ESTADISTICA

1. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Distribuciones del muestreo
M.I. Ortego
ETSECCPB. Universitat Politècnica de Catalunya
Fonaments Estadística Aplicada.
Màster en Ciència i Tecnologia de la Sostenibilitat
Curso 2015/16

2. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Algunas definiciones
Sea X una variable aleatoria de interés.
Población
Conjunto homogéneo de elementos en los que se estudia una
característica, variable o medida (cuantitativa o cualitativa). Es
una manera de representar el espacio de probabilidad de X.
Muestra
Conjunto de individuos o elementos de la población de los que
se conoce el valor de X en ellos.
El conjunto debe ser representativo para poder inferir, a partir
de ellos, propiedades de la población.
El modelo para una muestra consiste en suponer que cada in-
dividuo de la muestra responde a una realización de la v.a. X.
Al número de individuos se le llama extensión de la muestra.

3. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Contexto
Inferencia Estadística:
Enfoque paramétrico:
Problema: Dada una población, existen parámetros
(valores poblacionales) desconocidos.
Soluciones:
⇧ Creencia a priori de que el parámetro tiene algún valor
(no estadístico)
⇧ Dar un único valor (Estimación puntual)
⇧ Dar un intervalo (Estimación por intervalos)
⇧ Dar un rango de valores, y confirmarlo mediante técnicas
estadísticas (Test de hipótesis)
Enfoque no paramétrico:
Otras características del modelo, por ejemplo su
distribución (Test no paramétricos)

4. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Muestreo aleatorio simple
Muestra aleatoria simple e independiente (m.a.s.)
Una m.a.s. cumple:
1 Cada elemento de la población tiene la misma
probabilidad de ser elegido
2 Las observaciones se realizan con reemplazamiento, de
forma que la población es idéntica en cada extracción
3 La elección de los individuos no depende de extracciones
anteriores

5. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Muestreo aleatorio simple
Dada X ⇠ fX , la muestra aleatoria simple es un conjunto de v.a.
independientes, Xi, i = 1, . . . , n tal que
Xi ⇠ fX , i = 1, . . . , n
Xi mutuamente independientes
)
fX1...Xn (x1, . . . , xn) =
nY
i=1
fX (xi)
Cuando se realizan las v.a., Xi = xi, la muestra pasa a ser un
conjunto de números xi, i = 1, . . . , n.

6. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Estadístico
Estadístico
Se llama estadístico a cualquier función de la muestra que no
contenga parámetros desconocidos
Ejemplos: X v.a., X1, . . . , Xn muestra aleatoria simple (m.a.s.)
Media muestral o promedio empírico (v.a.): X = 1
n
Pn
i=1 Xi,
Media muestral (realización): x = 1
n
Pn
i=1 xi
Máximo (aleatorio): Z = maxi=1,...,n{X1, . . . Xn}
Varianza muestral (v.a.): S2
n = 1
n
P
(Xi X)2
Varianza muestral insesgada (v.a.):
S2
n 1 = 1
n 1
P
(Xi X)2
Obs: Determinados estadísticos son los más usados, pero es
posible usar cualquier función de la muestra. Es necesario
escoger aquél estadístico apropiado a la información
disponible, y que posea buenas propiedades.

7. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Estadístico como variable aleatoria
La descripción más detallada del comportamiento de un
estadístico es su distribución, interpretando el estadístico como
una v.a. Por tanto si Z = Z(X1, . . . , Xn) es un estadístico,
entonces FZ , fZ , pZ es la mejor descripción de Z. Naturalmente
E(Z), Var(Z), . . . son también descriptivos.
Observación:
Debe notarse que si X es una v.a., X1, . . . , Xn es una m.a.s. y
fX es su densidad, se tiene
fX1...Xn (x1, . . . , xn) =
nY
i=1
fXj
(xi) =
nY
i=1
fX (xi) ,
de donde, generalmente, puede deducirse fZ .

8. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Ejemplo
Dado un m.a.s. (X1, ..., Xn) con E[X] = µ y Var[X] = 2, se
pueden calcular los momentos de los estadísticos más
comunes:
• Media muestral: E[X] = µ , Var[X] = 2/n
• Varianza muestral: E[S2] = n 1
n
2
• Varianza muestral insesgada: E[S2
n 1] = 2

9. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Distribución de los estadísticos
Dada una m.a.s de X ⇠ fX y un estadístico Z, ¿cómo
determinar la distribución de Z?
Método del cambio de variable
Método de la función generatriz de momentos
Muestreo artificial (Método de Montecarlo)
Aproximaciones asintóticas

10. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
Aproximación asintótica a la distribución de un
estadístico
En ocasiones no es sencillo determinar la distribución exacta
de un estadístico. Para m.a.s. de tamaño ’grande’, se puede
aproximar esta distribución por su distribución asintótica
(n ! 1).
Dada una m.a.s. (X1, ..., Xn) de X (v.a. independientes e
idénticamente distribuidas), con media y varianza finitas
(E[X] = µ, Var[X] = 2), aplicando el Teorema Central del
Límite (T.C.L.),
P
Xi nµ
·
p
n
!
n ! 1
N(0, 1) ;

11. Muestreo e inferencia estadistica Estadísticos
y por tanto,
X µ
/
p
n
!
n ! 1
N(0, 1)
Es decir, la distribución de la media muestral para m.a.s. de
tamaño n grande se puede aproximar por una distribucion
N(µ, /
p
n) y la suma de variables se puede aproximar por una
distribucion N(nµ, /
p
n).
Observación: Es usual considerar ’suficientemente grande’
n > 30.