Ayuda a entender lo que es una función

1. MATEMÁTICA I
PROF. ROSARIO CORTEZ
CENTENO
SEMANA 1
SESIÓN 1
FUNCIÓN
DEFINICIÓN.DOMINIO Y RANGO
FUNCIÓN INYECTIVA

2. LOGROS DE LA SESIÓN
 Al finalizar la sesión de clase, el alumno tendrá
la idea clara de lo que es función.
 Al finalizar la sesión de clase, el alumno
determinará dominio y rango de una función.

3. IDEA INTUITIVA DE FUNCION
Resulta útil concebir una función como una
máquina de hacer cálculos. Si x esta en el
dominio de la función f, entonces x entra a la
maquina, se acepta como una entrada y la
maquina produce una salida de acuerdo con la
regla de la función.
x f f(x)
(Entrada) (Salida)
Por ejemplo, si la regla que define a f es
f(x)=x-1, tenemos
1 f f(2)=1
3

4. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
 Una función es una regla que asigna a cada elemento de un
conjunto D, exactamente un elemento, llamado , de un
conjunto E.
 Gráficamente

5.  El rango f es el subconjunto de E que consiste en
todos los valores posibles de f(x). conforme x varíe
en todo el dominio D
 El conjunto D se llama dominio de la función. El
número f(x). es el valor de f en x , y se lee “efe
de equis”.
 Deahora en adelante, solo trabajaremos con
funciones para las cuales los conjuntos son
subconjuntos de R ; a estas funciones se les
llamara funciones reales de variable real.

6. Una variable que representa los números de
entrada para una función se llama variable
independiente. La que representa los números
de salida es una variable dependiente.
6
Por ejemplo: Variable
independiente
A(r)=π r2
Variable
dependiente

7. EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN
SE DESCRIBE UNA FUNCIÓN POR MEDIO
DE UNA FÓRMULA QUE SE ESPECIFICA
CÓMO SE CALCULA EL NÚMERO F(X) EN
TÉRMINOS DE X.

8. EJEMPLO 1
Dada la función f definida por la regla f ( x) = x 2
Hallar.
1. f(-1) , f(0) y f(t)
2. f(a+b)
3. El dominio de f
4. Rango de f
8

9. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
La grafica de f también nos permite tener una imagen del
dominio y del rango de f sobre el eje x y el eje y
respectivamente.
y y
(x,f y = f (x)
(x))
rango
f (x)
f (2)
f (1)
0 1 x x 0 x
2
domini 9
o

10. EJEMPLO 2.
En la figura se muestra la grafica de una función f.
y
1. Encuentre los valores de f(1)
y f(0)
2. Hallar los valores de x para
los que f(x)=0
3. Hallar los valores de x para
los que f(x)<0
4. ¿Cuál es el dominio y rango
x0 x
de f?
10

11. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL
Una curva en el plano xy es la grafica de una función en la
variable x si ninguna recta vertical corta a la curva mas de una
vez
5 y = x2
x 2 + y2 = 4
3
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
Es función No es función

12. DOMINIO NO ESPECIFICADO
Si una función se define como en el ejemplo 1, y no se
especifica el dominio , entonces se considera que el
dom(f) es la totalidad de los números reales tales que
f(x) es real, a veces se le llama dominio implícito de f.
EJEMPLO 3
Determine el dominio de las siguientes funciones:
(a) f ( x) = x + 1 (b) g ( x) = x 2 − 1
1 1
(c ) h( x ) = (d ) F ( x) =
2 x + 512
x −4

13. FUNCIÓN
Caso 1: Cuando el dominio esta implícito en la regla de
correspondencia que define a la función. En este caso se
despeja x en términos de y, luego se analiza para que valores
de y, x es real.
Ejemplos: Hallar el rango de las siguientes funciones:
( a ) f ( x) = x + 1
2
(b) g ( x) = x − 1
1
(c ) h( x ) =
2
x −4

14. Caso 2: Cuando el dominio esta escrito explícitamente junto
.
con la formula que define a la función. Es decir, si f : A → B
entonces Ran(f)=f(A) donde f(A) el conjunto de imágenes
de x tal que
Ejemplo :x ∈ A
Sea la funcion
{
f = ( x, y ) ∈ ℜ / f ( x) = 4 + 2 x − x , x ∈ [ 2,6]
2
}
Hallar su rango.

15. Función inyectiva
Si todos los elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del
rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen. Esto es:
f ( a ) = f ( b) ⇒ a = b ∀a, b ∈ Dom( f )
Ejemplos: f(x) = x+5 es una función Inyectiva
1
A
2
B
3
C
4
D
5

16. Sea una función de A en B (f:A→B). Si f(A)=B, es decir,
Sea una función de A en B (f:A→B). Si f(A)=B, es decir,
si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento
si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento
de A, se dice entonces que ffes una función sobreyectiva.
de A, se dice entonces que es una función sobreyectiva.
•
•
•
•
•
•
•
A f • B
•

17. Una función f es biyectiva a1 • •b1
si es inyectiva y
sobreyectiva a la vez. a2 • •b2
a3 • • b3
f
A a4• • b4 B
f: A → B
f(a1) ≠ f(a2) entonces a1 ≠ a2
f(A) = B; luego f es biyectiva

18. Operaciones con Funciones
Sean f y g funciones. Entonces las funciones
suma f+g, diferencia f-g, producto f.g y
cociente f/g se definen por:
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g=Df ∩Dg
b. (f – g)(x) = f(x) – g(x); Df-g=Df ∩Dg
c. (f · g)(x) = f(x) · g(x); Df.g=Df ∩Dg
d. (f / g)(x) = f(x) / g(x); Df/g=Df ∩Dg−{x/g(x)=0}
18

19. Ejemplo 1
19

20. Ejemplo 2
20

21. Ejemplo 3
21