La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial. Muchos países experimentaron fuertes caídas en el PIB y aumentos en el desempleo debido a los cierres generalizados y las restricciones a los viajes. Aunque las vacunas han permitido la reapertura de muchas economías, los efectos a largo plazo de la pandemia en sectores como el turismo y los viajes aún no están claros.
Este documento explica los conceptos básicos de las derivadas, incluyendo las reglas para derivar funciones como sumas, productos, fracciones, potencias y funciones trigonométricas y exponenciales. También cubre identidades trigonométricas y cómo aplicar las reglas de derivación a ejemplos específicos.
Este documento explica qué es una derivada y proporciona reglas y fórmulas para calcular derivadas de funciones. Las derivadas miden cómo cambia el valor de una función cuando cambia su variable independiente. Se proporcionan ejemplos de cómo derivar sumas, productos, divisiones, funciones exponenciales y trigonométricas.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento contiene 7 problemas de cálculo con sus respectivas soluciones. Los problemas involucran conceptos como derivadas, funciones continuas, derivables, tangentes y puntos de intersección de gráficos. Las soluciones usan métodos como el teorema del valor medio, reglas de derivación y ecuaciones para determinar puntos donde gráficos se intersectan con pendientes iguales.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
Este documento contiene ejercicios propuestos sobre límites matemáticos. Se dividen en 10 secciones con ejercicios que calculan límites, evalúan funciones, determinan si un límite existe o no cuando el argumento se acerca a cierto valor, y otros conceptos relacionados con límites. Las secciones contienen entre 1 y 41 ejercicios cada una con soluciones numéricas, funciones o indicaciones de si el límite existe o no.
Este documento presenta una guía de estudio sobre derivadas y sus aplicaciones. Contiene nueve actividades de aprendizaje que incluyen ejercicios para calcular derivadas, incrementos, razones de cambio promedio y el uso de la regla de L'Hôpital para determinar límites indeterminados. El objetivo es que los estudiantes aprendan a interpretar la noción de derivada, desarrollar métodos para calcularla y aplicar el concepto de derivación para resolver problemas.
El documento resume las principales reglas para derivar funciones, incluyendo reglas para constantes, potencias, productos, cocientes, logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. Al final, propone ejercicios para aplicar las reglas de derivación.
Este documento explica los conceptos básicos de las derivadas, incluyendo las reglas para derivar funciones como sumas, productos, fracciones, potencias y funciones trigonométricas y exponenciales. También cubre identidades trigonométricas y cómo aplicar las reglas de derivación a ejemplos específicos.
Este documento explica qué es una derivada y proporciona reglas y fórmulas para calcular derivadas de funciones. Las derivadas miden cómo cambia el valor de una función cuando cambia su variable independiente. Se proporcionan ejemplos de cómo derivar sumas, productos, divisiones, funciones exponenciales y trigonométricas.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento contiene 7 problemas de cálculo con sus respectivas soluciones. Los problemas involucran conceptos como derivadas, funciones continuas, derivables, tangentes y puntos de intersección de gráficos. Las soluciones usan métodos como el teorema del valor medio, reglas de derivación y ecuaciones para determinar puntos donde gráficos se intersectan con pendientes iguales.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
Este documento contiene ejercicios propuestos sobre límites matemáticos. Se dividen en 10 secciones con ejercicios que calculan límites, evalúan funciones, determinan si un límite existe o no cuando el argumento se acerca a cierto valor, y otros conceptos relacionados con límites. Las secciones contienen entre 1 y 41 ejercicios cada una con soluciones numéricas, funciones o indicaciones de si el límite existe o no.
Este documento presenta una guía de estudio sobre derivadas y sus aplicaciones. Contiene nueve actividades de aprendizaje que incluyen ejercicios para calcular derivadas, incrementos, razones de cambio promedio y el uso de la regla de L'Hôpital para determinar límites indeterminados. El objetivo es que los estudiantes aprendan a interpretar la noción de derivada, desarrollar métodos para calcularla y aplicar el concepto de derivación para resolver problemas.
El documento resume las principales reglas para derivar funciones, incluyendo reglas para constantes, potencias, productos, cocientes, logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. Al final, propone ejercicios para aplicar las reglas de derivación.
