Teoria y Ejercicios Integrales Impropias

1. Integrales Impropias
Susana Pardo Romero Teoría y Ejercicios Impropias
Universidad Nacional Experimental del Táchira
Departamento de Matemática y Física
Asignatura Matemática II (0826201)
Cálculo de Integrales Impropias
1. Integrales Impropias.
Objetivo:
Calcular Integrales Impropias

2. 2
Susana Pardo Romero Teoría y Ejercicios Impropias
Hasta ahora hemos estudiado la integral de Riemann de una función 𝑓 acotada
y definida en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , además de la definición
de Integral Definida que se caracteriza por 2 condiciones:
 El Intervalo [𝑎, 𝑏] es cerrado y acotado, los extremos pertenecen al
intervalo.
 Y la función 𝑓 es acotada en el intervalo [𝑎, 𝑏].
Ahora generalizaremos este concepto:
 Donde los intervalos de integración son Infinitos.
 Donde los intervalos de integración son finitos pero la función 𝑓 tiene una
discontinuidad infinita.
I. Integrales Impropias de 1ª Especie Integral de una función acotada,
definida en un intervalo no acotado.
Sus intervalos son de la forma : (−∞, ∞ +) , [𝑎, + ∞) , (−∞, 𝑏] ,
Y las integrales de este tipo son:
∫ 𝑓
+∞
−∞
, ∫ 𝑓
+∞
𝑎
, ∫ 𝑓
𝑏
−∞
Siendo 𝑓 acotada en el intervalo correspondiente.
Estas funciones tienen al eje 𝑥 como asíntota horizontal.
1. Sea 𝑓 continua en el intervalo [𝑎, +∞) y supongamos que se conoce
una primitiva 𝐹 de la función 𝑓. Entonces,
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→+∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→+∞
[𝐹(𝑡) − 𝐹(𝑎)]
𝑡
𝑎
+∞
𝑎

3. 3
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2. Sea 𝑓 continua en el intervalo (−∞, 𝑏] y supongamos que se conoce
una primitiva 𝐹 de la función 𝑓. Entonces,
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→−∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→−∞
[𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑡)]
𝑏
𝑡
𝑏
−∞
3. Sea 𝑓 continua en el intervalo (−∞, +∞) y supongamos que se conoce
una primitiva 𝐹 de la función 𝑓 y tomando un valor 𝑐 del dominio.
Entonces,
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
𝑐
𝑐
−∞
+∞
−∞
= lim
𝑡→−∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim
𝑡→+∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡
𝑐
𝑐
𝑡
Así pues, el cálculo del valor de una integral impropia es reducir al cálculo de
manera consecutiva de una integral definida y de un límite.
Si los límites existen y tienen valores finitos se dice que la integral impropia
converge y si los límites no existen o no son finitos se dice que la integral
diverge.
II. Integrales Impropias de 2ª Especie: En este caso nos encontramos con
funciones definidas en intervalos tales que tienen un comportamiento
asintótico en alguno de sus extremos.
Sus intervalos son de la forma (𝑎, 𝑏) , [𝑎, 𝑏) , (𝑎, 𝑏]
O en el caso de que la función presente una discontinuidad infinita en un
punto 𝑐 del intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], es decir, que en 𝑥 = 𝑐 existe una
asíntota vertical.
1. Sea 𝑓 continua en el intervalo [𝑎, 𝑏) discontinua infinita en 𝑏 y
supongamos que se conoce una primitiva 𝐹 de la función 𝑓.

4. 4
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Entonces,
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→𝑏−
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→𝑏−
[𝐹(𝑡) − 𝐹(𝑎)]
𝑡
𝑎
𝑏
𝑎
2. Sea 𝑓 continua en el intervalo (𝑎, 𝑏] con discontinuidad en 𝑎 y
supongamos que se conoce una primitiva 𝐹 de la función 𝑓.
Entonces,
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→𝑎+
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→𝑎+
[𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑡)]
𝑏
𝑡
𝑏
𝑎
3. Sea 𝑓 continua en el intervalo [𝑎, 𝑏] excepto en un 𝑐 y supongamos que
se conoce una primitiva 𝐹 de la función 𝑓 .

