Leyes de lógica simbólica.

1. Utilizaremos el símbolo ∈ para determinar la relación de
pertenencia de un elemento respecto a un conjunto, por ejemplo
en a ∈ A. La negación correspondería a
¬(a ∈ A) y se representa como a ∉ A.
Damos por verdaderas las proposiciones de
∄x [x ∈ ∅] ó ∀x [ x ∉ ∅].
Tenemos que el conjunto universo 퓤 está formado
por todos los elementos que satisfacen la proposición
abierta P(x) así:
A = {x/x ∈ 퓤 ∧ P(x) }
= { x ∈ 퓤 / P (x) }
La forma en que se denotó al conjunto en la imagen
anterior se denomina por COMPRENSIÓN o

2. ABSTRACCIÓN, pues especifica la naturaleza y la
condición de la pertenencia del elemento.
Cuando se denotan los elementos tal cual, de denomina
notación por EXTENSIÓN.
El conjunto de los números naturales, enteros, racionales,
irracionales, reales y complejos se suponen bien definidos.
EJEMPLOS
Determine el conjunto B={x ∈ Z / 4x2-1 = 0} R/ B=∅
Determine el conjunto {x/x ∈ N ∧ 2x+1=7} R/ {3}
Decimos que A es subconjunto de B, A está contenido en B o A
está incluido en B, y lo denotamos por A ⊆ B, sí y sólo sí todo
elemento de A es también elemento de B, es decir;
A ⊆ B ⟺ (∀x)[x ∈ A ⟹ x ∈ B].

3. Además; A = B ⟺ [ A ⊆ B ∧ B ⊆ A ]
EJEMPLO
Si A={1, 3, {2}} y B={1, {3},5} se puede afirmar que
3 ∈ A, {3} ⊆ A, {3} ∈ B, {{3}} ⊆ B, {1, 5} ⊆ B, ∅ ⊆ B
y es falso que
5 ∈ A, 1 ⊆ B, {1,3,5} ⊆ B, {2} ⊆ A, {1, 2} ⊆ A
Consideremos el conjunto A={1, 2, {1, 2}, 3}, en donde se
observa que el conjunto posee cuatro elementos. Algunas
proposiciones con sus respectivos valores de verdad son los
siguientes:
2 ∈ A ≡ V {3} ⊆ A ≡ V {3, 2} ⊆ A ≡ V {3, 2, {1, 2}} ⊆ A ≡ V
{3} ∈ A ≡ F {1, 2} ∈ A ≡ V {{1, 2}} ⊆ A ≡ V ∅ ∈ A ≡ F
A partir de dos conjuntos, A y B, se definen los conjuntos:
 unión como A∪B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
 intersección como A∩B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
 diferencia como A-B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
 diferencia simétrica como: A Δ B = (A-B) ∪ (B-A)
EJEMPLO
Si A ={a, b, c, e}, B={b, c, d} y C={a, c, e, f} podemos calcular
los conjuntos

4. A∪B={a, b, c, d, e} A∩B={b, c}
A-B={a, e} B-A={d}
C-B={a, e, f} AΔB={a, e}∪{d} = {a, d, e}
(A∩B)∪(A-B)={b, c}∪{a, e} = {a, b, c, e} (A∪C)-(B∩C)={a, b, c, e, f}-{c}={a, b, e, f}
Si se tiene un conjunto A y otro conjunto 퓤 tal que
A ⊆ 퓤, definimos el complemento de A con respecto
a 퓤 como
퐴̅ = 퓤 − 푨
̅
Al conjunto 푨퓤 se le llama universo relativo y en ocasiones se denota como 푪퓤
푨
EJEMPLO
Si 퓤 = {1, 2, 3, 4, 5}, A={2, 5} y B={1, 5} entonces
퐴̅ = {1, 3, 4}
̅퐴̅̅∪̅̅̅퐵̅ = ̅{̅1̅̅,̅2̅̅,̅5̅̅} = {3, 4}
̅퐵̅̅̅−̅̅̅퐴̅ = ̅{̅1̅̅} = {2, 3, 4, 5}
Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos

5. si no tienen elementos en común, es decir; si
A ∩ B = ∅
Para el conjunto A, se define el conjunto potencia o
conjunto de partes de A, que denotamos P(A), como el
conjunto formado por todos los subconjuntos de A, es decir
P(A) = {S / S ⊆ A}
En ocasiones, el conjunto P(A) se denota 2A.
EJEMPLO
Para el conjunto B={1, 2, 3} calcule P(B).
P(B)={∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, B}
*Note que la cantidad de elementos es 8, que corresponde a
23.

