1. FACULTAD DE INGENIERÍA
DPTO. DE MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO
Álgebra Lineal FMM110
Solemne N◦1
1.
a) Encuentre todas las matrices de la forma
x y
0 y
tal que A2 = I. Hacemos el
cálculo:
x y
0 y
x y
0 y
=
1 0
0 1
x2 xy + y 2
0
y2
=
1 0
0 1
Lo que implica x2 = 1, y 2 = 1, y(x + y) = 0. De estas ecuaciones se obtiene que
x = −y, x = ±1, y = ±1 luego las matrices que satisfacen la ecuación son:
1 −1
−1 1
;
0 −1
0 1
b) Sean A, y B matrices tal que (I −AB) es invertible donde I es la identidad. Pruebe
que la matriz (I − BA) es invertible y que (I − BA)−1 = I + B(I − AB)−1 A.
Para probar que es invertible debemos probar que la ecuación (I − BA)X = I tiene
solución. Como la onversa es única probaremos que lo que me indican satisface la
ecuación.
(I − BA)(I − BA)−1 =
=
=
=
=
=
(I − BA)(I + B(I − AB)−1 A)
I + B(I − AB)−1 A − BA − BAB(I − AB)−1 A
I − BA + B(I − AB)−1 A − BAB(I − AB)−1 A
I − BA + B(I − BA)(I − AB)−1 A
I − BA + BA
I
1

2. 2. Considere el siguiente sistema lineal para las variables x, y, z:
2x + y +
az
=
a
2
6x + y +
az
= a2
5x + 3y + (2a + 1)z = a + 1
Calcule los valores de a para que el sistema:
a) Tenga infinitas soluciones. Calcule el conjunto solución
b) No tenga solución.
c) Tenga una única solución y calcule la solución para el caso a = 2.
Primero escalonamos la matriz extendida:




2 1
a
a
2 1
a
a
F2 →(−3)F1 +F2
 6 1
 0 −2 −3a + a2 −3a + a2  →
a2
a2 
→
5 3 1 + 2a 2 + a
5 3
1 + 2a
2+a




2 1
a
a
2 1
a
a
F3 →(−5)F1 +2F3
 0 −2 −3a + a2 −3a + a2  F3 →F2 +2F3  0 −2 −3a + a2
−3a + a2 
→
→
0 1
2−a
4 − 3a
0 0 4 − 5a + a2 8 − 9a + a2
Luego el sistema tiene infinita soluciones si a2 − 5a + 4 = (a − 4)(a − 1) = 0 y
a2 − 9a + 8 = (a − 8)(a − 1) = 0 lo que implica a = 1. Para encontrar el conjunto
solución tenemos que la matriz nos queda:


2 1
1
1
 0 −2 −2 −2 
0 0
0
0
De donde obtenemos que y = 2 − z y 2x = 1 − y − z = −1. Luego el conjunto solución
es {(−1/2, 2 − z, z) : z ∈ }.
R
El sistema no tiene solucion si a2 − 5a + 4 = (a − 4)(a − 1) = 0 y a2 − 9a + 8 =
(a − 8)(a − 1) = 0 lo que implica a = 4.
Finalmente el sistema tiene solución
que la matriz escalonada nos queda:

2
 0
0
única si a = {1, 4}. Para el caso a = 2 se tiene

1
2
2
−2 −2 −2 
0 −2 −6
De donde se obtiene z = 3, y = 1 − z = −2 y 2x = 2 − y − 2z = −2. Luego la solución
es x = −1, y = −2, z = 3.
2

3. 3. Calcule la inversa de la matriz


1 −1 −2 3
 2 −1 −5 6 


 −1
0
5 3 
2 −2 −1 14
Usando el método de Gauss



1 −1 −2 3 1 0 0 0
1 −1 −2 3
1 0 0
 2 −1 −5 6 0 1 0 0  F2 →(−2)F1 +F2  0
1 −1 0 −2 1 0



→
 −1
 −1
0
5 3 0 0 1 0 
0
5 3
0 0 1
2 −2 −1 14 0 0 0 1
2 −2 −1 14
0 0 0



1 −1 −2 3
1 0 0 0
1 −1 −2 3
1
 0
 F4 →(−2)F1 +F4  0
1 −1 0 −2 1 0 0 
1 −1 0 −2
F3 →F1 +F3 

→
→
 0 −1
 0 −1
3 6
1 0 1 0 
3 6
1
2 −2 −1 14
0 0 0 1
0
0
3 8 −2



1 −1 −2 3
1 0 0 0
1 −1 −2 3
1
 0
1 −1 0 −2
1 −1 0 −2 1 0 0  F4 →3F3 +(−2)F4  0
F3 →F2 +F3 


→
→
 0
 0
0
2 6 −1 1 1 0 
0
2 6 −1
0
0
3 8 −2 0 0 1
0
0
0 2
1



1 −1 −2 3
1
0
0
0
−2 2
4 0
1 −1 0 −2
1
0
0  F1 →3F4 −2F1  0 1 −1 0
F3 →−3F4 +F3  0



→
→
 0
 0 0
0
2 0 −4 −8 −8
6 
2 0
0
0
0 2
1
3
3 −2
0 0
0 2



−2
2 4 0
1
9
9 −6
−2
2 0 0
 0 −2 0 0
 F1 →−2F3 +F1  0 −2 0 0
8
6
8 −6 
F2 →−F3 −2F2 

→
→
 0
 0
0 2 0 −4 −8 −8
6 
0 2 0
0
0 0 2
1
3
3 −2
0
0 0 2


−2
0 0 0 17 31 33 −24
 0 −2 0 0
8
6
8 −6 
F1 →F2 +F1 

→
 0
0 2 0 −4 −8 −8
6 
0
0 0 2
1
3
3 −2


31
17
1 0 0 0 − 2 − 2 − 33 12
2
diag(−1/2,−1/2,1/2,1/2)  0 1 0 0
−4 −3 −4
3 


→
 0 0 1 0 −2 −4 −4
3 
1
3
3
0 0 0 1
−1
2
2
2
Por lo tanto la inversa es :
 17

− 2 − 31 − 33 12
2
2
 −4 −3 −4
3 


 −2 −4 −4
3 
1
3
3
−1
2
2
2
3

0
0 

0 
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
3
0
0
1
3

0
0 

0 
1

0
0 

0 
−2

1
9
9 −6
−2
1
0
0 

−4 −8 −8
6 
1
3
3 −2

9 25 25 −18
8
6
8 −6 

−4 −8 −8
6 
1
3
3 −2