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1. Sesión 03 / UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN - JULIACA
FUNCIÓN INYECTIVA SOBREYECTIVA
Y BIYECTIVA
I. Función Sobreyectiva. Una función f:A→B se dice que es
una función sobreyectiva (suryectiva, epiyectiva, sobre) si el
rango de f coincide con el conjunto de llegada B; es decir
“f es sobreyectiva ↔ Rango (f) = B” ó
“f es sobreyectiva ↔ y B,  x A / f(x)=y”
Gráficamente
A B
f
x y
Rang f
A B
f
x y
Rang f
f es sobreyectiva f no es sobreyectiva
y y
II. Función Inyectiva. Una función f:A→B, se dice inactiva
(univalente) si cada elemento de B es imagen de, a lo mas, un
elemento de A.
Simbólicamente
“f(x1) = f(x2)  x1 = x2,  x1,x2  Dom f” ó
“x1  x2  f(x1)  f(x2)”
Gráficamente
f(x2)
f(x1)
x2
x1
Observación. F es inyectiva si cualquier recta L horizontal corta
a la grafica de f en un solo punto.
x
L
f
L
f
y
x
y
f es inyectiva f no es inyectiva
III. Función Biyectiva. Una función f:A→B es biyectiva
(bisección) si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Gráficamente
xA
f f
y
x
y
f biyectiva
Rang f = B
f no biyectiva
Rang f B
B
A
B
FUNCIONES INVERSAS
Si una función f={(x,y)/ x  Dom f} es inyectiva, se define su
función inversa denotado f-1
como: f-1
= {(y,x)/ x  Dom f}
Gráficamente
A B
f
a
b
c
x
y
z
A B
f-1
a
b
c
x
y
z
Nota. Dom f-1
= Rang f
Rang f-1
= Dom f
(f-1
)-1
= f
PROPIEDAD FUNDAMENTAL.
)y(fx)x(fy 1

TEOREMA. Una función f: A→B tiene función inversa f-1
: B→A
si y solo si f es biyectiva.
Nota. f-1
(f(x)) = x
f(f-1
(y)) = y
(f o g)-1
= g-1
o f-1
f-1
es simétrica a la recta y = x (eje de simetría) que actúa
como espejo doble. De manera que la grafica de f-1
se halla
reflejando la función f. con respecto a la recta y = x.
CALCULO DE LA FUNCION INVERSA.
1º De y = f(x) se despeja “x” en términos de “y” el cual
proporcionara x = f-1
(y)
2º Se halla Rang f, el cual será el Dom f-1
3º Se intercambia “y” por “x” en 1º
También se halla la función inversa utilizando
f(f-1
(x)) = x
Ejemplo. Hallar f-1
si:
Y = f(x) = 2x – 7; x  0,5]
Solución.
Para que exista f-1
, f(x) debe ser inyectiva.
f(x1) = f(x2) x1, x2  0,5]
2x1 – 7 = 2x2 -7
2x1 = 2x2
x2 = x1  f es inyectiva
1º x = )7y(
2
1


f-1
(y) = )7y(
2
1

2º El dominio de f-1
es el rango de f
0 < x  5  0 < 2x  10
 -7 < 2x - 7 3
 -7 < y  3
 y = f(x)  -7, 3]
o sea: Rang f = -7, 3]

2.  Dom f-1
= -7, 3]
3º f-1
(x) = )7x(
2
1

También utilizando: f(f-1
(x)) = x
f(x) = 2x – 7
2(f-1
(x)) – 7 = x
2f-1
(x) = x + 7
f -1
(x) = )7x(
2
1

FUNCIÓN INYECTIVA SOBREYECTIVA
Y BIYECTIVA
1. Si f:[0, >  [0, 1/2>/
)1x(2
x
)x(f

 es:
a) Inyectiva b) Biyectiva c) Suryectiva d) N.A.
2. Si: A = {x  IR/ x  -1}; B = {x  IR/ x ( 0}
3x
1x
B/(x)A:f


 se afirma:
a) f es inyectiva
b) f es sobreyectiva
c) f es biyectiva
¿Cuáles son verdaderas?
3. Si
3x
2x
f(x)B,A:f


 , si A = IR – {3}; B = IR – M.
¿Cuál será M si f es sobreyectiva?
4. Si 2xx42)x(f  , se afirma:
I. f es inyectiva x  IR
II. f es inyectiva para x  <-, 2]
III. Si y  [2, 5]   [0, 1]  [3, 4]
¿Cuáles son verdaderas?
5. Si g(x) = x + 2|x| ¿g es una función inyectiva?
6. f: IR  IR / f(x) = |x – 5|
g: IR  IR / 12x)x(g 
h: IR  IR / h(x) = x + 1, entonces: ¿cuáles son verdaderos?
a) f es sobreyectiva b) g es inyectiva
c) h es biyectiva d) 1g e) N.A.
7. La proposición correcta es:
a) Si f(x) = 4, dominio de f es 4
b) Si
x
1
)x(f  Df = R
c) La grafica de 3x)x(f  , pasa por el punto (1, 2)
d) La función f(x) = x + 4, no es inyectiva z  R
e) Si [,5])12(f8x)x(f 
8. Sean las funciones f, g, h definidos en los enteros por:
f(x) =x + 3; g(x) = 2; 12x)x(h  , son verdaderas?
a) Sólo f es biyectiva y g no es biyectiva
b) Sólo g no es inyectiva y h es sobreyectiva
c) Sólo f es biyectiva y h es sobreyectiva
d) g es sólo biyectiva
e) N.A.
9. Si 13x122x3)x(f  para x  [3, 5], afirmamos:
I. f es inyectiva
II. El Ran(f) es [4, 28]
III. (x; x(Dom(f), tal que: f(x) = 0
Son verdaderas:
a) I y II b) Todas c) I
d) II e) II y III
10. Si f, g, h son funciones reales de variable real definidas
mediante: f(x) = |x – 4| + |x + 5|
34xh(x);
1x
3x
g(x) 



