝑯 𝟏
𝜇 = 0
𝑍 =
𝒙 − 𝝁
𝝈
𝒏

𝒁−𝒁
𝒁 𝒄 (𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅ístico Calculado)

18. Ejemplo 2
𝐻0: 𝜇 = 1.2 𝐾𝑔 ó en análisis de valores Z  𝐻0: 𝜇 = 0
𝐻1: 𝜇 ≠ 1.2 Kg ó en análisis de valores Z  𝐻0: 𝜇 ≠ 0
En una ciudad, cada persona produce en promedio 1.2 kg de basura
diariamente, con una desviación estándar de 0.7 kg. Se tiene la idea de que esta
cantidad ha cambiado, así que un investigador toma una muestra de la basura
que produjeron 75 personas, dando un promedio de 1.4 kg de basura por
persona. Probar la hipótesis mencionada con un nivel de significancia del 1%
𝑛 =75
𝜶 = 1% ó (0.01) 1- 𝜶 = 99% ó (0.99)
𝑥 = 1.4 𝐾g.
𝝈 = 0.7 Kg
Paso 3: Se identifica el
estadístico de prueba
Paso 2: Se selecciona el nivel de
significancia (α)
Paso 1: Se plantean las hipótesis
nula (H0) y alternativa (H1)
Distribución Normal (n≥30)
𝑍 =
𝒙 − 𝝁
𝝈
𝒏

19. Región de rechazo
𝒁 𝒄 =
𝟏.𝟒−𝟏.𝟐
𝟎.𝟕
𝟕𝟓
= 2.47
+𝒁 𝜶/𝟐 = +𝟐. 𝟓75
La regla de decisión es:
Aceptar 𝑯 𝟎 , 𝒔𝒊 𝒁 𝒄 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 − 𝒁 𝜶/𝟐 ≤ 𝒁 ≤ +𝒁 𝜶/𝟐
Como: 𝒁 𝒄 =2.47 esta dentro del intervalo −𝟐. 𝟓𝟕𝟓 ≤ 𝒁 ≤ +𝟐. 575  Aceptamos la
Hipótesis nula 𝑯 𝟎 .
Paso 4: Se formula la regla de
decisión
Paso 5: Se toma una muestra y se
decide: se acepta H0 o se rechaza H0
𝒁 𝒄 =2.47
Se acepta la Hipótesis nula H0, ya que el estadístico de prueba ( Z=2.47) queda dentro de los valores críticos: -2.575
y 2.575.
Ver cálculo de
±𝒁 𝜶/𝟐 = ±𝟐.575
En Tabla de ANEXO A𝜇 = 0
𝑍 =
𝒙 − 𝝁
𝝈
𝒏

𝑯 𝟎
𝑯 𝟏𝑯 𝟏
Región de
aceptación
Región de rechazo
−𝒁 𝜶/𝟐= −𝟐. 𝟓𝟕𝟓
𝒁−𝒁
𝒁 𝒄 (𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅ístico Calculado)

20. Ejemplo 3
𝐻0: 𝜇 ≤ 45 𝐾𝑔 ó en análisis de valores t  𝐻0: 𝜇 ≤ 0
𝐻1: 𝜇 > 45 𝐾g ó en análisis de valores t  𝐻0: 𝜇 > 0
Un ingeniero tiene la impresión de que el desperdicio en una línea de producción
automatizada está aumentando: según datos históricos era de 45 kg en promedio
diariamente. Para probarlo, toma una muestra de 20 días, y calcula un desperdicio
promedio diario de 46.3 kg, con una desviación estándar de 2. Probar la hipótesis con
un nivel de significancia del 5%.
𝑛 = 20
𝜶 = 5% ó (0.05) 1- 𝜶 = 95% ó (0.95)
𝑥 = 46.3 𝐾𝑔
𝑺 = 2 𝐾𝑔
Distribución t de Student (n<30)
Paso 3: Se identifica el
estadístico de prueba
Paso 2: Se selecciona el nivel de
significancia (α)
Paso 1: Se plantean las hipótesis
nula (H0) y alternativa (H1)
ns
X
t
/



