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1. 3.1 Representación de objetos en tres dimensiones
 Modelos bidimensionales del objeto o parte de él. Se reproducen
separadamente las diferentes caras, planos o cortes para ser estudiados y
modificados. Normalmente se utiliza una representación formal del objeto,
obteniendo sus vistas desde diferentes puntos de visualización. Se denominan
vistas principales de un objeto, a las proyecciones ortogonales del mismo sobre
6 planos, dispuestos en forma de cubo. También se podría definir las vistas
como, las proyecciones ortogonales de un objeto, según las distintas direcciones
desde donde se mire. Si situamos un observador según las seis direcciones
indicadas por las flechas, obtendríamos las seis vistas posibles de un objeto.
 Modelos tridimensionales que incluyan únicamente un conjunto de puntos
y líneas en el espacio. Estos modelos se llaman “wireframe” o alambrado
(armazón de alambre). El objeto así representado rota en diferentes ángulos para
su estudio o transformación definitiva. Existen varias formas de representación
en modo wireframe:
 1. Representación alambrica: Activa este modo de sombreado.
 2. Representación alambrica det: Se muestran bordes alámbricos
e iluminación
 3. Área de trabajo: Muestra los objetos como área de trabajo
solamente. El área de trabajo se define como la caja más pequeña que abarca
completamente un objeto.
 Modelos sólidos que incluyen el dibujo de superficies y son los más
completos y complejos.
 1. Suavizado + Resaltes: Activa este modo de sombreado, que
permite ver la homogeneidad e iluminación de los objetos. También puede
presentar mapas en la superficie de objetos. Esto sucede mapa a mapa, pero
puede presentar tantos mapas como desee simultáneamente en el visor. Los
mapas sólo aparecen en objetos que tienen coordenadas de mapeado.
 2. Suavizado: Muestra suavizado, pero no resaltes

2. Espacio tridimensional
El espacio3D es un espaciomatemático virtual creado por el programa de diseño
3D. Este espacio está definido por un sistema cartesiano de tres ejes: X, Y, Z. El
punto donde salen las líneas virtuales que definen los ejes se llama origen y sus
coordenadas son (0, 0, 0). En este espaciovirtual se crean, modifican y disponen
los diferentes objetos tridimensionales que van a componer la escena.
Fundamentos básicos del modelado en 3D
El 3D es una mera representación de coordenadas, que conforman estructuras
envueltas por una textura.
Por tanto, primero se deben construir un modelo, para ello hay técnicas de
modelado comunes, en las cuales se encuentran:
1. Estructuras Predefinidas: Aquellas estructuras ya armadas por el sistema.
Existen tres tipos:
a). Primitivas: caja, cono, esfera, geo esfera, cilindro, tubo, anillo,
pirámide, tetera y plano.
b). Primitivas Extendidas: hedra, nudo toroide, caja "redondeada",
cilindro "redondeado", tanque de aceite, capsula, sprindle, forma L,
gengon, forma c, anillo ondulado, hose, prisma.
c). Librerías: son formas armadas, disponibles en 3d Max 7; puertas,
ventanas, árboles, escaleras.
2. Box Modeling: Como su nombre lo indica, es el modelado de figuras complejas
a través de una caja.
3. NURBS Modeling: Es una técnica para construir mallas de alta complejidad,
de aspecto orgánico ó curvado, que emplea como punto de partida splines
(figuras 2d) para mediante diversos métodos, crear la malla 3d anidando los
splines.

