Mate bachillerato profe en linea 2019

Prof Adrián Montero Tel: 8817-2586
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Contenidos
Aclaratoria.......................................................................................Error! Bookmark not defined.
ÁREA 1: GEOMETRÍA. 23 ÍTEMS .................................................................................................... 2
Habilidad1: Representar las circunferencias de manera analítica y gráfica ............................. 2
Habilidad 2: Analizar relaciones de posición relativa entre rectas y circunferencias............... 9
Habilidad 3: Utilizar la geometría analítica para representar circunferencias y
transformaciones .................................................................................................................... 16
Habilidad 4: Calcular áreas y perímetros de polígonos........................................................... 21
Habilidad 5: Identificar simetrías ............................................................................................ 30
Habilidad 6: Aplicar e identificar diversas transformaciones en el plano a finas geométricas.
................................................................................................................................................. 38
Habilidad 7: Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras geométricas
tridimensionales...................................................................................................................... 48
ÁREA 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA. 21 ÍTEMS............................................................................... 63
Habilidad 1: Utilizar elementos del lenguaje de los conjuntos numéricos para representar
dominio y rango de funciones, así como el conjunto solución de ecuaciones....................... 63
Habilidad 2: Aplicar el concepto de función en diversas situaciones. .................................... 71
Habilidad 3: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y
trascendentes.......................................................................................................................... 85
Habilidad 4: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y
trascendentes.......................................................................................................................... 96
ÁREA 3: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 16 ÍTEMS ................................................................... 109
Habilidad 1. Valorar la importancia de las medidas de resumen (posición) para el análisis de
la información estadística. Utilizar las medidas de posición para resumir y analizar la
información proveniente de un grupo de datos cuantitativos. ............................................ 109
Habilidad 2. Valorar la importancia de las medidas de resumen (variabilidad) para el análisis
de la información estadística. Utilizar las principales medidas de variabilidad para evaluar y
comparar la dispersión de los datos. .................................................................................... 121
Habilidad 3. Utilizar diferentes representaciones para analizar la posición y variabilidad de
un conjunto de datos. ........................................................................................................... 128
Habilidad 4. Analizar la importancia del uso de medidas relativas de tendencia central y
variabilidad dentro de los análisis comparativos de información. ....................................... 136
Habilidad 5. Utilizar las probabilidades y las medidas estadísticas para favorecer la toma de
decisiones en condiciones de incertidumbre........................................................................ 143
Habilidad 6. Emplear las propiedades básicas de la probabilidad en situaciones concretas.
............................................................................................................................................... 151
Habilidad 7. Resolver problemas vinculados con el análisis de datos y el manejo de la
aleatoriedad dentro del contexto estudiantil....................................................................... 155
Símbolos y Fórmulas ................................................................................................................. 160
Respuestas ................................................................................................................................ 162

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Considere la siguiente información para responder las preguntas 1 y 2:
La longitud del radio de la circunferencia C es 3 y su centro corresponde al punto (0,3):
1) La ecuación de la circunferencia C corresponde a
A) 𝑥2
+ (𝑦 + 3)2
= 3
B) 𝑥2
+ (𝑦 − 3)2
= 3
C) 𝑥2
+ (𝑦 + 3)2
= 9
D) 𝑥2
+ (𝑦 − 3)2
= 9
2) La representación gráfica de la circunferencia C corresponde a
A)
B)
C)
D)
ÁREA 1: GEOMETRÍA. 23 ÍTEMS
Habilidad1: Representar las circunferencias de manera analítica y gráfica
Conocimientos Habilidades Específicas Ítems
Geometría Analítica
 Circunferencia
- Centro
- Radio
1.1 Representar algebraicamente una circunferencia dada su centro y radio.
1.2 Resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus representaciones.
1.3 Determinar gráfica y algebraicamente si un punto se ubica en el interior o en el
exterior de una circunferencia.
3
x
y
3
x
y
3
x
y
-3
x
y
-3

3
3) Considere las siguientes proposiciones:
I. (0,-1) es un punto ubicado en el interior de la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 8
II. (2,0) es un punto ubicado en el exterior de la circunferencia (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 + 3)2
= 9
De ellas son verdaderas
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
4) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P, cuya
medida del radio es 4:
De acuerdo con la información anterior, la ecuación de esa circunferencia corresponde a
A) 𝑥2
+ (𝑦 − 3)2
= 4
B) 𝑥2
+ (𝑦 + 3)2
= 4
C) 𝑥2
+ (𝑦 − 3)2
= 16
D) 𝑥2
+ (𝑦 + 3)2
= 16

4
5) La representación gráfica de la circunferencia C de centro O dada por
(𝑥 − 2)2
+ (𝑦 − 3)2
= 4 Corresponde a
A)
B)
C)
D)

5
6) ¿Cuál es la representación gráfica de la circunferencia C de centro O dada por
(𝑥 − 2)2
+ (𝑦 + 4)2
= 16?
A)
B)
C)
D)

6
Considere la siguiente información para responder las preguntas 7, 8 y 9
7) El radio de la circunferencia anterior, corresponde a
A) 3
B) 4
C) 9
D) 16
8) Las coordenadas de centro de dicha circunferencia, corresponde a
A) ( 5 , 3 )
B) ( 3 , 5 )
C) ( -3 , -5 )
D) ( -5 , -3 )
9) Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
¿Cuál o cuáles de ella son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
10) Considere la ecuación de una circunferencia dada por (𝑥 − 3)2
+ (𝑦 + 1)2
= 25:
¿Cuáles son las coordenadas del centro de dicha circunferencia?
A) (3, −1)
B) (1, −3)
C) (−3, 1)
D) (−3, −1)
I. R ( 0 , 0 ) es un punto exterior de la circunferencia.
II. P ( -5 , -5 ) es un punto interior de la circunferencia.
Sea la ecuación de una circunferencia dada por (𝑥 + 5)2
+ (𝑦 + 3)2
= 16

7
11) Si el centro de una circunferencia es el punto (-5, -1) y la medida de su diámetro es 6,
entonces la ecuación de esa circunferencia corresponde a
A) (𝑥 − 5)2
+ (𝑦 − 1)2
= 9
B) (𝑥 + 5)2
+ (𝑦 + 1)2
= 9
C) (𝑥 + 1)2
+ (𝑦 + 5)2
= 36
D) (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 5)2
= 36
Con base en la siguiente información conteste las preguntas 12 y 13:
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Una circunferencia está dada por 𝑥2
+ 𝑦2
= 16
I. El radio de la circunferencia es 4.
II. (0,0) es el centro de la circunferencia.
I. P (2, 3) es un punto que se ubica en el interior de la circunferencia.
II. R (1, 4) es un punto que se ubica en el exterior de la circunferencia.

8
Considere la siguiente información para responder las preguntas 14, 15 y 16:
14) La longitud del radio de la circunferencia anterior, corresponde a:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 25
15) Las coordenadas del centro de dicha circunferencia, corresponde a:
A)  1, 3
B)  3, 1
C)  3,1
D)  1,3
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Sea la ecuación de una circunferencia dada por. (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 + 3)2
= 25
I.  3,0P es un punto interior de la circunferencia.
II.  0,3R es un punto exterior de la circunferencia.

9
Habilidad 2: Analizar relaciones de posición relativa entre rectas y circunferencias
 Circunferencia
 Recta exterior
 Rectas Paralelas
 Rectas Perpendiculares
2.1 Determinar si un recta dada es secante, tangente o exterior.
2.2 Representar gráfica y algebraicamente rectas secantes, tangentes y
exteriores a una circunferencia.
2.3 Analizar geométrica y algebraicamente la posición relativa entre rectas en
el plano desde el punto de vista del paralelismo y la perpendicularidad.
2.4 Aplicar la propiedad que establece que un recta tangente a una
circunferencia es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de
tangencia.
3
17) Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C cuyo centro es (2,-2) y la
longitud de su radio es 2:
¿Cuál de las siguientes rectas es tangente a la circunferencia C?
A) 𝑦 = 0
B) 𝑦 = −1
C) 𝑦 = −2
D) 𝑦 = −3
18) Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O, cuya medida
del radio es 1:
De acuerdo con la información anterior,
La ecuación de una recta tangente a C es
A) 𝑦 = 0
B) 𝑦 = 1
C) 𝑦 = −2
D) 𝑦 = −3
x
y
-2
2
C

10
19) Considere la siguiente representación gráfica:
Con base en la información dada, considere las siguientes proposiciones:
I. Con certeza, el radio 𝑂𝑃̅̅̅̅ es perpendicular a la recta “s”.
II. Con certeza, el radio 𝑂𝑃̅̅̅̅ es perpendicular a la recta “m”.
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
20) Considere la circunferencia dada por 𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
= 4, y las siguientes rectas
determinadas por:
Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. y = 1 II. y = 5
x
y
O
P
C
m
s
P: punto tangencial de C con m
O: centro de la circunferencia C

11
+ 𝑦2
= 4, y las siguientes rectas determinadas por:
Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
+ 𝑦2
Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
+ (𝑦 − 1)2
determinadas por:
Con base en la información anterior. ¿Cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
I. y = 3 II. y = x
I. y = 1 II. y = - x
I. y = -4 II. y = 4

12
+ 𝑦2
Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
+ 𝑦2
Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
+ (𝑦 + 1)2
determinadas por:
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. y = 3 II. y = x
I. y = 0 II. y = x
I. y = 2 II. y = 1

13
+ 𝑦2
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
+ 𝑦2
= 36, y las siguientes rectas determinadas
por:
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
+ (𝑦 − 1)2
= 9 , y las siguientes rectas
determinadas por:
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. y = 5 II. y = - X
I. y = 2 II. y = x
I. 2y  II. 4y 

14
+ 𝑦2
= 16, y las siguientes rectas determinadas
por:
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
31) Considere la circunferencia dada por 2 2
36x y  , y las siguientes rectas determinadas por:
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
32) Considere las siguientes proposiciones referentes a la circunferencia C dada por
𝑥2
+ 𝑦2
= 9
De ellas, ¿Cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. 𝑦 = 5 II. 𝑦 = 𝑥
I. 𝑦 = 0 II. 𝑦 = 𝑥
I. La recta dada por y = x es secante a esa circunferencia.
II. La recta dada por y = 3 es tangente a esa circunferencia.