5. 5
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Entonces,
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
= lim
𝑡→𝑐−
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim
𝑡→𝑐+
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑡
𝑡
𝑎
Por lo tanto, podemos afirmar que la idea básica que inspira el cálculo de las
integrales impropias de segunda especie es integrar hasta un punto 𝑡 arbitrario
en el interior del intervalo y después, hacer tender 𝑡 al extremo de integración
donde la función sea no acotada.
Ejemplo A Evaluar la integral
∫
1
√𝑒𝑥
𝑑𝑥
∞
0
Solución
La integral corresponde a una integral impropia de 1ª especie
El Dominio de la función son ℝ , por tanto es continua en el intervalo [0, +∞)
Aplicando la definición de integral impropia
∫
1
√𝑒𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑏→+∞
∫
1
√𝑒𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑏→+∞
∫ 𝑒−𝑥 2
⁄
𝑑𝑥
𝑏
0
𝑏
0
+∞
0
Hallando la Primitiva
= lim
𝑏→+∞
[−2𝑒−𝑥 2
⁄
]0
𝑏
Sustituyendo los valores extremos
= lim
𝑏→∞
[(−2𝑒−𝑏 2
⁄
) − (−2𝑒0 2
⁄
)]
= lim
𝑏→+∞
(−2𝑒−𝑏 2
⁄
+ 2)

6. 6
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Aplicando propiedades de límites
= lim
𝑏→+∞
(
−2
√𝑒𝑏
) + lim
𝑏→+∞
2
Hallando el límite cuando tiende a infinito
= 0 + 2 = 2
Ejemplo B: Estudiar la convergencia de la Integral
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)1 3
⁄
2
1
Y en caso de convergencia, calcular su valor
Solución:
Determinando el dominio de la función se observa que para 𝑥 = 1 no está
definida, por lo tanto, es continua en el intervalo (1, 2] y corresponde a una
integral impropia de 2º orden.
Aplicando la definición de integral impropia del caso 2
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)1 3
⁄
= lim
𝑎→1+
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)1 3
⁄
2
𝑎
2
1
= lim
𝑎→1+
∫ (𝑥 − 1)−1 3
⁄
𝑑𝑥
2
𝑎
Hallando la Primitiva
= lim
𝑎→1+
[
3
2
(𝑥 − 1)2 3
⁄
]
𝑎
2
Aplicando el teorema del cálculo, evaluando en el límite superior
menos el límite inferior
= lim
𝑎→1+
[(
3
2
(2 − 1)2 3
⁄
) −
3
2
(𝑎 − 1)2 3
⁄
]
= lim
𝑎→1+
[
3
2
−
3
2
(𝑎 − 1)2 3
⁄
]
Aplicando propiedades de límites
=
3
2
−
3
2
lim
𝑎→1+
(𝑎 − 1)2 3
⁄

7. 7
Susana Pardo Romero Teoría y Ejercicios Impropias
Y hallando el límite cuando tiende al valor por de 𝑎 = 1+
se tiene
=
3
2
−
3
2
(1 − 1)2 3
⁄
=
3
2
− 0 =
3
2
Ejemplo C Evaluar la integral
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
+∞
−∞
Solución:
La integral corresponde a una integral impropia de 1ª especie
El Dominio de la función son ℝ , por tanto es continua en el intervalo (−∞, +∞)
Aplicando la definición de integral impropia del caso 3
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
= ∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
+ ∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
+∞
0
0
−∞
+∞
−∞
= lim
𝑎→−∞
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
+ lim
𝑏→+∞
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑏
0
0
𝑎
A B
Resolviendo la parte A:
Hallando la primitiva
= lim
𝑎→−∞
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
= lim
𝑎→−∞
[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)]𝑎
0
0
𝑎
Aplicando el teorema del cálculo, evaluando en el límite superior
menos el límite inferior
= lim
𝑎→−∞
[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑎)]
Evaluando el límite
= 0 − (
−𝜋
2
) =
𝜋
2

8. 8
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Resolviendo la parte B:
Hallando la primitiva
= lim
𝑏→+∞
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
= lim
𝑏→+∞
[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)]0
𝑏
𝑏
0
Aplicando el teorema del cálculo, evaluando en el límite superior
menos el límite inferior
= lim
𝑏→+∞
[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑏) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)]
Evaluando el límite
=
𝜋
2
− (0) =
𝜋
2
Sumando la parte A y la parte B se tiene:
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
+∞
−∞
=
𝜋
2
+
𝜋
2
= 𝜋
Nota:
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0) = 0 , 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−∞) = −𝜋
2
⁄ , 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) = 𝜋
2
⁄
Ejemplo D: Evaluar la Integral
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
6
−∞
Solución:
Determinando el dominio de la función se observa que para 𝑥 = 4 no está
definida, por lo tanto, es continua en el intervalo (−∞, 4) ∪ (4, 6] y corresponde a
una integral impropia combinada de 1º orden y 2º orden.
En el primer intervalo (−∞, 4) debemos tomar un valor 𝑐 que pertenezca al
intervalo
Aplicando la definición de integral impropia

