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2.
Solución 𝑃𝑜 = (−3,3,1) 𝑃
= 𝑃𝑜 + 𝑡𝑣⃗ 𝑃 = (−3,3,1) + 𝑡(2,3,−1) 𝑃 = (3 + 2𝑡)𝑖 + (3 + 3𝑡) 𝑗 + (1 − 𝑡)𝑘 Respuesta: 𝑥 = (3 + 2𝑡) 𝑦 = (3 + 3𝑡) 𝑧 = (1 − 𝑡) 4. Demostrar que las siguientes rectas son paralelas 𝐿1: 𝑥 − 1 = 𝑦+3 2 = 𝑧+3 3 𝐿2: 𝑥−3 3 = 𝑦−1 6 = 𝑧−8 9 Solución 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,2,3) 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ = (3,6,9) 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗𝑋𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘 1 2 3 3 6 9 | = (18 − 18)𝑖 − (9 − 9) 𝑗 + (6 − 6) 𝑘 = 0 ∴ Son paralelas Respuesta: Son paralelas 5. Determine la distancia que existe de la recta cuyas ecuaciones son 𝑥−3 2 = 𝑧−2 3 = 𝑦 − 1 y el punto Q (2, 1,-2) Solución 𝑑 = ‖[(2,1,−2)−(3,1,2)]𝑋(2,3,1‖) ‖(2,3,1)‖ = ‖(−1,0,−4)𝑋(2,3,1)‖ √22+32 +11 = ‖ 𝑖 𝑗 𝑘 −1 0 −4 2 3 1 ‖ √14 = ‖−12𝑖 −7𝑗−3𝑘‖ √14 = √(−12)2+(−7)2+(−3)2 √14 √202 √14 ≈ 3.7984 Respuesta: 3.7984 6. Obtenga la ecuación cartesiana del plano que pasa por los 3 puntos dados: A(3,4,1), B (-1,-2,5) C(1,7,1) Solución ( 𝑃 − 𝑃𝑜) ∙ [( 𝑃1 − 𝑃0) 𝑋( 𝑃2 − 𝑃0)] = 0
3.
[(x, y,z) −
(3,4,1)] ∙ {[(−1,−2,5) − (3,4,1)]𝑋[(1,7,1) − (3,4,1)]} = 0 (x − 3,y − 4, z − 1) ∙ [(−4, −6,4) 𝑋(−2,3,0)] = 0 | 𝑥 − 3 𝑦 − 4 𝑧 − 1 −4 −6 4 −2 3 0 | = 0 Desarrollando la determinante se obtiene: 92 − 24 𝑧 − 8 𝑦 − 12 𝑥 = 0 Respuesta: 92 − 24 𝑧 − 8 𝑦 − 12 𝑥 = 0 7. Hallar la distancia del plano dado al punto indicado. -x-4y-5z=0 (5,-1,3) Solución |(−1)(5) + (−4)(−1) + (−5)(3) + 0| √(−1)2+(−4)2 + (−5)2 = |−16| √42 = 16 √42 ≈ 2.468 Respuesta: 2.468 8. Obtener la ecuación rectangular de la curva cuya ecuación paramétrica es: 𝑥 = 2𝑡2−1 𝑡2 ; 𝑦 = √ 𝑡−2 3 𝑦 = √ 𝑡−2 3 ⇒ 𝑦2 = 𝑡−2 3 ⇒ 3𝑦2 = 𝑡 − 2 ⇒ 𝑡 = 3𝑦2 + 2 𝑥 = 2𝑡2 − 1 𝑡2 = 2(3𝑦2 + 2 )2 − 1 (3𝑦2 + 2 )2 = 18𝑦4 + 24𝑦2 + 7 9𝑦4 + 12𝑦2 + 4 Respuesta: 18𝑦4 + 24𝑦2 + 7 9𝑦4 + 12𝑦2 + 4 9. Obtener la ecuación rectangular 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃; 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 −3𝑦 = −3𝑐𝑜𝑠𝜃 − 15𝑠𝑒𝑛𝜃
4.
𝑥 − 3𝑦
= 16𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑥 − 3𝑦 −16 5𝑥 = 15𝑐𝑜𝑠𝜃 − 5𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 5𝑠𝑒𝑛𝜃 5𝑥 + 𝑦 = 16𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 5𝑥 + 𝑦 16 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1 ( 𝑥−3𝑦 −16 ) 2 + ( 5𝑥+𝑦 16 ) 2 = 1 Simplificandolaecuaciónanterior: 26𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦2 = 256 Respuesta: 13 𝑥2 + 2 𝑥 𝑦 + 5 𝑦2 − 128 = 0
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