Afirmamos:
I. f es inyectiva
II. Ran(g) = IR
III. h es biyectiva
Son verdaderas:
a) I b) II c) III
d) I y III e) II y III
11. Si f(x) = 2 + 4x – x2
; Dom(f) = IR. Se afirma:
I. f es inyectiva para x ( IR
II. f es inyectiva para x ( [2, (>
III. f es inyectiva para x ( [0, (>
Son verdaderas:
a) I y II b) II c) I y III
d) III e) N.A.
12. Si f, g y h son definidas en
IR / f(x)=x–2|x|; 23xh(x);
2x
1x
g(x) 



Se afirma:
I. f es inyectiva
II. g es sobreyectiva
III. h es biyectiva
Son verdaderas:
a)I b) II c) III
d) I y II e) N.A.
13. De las siguientes funciones definidas por:
I. f(x) = |x – 2|; si x ( 2
II. g(x) = x2 – 3; si – 1 < x < 1
III. lRxSi;
3
12x
h(x) 


Son inyectivas:
a) I y III b) II y III c) I
d) III e) N.A.
14. Sea:  1,3[x;6x82x2)x(f/IRIR:f
Se afirma:
I. f es inyectiva
II. Dom(f) ( Ran(f) = [-2, 1>
III. Ran(f) = [0, 6>. Son verdaderas:
a) I y III b) II c) II y III
d) I y II e) N.A.
15. Probar si la función g: IR  IR, definida por 3x)x(g  es
subyectiva
16. Probar analíticamente si las siguientes funciones son
subyectivas.
I.
12x
x
)x(f



3. Sesión 03 / UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN - JULIACA
II. 2x4)x(f/]2,0[IR:f 
III. f: IR  IR / f(x) = 4x – 7
IV.
x
1
)x(f/IRIR:f 
V. 42x)x(f/,0[IR:)x(f 
17. Dada la función f: A  B, donde:
A = [-3, 3];
B = [-15, 15]; 8x42x)x(f  , determinar:
a) Si f es inyectiva (uno a uno)
b) Si f no es inyectiva, determinar que restricciones deben
hacerse al dominio de f, tal que f sea inyectiva sobre
dichas restricciones.
c) Determinar si f es subyectiva
18. ¿Cuáles de las siguientes funciones son crecientes o
decrecientes en el dominio indicado?
a) IRx;3 x)x(f/IRIR:f 
b) 

 ,1x;
1x
x
)x(g/,1IR:g
c) 

 2,2x;
2x4
x
)x(h/IR2,2:h
d)  1,x;13
2
)1x()x(k/IRIR:k
19. Si f: A  B; A = [0, 4>
B = [0, 2> ( [4, 8>
Determinar su regla de correspondencia, sabiendo que es
lineal y subyectiva
FUNCIÓN PAR E IMPAR
1. Si f(x) = |x – 4| y 3x)x(g  . Entonces podemos afirmar:
a) f es par, g es par
b) f es impar, g es impar
c) f es par, g es impar
d) f es impar, g es par
e) f no es par ni es impar, g es impar
2. ¿Cuál es la función que es par e impar a la vez?
a) Identidad b) Constante c) Nula
d) Lineal e) Cuadrática
3. La función f(x) = |x| + x es:
a) Creciente b) Decreciente c) Par
d) Impar e) Periódica
4. ¿cuál de las siguientes funciones son par, impar y cuáles
de ellas no son, ni par, ni impar?
a) Dfx;
120
5x
6
3x
x)x(f 
b) 3 2)1x(3 2)1x()x(g 
c)
x
2)x1(
)x(k


5. Indicar verdadero o falso según convenga:
I. f(x) = |x| es una función polinomial
II.
x
12x)x(f  , es una función polinomial
III. f(x) = 1 + 2x + 3x es una función polinomial
IV. f(x) = x, es creciente en ]0, [
V. f(x) = -x, es decreciente Rx
a) FFVVV b) VFVVV c) VVVVV
d) FFVVF e) FFVFF
6. Indicar el valor de cada una de las proposiciones siguientes:
I. Si f es una función par entonces F2
también es par
II. Si F es una función par entonces F3
es impar
III. Si f es una función impar entonces F2
es par
IV. Si F es una función impar entonces F3
es impar
V.Si F es una función impar entonces –F es par
a) VFVVV b) VFVVF c) VFVFV
d) VVFFF e) VFVFF
7. Si f: A ( B, A = [1, 4], B = [-2, 5],
bax
1
f(x)

 . Determinar
a y b, tal que la función f sea biyectiva.
Clasificar las siguientes funciones como par, impar o ninguna
a)
bx
1x
f(x)


 b)
)1x)(1x(
x
)x(g


c)
)1x)(1x(
2x
)x(h