15
33) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C cuyo centro es el punto
(0 , 0):
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La recta dada por y = 1 es secante a la circunferencia C.
II. La recta dada por x = -3 es exterior a la circunferencia C.
De ellas, ¿Cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

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Habilidad 3: Utilizar la geometría analítica para representar circunferencias y transformaciones
 Circunferencia
- Centro
- Radio
3.1 Aplicar traslaciones a una circunferencia 2
34) Considere la circunferencia dada por (𝑥 + 2)2
+ (𝑦 − 4)2
= 81. Si se traslada la
circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la izquierda (paralelo al eje “x” o de las
abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a
A) (𝑥 + 1)2
+ (𝑦 − 4)2
= 81
B) (𝑥 − 5)2
+ (𝑦 − 4)2
= 81
C) (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 4)2
= 81
D) (𝑥 + 5)2
+ (𝑦 − 4)2
= 81
35) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P(-1,2),
contiene el punto A(0,0) y la longitud de su radio es √5 :
De acuerdo con la información anterior, si se traslada la circunferencia, desplazando su centro
5 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades hacia abajo (paralelo al eje
de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a
A) (𝑥 + 6)2
+ (𝑦 + 1)2
= 5
B) (𝑥 − 6)2
+ (𝑦 − 5)2
= 5
C) (𝑥 − 5)2
+ (𝑦 + 1)2
= 5
D) (𝑥 − 6)2
+ (𝑦 − 1)2
= 5

17
36) Si a una circunferencia C dad por (𝑥 + 5)2
+ (𝑦 − 1)2
= 16, se le aplica una traslación de 2
unidades hacia abajo (paralelo al eje “y”), entonces, se obtiene una circunferencia cuyo centro
corresponde al punto
A) (3, −1)
B) (−7,1)
C) (−5, −3)
D) (−5, −1)
37) Al trasladar la circunferencia C dada por 𝑥2
+ 𝑦2
= 4, se obtiene la circunferencia C´dada
por (𝑥 − 3)2
+ 𝑦2
= 4; entonces, la traslación realizada corresponde a tres unidades hacia
A) arriba paralelo al eje y
B) abajo paralelo al eje y
C) la derecha paralelo al eje x
D) la izquierda paralelo al eje x
Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O, para responder
los ítems 38 y 39:
38) Si C’ es una traslación de C, de modo que ambos ejes de coordenadas sean tangentes a C’ y
que su centro se ubique en el III cuadrante, entonces el centro de C’ corresponde al punto
A) (−4, −2)
B) (−4, −3)
C) (−3, −2)
D) (−3, −3)

18
39) Si C’’ se obtiene al trasladar la circunferencia C, tres unidades a la derecha (horizontalmente)
y dos unidades hacia arriba (verticalmente), entonces la ecuación de C’’ corresponde a
A) 𝑥2
+ (𝑦 + 2)2
= 3
B) 𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
= 3
C) 𝑥2
+ (𝑦 + 2)2
= 9
D) 𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
= 9
40) Sea la ecuación de una circunferencia dada por 𝑥2
+ (𝑦 − 3)2
circunferencia, desplazando su centro 2 unidades a la derecha (paralelo al eje “x” o de las
A) 𝑥2
+ (𝑦 − 5)2
= 18
B) 𝑥2
+ (𝑦 − 1)2
= 18
C) (𝑥 + 2)2
+ (𝑦 − 3)2
= 18
D) (𝑥 − 2)2
+ (𝑦 − 3)2
= 18
41) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P(1 , -3)
contiene el punto A( 0 , 0 ) y la longitud de su radio es √10:
1 unidad a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 2 unidades hacia arriba (paralelo al eje
de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a
A) 𝑥2
+ (𝑦 − 1)2
= 10
B) 𝑥2
+ (𝑦 + 1)2
= 10
C) (𝑥 − 2)2
+ (𝑦 + 5)2
= 10
D) (𝑥 + 2)2
+ (𝑦 + 5)2
= 10

19
42) Considere la circunferencia dada por (𝑥 + 2)2
+ (𝑦 − 4)2
circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje “x” o de las
A) (𝑥 + 1)2
+ (𝑦 − 4)2
= 25
B) (𝑥 − 5)2
+ (𝑦 − 4)2
= 25
C) (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 4)2
= 25
D) (𝑥 + 5)2
+ (𝑦 − 4)2
= 25
43) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P(1, 2),
contiene el punto A(0, 0) y la longitud de su radio es √5 ∶
5 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades hacia arriba (paralelo al
eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a
A) (𝑥 + 4)2
+ (𝑦 − 5)2
= 5
B) (𝑥 + 6)2
+ (𝑦 − 5)2
= 5
C) (𝑥 + 4)2
+ (𝑦 + 5)2
= 5
D) (𝑥 + 6)2
+ (𝑦 − 5)2
= 5

20
44) La ecuación de una circunferencia está dada por    
2 2
2 3 21x y    . Si se traslada la
circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje " x " o al de las
abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a:
A)    
2 2
1 3 21x y   
B)    
2 2
5 3 21x y   
C)    
2 2
2 6 21x y   
D)    
2 2
2 6 21x y   
45) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto  1,3P ,
contiene el punto  0,0A y la longitud de su radio es 10 :
2 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades hacia arriba (paralelo al
eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a:
A)    
2 2
6 1 10x y   
B)    
2 2
1 6 10x y   
C)    
2 2
6 1 10x y   
D)    
2 2
1 6 10x y   

21
Habilidad 4: Calcular áreas y perímetros de polígonos
Polígonos
 Lado
 Radio
 Apotema
 Ángulo Central
 Ángulo Interno
 Ángulo Externo
 Diagonal
 Perímetro
 Área
 Relaciones métricas
4.1 Determinar la medida de perímetros y áreas de polígonos en diferentes
contextos.
4.2 Determinar las medidas de los ángulos internos y externos de polígonos
en diversos contextos.
4.3 Determinar la medida de la apotema y el radio de polígonos regulares y
aplicarlo en diferentes contextos.
4.4 Calcular perímetros y áreas de polígonos no regulares utilizando un
sistema de coordenadas rectangulares.
4.5 Resolver problemas que involucren polígonos y sus diversos elementos.
5
46) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es 60°. Si la longitud
del lado es 5, entonces el perímetro de ese polígono es
A) 10
B) 20
C) 25
D) 30
47) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo externo es 20°. Si la longitud
del lado es 4, entonces el perímetro de ese polígono corresponde a
A) 36
B) 40
C) 72
D) 80
48) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es 72°. Si la longitud
es 20, entonces, el perímetro de ese polígono es
A) 52
B) 92
C) 100
D) 1440

22
49) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es 30. Si la longitud
del lado es 3, entonces el perímetro de ese polígono es:
A) 27
B) 33
C) 36
D) 90
Considere la información de la siguiente representación gráfica para responder las preguntas 50
y 51:
50) ¿Cuál es el perímetro del polígono ABCDE?
A) 19
B) 20
C) 15√7
D) 15 + √7
51) ¿Cuál es el área del polígono ABCDE?
A) 18
B) 20
C) 22
D) 28
x
y
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1
A
B C
DE

23
52) Considere la siguiente figura en la que los valores se dan en centímetros:
De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es aproximadamente el perímetro del cuadrilátero
ABCD?
A) 15,60 cm
B) 13,28 cm
C) 11,84 cm
D) 10,42 cm
53) Considere la información de la siguiente gráfica;
Con base en la información anterior, ¿cuál es el perímetro del triángulo ∆ABC?
A) 11 + √5
B) 15 + √29
C) 11 + √29
D) 15 + 5√5

24
54) Considere la información de la siguiente gráfica:
Con base en la información anterior, ¿Cuál es el perímetro del ∆ ABC?
A) 2√10 + 12
B) 2√10 + 14
C) 2√10 + 2√13 + 6
D) 2√10 + 2√13 + 8
55) Considere los datos de la siguiente figura que presenta un polígono no regular en un sistema
de coordenadas rectangulares:
¿Cuál es el perímetro del polígono ABCD?
A) 14
B) 16
C) 23
D) 24
𝐴𝐵 = 2√10

25
56) Considere la información de la siguiente gráfica:
Con base en la información anterior, ¿cuál es el perímetro de ABC ?
A) 2 2 13 3 
B) 2 2 13 4 
C) 2 2 13 10 
D) 2 2 13 17 
57) Considera la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero
representado en un sistema de coordenadas rectangulares:
Con base en la información anterior, el área del cuadrilátero ABCD corresponde a
A) 9
B) 15
C) 16
D) 21
𝐴𝐵 = 2√2
𝐵𝐶 = √13

26
58) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponder a un cuadrilátero
Con base en la información anterior, al área del cuadrilátero ABCD corresponde a
A) 16
B) 20
C) 24
D) 32
59) Considere la información de la siguiente representación gráfica:
De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, el área del polígono ABCD es
A) 27
B) 28
C) 36
D) 47

27
60) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero
Con base en la información anterior,
el área del cuadrilátero ABCD corresponde a:
A) 7,50
B) 9,50
C) 12,00
D) 13,50
Considere la siguiente figura formada por el hexágono regular BCDEFG y el cuadrado ABGH, para
responder las preguntas 61 y 62:
61) ¿Cuál es el área del cuadrado ABGH?
A) 16
B) 48
C) 4√3
D) 16√3
62) ¿Cuál es el perímetro del hexágono BCDEFG?
A) 24
B) 12√3
C) 24√3
D) 72√3
A B
C
D
E
F
GH
𝐶𝐷 = 4√3

28
63) ¿Cuántos metros cuadrados tiene el terreno?
A) 912
B) 3400
C) 3600
D) 10 080
64) Si se desea cercar todo el terreno con 3 hilos de alambre, entonces, ¿Cuánto dinero, en
colones, se debe invertir como mínimo en la compra de rollos de alambre?
A) 17 000
B) 25 500
C) 34 000
D) 42 500
65) ¿Cuánto vale, en colones, ese lote?
A) 1 440 000
B) 2 880 000
C) 28 800 000
D) 72 000 000
66) Si se desea colocar una mala de 2,5 metros de alto alrededor del lote, entonces, ¿cuántos
metros cuadrados de malla se necesitan, como mínimo, para cercar ese lote?
A) 225
B) 450
C) 555
D) 720
Se quiere cercar con alambre de púas un terreno, el cual tiene forma de cuadrado y la
medida de su lado es 60 m. Además, un rollo de alambre de púas de 168 m cuesta
¢8500 (el alambre solo se vende por rollos).
En una urbanización se vende un lote de 30 metros de ancho y 60 metros de largo (el lote tiene
forma rectangular), y el metro cuadrado del terreno vale ¢16 000.

