Este documento presenta el diseño de un sistema de levitación magnética para exhibición en laboratorios de física. Describe el modelado matemático del sistema, incluyendo ecuaciones eléctricas y físicas. Explica el diseño de componentes como el electroimán, sensores ópticos, amplificador de potencia y circuito de control. Finalmente, detalla los materiales y costos requeridos para la construcción del levitador magnético.

1. LEVITACION MAGNETICA
RESUMEN: este trabajo presentaeldiseño de un sistema de levitación magnética para la exposición
en los laboratoriosdefísica, caracterizada por presentar un alto impacto visual en los estudiantes, e ilustra
en forma práctica y clara diversosaspectosdelcontrol automático, tales como modelamiento matemático,
simulación,diseño de controladores, sistemas de control en tiempo real e implementación, todo lo anterior
aplicado a un proceso altamente no lineal e inherentemente inestable, ideal como ejemplo de estudio.
INTRODUCCION
La levitación magnética consiste en un electroimán fija y un objeto levitante el encendido y
apagado del electroimán esta completamente supervisado por el controlador PID
(proporcional integrador y derivador)
Existen dos principios de levitación que sustentan todas estas aplicaciones: repulsión y
atracción. En la levitación por repulsión, las corrientes inducidas en un cuerpo conductor
generan las fuerzas de levitación que son mucho mas complicadas que la levitación por
atraccion. En la siguiente información gráfica esta en si todo análisis que daremos para la
implementación y modelamiento del sistema de control.
En la grafica anterior se muestra claramente todas las fuerzas que actúan sobre la masa M la
fueza magnética Fm y la fuerza ejercida por la gravedad mg también muestra las señales de
entrada en el sistema de control como los sensores ópticos y variables como la distancia del
electroimán con la masa
MODELAMIENTO DEL SISTEMA
Electroimán
M
Fm
mg
x
Sensores
opticos

2. Cuando se aplica una tensión al electroimán por lo cual habrá una corriente que circula por el
electroimán y como resultado esta genera un campo magnético centrada en el eje Y entonces la
esfera con masa M estará sometida a dos fuerzas, magnética y gravitacional cuando estas fuerzas
llegan aun equilibrio (sumatoria de fuerzas igual a 0) entonces la esfera llega a levitar.
Es posible aumentar o disminuir la fuerza magnética aumentando o disminuyendo la corriente a
través del electroimán dependiendo de la posición de la esfera, que se determina mediante un
sensor.
Ecuación eléctrica
𝑢( 𝑡) = 𝑖( 𝑡) ∗ 𝑅 + 𝐿
𝑑
𝑑𝑥
𝑖( 𝑡) ………………….(1)
𝑖´( 𝑡) = −
𝑅
𝐿
𝑖( 𝑡) +
1
𝐿
𝑢( 𝑡) ………………….(2)
Ecuación física
∑ 𝑭 = 𝟎
Entonces
𝑚 ∗ 𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑔 − 𝐹𝑚 ………………….(3)
Donde :
 M: masa de la esfera
 a: aceleración
 g: constante gravitacional
 Fm: fuerza magnética del electroimán
𝐹𝑚 = 𝐾 ∗
𝑖2
𝑦2
Siendo k la constante del electroimán que esta dado por
𝐾 =
𝑁2 ∗ 𝑢2
2 ∗ 𝑢0
Donde
N: numero de espiras de la bobina
u: permeabilidad del nucleo
u0: permeabilidad del vacio
Reemplazando Fm en la ecuación (3)
𝑚 ∗ 𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑔 − 𝐹𝑚
𝑑2
𝑑𝑡2 𝑦( 𝑡) = 𝑔 −
𝐾
𝑚
∗
𝑖(𝑡)2
𝑦(𝑡)2
𝑦´´( 𝑡) = 𝑔 −
𝐾
𝑚
∗
𝑖(𝑡)2
𝑦(𝑡)2
………………….(4)

3. Defimos las variables de estado
𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡)
𝑥2( 𝑡) = 𝑦´(𝑡)
𝑥3(𝑡) = 𝑖(𝑡)
Siendo y(t): posición de la esfera tomando como referencia al electroimán
y´(t):velocidad de la esfera
i(t):corriente a travez del electroimán
Ecuaciones de estado en tiempo continuo
Reemplazando en las ecuaciones (2)y(4)
𝑥3´( 𝑡) = −
𝑅
𝐿
∗ 𝑥1( 𝑡) +
1
𝐿
∗ 𝑢(𝑡)
𝑥2´( 𝑡) = 𝑔 −
𝐾
𝑚
∗
𝑥3(𝑡)2
𝑥1(𝑡)2
𝑥1´( 𝑡) = 𝑥2(𝑡)
𝑦( 𝑡) = 𝑥1(𝑡)
Entonces como se observa las ecuaciones obtenidas el modelo matemático del sistema es no
lineal siendo necesario linealizarlo en torno a la posición de equilibrio
para ello se utilizara la serie de Taylor dando como resultado la siguiente matriz
|
𝑥1´(𝑡)
𝑥2´(𝑡)
𝑥3´(𝑡)
|=|
0 1 0
𝜕
𝜕𝑥1
𝑥2´| 𝑥1=𝑥10
𝜕
𝜕𝑥2
𝑥2´| 𝑥2=20
𝜕
𝜕𝑥3
𝑥2´|3=𝑥30
0 0 −
𝑅
𝐿
|*|
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
|+|
0
0
1
𝐿
|*u(t)
𝑦( 𝑡) = |1 0 0| ∗
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
+ [0]*u(t)
Resolviendo se tiene