9. 9
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∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
6
−∞
= ∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
+ ∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
6
4
4
−∞
Separando en 2 integrales
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
6
−∞
= ∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
+ ∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
+ ∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
6
4
4
0
0
−∞
= lim
𝑎→−∞
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
+ lim
𝑏→4−
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
+ lim
𝑎→4+
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
6
𝑎
𝑏
0
0
𝑎
Hallando la integral Indefinida o primitiva
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
= ∫(4 − 𝑥)−2
𝑑𝑥
Aplicando cambio de variable o sustitución
𝑢 = 4 − 𝑥
𝑑𝑢 = −𝑑𝑥
= − ∫ 𝑢−2𝑑𝑢 = −
𝑢−1
−1
=
1
𝑢
𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
2
=
1
4 − 𝑥
Aplicando el teorema del cálculo, evaluando en el límite superior menos el
límite inferior
= lim
𝑎→−∞
[
1
4 − 𝑥
]
𝑎
0
+ lim
𝑏→4−
[
1
4 − 𝑥
]
0
𝑏
+ lim
𝑎→4+
[
1
4 − 𝑥
]
𝑎
6
= lim
𝑎→−∞
[(
1
4 − 0
) − (
1
4 − 𝑎
)] + lim
𝑏→4−
[(
1
4 − 𝑏
) − (
1
4 − 0
)] + lim
𝑎→4+
[(
1
4 − 6
) − (
1
4 − 𝑎
)]
Evaluando los límites
= (
1
4
−
1
∞
) + (
1
0
−
1
4
) + (
1
−2
−
1
0
)
∞ ∞
Se tiene
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
6
−∞
= ∞
Por tanto, la integral impropia diverge.

10. 10
Susana Pardo Romero Teoría y Ejercicios Impropias
EJERCICIOS PROPUESTOS
Evaluar las siguientes integrales y estudiar su convergencia
1.
∫
𝑥
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥
∞
9
𝑅: 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
2.
∫
1
𝑥. ln 𝑥
𝑑𝑥
∞
𝑒
𝑅: 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
3.
∫
ln 𝑥
𝑥2
𝑑𝑥
∞
2
𝑅:
1
2
(ln 2 + 1)
4.
∫
𝑑𝑥
(2𝑥 − 3)3
1
−∞
𝑅: −
1
4
5.
∫
𝑥
√𝑥2 − 9
𝑑𝑥
+∞
−∞
𝑅: 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
6.
∫
1
𝑥2 + 2𝑥 + 10
+∞
−∞
𝑅:
𝜋
3
7.
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)
1
3
⁄
3
1
𝑅:
3
√2
3
8.
∫
𝑑𝑥
√𝑥 − 3
10
3
𝑅: 2√7
9.
∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
1
0
𝑅:
𝜋
2
10.
∫
𝑑𝑥
𝑥3
3
1
𝑅: 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
11.
∫
𝑑𝑥
(2 − 3𝑥)1 3
⁄
4
0
𝑅:
1
2
(22 3
⁄
− 102 3
⁄
)
12.
∫
𝑥
16 − 2𝑥2
𝑑𝑥
−4
0
𝑅: 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
13.
∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥
𝜋
2
⁄
0
𝑅: 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
14.
∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥. 𝑠𝑒𝑐2
𝑥. 𝑑𝑥
𝜋
2
⁄
0
𝑅: 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
15.
∫ 𝑒−𝑥
. 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑑𝑥
∞
0
𝑅:
1
2

11. 11
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16.
∫
𝑥
√9 − 𝑥2
𝑑𝑥
3
−3
𝑅: 0
17.
∫ 𝑒2𝑥
𝑑𝑥
1
−∞
𝑅:
1
2
𝑒2
18.
∫
2𝑥. 𝑑𝑥
(𝑥2 − 4)
2
3
⁄
6
0
𝑅: 9√4
3
19.
∫
𝑥. 𝑑𝑥
(𝑥2 + 1)
5
2
⁄
0
−∞
𝑅: −
1
3
20
∫
√1 + 𝑥
√1 − 𝑥
𝑑𝑥
1
0
𝑅:
𝜋
2
+ 1
21.
∫
√𝑥
(1 + 𝑥)2
𝑑𝑥
∞
1
𝑠𝑢𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑥 = (√𝑥)
2
𝑅:
𝜋
4
+
1
2
Importante
Para ampliar la información, consultar el libro Cálculo de Larson, Capitulo Nº 7,
Integración, 6ta Edición.

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