6. Para los conjuntos A y B se define el producto cartesiano de
A y B como el conjunto
A x B = { (a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
EJEMPLO
Si A = {1, 2}, B = {a, b} y C = {5}, entonces
C x A = {(5, 1), (5, 2)}
A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
EJEMPLO
̅
퐵Si 퓤 = {1, 2, 3}, A = {1, 3} y B = {2}, calcule ̅̅̅̅̅̅̅ 퐴 푥 퐵 − (퐴̅ 푥 )
̅̅̅̅̅̅̅ 퐴 푥 퐵 − (퐴̅ 푥 ) = ̅{̅(̅1̅̅,̅2̅)̅̅,̅(̅3̅̅,̅2̅̅) − ({2}푥 {1, 3})
̅
퐵= {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3) − {(2, 1), (2, 3)}
= {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}
LEYES DE CONJUNTOS

7. Doble Complemento (DC): 퐴̿ = 퐴
De Morgan (DM):
퐴 ∪ 퐵 ̅̅̅̅̅̅̅ = 퐴̅ ∩ 퐵̅
/ 퐴 ∩ 퐵 ̅̅̅̅̅̅̅ = 퐴̅ ∪ 퐵̅
Conmutativa (Con):
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Asociativa (Aso):
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Distributiva (Dis):
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Idempotencia (Ide):
A ∩ A = A
A ∪ A = A
Neutro (Ne):
A ∪ ∅ = A
A ∩ 퓤 = A
Inversos (Inv):
퐴 ∪ 퐴̅ = 퓤
퐴 ∩ 퐴̅ = ∅
Dominación (Dom):

8. A ∩ ∅ = ∅
A ∪ 퓤 = 퓤
Absorción (Abs):
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
EJEMPLO
Simplifique la expresión:
(퐵̅
∪ 퐴) ∩ [(퐴̅ ∩ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅(̅퐵̅̅ ̅̅∩̅̅ ̅퐶̅̅)̅)̅̅ ̅∩̅̅ ̅(̅̅퐴̅̅ ̅∪̅̅̅ ̅퐶̅)̅̅] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(퐵̅
̅̅̅̅ ̅∪̅̅̅ ̅퐴̅̅) ∪ ̿[̿(̿퐴̿̿̅ ̿∩̿̿ ̿(̿̿퐵̿̿ ̿∩̿̿̿ 퐶̿̿)̿̿)̿ ̿∩̿̿̿ ̿(̿퐴̿̿ ̿∪̿̿̿ ̿퐶̿̿)̿] DM
(퐵̿
∩ 퐴̅) ∪ [(퐴̅ ∩ (퐵 ∩ 퐶)) ∩ (퐴 ∪ 퐶)] DM y DC
(퐵 ∩ 퐴̅) ∪ [((퐴̅ ∩ 퐵) ∩ 퐶) ∩ (퐴 ∪ 퐶)] DC y Aso
(퐵 ∩ 퐴̅) ∪ [(퐴̅ ∩ 퐵) ∩ (퐶 ∩ (퐴 ∪ 퐶)] Asociatividad
(퐴̅ ∩ 퐵) ∪ [(퐴̅ ∩ 퐵) ∩ 퐶] Con. y Abs.
퐴̅ ∩ 퐵 Abs.

9. EJEMPLO
Pruebe que la igualdad
(퐴 ∪ 퐵̅
) ∩ [퐴 ∪ 퐵̅
) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∪ 퐵̅
] = 퐵̅
es verdadera.
(퐴 ∪ 퐵̅
) ∩ [퐴 ∪ 퐵̅
) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∪ 퐵̅
] = 퐵̅
[(퐴 ∪ 퐵̅
) ∩ (퐴 ∪ 퐵̅
) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅] ∪ [(퐴 ∪ 퐵̅
) ∩ 퐵̅
] Distributividad
∅ ∪ 퐵̅
Inv. y Abs.
퐵̅
Neutro

10. Asociativa: