Este documento presenta las principales identidades trigonométricas, incluyendo identidades reciprocas, por división, pitagóricas y auxiliares. Explica cómo aplicar estas identidades para simplificar expresiones y resolver problemas involucrando funciones trigonométricas. También provee ejemplos resueltos para demostrar el uso de las identidades.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo



























1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
 Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Son aquellas igualdades que relacionan funciones
trigonométricas de una cierta variable, las cuales se
verifican para todo admisible, clasificándose de la
siguiente manera:
1.-IDENTIDADES RECIPROCAS
 Sen  . Cosec  = 1   R - n
 Cos  . Sec  = 1 R–(2n+1)
 Tan  . Cotan = 1   R – n /2
2. IDENTIDADES POR DIVISION
 Tan  = Sen  / Cos  R–(2n+1)/2
 Cotan  = Cos  / Sen  R – n
3. IDENTIDADES PITAGORICAS
 Sen2
 + Cos2
 = 1 R
 1 + Tan2
 = Sec2
 R–(2n+1)/2
 1 + Ctg2
 = Csc2
 R – n
4. IDENTIDADES AUXILIARES
sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
tg x + cotg x = sec x . cosec x
sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
(1  senx  cosx)2
=2 (1  senx)(1  cosx)
Si: asenx +bcosx = C
22
bac 
Entonces:
c
b
x
c
a
senx  cos
 Si:
n
tgxxntgxx
1
secsec 
 Si:
m
ctgxxmctgxx
1
csccsc 

x
senx
senx
x
senx
x
x
senx
cos
1
1
cos
;
cos1
cos1






 (senx  cosx)2
= 1  2senx.cosx
RECORDAR
Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
Converso de “x” : cov = 1 – senx
Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
una identidad trigonométrica por un factor
numérico cualquiera, la identidad sigue
cumpliéndose.
 Sen 2
2x + cos 2
2x = 1
 1+ tg 2
x/2 = sec 2
x/2
 Sen 5x . csc 5x = 1

x
xsen
xtg
10cos
10
10 
5. TIPOS
A continuación te proponemos algunas guías o
sugerencias que te servirán para desarrollar
ejercicios, estas son:
 Escoger el miembro más complicado de la
identidad.
 Colocar el miembro escogido en términos
de senos y cosenos.
Semana Nº 7

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
 Hacer uso de identidades algebraicas,
según sea el caso.
 Cuando haya potencias puede ser útiles
hacer factorizaciones
 De las identidades fundamentales se
podrán deducir otras.
Los ejercicios sobre IDENTIDADES
TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos:
 Demostraciones
 Simplificaciones
 Condicionales
 Eliminación del ángulo
PROBLEMAS Resueltos
1. Simplifique:
  
 
cov x vers x cov x
E
vers x cov x
  

 
1 1
1
A) vers x B) cov x C) 2 -vers x
D)2-cov x E) 2 + cov x
  
 
cov x versx cov x
E
versx cov x
  

 
1 1
1
     
   
senx cosx senx
E
cosx senx
           
   
1 1 1 1 1
1 1 1
 senx senx cos x senx cos x
E
cos x senx senx cos x
     
         
1 1
1 1
 senx cosx sen x
E
senxcosx
  
 
2 2
1
2
    cos x cos x cos x
E
cos x
   

2
1 1 1
2
  cosx cosx cosx
E
cosx
   

1 1 1
2
E cos x 1
E versx  1 1
E versx 2
2. Simplifique:
cosx
k
senx cosx

 
 
2 2
1
1
A) cos x
senx1
B) senx
cos x
1 C) 1- sen x
D) 1 + sen x E) cos x
senx1
cos x
K
senx cos x

 
 