29
Considere la siguiente información para contestar las preguntas 67 y 68:
67) ¿Cuál es el perímetro, en metros, de la cancha del Estadio Nacional?
A) 173
B) 346
C) 1785
D) 3570
68) Cuando se colocó el césped de la cancha, el metro cuadrado de césped natural costó $10.
¿Cuál fue el costo mínimo, en dólares, por concepto de compra de dicho césped? (Suponga que
no hubo sobrantes o desperdicios de gramilla)
A) 17 300
B) 17 850
C) 36 600
D) 71 400
69) ¿Cuál es el área, en metros cuadrados, del terreno?
A) 180
B) 240
C) 720
D) 3600
70) ¿Cuántos metros de alambre se necesita, como mínimo, para cercar todo el terreno?
A) 180
B) 540
C) 720
D) 3600
La cancha del Estadio Nacional de Costa Rica tiene forma rectangular, sus
dimensiones son 105 m por 68 m y es de césped natural.
Un terreno tiene forma de cuadrado y la medida de su lado es 60 m. Además, se desea
construir a su alrededor una cerca con tres hilos de alambre.

30
Habilidad 5: Identificar simetrías
Simetrias
 Simetría Axial
 Imagen
 Preimagen
5.1 Determinar ejes de simetría en figuras simétricas
5.2 Identificar elementos homólogos en figuras que presentan simetría axial.
5.3 Resolver problemas relacionados con la simetría axial.
2
71) Considere la siguiente figura en la que e es el eje de simetría del Δ ABC y del Δ DFE, y e’
es el eje de simetría del Δ DEF y del Δ GIH:
De acuerdo con los datos de la figura anterior, considere las siguientes proposiciones:
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Sola la I
D) Sola II
I. A es homólogo con F, con respecto al eje de simetría e.
II. D͞E es homólogo con G͞I, con respecto al eje de simetría e’.

31
Considere la información de la siguiente representación gráfica para responder las preguntas 72
y 73:
I. Las figuras A y B son simétricas con respecto al eje y
II. Las figuras B y C son simétricas con respecto al eje x
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
73) Las figuras D y C son simétricas con respecto
A) al eje x
B) al eje y
C) a la recta 𝑥 = 1
D) a la recta 𝑦 = 1
-3
-2
-1
x
y
1
2
3
1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1
A B
CD

32
La siguiente figura muestra el cuadrilátero ABCD, donde la recta l es el eje de simetría de la
figura:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
76) La cantidad total de ejes de simetría que se pueden trazar en un rectángulo (no cuadrado)
corresponde a
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
I. ∆ ABC es congruente con ∆ADC
II. La preimagen de A es C.
I. B es homólogo con D
II. 𝐴𝐵̅̅̅̅ es homólogo con 𝐴𝐷̅̅̅̅

33
Considere la siguiente representación gráfica para responder los ítems 77 y 78:
I. El punto (3, −5) es homólogo con R con respecto al “eje x”
II. El ABCD y el QRPT presentan simetría axial con respecto al “eje y”
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
78) Con respecto al “eje x”, 𝑀𝑇̅̅̅̅̅ es homólogo con
A) 𝐷𝐶̅̅̅̅
B) 𝑃𝑇̅̅̅̅
C) 𝑃𝑅̅̅̅̅
D) 𝑅𝑄̅̅̅̅

34
79) Considere la siguiente representación gráfica:
De acuerdo con la información anterior, si al ∆ 𝐴𝐵𝐶 se le aplica una reflexión respecto
a la recta 𝑥 = 2, entonces la imagen de C corresponde al punto
A) (4, 1)
B) (3, 4)
C) (1, 0)
D) (−1, 4)

35
La siguiente figura muestra el cuadrilátero ACDF, donde la recta ℓ es el eje de simetría de la
figura:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
I. B es homólogo con E. II. A es homólogo con C.
I. 𝐵𝐸 es homólogo de 𝐴𝐹
II. Los cuadriláteros ABEF y CBED son congruentes entre sí.

36
La siguiente figura muestra el cuadrilátero BDCA, donde la recta ℓ es el eje de simetría de la
figura:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. ∆ 𝐴𝐵𝐷 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 ∆ 𝐴𝐶𝐷. II. A es homólogo con D.
I. B es homólogo con C. II. 𝐴𝐵 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑚ó𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝐴𝐷.

37
La siguiente figura muestra el cuadrilátero BCEF , donde la recta l es el eje de simetría de la
figura:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. B es homólogo con E .
II. BF es homólogo con AD .
I. A es homólogo con C .
II. Los cuadriláteros ABCD y AFED son congruente entre sí.

38
Habilidad 6: Aplicar e identificar diversas transformaciones en el plano a finas geométricas.
Transformaciones en el plano
 Traslaciones
 Reflexiones
 Homotecias
 Rotaciones
6.1 Aplicar el concepto de traslación, homotecia, reflexión y rotación para
determinar qué figuras se obtienen a partir de figuras dadas.
6.2 Identificar elementos de las figuras geométricas que aparecen invariantes
bajo reflexiones o rotaciones.
6.3 Determinar el punto imagen de puntos dados mediantes una
transformación.
6.4 Resolver problemas relacionados con diferentes transformaciones en el
plano
3
86) Considere la siguiente figura:
De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál transformación presenta el cuadrilátero EFGH con
respecto al cuadrilátero ABCD?
A) rotación
B) traslación
C) homotecia
D) reflexión con respecto al eje y.

39
87) Considere la siguiente figura:
De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál transformación presenta el Δ A’B’C’ con respecto
del Δ ABC?
A) rotación
B) traslación
C) homotecia
D) reflexión con respecto al eje y.
Para responder las preguntas 88 y 89, considere la información de la siguiente representación
gráfica sobre dos rectángulos
88) El □ EFGH se obtiene a partir del □DABC mediante la transformación denominada
A) rotación
B) reflexión
C) traslación
D) homotecia
Cada □ representa un
cuadrado de lado 1
unidad.
x
y
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1
A B
CD
E F
GH

40
89) Considere las siguientes afirmaciones:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
90) Considere la siguiente información:
La figura A se obtiene de la figura P a partir de una transformación en el plano, mientras que la
figura B se obtiene de la figura P a partir de otra transformación en el plano.
De acuerdo con la información anterior, las figuras A y B corresponden, respectivamente, a
transformaciones en el plano denominadas
A) Traslación y reflexión
B) Rotación y homotecia
C) Homotecia y reflexión
D) Traslación y rotación
I. A es homólogo con E. II. 𝐴𝐵̅̅̅̅ es homólogo con 𝐹𝐺̅̅̅̅

41
91) Considere la siguiente figura referente al polígono ABCDE, al que se le aplicó una homotecia
de centro F y razón de homotecia K= −3
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la medida de 𝑇𝑆̅̅̅̅?
A) 24
B) 30
C) 33
D) 45

42
92) Si se transforma el triángulo ∆ 𝐴𝐵𝐶 cuyos vértices son A (0, 0), B (0, 2) y C ( -1, 1), mediante
una homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón K = 3, entonces, ¿Cuáles son las
coordenadas del vértice homólogo con C (-1, 1)?
A) (3, 3)
B) (3, 6)
C) (-3, 3)
D) (-3, -3)
93) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son  2,1A  ,  2,5B y  1,1C , mediante
una homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón 3K   , entonces, ¿cuáles son
las coordenadas del vértice homólogo con B ?
A)  6,3
B)  6,15
C)  3, 3 
D)  6, 15 
94) Si se transforma el triángulo ∆ABC cuyos vértices son A(-1,1), B(1,3) y C(2,2), mediante una
homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón K=-2,entonces, ¿cuáles son las
coordenadas del vértice homólogo con A(-1,1)?
A) (2,-2)
B) (-2,2)
C) (-4,-4)
D) (-2,-6)
95) Si se transforma el triángulo ∆ ABC cuyos vértices son A (2, 3), B (1,6) y C 5, 4), mediante una
homotecia centrada en el origen de las coordenadas y de razón K= 2, entonces, ¿cuáles son las
coordenadas del vértice homólogo con A?
A) (4, 6)
B) (12, 2)
C) (8, 10)
D) (10, 8)

43
96) Considere la información de la siguiente figura en donde el polígono PQRST es la homotecia
del centro O y razón
5
2
del polígono ABCDE:
De acuerdo con la información anterior ¿cuál es la medida de 𝑄𝑅̅̅̅̅?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
A B
CD
E
6
4
8
2
O
P Q
RS
T

44
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 97 y 98:
97) Al realizarle una reflexión a ∆ABC a través del eje de las abscisas (eje x), las coordenadas de
uno de los nuevos vértices, son
A) (2,-3)
B) (-3,3)
C) (-1,3)
D) (-2,-1)
98) Se realiza la traslación de ∆ABC paralelo al eje de las abscisas (eje x), en 5 unidades hacia la
izquierda. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?
A) (3,-3)
B) (4,-1)
C) (-3,2)
D) (-4,1)