3. Renderizado
El renderizado es un proceso de cálculo complejo desarrollado por un ordenador
destinado a generar una imagen 2D a partir de una escena 3D. Así podría decirse
que en el proceso de renderización, la computadora "interpreta" la escena 3D y
la plasma en una imagen 2D.
Cuando se trabaja en un programa de diseño 3D por computadora, no es
posible visualizar en tiempo real el acabado final deseado de una escena 3D
compleja ya que esto requiere una potencia de cálculo demasiado elevada. Por
lo que se opta por crear el entorno 3D con una forma de visualización más simple
y técnica y luego generar el lento proceso de renderización para conseguir los
esultados finales deseados.
Proyecciones
En dos dimensiones, las operaciones de visión transfieren puntos
bidimensionales en el plano coordenado mundial a puntos bidimensionales en
el plano de coordenadas del dispositivo. Las definiciones de objetos, sujetados
contra el marco de una ventana, se delinean en un puerto de visión (viewport).
Estas coordenadas de dispositivo normalizadas se convierten después en
coordenadas de dispositivo y el objeto se despliega en el dispositivo de salida.
En tres dimensiones, la situación es un poco más complicada, ya que ahora
tenemos algunas alternativas como la forma en que se van a generar las vistas.
Podríamos visualizar una escena desde el frente, desde arriba o bien desde
atrás. También podríamos generar una vista de lo que observaríamos si
estuviéramos parados en medio de un grupo de objetos. Además, las
descripciones tridimensionales de objetos deben proyectarse en la superficie
de visión plana del dispositivo de salida.
La visualización en nuestro caso significa información del mundo real en la
pantalla. La visualización 2D son las operaciones de transferencia de puntos
bidimensionales en el plano coordenado del mundo en el plano coordenado del
dispositivo.
Existen dos métodos básicos para proyectar objetos tridimensionales sobre una
superficie de visión bidimensional. Estas dos maneras, dependen de si todos
los puntos del objeto pueden proyectarse sobre la superficie a lo largo de líneas
paralelas o bien los puntos pueden proyectarse a lo largo de líneas que
convergen a una posición denominada centro de proyección. En ambos casos,
la intersección de una línea de proyección con la superficie de visión determina
las coordenadas del punto proyectado sobre este plano de proyección.

4. Proyecciones
3.2 Visualización de objetos
La representación tridimensional es conveniente cuando la visualización de una
tercera magnitud, típicamente la elevación del terreno, resulta útil para la
interpretación de los datos que se quieren mostrar. Se presentan a continuación
algunos de los usos más comunes.
PROYECCIONES
Existen dos métodos básicos para proyectar objetos tridimensionales sobre una
superficie de visión bidimensional. Todos los puntos del objeto pueden
proyectarse sobre la superficie a lo largo de líneas paralelas o bien los puntos
pueden proyectarse a lo largo de las líneas que convergen hacia una posición
denominada centro de proyección. Los dos métodos llamados proyección en
paralelo y proyección en perspectiva, respectivamente, se ilustran. En ambos
casos, la intersección de una línea de proyección con la superficie de visión
determinada las coordenadas del punto proyectado sobre este plano de
proyección. Por ahora, se supone que el plano de proyección de visión es el
plano z = 0 de un sistema de coordenadas del izquierdo.

5. PROYECCIÓN EN PARALELO
Una proyección en paralelo preserva dimensionar relativas de los objetos y esta
es la técnica que se utiliza en dibujo mecánico para producir trazos a escala de
los objetos en las dimensiones. Este método sirve para obtener vistas exactas
de varios lados de un objeto, pero una proyección en paralelo no ofrece una
presentación realista del aspecto de un objeto tridimensional.
Las vistas formadas con proyecciones en paralelo se pueden caracterizar de
acuerdo con el angulo que la dirección de proyección forma con el plano de
proyección. Cuando la dirección de proyección es perpendicular al plano de
proyección, se tiene una proyección ortogonal.Una proyección que no es
perpendicular al plano se denomina proyección oblicua.
PROYECCIÓN ORTOGONAL
La Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son
perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección),
estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante
con los proyectados.
Existen diferentes tipos:
 Vista A: Vista frontal o alzado
 Vista B: Vista superior o planta
 Vista C: Vista derecha o lateral derecha
 Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda
 Vista E: Vista inferior

6.  Vista F: Vista posterior
Las ecuaciones de transformación parea efectuar una proyección paralela
ortogonal son directas.Para cualquier punto (x, y, z), el punto de proyección (Xp,
Yp, Zp) sobre la superficie de visión se obtiene como Xp=X, Yp=y, Xp=0.
PROYECCIÓN OBLICUA.
Es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al plano de
proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento
proyectante con los proyectados.
Una proyección Oblicua se obtiene proyectando puntos a lo largo de líneas
paralelas que no son perpendiculares al plano de proyección. La figura muestra
una proyección oblicua de un punto (x, y, z) por una línea de proyección a la
posición (xp, Yp).