2 2
1
1
senx cos x cos x
K
senx cos x
   

 
1 2 2
1
 
 
 
 
senx cosx senx cosx
K
senx cosx senx cosx
   

   
1 1
1 1
 senx cos x
K
senxcosx
 

2 2
1
2
    senx senx senx
K
senxcosx
   

2
1 1 1
2
  senx senx senx
K
senxcosx
   

1 1 1
2
  senx senx senx
K k
senxcosx cosx
 
  
1 2 1
2
3. Eliminar “x” si:
sec x atgx 2
2
csc x ctgx 2
2
A) a b2
B)a b 2 2
0
C) a b  0
D)a b  0 E) a b 2
 sec x atgx tg x    2 2
2 2 1
 atgx tg x atgx  2
1 ………(*)
 csc x bctgx ctg x    2 2
2 2 1
 bctgx ctg x b ctgx  2
1
tg x b
tg x tgx


2
2
1
tg x btgx 2
1 …………….…(*)(*)
(*) + (*) (*)
(a b)tgx a b    0 0
4. Si: Btg x sen x
A tg x
ctg x cos x



2 2
2 2
Halle: (A + B)
A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
 
 
sen x
sen x
sen x sec xcos x
cos x cos x csc x
cos x
sen x





2
2
2 22
2 2 2
2
2
1
1
 sen x tg x tg x tg x
tg x
cos x ctg x
tg x
     
   
2 2 2 2
6
2 2
2
1 1
11 1

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
 B
tg x A tg x6
1 A = 1; B = 6 A + B =7
PROBLEMAS DE CLASE
1. Si se cumple que
𝑐𝑠𝑐𝑥 − √3 𝑐𝑜𝑡𝑥 = √6
Calcule √3𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥
A) √2 B) 2 C) 2√2 D) 4 E) 4√2
2. Simplifique
𝑠𝑒𝑛6 𝑥−(1− 𝑐𝑜𝑠2 𝑥) (1−𝑠𝑒𝑛2 𝑥)+𝐶𝑜𝑠6 𝑥
2(1−2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥)
−
1
2
A) 𝑠𝑒𝑛𝑥 B) 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 C) ½
D) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 E) 𝑠𝑒𝑛𝑥 – 𝑐𝑜𝑠𝑥
3. Calcule el valor de
(2+2𝑠𝑒𝑛𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥)4
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)2 (1−𝑐𝑜𝑠𝑥)2
A) 16 B) 32 C) 48 D) 64 E) 72
4. Simplifique.
(√2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑐𝜃) (√2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑠𝑐𝜃)
𝑠𝑒𝑐𝜃𝑠𝑒𝑛3 𝜃 + 𝑐𝑠𝑐𝜃𝑐𝑜𝑠3 𝜃
A) ½ B) 1 C) 2 D) 4 E) 8
5. Simplifique la siguiente expresión.
(
2 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜃𝑐𝑜𝑠2
𝜃
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠2 𝜃
) (
1 + 𝑠𝑒𝑛4
𝜃
1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
+
1 + 𝑐𝑜𝑠4
𝜃
1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
)
A) 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 B) 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 C) 1 D) 2 E) 5
6. Simplifique la expresión
2 + 𝐶𝑜𝑡2
𝑥
𝑐𝑠𝑐4 𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2 𝑥
− 𝑠𝑒𝑛𝑥. √
