Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica variables aleatorias discretas y continuas, distribuciones de probabilidad, valor esperado, varianza, covarianza, correlación, muestreo, estimadores, sesgo y eficiencia de estimadores. Finalmente, define la consistencia de un estimador como tener un límite probabilístico cuyo pico se localice en el parámetro poblacional verdadero cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito.

1. Elementos Básicos deElementos Básicos de
Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística
Javier Aparicio
División de Estudios Políticos, CIDE
javier.aparicio@cide.edu
Julio 2009
http://publiceconomics.wordpress.com/verano2009

2. 2
Contenido
• Variables aleatorias (VA): X
• Distribución de probabilidad
• Valor esperado de una VA: E(X)
• Varianza de una VA:
• VA discretas y continuas
• Covarianza y correlación
• Muestreo y estimadores
• Sesgo y eficiencia de los estimadores
• Propiedades de los estimadores muestrales
• Teorema del Límite Central
[ ]2
)( µ−XE

3. 3
rojo 1 2 3 4 5 6
verde
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
X f p
2 1 1/36
3 2 2/36
4 3 3/36
5 4 4/36
6 5 5/36
7 6 6/36
8 5 5/36
9 4 4/36
10 3 3/36
11 2 2/36
12 1 1/36
Una variable aleatoria X se puede definir como la suma de los números
cuando se tiran dos dados. Se define f como las frecuencias asociadas
asociadas a los posibles valores de X.
Finalmente se define p, como la probabilidad de ocurrencia de cada resultado, la
cual es 1/36.
Un ejemplo de distribución de probabilidad: X es la suma de dos dados

4. 4
Esta es la distribución vista gráficamente. En este ejemplo es simétrica: más alta para X
igual a 7, y decreciente en ambos lados.
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
2
36
3
36
5
36
4
36
probabilidad
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
Un ejemplo de distribución de probabilidad: X es la suma de dos dados
1
36
1
36

5. 5
Definición de E(X), el valor esperado de X:
Notación alternativa de E(X):
E(X) = μx
Valor esperado de una variable aleatoria
El valor esperado de una variable aleatoria, también conocida como la media poblacional,
es el promedio ponderado de sus valores posibles.
∑=
=++=
n
i
iinn pxpxpxXE
1
11 ...)(

6. 6
Del ejemplo anterior, el valor esperado es 7, lo cual es obvio porque, como vimos en la
gráfica anterior, la distribución es simétrica en torno a 7.
Valor esperado de una variable aleatoria
xi pi xi pi xi pi xi pi
x1 p1 x1 p1 21/36 2/36
x2 p2 x2 p2 32/36 6/36
x3 p3 x3 p3 43/3612/36
x4 p4 x4 p4 54/3620/36
x5 p5 x5 p5 65/3630/36
x6 p6 x6 p6 76/3642/36
x7 p7 x7 p7 85/3640/36
x8 p8 x8 p8 94/3636/36
x9 p9 x9 p9 103/3630/36
x10 p10 x10 p10 112/3622/36
x11 p11 x11 p11 121/3612/36
Σ xi pi = E(X) 252/36 = 7

7. 7
Definición de E[g(X)], el valor esperado de una función de X:
Para encontrar el valor esperado de una función de una variable aleatoria, se calculan
todos los posibles valores de la función, ponderándolos por las probabilidades
correspondientes, y sumando el resultado.
Valor esperado de una función de una variable aleatoria
[ ] ∑=
=++=
n
i
iinn pxgpxgpxgXgE
1
11 )()(...)()(
Ejemplo:
∑=
=++=
n
i
iinn pxpxpxXE
1
22
1
2
1
2
...)(

8. 8
xi pi g(xi) g(xi ) pi xi pi xi
2
xi
2
pi
x1 p1 g(x1) g(x1) p1 21/36 40.11
x2 p2 g(x2) g(x2)p2 32/36 90.50
x3 p3 g(x3) g(x3)p3 43/36 161.33
… … …... ……... 54/36 252.78
… … …... ……... 65/36 365.00
… … …... ……... 76/36 498.17
… … …... ……... 85/36 648.89
… … …... ……... 94/36 819.00
… … …... ……... 103/36 1008.83
… … …... ……... 112/36 1216.72
xn pn g(xn) g(xn)pn 121/36 1444.00
Σ g(xi)pi 54.83
El valor esperado de X2
es la suma de sus valores ponderados en la columna final. Es el
valor promedio de de los valores en la columna previa, tomando las distintas
probabilidades en cuenta.
Valor esperado de una función de una variable aleatoria

9. 9
Varianza poblacional de X
El valor esperado de la desviación es conocida como la varianza poblacional
de X. Es una medida de dispersión de la distribución de X alrededor de su
media poblacional.
La desviación estándar de X es la raíz cuadrada de su varianza poblacional.
Varianza poblacional de una variable aleatoria discreta
[ ]2
)( µ−XE
2
Xσ
])[( 2
µ−XE
Xσ
Desviación estándar de X
[ ] i
n
i
inn pxpxpxXE ∑=
−=−++−=−
1
22
1
2
1
2
)()(...)()( µµµµ