45
99) Al realizarle una reflexión al ∆ ABC a través del eje de las abscisas (eje x), las coordenadas de
uno de los nuevos vértices, corresponde a:
A) (4, 2)
B) (2, 4)
C) (4, −2)
D) (3, −4)
100) Se realiza la traslación de ∆ABC paralelo al eje de las abscisas (eje x), en 3 unidades hacía la
izquierda. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?
A) (0, −4)
B) (−2, 1)
C) (−3, −2)
D) (−4, −2)

46
Con base en la siguiente información, conteste las siguientes preguntas 101 y 102:
101) Al realizarle una reflexión a ∆ 𝐴𝐵𝐶 a través del eje de las ordenadas (eje y), las coordenadas
de la imagen de “A” corresponden a
A) (1, 1)
B) (3, 1)
C) (2, 3)
D) (-3, 1)
102) Se realiza la traslación de ∆ 𝐴𝐵𝐶 paralelo al eje de las ordenadas (eje y), en 5 unidades
hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?
A) (1, 1)
B) (3, -4)
C) (-3, 2)
D) (-1, -4)

47
103) Al realizarle una reflexión a RPQ a través del eje de las abscisas (eje x), las coordenadas
de uno de los nuevos vértices, son
A)  4, 2
B)  4,2
C)  2, 4 
D)  4, 2 
104) Se realiza la traslación de RPQ paralelo al eje de las abscisas (eje x), en 2 unidades hacia
la derecha. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?
A)  0, 4
B)  2,1
C)  3, 2 
D)  4, 2 

48
Habilidad 7: Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras geométricas tridimensionales.
Visualización Espacial
 Esfera
 Cilindro circular recto
 Base
 Superficie Lateral
 Radio
 Diámetro
 Sección Plana
 Elipse
 Cono Circular recto
 Vértice
 Parábola
 Hipérbola
7.1 Identificar el radio y el diámetro de una esfera.
7.2 Identificar la superficie lateral, las bases, la altura, el radio y el diámetro
de un cilindro circular recto.
7.3 Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de una
esfera o un cilindro y características métricas de ellas.
7.4 Reconocer elipses en diferentes contextos.
7.5 Identificar la superficie lateral, la base, la altura, el radio y el diámetro de
la base y el vértice de un cono circular recto.
7.6 Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de un
cono circular recto y características métricas de ellas.
7.7 Reconocer elipses, parábolas e hipérbolas en diferentes contextos
7.8 Plantear y resolver problemas que involucren secciones de un cono
mediante planos paralelos a la base
5
105) LA siguiente figura ilustra una sección plana producto de la intersección de un plano con
una esfera. Además, considere que el diámetro de la sección plana mide 6 y la distancia del
centro de la sección plana al centro de la esfera es 4.
¿Cuál es la medida del radio de la sección plana ilustrada?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
N O P
M
P – O – N
M: centro de la esfera
O: centro de la sección plana

49
Considere la siguiente figura que representa un cilindro circular recto para contestar las
preguntas 106 y 107.
106) ¿Qué nombre recibe el P͞Q?
A) Recta
B) Radio
C) Altura
D) Diámetro
107) ¿Qué nombre recibe el SR?
A) Recta
B) Radio
C) Altura
D) Diámetro
P y Q son los centros de las bases del cilindro.
S ― Q ― R

50
Con base en la información que se indica en la figura siguiente, referida a un cono circular recto,
conteste las preguntas 108 y 109:
108) ¿Cuál es la medida de la altura del cono?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
109) ¿Cuál punto representa el vértice del cono?
A) T
B) R
C) Q
D) P
T – R - Q

51
conteste las preguntas 110, 111 y 112:
110) ¿Cuál segmento representa la altura del cono que contiene los puntos A y C?
A) 𝐵𝐾̅̅̅̅
B) 𝐵𝐶̅̅̅̅
C) 𝐴𝐶̅̅̅̅
D) 𝐵𝐷̅̅̅̅
111) ¿Cuál segmento representa la altura del cono que contiene los puntos G y E?
A) 𝐵𝐾̅̅̅̅
B) 𝐵𝐶̅̅̅̅
C) 𝐴𝐶̅̅̅̅
D) 𝐵𝐷̅̅̅̅
112) Si un plano paralelo a la base del cono contiene los puntos E, G, y K, entonces, la sección
plana producto de la intersección, entre ese plano y el cono, se denomina
A) elipse
B) parábola
C) hipérbola
D) circunferencia
B
CD
A
EKG
A – G – B
A – D – C
C – E – B
G, K E: Puntos del cono
D: centro de la base del cono

52
conteste las preguntas 113 y 114:
113) ¿Cuál segmento representa la altura del cono?
A) DE
B) BC
C) AC
D) BD
114) La sección plana que resulta de la intersección del cono que contiene a los puntos G , H
y E corresponde a:
A) Elipse.
B) Parábola.
C) Hipérbola.
D) Circunferencia.
B
CD
A
E
H
H
G
A – G – B
A – D – C
C – E – B
𝐵𝐸 ≠ 𝐵𝐺
D: centro de la base del cono

53
Considere la siguiente información para resolver las preguntas 115 y 116:
115) ¿Qué nombre recibe la sección plana al realizarse el corte?
A) Elipse
B) Parábola
C) Hipérbola
D) Circunferencia
116) ¿Qué nombre recibe el P͞T?
A) Recta
B) Radio
C) Cuerda
D) Diámetro
I. Al realizar un corte a un cilindro circular recto con un plano, la sección plana que se genera,
siempre será una elipse.
II. Si un plano interseca a una esfera en más de un punto, entonces, la sección plana que se
genera, siempre será una circunferencia.
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Se le presenta una esfera de centro P que ha sido cortada por un plano π.
T es un punto de la circunferencia.
Q es el centro de la sección obtenida al
hacer el corte.

54
En una ebanistería se fabrican piezas decorativas a partir de cortes que se realizan a cilindros
circulares rectos de madera, como se muestra en las siguientes figuras:
En la figura A el corte es perpendicular con respecto a las bases del cilindro y contiene
el centro de ambas bases, mientras que en la figura B el corte no es paralelo con respecto a las
bases del cilindro y no las corta.
I. La sección plana al realizar el corte de la figura A, corresponde a un rectángulo.
II. La sección plana al realizar el corte de la figura B, corresponde a un elipse.
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

55
119) Si de un cilindro circular recto se quiere obtener una sección plana que corresponda a una
circunferencia, entonces el corte que se debe realizar a ese cilindro corresponde a un plano.
A) Paralelo con respecto a las bases.
B) Perpendicular con respecto a las bases.
C) Oblicuo con respecto a las bases y que no las corte.
D) Oblicuo con respecto a las bases y que corte una de ellas.
120) Considere la siguiente figura, referente a un cono circular recto cortado por un plano 𝛼
oblicuo con respecto a la bases y sin cortarla:
De acuerdo con la información anterior, la intersección del plano 𝛼 con el cono corresponde a
una sección plana denominada
A) Elipse.
B) Parábola.
C) Hipérbola.
D) Circunferencia.

56
121) Considere la siguiente información sobre la sección plana producto de la intersección de
un cono circular recto y un plano, tal que el plano:
 No pasa por el vértice del cono
 Es paralelo a la generatriz del cono
 Es oblicuo con respecto a la base del cono
Con base en la información dada, la sección plana que se forma mediante el corte del cono con
el plano, corresponde a una
A) elipse
B) parábola
C) hipérbola
D) circunferencia
122) Si en un cono circular recto la medida del diámetro de base es 18 cm, entonces ¿cuál es la
longitud de la circunferencia que forma la base?
A) 3𝜋
B) 9𝜋
C) 18𝜋
D) 27𝜋

57
123) Considere la siguiente figura sobre un cilindro circular recto, intersecado por el plano  , el
cual es paralelo a la base:
Si el plano contiene a los puntos P y R , y 4PR  , entonces, la longitud de la sección plana que
se forma producto de la intersección de la superficie cilíndrica con el plano, corresponde a:
A) 2
B) 4
C) 8
D)16
124) Sea un cilindro circular recto, tal que, la medida del diámetro de la base es 12. Si un plano
paralelo a la base del cilindro interseca a dicho cilindro, entonces, la longitud de la sección plana
que se forma entre ellos, corresponde a
A) 6π
B) 12π
C) 36π
D) 144π
P – O – R
O: centro de la circunferencia
P RO

58
La siguiente figura ilustra una esfera y una sección plana producto de la intersección de esta con
un plano. Además, considere que TM = 5 y ON = 3.
125) ¿Cuál es la longitud de la sección plana?
A) 6 π
B) 8 π
C) 9 π
D) 10 π
126) ¿Cuál es la distancia del centro de la esfera al centro de la sección plana dada?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
M: centro de la esfera
O: centro de la sección plana

59
La siguiente figura ilustra una sección plana producto de la intersección de un plano con la
superficie de una esfera. Además, considere que 5OB  y 6AB  .
A) 6
B) 10
C) 11
D) 12
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
A – E – B
O: Centro de la Esfera
E: centro de la sección plana

60
La siguiente figura ilustra una sección plana producto de la intersección del plano, con la
superficie de una esfera. Además, considere que OB=5 y AB=8
A) 6π
B) 8π
C) 10π
D) 16π
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
B
WO
W
A
𝛾
C
A – C – B
O: Centro de la circunferencia
A, B, C contenidos en
C: centro de la sección plana
𝛾

61
131) La siguiente figura ilustra una sección plana, producto de la intersección de un cilindro
circular recto con el plano que contiene los puntos P y R:
¿Cuál es el perímetro de la sección plana ilustrada?
A) 22
B) 30
C) 32
D) 34
132) Sea un cilindro circular recto (considérese con volumen) intersecado por un plano que
contiene los puntos P y Q:
¿Cuál es el área de la sección plana que se forma producto de la intersección del cilindro con el
plano?
A) 30
B) 32
C) 60
D) 120
PQ = 5 y QM = 6
P y R son centros de las bases del
cilindro
MR
Q
W
P