𝑠𝑒𝑐2 𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑐𝑠𝑐4 𝑥
si x es un ángulo del tercer cuadrante.
A) 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 B) 𝐶𝑜𝑠2
𝑥 C) 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
D) 2𝐶𝑜𝑠2
𝑥 E) 0
7. Si 𝑐𝑜𝑡𝑥 > 𝑡𝑎𝑛𝑥 , reduzca 𝑐𝑜𝑡𝑥 +
(𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 4)
1
2
A) 𝑡𝑎𝑛𝑥 B) – 𝑡𝑎𝑛𝑥 C) – 𝑐𝑜𝑡𝑥
D) 𝑐𝑜𝑡𝑥 E) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥
8. Si 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 = 7, halle
E=(𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥)( 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2
𝑥)
A) 13 B) 14 C) 22 D) 16 E) 15
9. Si 𝑆𝑒𝑛𝜃 =
𝜋
4
+ 𝑐𝑜𝑠𝜃
Calcule tan (√1 −
2
𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃
)
A)− √3 B) – 1 C)
√3
2
D) 1 E) √3
10. Si 4𝑐𝑜𝑠6
𝑥 – 6𝑐𝑜𝑠4
𝑥 + 8𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 𝑎,
calcule el valor de 2𝑠𝑒𝑛6
𝑥 – 3𝑠𝑒𝑛4
𝑥 +
4𝑠𝑒𝑛2
𝑥 = 𝑎
A)−
𝑎
2
B)
3−𝑎
2
C)
3+𝑎
2
D)
6+𝑎
2
E)
6−𝑎
2
11. Halle el mínimo valor de
𝑠𝑒𝑐4
𝑥 + 𝑐𝑠𝑐4
𝑥; 𝑥 ∈ 𝑅.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 16
12. Reduzca
𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑡2
𝜃 − 2
𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 2
−
𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑡2
𝜃 + 1
𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 + 1
A) 0 B) ½ C) 1 D) 2 E) 3
13. Si 𝑡𝑎𝑛𝑥 – 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1, calcule 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥.
A)√2 + 1 B) √2 + 2 C) 2√2
D) 4√2 E) 4
14. Si m y M son los valores mínimo y
máximo, respectivamente, de 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛6
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6
𝑥, calcule 𝑚 + 𝑀.
A) 1 B)√2 C)√3 D)
5
4
E)
3
2
15. Calcule el mínimo valor de
𝑠𝑒𝑐4
𝑥 + 𝑐𝑠𝑐4
𝑥 + 𝑠𝑒𝑐4
𝑥𝑐𝑠𝑐4
𝑥
A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28
16.Obtenga el equivalente de
(𝑐𝑜𝑠𝛼– 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼)(𝑠𝑒𝑐𝛼 + 𝑡𝑎𝑛𝛼) + 𝑠𝑒𝑛2
𝛼
A) 1 B)
1
2
C) 𝑠𝑒𝑛2
𝛼 D) 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 E) – 𝑠𝑒𝑛2
𝛼
17. Simplifique
1−𝑡𝑎𝑛2 𝜃
1−𝑐𝑜𝑡2 𝜃
+
1+𝑠𝑒𝑐2 𝜃
1+𝑐𝑜𝑠2 𝜃
A) –1 B) 1 C) 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 D)– 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 E)–𝑐𝑜𝑠2
𝜃
18.Si 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = √2,