10. 10
xi pi xi – µ (xi – µ)2
(xi – µ)2
pi
21/36 –5 250.69
32/36 –4 160.89
43/36 –3 90.75
54/36 –2 40.44
65/36 –1 10.14
76/36 0 00.00
85/36 1 10.14
94/36 2 40.44
103/36 3 90.75
112/36 4 160.89
121/36 5 250.69
5.83
Para obtener la varianza, primero es necesario sustraer la media a cada valor de
x. Segundo, este resultado se eleva al cuadrado y finalmente se multiplica por la
probabilidad de ocurrencia de cada x.
Varianza poblacional de una variable aleatoria discreta

11. 11
Dos variables aleatorias X y Y son independientes si y sólo si:
E[f(X)g(Y)] = E[f(X)] E[g(Y)]
para cualquier función de f(X) y g(Y).
Caso especial: si X y Y son independentes,
E(XY) = E(X) E(Y)
Independencia de dos variables aleatorias
Dos variables X y Y son independientes si y sólo si, dada cualquier función
de f(X) y g(Y), el valor esperado del producto de f(X)g(Y) es igual al valor
esperado de f(X) multiplicado por el valor esperado de g(Y).
Caso especial, el valor esperado de XY es igual al valor esperado de X
multiplicado por el valor esperado de Y, si y sólo si X y Y son
independientes.

12. 12
X
Variables aleatorias continuas
altura
55 60 70 7565
Las variables aleatorias continuas pueden tomar cualquier valor infinitesimal en un rango.
Un ejemplo es la temperatura de una habitación. Se asume que ésta puede situarse entre
cualquier valor entre 55 y 75 grados Fahrenheit con la misma probabilidad en todo el rango.
En el caso de variables aleatorias continuas, la probabilidad de ser igual a un valor en el
rango siempre es infinitesimal. Por esta razón, sólo se puede hablar de la probabilidad de
una variable aleatoria continua se encuentre dentro de un rango de valores dados.

13. 13
55 60 70 75
X
65
0.05
Variables continuas aleatorias
Densidad de
probabilidad
f(X)
f(X) = 0.05 para 55 X 75
f(X) = 0 para X < 55 y X > 75
≤ ≤
Soponga que se requiere calcular la probabilidad de la temperatura entre 65 y 70 grados.
Para obtenerla, se debe calcular el área debajo de la función de densidad entre 65 y 70.
La altura del rectángulo es 0.05 y su ancho es 5, por lo tanto su área es 0.25.
0.25

14. 14
[ ] [ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ] 000
)()()()(
)()())((
=×=−−=
−−=
−−=−−
YYXX
YX
YXYX
EYEEXE
YEXEYXE
µµµµ
µµ
µµµµ
[ ]))((),cov( YXXY YXEYX µµσ −−==
Covarianza y correlación
Si dos variables son independientes, su covarianza es cero.
Para demostrarlo se reescribe la covarianza como el producto de de los valores esperados
de sus factores. Esto se puede hacer porque X y Y son independientes.
El valor esperado de ambos factores es cero porque E(X) = µX y E(Y) = µY. E(µX) = µX y E(µY)
= µY porque µX y µY son constantes. Por lo tanto la covarianza es cero.
Covarianza

15. 15
Covarianza y correlación
Cov(X, Y) es una medida de asociación insatisfactoria entre X y Y porque depende de las
unidades de medida (o escala) de X y Y.
Una mejor medida es el coeficiente de correlación porque no es dimensional:
El numerador posee las unidades de medida de X y Y, mientras que la varianza de X y Y en
el denominador posee las unidades de medida al cuadrado de estas varibles.
Si X y Y son independientes, ρXY será igual a cero porque σXY será igual a cero.
Si hay una asociación positiva entgre ellos, σXY, y por tanto ρXY, será positiva.
Si hay una exacta relación lineal positiva, ρXY tomará su valor máximo de 1.
Similarmente,si hay una relación negativa, ρXYserá negativa con un valor mínimo de –1.
Correlación
22
YX
XY
XY
σσ
σ
ρ =

16. 16
Suponga que tenemos una variable aleatoria X, y
deseamos estimar su (desconocida) media
poblacional µX…
Un primer paso es obtener una muestra de n
observaciones: {X1, …, Xn}.
Aún antes de conseguir la muestra, Xi contiene valores
aleatorios, los cuales provendrán de la distribución de
X, pero no sabemos qué valores tomarán.
De modo que podemos pensar en variables aleatorias en
DOS niveles:
1. La variable aleatoria X por si misma
2. El componente aleatorio de la muestra {X1, …, Xn}:
error muestral.
Muestreo y estimadores