4. Ahora se necesita hallar la corriente de equilibrio x10 para la posición de equilibrio x30
0 = 𝑔 −
𝐾 ∗ 𝑥2
30
𝑚 ∗ 𝑥2
10
𝑥2
30 = √
𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑥2
10
K
Reemplazando las matrices de estado se tiene:
Reemplazando los datos para caso particular se tiene
Parametro valor Observacion
X10 =y0 0.015m Posición de equilibrio
g 9.78
𝑚
𝑠2
gravedad
K 𝑢2∗𝑵2∗𝐴
𝐼
= 0.30 Constante
m 35 g Masa de la esfera
R 12 Ω Resistencia de la bobina
L 0.033 H Inductancia de la bobina
Con estos datos obtenemos la matriz ecuación de estado en tiempo continuo
|
𝑥1´(𝑡)
𝑥2´(𝑡)
𝑥3´(𝑡)
|=|
0 1 0
1300´ 0 −36.5
0 0 −250
|*|
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
|+|
0
0
28.5
|*u(t)
𝑦( 𝑡) = |1 0 0| ∗ |
𝑥1( 𝑡)
𝑥2( 𝑡)
𝑥3( 𝑡)
|+ |0| ∗ 𝑢(𝑡)

5. FUNCION DE TRANSFERENCIAse obtiene la función de transferencia en lazo abierto a partir de
las ecuaciones de estado
𝐺( 𝑠) = −
1140
𝑠3 + 266.3 ∗ 𝑠2 − 349700
Donde podemos obtener los polos del sistema
𝑠1 = −268
𝑠2 = −36
𝑠3 = 36
La existencia de un polo en el semiplano derecho nos indica que el sistema es inestable.
DISEÑO DEL CONTROLADOR
Los requerimientos para un optimo funcionamiento del controlador son:
Tiempo de establecimiento = 1s
Sobreimpulso = 50%
Error de estado estacionario = 0
Considerando que la función de transferencia sea de la forma
𝐺( 𝑠) =
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
Y

6. DISEÑO DE LOS COMPONENTES DEL LEVITADOR
ELECTROIMAN
Variables del electroimán
El electroimán es una bobina cuya función principal es la
de generar una fuerza magnética para cumplir nuestros
objetivos para tener mayor eficacia en la bobina el nucleo
acero u otro material de mayor conductividad, y diámetro
del alambre esmaltado no mayor a 1mm de diámetro
para no tener perdidas, en la generación de campo de
magnético.
Los parámetros de la bobina son:
h = 5 cm
D = 4 cm
N = 2400 vueltas
L=181.8 mH
R = 14 Ω
Nucleo = tornillo de acero
SENSOR OPTICO
Diodo emisor de luz infrarroja(led IR) este led emite un tipo de radiación electromagnética
llamada infrarroja que es invisible para el ojo humano por
que su longitud de onda es mayor a la del espectro visible
como no podemos observar si el led esta emitiendo o no la
luz infrarroja lo que se debe hacer es enfocar con una
cámara fotográfica de un teléfono móvil y verificar que este
encendido el led

7. Fototransistor
este componente se diferencia de un transistor común por que
su base ha sido reemplazada por un cristal fotosensible que
regula el flujo de corriente colector –emisor proporcional a la luz
que recibe el mismo, este tiene una apariencia de un led por lo
cual la pata mas larga corresponde a emisor y la pata corta al
colector
Circuito emisor y receptor
El opto acoplador emisor y receptor de infrarrojo separado en la salida (out) este voltaje es una
señal de entrada para sistema de control
DISEÑO DEL AMPLIFICADOR DE POTENCIA
d (mm)
0.3
CK
A E
Q1
CNY70
R1
1k
Vdc
R2
6.8k
out
R1
100
INPUT
Q1
2N3055
R2
10k
VDC
OUTPUT