62
133) Si un plano paralelo a la base del cono contiene a los puntos G y E, entonces, ¿Cuál es la
longitud de la sección plana que resulta de dicha intersección?
A) 3𝜋
B) 4𝜋
C) 6𝜋
D) 8𝜋
134) La medida de la altura de un cono es 18 y el diámetro de su base mide 16. Si al cono se le
realiza un corte a la mitad de la altura con un plana paralelo a su base, entonces, ¿cuál es la
medida del radio de la superficie de corte?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

63
ÁREA 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA. 21 ÍTEMS
Habilidad 1: Utilizar elementos del lenguaje de los conjuntos numéricos para representar dominio y
rango de funciones, así como el conjunto solución de ecuaciones.
Conjuntos numéricos
 Unión
 Intersección
 Pertenencia
 Subconjuntos
 Complementos
 Intervalos
1.1 Analizar subconjuntos de los números reales.
1.2 Utilizar correctamente los símbolos de pertenencia y de subconjunto.
1.3 Representar intervalos numéricos en forma gráfica, simbólica y por
comprensión.
1.4 Determinar la unión y la intersección de conjuntos numéricos.
1.5 Determinar el complemento de un conjunto numérico dado.
4
135) La expresión ]−3, 8] corresponde a
A) {𝑥/𝑥 𝜖 ℝ, −3 ≤ 𝑥 ≤ 8}
B) {𝑥/𝑥 𝜖 ℝ, −3 ≤ 𝑥 ˂ 8}
C) {𝑥/𝑥 𝜖 ℝ, −3 ˂ 𝑥 ≤ 8}
D) {𝑥/𝑥 𝜖 ℝ, −3 ˂ 𝑥 ˂ 8}
136) El conjunto 𝐴 = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 𝑅, 𝑥 ≥ −5} corresponde al rango de una función. Ese conjunto
expresado en notación de intervalo es
A) [−5, +∞[
B) ]−5, +∞[
C) ]−∞, −5]
D) ]−∞, −5[
137) considere la siguiente gráfica:
De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, ¿cuál es la representación del intervalo por
comprensión?
A) {x/x ϵ R, -2 ≤ x ≤ 0}
B) {x/x ϵ R, -2 ≤ x ˂ 0}
C) {x/x ϵ R, -2 ˂ x ≤ 0}
D) {x/x ϵ R, -2 ˂ x ˂ 0}

64
138) Dados os conjuntos A y B, con A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 5, 6, 7 }, A U B corresponde a
A) { 5 }
B) { 5, 6, 7 }
C) { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
D) { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
139) Dados dos conjuntos A y B, con A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 }, si A es el
conjunto universo, entonces el complemento de B « Bc
» es
A) { 0, 9 }
B) { 0, 2, 4, 6, 8 }
C) { 0, 1, 3, 5, 7, 9 }
D) { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
140) Considere las siguientes proposiciones referidas al conjunto D dado por 𝐷 = ]−4,8]:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. 0 ∈ D
II. ]−3,2] ⊂ D

65
141) Considere la siguiente representación gráfica de la función f cuyo dominio es 𝐴 = [3, 5]:
I. 𝐴 ⊂ [2, +∞[
II. 0 ∈ 𝐴
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

66
Considere la información de las siguientes funciones para responder las preguntas 142, 143, 144
y 145:
142) Si se define una nueva función con dominio 𝐴 ∩ 𝐵, entonces, ese dominio corresponde a
A) [ 3 , 6 ]
B) [ 1 , 6 ]
C) [ 1 , 7 ]
D) [ 2 , 7 ]
143) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponde a 𝐸 ∪ 𝐶, entonces,
ese ámbito es
A) [ 1 , 7 ]
B) [ 2 , 7 ]
C) [ 1 , +∞ [
D) [ 2 , +∞ [
144) Si se construye una nueva función con dominio 𝐴 ∪ 𝐵, entonces, ese dominio corresponde
a
A) [ 3 , 6 ]
B) [ 1 , 6 ]
C) [ 1 , +∞ [
D) [ 2 , +∞ [
145) si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponde al complemento
de 𝐸 ∩ 𝐶, entonces, ese ámbito corresponde a
A) ]1, +∞[
B) ] 7 , +∞ [
C) ]−∞ , 1 ] ∪ ] 1 , 7 [
D) ]−∞ , 2[ ∪ ] 7, +∞ [
m: A → E, con A = [ 3 , 6 ] y E = [ 1 , 7 ]
p: B → C, con B = [ 1 , +∞ [ y C = [ 2 , +∞ [

67
Considere la información del siguiente contexto para responder las preguntas 146, 147, 148 y
149:
En la siguiente gráfica se ilustran las condiciones de las funciones j y f, tal que:
 El conjunto A es el dominio y el conjunto E es el ámbito de j.
 El conjunto B es el dominio y el conjunto C es el ámbito de f.
 Además, considere a IR como el conjunto universo.
146) Si se construye una nueva función con dominio 𝐴 ∪ 𝐵, entonces, ese dominio corresponde
a
A) [ 1, 4 ]
B) [ 3, 8 ]
C) [ 1, 7 ]
D) [ 1, 8 ]

68
147) Si se defina una nueva función, de tal forma que su ámbito es 𝐸 ∩ 𝐶, entonces, ese ámbito
corresponde a
A) [ 1, 3 ]
B) [ 1, 4 ]
C) [ 3, 7 ]
D) [ 9, 14 ]
148) Si se construye una nueva función con dominio 𝐴 ∩ 𝐵, entonces, ese dominio corresponde
a
A) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 ℝ, 1 ≤ 𝑥 ≤ 7}
B) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 ℝ, 3 ≤ 𝑥 ≤ 8}
C) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 ℝ, 4 ≤ 𝑥 ≤ 7}
D) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 ℝ, 4 ≤ 𝑥 ≤ 6}
149) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento
de 𝐸 ∪ 𝐶, entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a
A) [ 1, 3 ]
B) [ 1, 4 ]
C) [ 3, 7 ]
D) [ 9, 14 ]

69
Para responder las preguntas 150, 151 y 152, considere las siguientes gráficas de funciones:
150) El dominio de f corresponde a
A) [0,1] ∪ [3,6]
B) [0,1] ∪ [2,3]
C) [−4,1] ∪ [2,3]
D) [−4,0] ∪ [3,6]
151) El dominio de g corresponde a
A) [0,2] ∪ [1,3]
B) [0,3] ∪ [−5,1]
C) [−5, −2] ∪ [1,2]
D) [−5, −2] ∪ [1,3]
152) Si se define una función “r”, tal que, su ámbito sea la intersección de los ámbitos de g y de
f, entonces, ese ámbito correspondería a
A) [0,1]
B) [0,2]
C) [1,2]
D) [2,3]
x
y
1
2
3
1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1 6
Gráfica de f
x
y
1
2
3
1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1 6
Gráfica de g

70
Considere la información de las siguientes funciones para responder las preguntas 153, 154, 155
y 156:
153) Si se construye una nueva función con dominio A B , entonces, ese dominio corresponde
a:
A)  2,7
B)  3,7
C)  2,
D)  3,
154) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito sea E C , entonces, ese
ámbito corresponde a:
A)  1,8
B)  2,7
C)  1,
D)  4,
155) Si se construye una nueva función con dominio A B , entonces, ese dominio corresponde
a:
A)  3,7
B)  2,7
C)  2,
D)  3,
156) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento
de C , entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a:
A)  ,4
B)  4,
C)  , 4 
𝑗: 𝐴 → 𝐸, 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = [3,7] 𝑦 𝐸 = [1,8]
𝑓: 𝐵 → 𝐶, 𝑐𝑜𝑛 𝐵 = [2, +∞[ 𝑦 𝐶 = [4, +∞[

71
D)  4, 
Habilidad 2: Aplicar el concepto de función en diversas situaciones.
Funciones
 Concepto de función y
de gráfica de una
función.
 Elementos para el
análisis de una función.
- Dominio
- Imagen
- Preimagen
- Ámbito
- Inyectividad
- Crecimiento
- Decrecimiento
- Ceros
- Máximo y Mínimo
- Análisis de gráficas de
funciones
 Composición de
Funciones.
 Función Lineal.
 Función Cuadrática.
Funciones Inversas
 Inversa de la función.
 Función raíz cuadrada
2.1Identificar si una relación dada en forma tabular, simbólica o gráfica
corresponde a una función.
2.2 Evaluar el valor de una función dada en forma gráfica o algebraica, en
distintos puntos de su dominio.
2.3 Calcular la composición de funciones.
2.4 Identificar las condiciones para que una función tenga inversa.
2.5 Relacionar la gráfica de una función con la gráfica de su inversa.
2.6 Determinar intervalos en los cuales una función representada
gráficamente tiene inversa.
2.7 Determinar y graficar la función inversa de f(x)=mx+b, 𝑚 ≠ 0.
2.8 Analizar gráfica y algebraicamente la función con criterio dado por 𝑓(𝑥) =
𝑎√𝑥 + 𝑏 + 𝑐.
5

72
157) Considere el siguiente contexto:
De acuerdo con el contexto Índice de Precios al Consumidor (IPC), considere las siguientes
proposiciones:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. Del año 2013 al año 2015, el IPC creció.
II. El IPC en el año 2012 fue inferior al 6%.
Índice de Precios al Consumidor (IPC)
El Índice de Precios al Consumidor (IPC), base junio 2015, se calcula mediante una investigación de
los precios reportados por 3100 establecimientos sobre bienes y servicios. La recopilación de
precios se realiza en las regiones de planificación del país con mayor concentración de población,
según el Censo 2011. La siguiente gráfica muestra el IPC desde el año 2008 hasta el año 2015.
Adaptado de: http://.inec.go.cr

73
Considere la siguiente información para responder los ítems 158 y 159:
La siguiente gráfica representa la temperatura promedio, por horas, de un día de setiembre, de
acuerdo con una de las estaciones meteorológicas automáticas del Instituto Meteorológico
Nacional de Costa Rica.
158) Un intervalo del tiempo en el cual aumentó la temperatura corresponde a
A) [2, 6]
B) [4, 6]
C) [0, 4]
D) [6, 8]
159) ¿Cuál fue la temperatura promedio, en grados Celsius, registrada a las 6 horas?
A) 6
B) 10
C) 18
D) 20
TemperaturaengradosCelsius
Fuente: Adaptado de http:/www.imn.ac.cr
Temperatura promedio durante las primeras
10 horas de un día de setiembre