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
calcule 𝑠𝑒𝑛3
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠3
𝜃
A)−
√2
2
B) 1 C)
√2
2
D) √2 E) –1
19.Si se cumple que 𝑘 =
𝑐𝑠𝑐𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃+𝑡𝑎𝑛𝜃
,
Calcule 𝑐𝑜𝑡𝜃 (
1+𝑐𝑜𝑠𝜃
1+𝑠𝑒𝑛𝜃
)
A) k B)
𝑘
2
C)
2
𝑘
D)
1
𝑘
E) 2k
20.Simplifique
(𝑡𝑎𝑛2 𝑥− 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)( 𝑐𝑜𝑡2 𝑥− 𝑐𝑜𝑠2 𝑥)
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
A) 1 B) 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 C) 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 D) 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 E) 𝑐𝑜𝑡2
𝑥
21.Calcule el valor de
2 + 2𝑠𝑒𝑐2
𝜃𝑡𝑎𝑛2
𝜃– 𝑠𝑒𝑐4
𝜃– 𝑡𝑎𝑛4
𝜃
A) – 2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
22.Reduzca la siguiente expresión.
(
𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠3
𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛3 𝜃
)
2
+ 1
A)𝑠𝑒𝑛2
𝜃 B)𝑡𝑎𝑛2
𝜃 C)𝑐𝑜𝑡2
𝜃 D)𝑠𝑒𝑐2
𝜃 E) 𝑐𝑠𝑐2
𝜃
23.De la siguiente igualdad
𝑡𝑎𝑛 4
𝑥 − 𝑠𝑒𝑐4
𝑥 = 1 −
𝐴
1−𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑥
,
calcule A+B.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
24.Simplifique la siguiente expresión.
(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2
(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥) (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥)
A) senx B) cosx C) tanx D) 1 E) 2
25.Simplifique la expresión
(𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1)−1 + (𝑐𝑠𝑐𝑥 – 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1)−1
A) 1 B) senx C) tanx D) secx E) cscx
26.Obtenga el equivalente de A, si se cumple
que
𝐴 = (1 + 𝑡𝑎𝑛𝜃) =
𝑠𝑒𝑐𝜃−1
𝑠𝑒𝑐𝜃+𝑡𝑎𝑛𝜃
−
𝑠𝑒𝑐𝜃+1
𝑠𝑒𝑐𝜃−𝑡𝑎𝑛𝜃
A) – 2sec𝜃 B)2sec𝜃 C)3sec𝜃
D)–3sec𝜃 E)4sec𝜃
27.De la condición 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 =– 2,
calcule el valor de
𝑠𝑒𝑐2 𝑥+2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑠𝑒𝑐2 𝑥−2𝑠𝑒𝑛2 𝑥
A) –1 B) 1 C) 0 D) 2 E) 4
28.A partir de la condición
[
𝑡𝑎𝑛𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑥
−
𝑡𝑎𝑛𝑏
tanx
]
2
= 𝑡𝑎𝑛2
𝑎 − 𝑡𝑎𝑛2
𝑏
halle cosx.
A)
𝑡𝑎𝑛𝑎+1
𝑡𝑎𝑛𝑏−1
B)
2𝑡𝑎𝑛𝑎
𝑡𝑎𝑛𝑏
C)
𝑡𝑎𝑛𝑏
𝑡𝑎𝑛𝑎
D)
𝑡𝑎𝑛𝑎
𝑡𝑎𝑛𝑏
E) 𝑡𝑎𝑛𝑎 + 𝑡𝑎𝑛𝑏
29.Si 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥 = √5; 0 < 𝑡𝑎𝑛𝑥 < 𝑐𝑜𝑡𝑥,
calcule
𝑡𝑎𝑛4−𝑐𝑜𝑡4 𝑥
𝑡𝑎𝑛4+ 𝑐𝑜𝑡4 𝑥
A)−
√5
7
B)
2√5
7
C)
3√5
7
D) −
5√5
7
E) −
3√5
7
30.Si 𝑠𝑒𝑐𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑚, calcule el
valor de √ 𝑠𝑒𝑐𝛼 + √ 𝑠𝑒𝑛𝛼 √ 𝑡𝑎𝑛𝛼 + √ 𝑐𝑜𝑠𝛼
A) 2m B) 2(m+1) C) √2(𝑚 + 1)
D)√ 𝑚 + 1 E) 2√ 𝑚 + 1
31.Si 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3
𝑥 = 1, halle el
valor de 𝑠𝑒𝑛3
𝑥 + 𝑐𝑠𝑐𝑥.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
32.Si 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 1– 𝑠𝑒𝑛𝑥, calcule 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥.
A)
√2
2
+ 1 B) √2 − 1 C)
2√2
3
D)
√3
3
− 1 E)
√2−1
2
33. Si se cumple que
𝑠𝑒𝑛𝑥(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 1 , calcule 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2
𝑥.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 3/2 E) 4
34.Calcule 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2
𝜃 ,
si 𝑡𝑎𝑛2
𝜃 =
𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝑥−𝑐𝑜𝑠2 𝑥
1−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
,
considere 𝑡𝑎𝑛𝑥 ≠ 0.
A) – 2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
35.Si se cumple que
1−𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴
= 3,
calcule
1+𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴
.
A) –1 B)
1
2
C) – 2 D) 1 E) 2