17. 17
Muestreo y estimadores
Una vez que tenemos una muestra de n observaciones
{X1, …, Xn}, podemos usar fórmulas matemáticas para
estimar la (desconocida) media poblacional, µX.
Esta fórmula es un estimador. Un estimador típico es la
media muestral:
…Este estimador es también una variable aleatoria
porque depende de las valores aleatorios {X1, …, Xn}.
( )nXX
n
X ++= ...
1
1

18. 18
Densidad de
probabilidad de X
µX XµXX
Densidad de
probabilidad de X
Como se ve en el gráfico, X tiene la misma media que X. Sin embargo, la varianza ed la
distribución de X es más pequeña que la de X.
Muestreo y estimadores

19. 19
Función de
densidad de
probabilidad
µX
estimator B
¿Cómo escoger entre los estimadores A y B? La respuesta es usar el estimador más
eficiente, es decir, aquel con la varianza más pequeña porque éste tiende a ser más
acertado. En el diagrama el estimador más eficiente es B.
Sesgo y eficiencia
estimador A

20. 20
Trade off entre sesgo y eficiencia (varianza)
Suponga que tiene un estimador alternativo θ de la población, uno insesgado, el otro
sesgado pero con menor varianza. ¿Cómo escoger entre ambos?
Función de
densidad de
probabilidad
θ
estimador B
estimador A

21. 21
Una medida ampliamente utilizada es la media del error cuadrado del estimador, definido
como el valor esperado del cuadrado de la desviación del estimador alrededor del
verdadero parámetro de la población.
Función de
densidad de
probabilidad
θ µZ
sesgo
[ ] 222
)()()(MSE θµσθ −+=−= ZZZEZ
estimador B
Trade off entre sesgo y eficiencia (varianza)

22. 22
Varianza:
Estimador:
Covarianza:
Estimador:
Estimadores muestrales de varianza, covarianza y correlación
( ) .
1
1
1
22
∑=
−
−
=
n
i
iX XX
n
s
( )( ).
1
1
1
∑=
−−
−
=
n
i
iiXY YYXX
n
s
( )( ){ }YXXY YXEYX µµσ −−==),(cov
( ){ }22
)var( XX XEX µσ −==

23. 23
Correlación:
Estimador:
Estimadores de varianza, covarianza y correlación
•El coeficiente de correlación de la población ρXY para dos variables X y Y es definida por su
covarianza dividida por la raíz cuadrada del producto de sus varianzas.
•El coeficiente de correlación muestral, rXY, se obtiene de reemplazar la covarianza y las
varianzas por sus estimadores.
22
YX
XY
XY
σσ
σ
ρ =
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )∑∑
∑
∑∑
∑
−−
−−
=
−
−
−
−
−−
−==
22
22
22
1
1
1
1
1
1
YYXX
YYXX
YY
n
XX
n
YYXX
n
ss
s
r
YX
XY
XY

24. 24
Consistencia
Un estimador de la población es consistente si satisface
dos condiciones:
(1)Posee un límite probabilístico (plim), de modo que su
distribución se vuelva un pico conforme el tamaño de
la muestra tienda a infinito, y
(2)El pico de esta distribución se localice en el
“verdadero valor” del parámetro poblacional.
Propiedades de los estimadores: consistencia

25. 25
En este ejemplo, el estimador cumple con ambas condiciones…
Una condición suficiente de consistencia es que el estimador debe ser insesgado y su
varianza debe tender a cero conforme n se incrementa.
50 100 150 200
n = 5000
0.8
0.4
0.2
0.6
Función de densidad de
probabilidad de X
Propiedades de los estimadores: consistencia

26. 26
Sin embargo, la condición es suficiente, no necesaria. Es posible que un estimador esté
sesgado en una muestra finita, pero el sesgo disminuye conforme el tamaño de muestra
aumenta.
n = 100
n = 1000
n = 20
Función de densidad de
probabilidad de Z
θ Z
n = 100000
Propiedades de los estimadores: consistencia

27. 27
Si una variable aleatoria X tiene una distribución normal, su media
muestral, X, también tendrá una distribución normal.
Sin embargo, ¿qué ocurre si no conocemos la verdadera distribución
de X? El teorema del límite central resuelve el problema.
El TLC establece que: si las observaciones Xi de una muestra son
obtenidas de manera independiente (aleatoria) de la misma
distribución y, si ésta distribución tiene una media y varianza
poblacional finita  la distribución de X convergerá hacia una
distribución normal.
Es decir, que aunque la distribución de X sea desconocida, la
distribución de sus estimadores muestrales tenderá a ser normal
conforme N aumente.
Esto implica que tanto los estadísticos t como los intervalos de
confianza serán aproximadamente válidos, siempre que la muestra
sea suficientemente grande.
Teorema del Límite Central

28. 28
Teorema del Límite Central
0
5
10
15
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
El gráfico muestra cómo, conforme n aumenta, la distribución de la media de X converge
hacia una distribución normal.
Applets en línea:
•A Central Limit Theorem Applet
•Sample from a population / Sampling distributions
n = 100