74
X 9 7 K 4 3 0
f(x) 4 11 6 1 0 2
Para que la tabla anterior corresponda a la representación tabular de una función, un posible
valor de “k” es:
A) 0
B) 1
C) 7
D) 9
161) Considere las gráficas de las relaciones A y B:
¿Cuál o cuáles de las anteriores gráficas corresponden a la gráfica de una función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

75
162) Considere las siguientes gráficas de relaciones:
¿Cuál o cuáles de las anteriores gráficas corresponden a la gráfica de una función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II

76
163) Considere las siguientes gráficas de las relaciones A y B:
¿Cuál o cuáles de las anteriores corresponden a la gráfica de una función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
164) Considere las siguientes gráficas de relaciones:
¿Cuál o cuáles de las anteriores gráficas, corresponden a la gráfica de una función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

77
165) Si f es la función dada por f(x) = 3𝑥 + 4 , entonces f (−8) es
A) −20
B) −1
C) 15
D) 28
166) Si f es la función dada por f(x) =
2−3𝑥
2
, entonces f (
1
3
) es
A)
1
2
B)
3
2
C)
4
3
D)
4
9
167) Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 1, con dominio {0, 1, 2} y
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, con dominio {1, 2, 5}.
Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
I. Es factible definir la composición (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
II. Es factible definir la composición (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)

78
168) Sean las funciones   2
1f x x  , con dominio  0,1,3 ;   1g x x  , con dominio  1,2,10 ;
  1h x x  , con dominio  0,1,6 .
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
169) Sean f y g do funciones con f(x) 2x – 3 y con g(x) = x2
. ¿Cuál es el criterio de ( g ᴼ f )?
A) ( g ᴼ f )(X) = 2x2
- 3
B) ( g ᴼ f )(X) = 4x2
- 9
C) ( g ᴼ f )(X) = 4x2
-6x + 9
D) ( g ᴼ f )(X) = 4x2
-12x + 9
170) Considere los siguientes criterios de las funciones f y g:
𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 3 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el criterio de (𝑔 ∘ 𝑓)?
A) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 5𝑥2
− 10𝑥 + 3
B) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 5𝑥2
− 10𝑥 + 12
C) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 25𝑥2
+ 20𝑥 + 3
D) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 25𝑥2
+ 20𝑥 − 3
I. Es factible efectuar la composición   g f x .
II. Es factible efectuar la composición   h g x .

79
171) Considere la siguiente gráfica referida a la función f:
De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f, donde f posee inversa,
corresponde a
A) ]1,4[
B) ]4,7[
C) ]6,7[
D) ]−2,4[
corresponde a
A) [ 0 , 2 ]
B) [ 0 , 4 ]
C) [ 2 , 4 ]
D) [ 5 , 7 ]

80
corresponde a
A) [ -4, 0]
B) [-2, 3]
C) [-4, 3]
D) ] -2, 0 [
174) Considere la siguiente gráfica referida a la función f :
De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f , donde f posee inversa,
corresponde a:
A)  0,4
B)  0,6
C)  2,4
D)  4,6

81
175) Considere las siguientes representaciones gráficas de las funciones lineales f, g, h, p
De acuerdo con la información anterior, ¿cuáles de ellas representan la gráfica de una función y
la de su función inversa?
A) La I y la II
B) La II y la III
C) La I y la IV
D) La II y la IV

82
176) Si f es la función dada por 𝑓(𝑥) =
𝑥+4
3
, entonces, ¿Cuál es el criterio de la función inversa
de f?
A) 𝑓−1(𝑥) =
𝑥−3
4
B) 𝑓−1(𝑥) =
𝑥−4
3
C) 𝑓−1(𝑥) = 3𝑥 − 4
D) 𝑓−1(𝑥) = −3𝑥 − 4
177) Si la inversa de la función f dad por 𝑓(𝑥) =
−𝑥
2
+ 3 corresponder a 𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏,
entonces, se cumple que
A) 𝑎 = 6 y 𝑏 = −2
B) 𝑎 = −6 y 𝑏 = 2
C) 𝑎 = 2 y 𝑏 = −6
D) 𝑎 = −2 y 𝑏 = 6
178) Si f es una función dada por 𝑓: [0, +∞[ → [0, +∞[, con 𝑓(𝑥) = √ 𝑥, entonces, la gráfica de
la inversa de f corresponde a
x
y
A)
x
y
B)
x
y
C)
x
yD)

83
179) ¿Cuál es el dominio de la inversa de f?
A) [ 0, +∞[
B) [ 2, +∞[
C) [−2, +∞[
D) [−1, +∞[
180) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de f?
A) [1, +∞[
B) [2, +∞[
C) ]−∞, 1]
D) ]−∞, 2]
A) [0 , +∞[
B) [1 , +∞[
C) ]−∞ , 0]
D) ]−∞ , 1]
A) [0 , +∞[
B) [1 , +∞[
C) ]−∞ , 0]
D) ]−∞ , 1]
Sea f una función que posee inversa, tal que,
𝑓: [1, +∞[ → 𝑃; 𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 + 2.
Sea f una función que posee inversa, tal que, 𝑓: [1 , +∞[ → 𝑃; con 𝑓(𝑥) = −√𝑥 − 1 + 1.

84
A) [0, + ∞ [
B) [1, + ∞ [
C) [−2, + ∞ [
D) [−1, + ∞ [
A) [−1, + ∞ [
B) [−2, + ∞ [
C) ]− ∞, −1 ]
D) ]− ∞, −2 ]
185) ¿Cuál es el dominio de la inversa de f ?
A)  0,
B)  2,
C)  2, 
D)  1, 
186) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de f ?
A)  1, 
B)  2, 
C)  , 1 
Sea f una función que posee inversa, tal que f: [−1, +∞[ → 𝑃; con
𝑓(𝑥) = √ 𝑥 + 1 − 2
Sea f un función que posee inversa, tal que, 𝑓: [−2, +∞[ → 𝑃; con
𝑓(𝑥) = √ 𝑥 + 2 − 1

85
D)  , 2 
Habilidad 3: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes.
Funciones
 Concepto de función y
de gráfica de una
función.
análisis de una función.
- Dominio
- Imagen
- Preimagen
- Ámbito
- Inyectividad
- Crecimiento
- Decrecimiento
- Ceros
- Máximo y Mínimo
- Análisis de gráficas
 Función Lineal.
 Función Cuadrática.
Funciones Exponenciales
 La función 𝑎 𝑥
Funciones Logarítmicas
La función log 𝑎 𝑥
3.1 Analizar una función a partir de sus representaciones.
3.2 Representar gráficamente una función lineal.
3.3 Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y de
las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.
3.4 Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relaciones con ella.
3.5 Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con criterio
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0.
3.6 Relacionar la representación gráfica con la algebraica.
3.7 Analizar gráfica, tabular y algebraicamente las funciones exponenciales.
3.8 Identificar la función logarítmica como la inversa de la función
exponencial.
3.9Analizar gráfica y algebraicamente las funciones logarítmicas.
6
187) La pendiente de la recta que contiene los puntos (- 2, 3 ) y ( - 4, 8 ) es
A)
5
6
B)
2
11
C)
−5
2
D)
−5
6
188) De acuerdo con los datos de la gráfica, ¿cuál es una ecuación para la recta l
A) y = x - 3
B) y = x + 3
C) y = - x + 3
D) y = - x – 3

86
189) Sea la recta dado por 𝑦 = 3𝑥 + 𝑏. Si (1, −6) es un punto contenido en esa recta, entonces,
¿cuál es la intersección de la recta con el eje “y”?
A) (0,2)
B) (0,9)
C) (0, −9)
D) (0, −2)
190) Considere la siguiente representación gráfica de la función lineal f:
I. La pendiente de f es 2.
II. La gráfica de f interseca el “eje y” en (0, -1).
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

87
191) Considere las siguientes proposiciones de la recta dada por 𝑦 = 4 − 2𝑥
I. La pendiente de la recta es 2
II. La intersección con el ese “x” es (2,0)
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
192) Si ( 3 , 4 ) es un punto contenido en la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 − 23, entonces, el valor de “m”
corresponde a
A) 3
B) 4
C) 7
D) 9
193) ¿Cuál es la intersección de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 10, con el eje de las abscisas (eje x)?
A) (2, 0)
B) (5, 0)
C) (−5, 0)
D) (−10, 0)
194) Si  3,4 es un punto contenido en la recta 2y x b  , entonces, el valor de "b " corresponde
a:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 7

88
195) Sea la función lineal de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, con m≠0. Si 𝒎 ˂ 𝟎 y 𝒃 > 𝟎,
una posible gráfica para f corresponde a

89
196) Si el punto máximo de la gráfica de una función cuadrática corresponde a (1,2), entonces,
su ámbito corresponde a
A) ]−∞, 1]
B) ]−∞, 2]
C) [1, +∞[
D) [2, +∞[
197) El eje e simetría de la gráfica de la función f dada por f(x) = – x2
– 6x es
A) x = 3
B) x = 9
C) x = -3
D) x = -9
198) Con base en la siguiente función f con criterio 𝑓(𝑥) = −4𝑥2
+ 2𝑥, considere las siguientes
proposiciones:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. f es cóncava hacia abajo.
II. La gráfica de f interseca el eje “y” en (0, 0).

