representacion

1. Ecuación de Bernolli

2. Encuentre la solución general: xy’+6y=3x𝑦4/3 (1) Solución: xy+6y=3x𝑦4/3==𝑦′+6𝑥−1𝑦=3𝑦4/3 La ecuación (1) es una ecuación de Bernoulli con P(x)=6𝑥−1 , Q(x)=3 y n=3/4. Sea: v=𝑦1−4/3 𝑣=𝑦−13

3. Entonces: 𝑑𝑣𝑑𝑥=−13𝑦−34𝑑𝑦𝑑𝑥 == 𝑑𝑦𝑑𝑥=−3𝑦43𝑑𝑣𝑑𝑥 == 𝑑𝑦𝑑𝑥=−3𝑑𝑣𝑑𝑥𝑣−4 y y=𝑣−3 Al sustituir (2) en (1), nos da: -3𝑑𝑣𝑑𝑥𝑣−4+6𝑥−1𝑣−3=3(𝑣−3)4/3 -3𝑑𝑣𝑑𝑥𝑣−4+6𝑥−1𝑣−3=3𝑣−4

4. Dividiendo cada termino por -3𝑣−4 𝑑𝑣𝑑𝑥−2𝑥−1𝑣=−1 Como se puede observar,(3) es una ecuacion lineal simple con p(x)=-2𝑥−1 por lo que un factor integrante adecuado es µ(x)=expʃ-2𝑥−1=exp.2𝑙𝑛𝑥=exp𝑙𝑛𝑥−2=𝑥−2 (4) Multiplicando (3) por el factor integrante (4), se obtiene:

5. 𝑥−2𝑣′−2𝑥−3𝑣=−𝑥−2 (𝑥−2𝑣)′=−𝑥−2 == 𝑥−2𝑣=−ʃ𝑥−2 𝑥−2𝑣=𝑥−1+𝑐 v=x+c𝑥2 Finalmente sustituimos (2) en (5), se obtiene: 𝑦−1/3=𝑥+𝑐𝑥2 y=(x+c𝑥2)−3