Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales para determinar los valores de α que hacen que el sistema sea compatible. El sistema contiene 4 ecuaciones y 4 incógnitas. Se forma la matriz ampliada y se realizan operaciones de filas para ponerla en forma escalonada reducida. Esto muestra que el sistema es compatible solo si α = -13/17. Para este valor de α, el sistema tiene una única solución dada por x=25/17, y=12/17, z=-14/17.

1. Sistemas Lineales
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Determine los valores de α ∈ tales que el sistema:
2x − 3y + z = 0
x+y−z = 3
4y + z = 2
−x + y = α
Sea compatible y resolver el sistema para dichos valores de α.
Soluci´n
o
 
2 −3 1
 1 1 −1 
1. Hagamos A = 
 0
 matriz del sistema lineal.
4 1 
−1 1 0
Para resolver el sistema usaremos el m´todo de
e la matriz ampliada.
   
2 −3 1 0 2 −3 1 0
 1
 1 −1 3  f4 + f2

 1
 1 −1 3  
 0 4 1 2  ∼  0 4 1 2 
−1 1 0 α 0 2 −1 α + 3
Donde f4 − f2 significa que a la cuarta fila le restamos la segunda, as´ el
ı
resto.
   
2 −3 1 0 0 −5 3 −6
 1 1 −1 3  f1 − 2f2  1 1 −1 3 
   
 0 4 1 2  ∼  0 4 1 2 
0 2 −1 α + 3 0 2 −1 α+3
−3 6
   
0 −5 3 −6 0 1 5 5
 1
 1 −1 3  − 1 f1
 5
 1 1
 −1 3 
 0 4 1 2  ∼  0 4 1 2 
0 2 −1 α+3 0 2 −1 α+3
3 6
−3 6
   
0 1 −5 5 0 1 5 5
 1 1
 −1 3  f3 − 4f1

 1 1
 −1 3  
17
 0 4 1 2  ∼  0 0
5 − 14 
5
0 2 −1 α+3 0 2 −1 α+3
1

2. −3 6
−3 6
   
0 1 5 5 0 1 5 5
 1 1
 −1 3  f4 − 2f1

 1 1
 −1 3  
17
 0 0 17
5 − 14 
5 ∼  0 0
5 − 14 
5
1 5α+3
0 2 −1 α+3 0 0 5 5
−3 6 −3 6
   
0 1 5 5
0 1 5 5
 1 1 −1 3  f3 − 17f4  1 1 −1 3 
− 17(5α+3)
 17
  
 0 0
5 − 14 
5 ∼  0 0 0 − 14
5 5

1 5α+3 1 5α+3
0 0 5 5 0 0 5 5
Como el rango de la matriz inicial A es igual 3 ⇒ rango(A) = 3 y para
que el sistema sea compatible rango(A ) = rango(A) = 3 donde A denota
a la matriz ampliada.
14 17(5α + 3) 13
Esto implica que − − =0⇒α=−
5 5 17
13
∴ El sistema es compatible si α = −
17
13
Para α = − en el sistema generado es:
17
2x − 3y + z = 0
x+y−z = 3
4y + z = 2
13
−x + y = −
17
Operando dicho sistema obtenemos
25 12 14
C.S = { ; ;− }
17 17 17
2