7. PROYECCIONES PERSPECTIVA
Para obtener una proyección en perspectiva de un objeto tridimensional, se
proyectan puntos a lo largo de líneas de proyección se interceptan en el de centro
de proyección.
En el centro de proyección está en el eje z negativo a una distancia d detrás del
plano de proyección. Puede seleccionarse cualquier posición para el centro de
proyección, pero la elección de una posición a lo largo del eje z simplifica los
cálculos en las ecuaciones de transformación.
Podemos obtener las ecuaciones de transformaciones de una proyección en
perspectiva a partir de las ecuaciones paramétricas que describen la línea de
proyección de esta línea.
X’ = x –xu
Y’ = y- yu
Z’ = z-(z + d) u
El parámetro u toma los valores de 0 a 1 y las coordenadas (x’, y’, z’) representan
cualquier posición situada a lo largo de la línea de proyección. Cuando u = 0.
Las ecuaciones producen el punto P en las coordenadas (x, y, z). En el otro
extremo de la línea u = 1 y se tienen las coordenadas del centro de proyección,
(0, 0,-d). Para obtener las coordenadas en el plano de proyección. Se hace z’ =
0 y se resuelven para determinar el parámetro u:
Este valor del parámetro u produce la interacción de la línea de proyección con
el plano de proyección en (xp, yp, 0). Al sustituir las ecuaciones, se obtienen las
ecuaciones de transformación de perspectiva.
Mediante una representación en coordenadas homogéneas tridimensionales,
podemos escribir la transformación de la perspectiva en forma matricial.

8. Las coordenadas de proyección en el plano de proyección se calculan a partir de
las coordenadas homogéneas como:
[xp yp zp 1] = [xh/w yh/w zh/w 1]
Cuando un objeto tridimensional se proyecta sobre un plano mediante
ecuaciones de transformaciones de perspectiva, cualquier conjunto de líneas
paralelas del objeto que no sean paralelas al plano se proyectan en líneas
convergentes.
3.3 Transformaciones tridimensionales

9. El escalado, la traslación y la rotación son transformaciones lineales, ya que los
nuevos puntos se calculan a partir de combinaciones lineales de las
componentes de los puntos originales.
Se define TRANSFORMACIÓN AFÍN a una combinación de transformaciones
lineales aplicadas a un objeto.
Cada transformación vendrá representada por una sola matriz, que se obtendrá
multiplicando las matrices de cada una de las transformaciones, y en el mismo
orden en el que queremos que se apliquen.
Una escena 3D se define por los puntos, planos y líneas que lo componen. Como
son 3 dimensiones, se necesita un tercer eje, siendo estos el eje X, Y y Z. El
sentido de estos queda definido por la regla de la mano derecha.
La regla de la mano derecha determina la dirección positiva del eje Z cuando se
conoce la dirección de los ejes X y Y en un sistema de coordenadas 3D.
Cualquier punto se describe entonces como una terna de valores (x, y, z)

10. Las transformaciones 3D son extensiones de las transformaciones en dos
dimensiones, por tanto, en 3-D, aplicando la misma regla, habrá que pasar a
matrices 4x4

17. 3.4 Lineas y superficies curvas
Las ecuaciones de los objetos con límites curvos se pueden expresar en forma
paramétrica o en forma no paramétrica. El Apéndice A proporciona un resumen
y una comparación de las representaciones paramétricas y no paramétricas.
Entre los múltiples objetos son útiles a menudo en las aplicaciones gráficas se
pueden incluir las superficies cuadráticas, las supercuádricas, las funciones
polinómicas y exponenciales, y las superficies mediante splines. Estas
descripciones de objetos de entrada se teselan habitualmente para producir
aproximaciones de las superficies con mallas de polígonos.

18. La necesidad de representar curvas y superficies proviene de modelar objetos
“from scratch” o representar objetos reales. En este último caso, normalmente
no existe un modelo matemático previo del objeto, y el objeto se aproxima con
“pedazos” de planos, esferas y otras formas simples de modelar, requiriéndose
que los puntos del modelo sean cercanos a los correspondientes puntos del
objeto real.
La representación no paramétrica de una curva (por ejemplo, en dos
dimensiones) puede ser implícita, y = f(x) O bien explícita, f(x, y) = 0
La forma implícita no puede ser representada con curvas multivaluadas sobre x
(por ejemplo, un círculo), mientras que la forma explícita puede requerir utilizar
criterios adicionales para especificar la curva cuando la ecuación tiene más
soluciones de las deseadas.
Representación paramétrica.
Una representación paramétrica (por ejemplo, de una curva bidimensional) tiene
la forma P(t) = ( x(t), y(t) )T t1 <= t <= t2
La derivada o vector tangente es
P’ (t) = ( x’(t), y’(t) )T
El parámetro t puede reemplazarse mediante operaciones de cambio de
variable, y frecuente se normaliza de modo que t1 = 0 y t2 = 1. Aunque
geométricamente la curva aparece equivalente, una operación de este tipo
normalmente modifica el comportamiento de la curva (esto es visible al comparar
sus derivadas).