90
199) Considere la siguiente gráfica de una función f con criterio 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, y 𝑎 ≠ 0:
Considere las siguientes proposiciones sobre la parábola anterior:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
200) La siguiente gráfica de una función f tiene la forma   2
f x ax bx c   y 0a  :
Considere las siguientes proposiciones sobre la parábola anterior:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. 𝑎 < 0 II. 𝑐 > 0
f
x
f
y
I. 0a  II. 0c 

91
201) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f dada por f(x) = (
7
6
)
𝑥
:
A) Todas
B) Solo la I y la II
C) Solo la I y la III
D) Solo la II y la III
202) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la gráfica de la función logarítmica f dada
por f(x) = log 𝑎 𝑥 :
¿Cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
203) Si f es una función, tal que, 𝑓(𝑥) = log 𝑏(𝑥), entonces 𝑓(𝑏) corresponde a
A) 0
B) 1
C) 𝑏
D) 𝑏 𝑏
I. f es decreciente.
II. El ámbito de f es ] 0, + ꝏ [
III. El punto (0,1) pertenece al gráfico de f.
I. 0 < a < 1.
II. f es creciente.

92
204) Sea f una función exponencial, tal que, 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥
. Si 𝑓(3) = 216, entonces, el valor de “b”
corresponde a
A) 3
B) 6
C)
1
3
D)
1
6
205) Si (4,16) es un elemento del gráfico de la función 𝑔(𝑥) = 𝑝 𝑥
, entonces, el valor de “𝑝”
corresponde a
A) 2
B) 4
C) 10
D) 12
206) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función f, dada por 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥,
donde (16,4) es un elemento del gráfica de f:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
I. 0 < 𝑎 < 1 II. 𝑓(64) = 6

93
207) Considere la siguiente gráfica de una función exponencial f de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
,
Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
donde (8, 3) es un elemento del gráfico de f:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. a > 1.
II. (3, 8) es un elemento del gráfico de f.
I. 0 < a < 1
II. (2, 1) es un elemento del gráfico de f.

94
209) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función f , dada por   logaf x x ,
donde  9, 2 es un elemento del gráfico de f :
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
C) Solo la II
donde (9,2) es un elemento del gráfico de f:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
211) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f don f: ℝ→ℝ⁺,
dada por 𝑓(𝑥) = 2 𝑥
.
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. La inversa de f está dada por 𝑓−1(𝑥) = log2(𝑥).
II. La gráfica de f interseca el eje de las abscisas (eje x) pero no interseca el eje de las ordenadas (eje y)
I. 0 1a  II.  27 3f  
I. 0˂𝑎˂1
II. 𝑓 (
1
2
) > 0

95
212) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f con 𝑓: ℝ →
ℝ+
, dada por 𝑓(𝑥) = 3 𝑥
:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
213) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f con 𝑓: ℝ →
ℝ+
, dada por 𝑓(𝑥) = (0.5) 𝑥
:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
214) Considere las siguiente proposiciones referidas a la función exponencial f con: ℝ → ℝ+
,
dada por 𝑓(𝑥) = 3 𝑥
.
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. La inversa de f está dada por 𝑓−1(𝑥) = log3(𝑥).
II. La gráfica de f interseca el eje de las ordenadas (eje y) en (0 , 1)
I. La inversa de f está dada por 𝑓−1(𝑥) = log3(𝑥)
II. La gráfica de f interseca el eje de las ordenadas (eje y) pero no interseca el eje de
las abscisas (eje x).
I. La inversa de f está dada por    1
0,5logf x x
 .
II. La gráfica de f interseca el eje de las ordenadas (eje y) en  0,1 .

96
Habilidad 4: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes.
Funciones
análisis de una función
- Dominio
- Imagen
- Preimagen
- Ámbito
- Inyectividad
- Crecimiento
- Decrecimiento
- Ceros
- Máximo y Mínimo
- Análisis de gráficas de
funciones
 Función Lineal
 Función cuadrática
Sistemas de Ecuaciones Lineales
 Sistemas de dos
ecuaciones lineales con
dos incógnitas
Funciones Exponenciales
 La función 𝑎 𝑥
 Ecuaciones
exponenciales
Funciones Logarítmicas
 La función log 𝑎 𝑥
 Ecuaciones logarítmicas
Funciones Inversas
 Inversa de la función
lineal
 Función raíz cuadrada
Funciones y Modelización
4.1 Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando las funciones
estudiadas.
4.2 Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
4.3 Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de
dos ecuaciones con dos incógnitas.
4.4 Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando ecuaciones
exponenciales.
4.5 Identificar y aplicar modelos matemáticos que involucran las funciones
exponenciales.
4.6 Aplicar propiedades de los logaritmos para simplificar expresiones
algebraicas.
4.7 Resolver problemas en contextos reales utilizando ecuaciones
logarítmicas.
4.8 Utilizar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales de la forma
𝑎 𝑓(𝑥)
= 𝑏 𝑔(𝑥)
, a, b números reales positivos y distintos de 1, f, g polinomios
de grado menor que 3
4.9 Identificar y aplicar modelos matemáticos que involucran las funciones
logarítmicas.
4.10 Analizar el tipo de función que sirva de modelo para una situación dada
(lineal, cuadrática, raíz cuadrada, logarítmica y exponencial).
6

97
215) El crecimiento de una población de ciertos insectos, ha sido registrada durante 5 días.
Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla:
Día 1 2 3 4 5
Cantidad de Insectos 10 20 40 80 160
Con base en la información anterior, un modelo que permite calcular la población de esos
insectos en función de los “𝑥” días de observación, está dado por
A) 𝑝(𝑥) = 10𝑥
B) 𝑝(𝑥) = 5𝑥2
C) 𝑝(𝑥) = 5 ∗ 2 𝑥
D) 𝑝(𝑥) = 10 ∗ log2(𝑥)
216) Si se llena el tanque de la motocicleta (una única vez), entonces, el máximo de kilómetros
que se puede recorrer en dicha motocicleta, corresponde a:
A) 132
B) 136
C) 219
D) 360
217) Una función que modela el costo "𝐼(𝑥)", en colones, relacionado con los "x" litros de
combustibles que consume la motocicleta, corresponde a:
A) 𝐼(𝑥) = 36𝑥
B) 𝐼(𝑥) = 579𝑥
C) 𝐼(𝑥) = 36𝑥 + 10
D) 𝐼(𝑥) = 579𝑥 + 10
El recorrido máximo de una motocicleta por litro de combustible es 36 Km. Además, el
tanque tiene una capacidad de 10 litros y el precio de cada litro es de 579 colones.

98
218) Si en un mes Omega realiza una inversión de ¢4 000 000 en la producción de estuches,
entonces, ¿cuántos estuches se produjeron en ese mes?
A) 2000
B) 2400
C) 8000
D) 10 000
219) Una función que modela el ingreso I(x) de la empresa en términos de la cantidad “x” de
estuches vendidos corresponde a
A) I(x) = 400x
B) I(x) = 2000x
C) I(x) = 400x - 2000
D) I(x) = 2000x -400
220) ¿Cuánto es el ingreso por la venta de 200 pares de zapatos?
A) 1 600 000
B) 2 400 000
C) 4 000 000
D) 8 000 000
221) Una función que modela el costo total “c(x)”, en colones, relacionados con los “x” pares de
zapatos producidos, corresponde a
A) c(x) = 8 000 x
B) c(x) = 12 000 x
C) c(x) = 20 000 x
D) c(x) = 28 000 x
La empresa Omega produce estuches para celulares. El costo de producir cada estuche es
de ¢400 y cada uno de ellos se vende en ¢2000.
En una fábrica, el costo de producir un par de zapatos es ¢8 000 y cada par se vende en ¢20 000

99
Una ama de casa elabora pasteles para la venta. El costo de producir cada uno de ellos es de
₡125 y el precio de venta de cada pastel es de ₡625. Si “x” es la cantidad de pasteles producidos
y vendidos, y g(x) es la ganancia, entonces, una función que modela la situación anterior
corresponde a
A) g(x) = 125x
B) g(x) = 500x
C) g(x) = 625x
D) g(x) = 625x – 125
223) La función t dada por 𝑡(𝑥) =
−1
100
𝑥 + 34 modela la temperatura en grados Celsius a “x”
metros de altura sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la temperatura a una altitud de 3000 metros
sobre el nivel del mar?
A) 3° C
B) 4° C
C) −3° 𝐶
D) −4° 𝐶
El punto de equilibrio financiero de un negocio se obtiene cuando los ingresos son iguales a sus
costos, es decir, no hay pérdidas pero tampoco ganancias. Así las cosas, suponga que los costos
diarios (en colones) de una pastelería están dados por 𝑐(𝑥) = 100 000 + 1000𝑥. Además, el
ingreso diario (en colones) está dado por 𝐼(𝑥) = 5 000𝑥, donde “𝑥” representa los pasteles
preparados y vendidos.
224) ¿Cuántos pasteles de deben preparar y vender al día, para que le negocio alcance el punto
de equilibrio?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30

100
225) Si en un día se vendieron 45 pasteles, entonces, la ganancia (en colones) obtenida por esa
venta corresponde a
A) 80 000
B) 94 000
C) 104 000
D) 106 000
Considere el siguiente enunciado para responder las preguntas 226 y 227:
Un carro fue comprado en $40 000. Cada año el carro se deprecia (pierde su valor) en $2 500.
Por tanto, el valor del carro “𝑝(𝑥)” en función de los “𝑥” años transcurridos después de su
compra, está dado por 𝑝(𝑥) = 40 000 − 2500 𝑥
226) ¿Cuál es el valor del carro, en dólares, 12 años después de haberse comprado?
A) 5 000
B) 10 000
C) 15 000
D) 20 000
227) ¿Cuántos años deben transcurrir para que el valor del carro sea la mitad del precio de
compra?
A) 5
B) 8
C) 10
D) 16

101
228) Un grupo musical firmó un contrato para vender discos, donde su ingreso «I(x)» en colones,
por concepto de las ventas «x» , corresponde a I (x) = 5 750 000 + 0,08x. ¿De cuánto debe
ser la venta para poder obtener un ingreso de ₡ 8 740 000?
A) ₡239 200
B) ₡6 449 200
C) ₡37 375 000
D) ₡181 125 000
229) La altura «h(t)», en metros, de un objeto está dada por h(t) = 10t – 5t2
, donde «t» es el
tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
A) 1m
B) 4m
C) 5m
D) 6m
230) El costo de producción mensual “  c x ", en dólares, de una fábrica de cañas para pescar
está dado por   2
2 1200c x x x   , donde " x " representa la cantidad de cañas producidas
 0 600x  .
De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I. El costo máximo mensual que enfrente la fábrica es de 300 dólares.
II. Los costos de producción decrecen a partir de 295 cañas de pescar
producidas al mes.