8. El amplificador de potencia es muy importante porque en la salida del sistema de control tenemos
un voltaje de 4 como máximo y una corriente mínima la cual no abástese por completo ala bobina
conectada por tal razón en este proyecto se está usando un sencillo amplificador de corriente
usando el transistor encapsulado tipo pastilla 2n3055 el cual tiene buenos parámetros como
buena velocidad de conmutación e impedancia entrada salida ajustables
SISTEMADE CONTROL
En el circuito de control los amplificadores operacionales son 741 pero también se puede usar
LM358 que contiene en si dos amplificadores operacionales en su empaquetado la cual es mas
conveniente, por causa de que estas trabajan con tensión simple que soporta desde 3V hasta 32V
con un ancho de banda a ganancia unitaria 1MHz pero la razón de no usar estos integrados es
que no pudimos encontrar en el mercado para adquirirlos
CIRCUITO COMPLETO
3
2
6
74
1
5
U1
741
3
2
6
74
1
5
U2
741
3
2
6
74
1
5
U3
741
R1
33k
R2
10k
R3
30K
C1
47nF
C2
470nF
R4
22k
BAT1
15V
BAT2
15
INPUT
3
2
6
74
1
5
U1
741
3
2
6
74
1
5
U2
741
3
2
6
74
1
5
U3
741
R1
33k
R2
10k
R3
20k
C1
47nF
C2
470nF
R4
22k
Q1
2N3055
R5
100
R6
1
4007
DIODE
BAT1
15V
BAT2
15
R7
1k
R8
47k
R9
22k
R10
6.8k
1
2
FOTOT
fotot
1
2
BOBINA
SIL-156-02
1
2
3
PODER
SIL-156-03
1
2
IRLED
SIL-156-02
+88.8
Volts
+88.8
Volts
56%
RV1
50k
+88.8
Volts
+88.8
Volts
+88.8
Volts

9. PLACA PCB todos los diseño tales como pcb y simulación están en proteus 8 aclarando que en
que quemado de la placa restan conectar 5 cables de conexión
ESTRUCTURADEL LEVITADOR
En esta estructura las dimensiones son muy importantes los puntos donde serán instalados
emisor y receptor de infrarrojos y la distancia entre la esfera y la bobina deberá ser ajustable para
asi poder regular manualmente para una mayor estabilidad en la levitación

10. MATERIALES Y COSTOS
Design Title levitador magnetico
Author Ruben pascual mamani
Design Created jueves, 20 de abril de 2017
Total Parts In Design 24
2 Capacitors
Quantity References Value Stock
Code
Unit
Cost
1 C1 47nF
1 C2 470nF
Sub-totals: Bs4
10 Resistors
Quantity References Value Stock
Code
Unit
Cost
1 R1 33k
1 R2 10k
1 R3 14.13k
2 R4,R9 22k
1 R5 100
1 R6 1
1 R7 1k
1 R8 47k
1 R10 6.8k
Sub-totals: Bs5
3 Integrated Circuits
Quantity References Value Stock
Code
Unit
Cost
3 U1-U3 741
Sub-totals: Bs 12
1 Transistors
Quantity References Value Stock
Code
Unit
Cost
1 Q1 2N3055
Sub-totals: Bs 18
8 Miscellaneous

11. Quantity References Value Stock
Code
Unit
Cost
1 4007 DIODE Bs 2
1 BAT1 15V Bs 10
1 BAT2 15 Bs 10
2 BOBINA,
IRLED
SIL-156-02 Bs 17
1 FOTOT fotot Bs 10
1 PODER SIL-156-03 Bs 2
1 RV1 POTENCIOMETRO Bs 3
Sub-totals: Bs 50
subTotals: Bs 94
total Bs 150
lunes, 24 de abril de 2017 11:38:07
FUNCIONAMIENTOyDESARROLLO PRACTICO DEL LEVITADOR
ANEXOS
CONCLUSIONES En este proyectocomose había mensionadoal principioesaltamentedesafiante la
estabilidadyequilibrioporlanolinealidaddel sistemaytambién mensionamosque este proyectopuede
sermodificadounoconun sensormagenticoocomúnmente llamadosensorde efectohall dosusandoun
microcontroladorcomoarduinolacual tiene implementadasuslibreríasde control piddigital este proyecto
fue desarrolladoconlaayudade unatesisde maestriadocente de ingelectrónicaumss,al finalizarlas
pruebasde este proyectose pudoverificarel funcionamientodellevitadormagnético losparámetrosque
se puede modificarparaunamayor estabilidadponerunpotenciómetroenlaresistenciaR4para modificar
el parámetroKp del sistemade control el potenciómetrodebe serlineal yfinoensuregulación

12. 2017
Estudiante:RubenPascual Mamani
Docente:Arispe SantanderAlberto
16/05/2017
Sistemas de levitación magnética