21. Región de
rechazo
Región de
aceptación
𝒕 𝒄 =
46.3−45
2
20
=2.9069
𝒕 𝜶 = 𝟏. 𝟕29
Paso 4: Se formula la regla de
decisión
𝒕 𝒄 = 𝟐. 𝟗𝟎69
𝜇 = 0

𝑯 𝟎
𝑯 𝟏
𝒕−𝒕
𝒕 𝒄 (𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅ístico Calculado)
ns
X
t
/


Los grados de libertad (gl), se obtienen a partir
de la fórmula: gl = n – 1  gl = 20 – 1= 19
𝜶 = 5% ó (0.05) para prueba de una cola
La regla de decisión es:
rechazar 𝑯 𝟎 𝒔𝒊 𝒕 𝒄 > 𝒕 𝜶
Sí el valor del tc (calculado por estadístico) > tα (valor crítico
obtenido en tabla t de Student  SE RECHAZA (H0)
tabla datos t de Student
Tabla de ANEXO B
𝒕 𝜶 = 𝟏. 𝟕29
Paso 5: Se toma una muestra y se
decide: se acepta H0 o se rechaza H0
Acepto la hipótesis alternativa, ya que el
estadístico de prueba (2.9069) supera el valor
crítico 1.729 (Se rechaza Hipótesis Nula 𝑯 𝟎)

22. ANEXO A
Tabla de áreas bajo la curva Normal
(del lado derecho curva):
acceso en:
http://abaco.com.ve/esta/Tabla_dist
ribucion_normal_a_la_derecha_de_
z_0.pdf
𝒁 𝜶 = 𝟏. 𝟔𝟒𝟓
Caso de ejemplo 1
𝒁 𝜶 = 1.64 ó 1.65
O bien obteniendo un promedio de:
(1.64 +1.65)/ 2 = 𝟏. 𝟔𝟒𝟓

23. ANEXO B
Tabla de de distribución
t de Student.
Obtenida de libro:
MASON D. Robert, Douglas LIND A. y
William MARCHAL. Estadística para
Administración y Economía. 11ª.
Edición, Alfaomega, 2004.
Los grados de libertad (gl), se
obtienen a partir de la fórmula:
gl = n - 1
Donde:
n = tamaño de la muestra
gl = grados de libertad

24. 1.- La duración de las bombillas que fabrica una empresa, sigue una distribución normal, con una
desviación estándar de 125 horas. La empresa garantiza una vida mínima de 875 horas para cada
bombilla.
Se escoge una muestra de 50 bombillas, y después de comprobar la vida de las mismas se obtuvo una
media de 798 horas. ¿Puede afirmarse con un nivel de significancia de 5% que la publicidad de la
empresa es engañosa?
2.- Jamestown Steel Company fabrica y arma escritorios y otros muebles para oficina en diferentes
plantas en el oeste del estado de Nueva York. La producción semanal del escritorio modelo A325 en la
planta de Fredonia tiene una distribución normal, con una media de 200 y una desviación estándar de
16. Hace poco, con motivo de la expansión del mercado, se introdujeron nuevos métodos de producción
y se contrató a más empleados. El vicepresidente de fabricación pretende investigar si hubo
algún cambio en la producción semanal del escritorio modelo A325. En otras palabras, ¿la cantidad
media de escritorios que se produjeron en la planta de Fredonia es diferente de 200 escritorios
semanales con un nivel de significancia de 0.01?
3.- La longitud media de una pequeña barra de contrapeso es de 43 milímetros. Al supervisor de
producción le preocupa que hayan cambiado los ajustes de la máquina de producción de barras. Solicita
una investigación al departamento de ingeniería, que selecciona una muestra aleatoria de 12 barras y
las mide. Los resultados aparecen en seguida, expresados en milímetros.
42, 39, 42, 45, 43, 40, 39, 41, 40, 42, 43, 42
¿Es razonable concluir que cambió la longitud media de las barras? Utilice el nivel de significancia 0.02.
Ejercicios para desarrollar

25. MASON D. Robert, Douglas LIND A. y William MARCHAL. Estadística para Administración y
Economía. 11ª. Edición, Alfaomega, 2004.
Hernández Sampieri Roberto, Fernández Collado Carlos y Bapista Lucio Pilar.
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN. Editorial Mc Graw Hill, edición 3ª. México, 2004
Referencias Informáticas