102
231) La ganancia “g(x)” de una empresa, en dólares, por producir “x” unidades de un cierto
artículo está modelada por g(x) = −3𝑥2
+ 1800𝑥. ¿Cuál es la máxima ganancia, en dólares, que
puede obtener la empresa?
A) 600
B) 5400
C) 54 900
D) 270 000
232) La altura “  h t ”, en metros, que alcanza un objeto lanzado hacia arriba (el roce con el aire
es despreciable) está dada por ℎ(𝑡) = −5𝑡2
+ 30𝑡, donde “t ” es el tiempo en segundos. ¿Cuál
es la altura máxima, en metros, que alcanza el objeto?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 45
233) Un fisiólogo establece que la función dada por 𝑟(𝑡) = −𝑡2
+ 12𝑡 − 20, modela la cantidad
de impulsos “r” emitidos por un una personas a los “t” segundos desde que es estimulado cierto
nervio (2 < 𝑡 ≤ 10).
Con base en la información anterior considere las siguientes proposiciones
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
I. A los 4 segundos después de haberse estimulado ese nervio, se registraron 18 impulsos.
II. La cantidad máxima de impulsos experimentados por una persona se registra a los 6 segundos
de haberse estimulado ese nervio.

103
234) El fabricante de un artículo ha determinado que la utilidad “u” en dólares en función del
precio de venta “x” está dato por 𝑢(𝑥) =
−𝑥2
2
+ 190𝑥. ¿Cuál es la máxima utilidad, en dólares,
que puede obtener el fabricante?
A) 95
B) 190
C) 18 050
D) 36 100
Considere la siguiente información para responder las preguntas 235 y 236
La ganancia en dólares “𝑔(𝑥)” de una empresa que fabrica celulares está dada por
𝑔(𝑥) = −𝑥2
+ 1000𝑥, donde “𝑥” corresponde a la cantidad de celulares producidos y vendidos.
235) ¿Cuál es la ganancia máxima en dólares que puede obtener la empresa?
A) 187 500
B) 240 000
C) 250 000
D) 500 000
I. La ganancia de la empresa por fabricar y vender 200 celulares corresponde a $160 000.
II. La ganancia de la empresa es la misma tanto si se fabrican y venden 250 celulares como si se
fabrican y venden 750 celulares
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

104
237) El ingreso mensual "𝐼(𝑥)", obtenido por vender “x” unidades de un producto, está
modelado por 𝐼(𝑥) = 60𝑥 − 0,01𝑥2
. ¿cuál es el ingreso mensual que se obtiene al vender 3000
unidades de ese producto?
A) 5950
B) 6050
C) 90 000
D) 179 940
238) El costo “C(x)” en miles de dólares por producir “x” unidades de relojes finos está modelado
por 𝐶(𝑥) = 𝑥2
− 30𝑥 + 245. ¿Cuántos de esos relojes se deben producir para obtener el
menor costo posible?
A) 15
B) 20
C) 30
D) 245
239) El rendimiento “r(x)” de una empresa está modelado por 𝑟(𝑥) = −2𝑥2
+ 1000𝑥, donde
“x” representa la cantidad de empleados contratados. ¿Cuántos empleados necesitan contratar
la empresa para que su rendimiento sea el máximo?
A) 100
B) 250
C) 500
D) 1000
240) La función ℎ(𝑡) = 20 − 5𝑡2
modela la trayectoria de un objeto lanzado hacia arriba desde
el suelo, donde “h(t)” es la altura en que se localiza el objeto a los “t” segundos de haberse
lanzado (suponga que el roce de objeto con el aire es despreciable). ¿Cuántos segundos dura
ese objeto desde su lanzamiento hasta el momento que regresa al suelo?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 15

105
241) El precio "𝑃(𝑡)" (en dólares ($)), de una propiedad está modelada por
𝑃(𝑡) = 85000 ∗ (1.09) 𝑡
, donde "t " representa los años desde el momento de su
adquisición.
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
En un estudio, sobre una población inicial de 600 bacterias, se determina que la cantidad “f(t)”
de bacterias, a las “t” horas después de haber iniciado ese estudio, está dada por
𝑓 (𝑡) = 600 ∙ (3)
𝑡
2.
De acuerdo con la información anterior, ¿cuántas horas deben transcurrir, después de iniciado
ese estudio, para que la población sea de 1800 bacterias?
A) 0,5
B) 1,0
C) 1,5
D) 2,0
I. El precio de adquisición de la propiedad fue de $92 650.
II. A los 5 años exactos de haberse adquirido la propiedad el precio de esta
es inferior a $150 000.

106
243) En un estudio se determina que la población de cierto tipo de bacteria está modelada por
𝑝(𝑥) = 3 𝑥
, donde “p” es la cantidad de bacterias en millones a los “x” días de iniciado el estudio.
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo I
D) Solo II
244) El número “𝑛” de años que se requiere para que un capital inicial (Ci) se convierta en el
capital final (Cf) al 10% de interés anual compuesto, está dado por 𝑛 = log1.1 (
𝐶𝑓
𝐶𝑖
).
Con base en la información anterior, para obtener un capital final de 2000 con un capital inicial
de 1000, se debe hacer la inversión durante
A) 6 años exactamente
B) 7 años exactamente
C) más de 6 años pero menos de 7
D) más de 7 años pero menos de 8
245) La relación entre el tiempo «t», en horas, y el crecimiento de una población «P» de amebas,
está dada por log2 (
𝑃
𝑘
) = t, donde «k» es la población inicial de amebas. Si se observa una
población inicial de 6 amebas, entonces, ¿Cuáles amebas habrá en 8 horas?
A) 48
B) 96
C) 384
D) 1536
I. El estudio inició con 3 millones de baterías.
II. Exactamente, dos días después de iniciado el estudio, hay 6 millones de esas baterías.

107
¿Cuántos kilogramos de alimento para perro se compró?
A) 12,00
B) 20,00
C) 29,14
D) 34,00
En una actividad, el valor de 10 entradas para adulto y 9 para niño es ₡51 200 y el valor de 15
entradas para adulto y 17 para niño es ₡83 100.
De acuerdo con la información anterior, si cada entrada para adulto tiene el mismo valor y cada
entrada para niño tiene el mismo valor, entonces el valor, en colones, de una entrada para niño
es
A) 1800
B) 2633
C) 2695
D) 3300
¿Cuántos kilogramos de tornillos se compraron?
A) 1,0
B) 1,5
C) 2,0
D) 4,0
 Entre alimento para perros y alimento para gatos se compró 32 kilogramos.
 Cada kilogramo de alimento para perros cuesta ¢1800, para gatos ¢2100 y se pagó
un total de ¢61 200 en estos alimentos.
Se compraron 5 kilogramos entre clavos y tornillos.
Cada kilogramo de clavos vale ¢400, el de tornillos ¢550 y se
pagó un total de ¢2300.

108
Alfredo pagó ¢48 900 por un pantalón y 3 corbatas. Una semana después pagó por 2 pantalones
y una corbata ¢ 86 300. Además considere que:
 Las corbatas tienen todas el mismo precio.
 Los pantalones tienen todos el mismo precio.
 Los precios no variaron de esa semana a la otra.
Con base en la información anterior, ¿cuánto pagó Alfredo, en colones, por un pantalón?
A) 24 450
B) 27 040
C) 37 400
D) 42 000
Una empresa de entrega de paquetes ofrece un servicio tipo A y un servicio tipo B, los cuales se
cobran con base en los kilómetros (pueden ser con decimales) que deba recorrer para realizar
la entrega del paquete. El comportamiento del cobro, por tipo de servicio, se muestra con
algunos posibles recorridos, en las siguientes tablas:
Servicio tipo A
Recorrido
(Kilómetros)
0 5 10 15 20
Cobro
(Colones)
0 50 100 150 200
Servicio Tipo B
Recorrido
(Kilómetros)
0 5 10 15 20
Cobro
(Colones)
0 25 100 225 400
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proporciones:
I. El servicio tipo A se adapta a un modelo que corresponde una función lineal.
II. El servicio tipo B se adapta mejor a un modelo que corresponde a una función
logarítmica.
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

109
ÁREA 3: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 16
ÍTEMS
Habilidad 1. Valorar la importancia de las medidas de resumen (posición) para el análisis de la
información estadística. Utilizar las medidas de posición para resumir y analizar la información
proveniente de un grupo de datos cuantitativos.
Medidas de posición
 Moda
 Media
aritmética
 Mediana
 Cuartiles
 Extremos
- Mínimo
- Máximo
Media aritmética
Ponderada
1.1 Resumir un grupo de datos mediante el uso de la moda, la media aritmética, la
mediana, los cuartiles, el máximo y el mínimo, e interpretar la información que
proporcionan dichas medidas.
1.2 Identificar la ubicación aproximada de las medidas de posición de acuerdo con el
tipo de asimetría de la distribución de los datos.
1.3 Utilizar la calculadora o la computadora para calcular las medidas estadísticas
correspondientes de un grupo de datos.
1.4 Determinar la media aritmética en grupos de datos que tienen pesos relativos (o
ponderación) diferentes entre sí.
1.5 Utilizar la media aritmética ponderada para determinar el promedio cuando los
datos se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias.
4
251) A continuación se presenta el total de hectáreas sembradas durante el periodo de 1999 al
2005 en la provincia de Limón: de banano y arroz.
Año
Producto
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Banano 48 000 47 000 44 000 42 000 41 000 42 000 41 000
Arroz 46 000 47 000 48 000 48 000 49 000 49 000 49 000
En promedio (media aritmética) en ese periodo ¿cuántas hectáreas de arroz, aproximadamente,
se sembró más que de banano?
A) 3428,57
B) 4428,57
C) 6224,49
D) 6540,83

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