Este documento contiene las soluciones a un examen parcial de cálculo 1. Resuelve 6 problemas que involucran funciones, límites, derivadas, gráficas y ecuaciones. En el primer problema, grafica la composición de dos funciones y calcula un límite. En el segundo, calcula dos límites. En el tercero, deriva una función y encuentra otra derivada. El cuarto analiza el dominio, asintotas y grafica de una función. El quinto prueba la existencia de una raíz y encuentra ecuaciones tangentes.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas. En la primera sección se piden derivadas de funciones dadas. La segunda sección contiene ejercicios sobre derivadas de funciones implícitas. La tercera sección incluye problemas más complejos sobre derivadas de funciones compuestas y derivadas de orden superior.
Este documento presenta varios problemas relacionados con el estudio de la continuidad de funciones. En particular, analiza las asíntotas de diferentes funciones, estudia la continuidad de funciones dadas y determina los valores necesarios de constantes para que funciones sean continuas. Proporciona las soluciones detalladas a cada uno de los problemas planteados.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento trata sobre álgebra de funciones y combinación de funciones. Explica conceptos como funciones polinómicas de grado mayor o igual a dos, funciones racionales, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y gráficas de funciones. También cubre temas como la inversa de una función, raíces racionales de polinomios, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.
1. El documento presenta varios temas relacionados con el cálculo diferencial de funciones reales de variable real, incluyendo: estudiar la derivabilidad y calcular la derivada de funciones dadas, estudiar la derivabilidad en puntos específicos, demostrar propiedades sobre límites y derivadas de funciones. Se plantean diversos ejercicios para aplicar estos conceptos.
1) El documento presenta la definición formal de derivada y algunos ejemplos de cálculo de derivadas.
2) Explica conceptos como derivadas laterales y la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
3) Finalmente, provee fórmulas para derivar funciones especiales como polinomios, funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas.
a) Resume el documento sobre ejercicios de cálculo integral propuestos por el profesor Antonio Chong. Incluye 11 problemas que abarcan conceptos como integral definida, suma de Riemann, funciones continuas e integrables.
Este documento presenta 20 ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Los ejercicios incluyen calcular límites, estudiar la continuidad de funciones, determinar valores para que funciones sean continuas, y graficar funciones.
Este documento presenta un quiz de cálculo vectorial con 5 preguntas. Cada pregunta contiene 1 o 2 partes y vale 1 punto. Se pide resolver las preguntas y sustentar las respuestas con procesos matemáticos para obtener la máxima puntuación. Se da una hora y media para completar el quiz.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento presenta las soluciones a 5 problemas de cálculo. La solución al primer problema demuestra que el producto cartesiano de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto. La segunda solución prueba que una función dada es una métrica. La tercera prueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La cuarta demuestra que un límite es cero. Y la quinta que un límite, cuando existe, es único.
Las principales diferencias entre bienes y servicios son que los bienes son tangibles mientras que los servicios son intangibles, y los clientes participan en los procesos de servicio pero no en la producción de bienes. Además, la demanda de servicios es más difícil de predecir y los servicios no pueden almacenarse como inventario físico. Las habilidades para administrar servicios, como las interacciones con clientes, son también críticas.
Este documento presenta las reglas básicas de diferenciación, incluyendo la regla de la potencia, el teorema de la función constante, la regla del múltiplo constante de una función y la regla de la suma. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla y cita un libro de cálculo como fuente de información.
Este documento presenta las reglas de diferenciación para productos y cocientes. La regla del producto establece que la derivada del producto de dos funciones es la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. La regla del cociente establece que la derivada del cociente de dos funciones es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el denominador al cuadrado. Se proveen ejemplos para ilustrar cada regla.
En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función.
En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales.
Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x)
Con respecto a cambios en la variable independiente.
Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.
Si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor real, entonces Δx denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δx) y f(x) se le conoce como error propagado.
A la razón ER = Δ푦/푦 se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.
El documento presenta una investigación sobre integrales impropias. Tiene como objetivo general explicar de manera didáctica el tema de integrales impropias y como objetivos específicos analizar diferentes situaciones donde se utiliza el método, y comprender el concepto de límite de funciones. Explica conceptos como límite, definición de integral impropia, tipos de integrales impropias convergentes y divergentes, y presenta ejemplos para ilustrar el cálculo de integrales impropias.
El documento explica que cuando se integra una diferencial indefinidamente, se obtiene una familia de curvas cuya ecuación contiene una constante de integración C. Esta constante C puede tomar cualquier valor pero si hay condiciones iniciales solo puede tomar un valor en particular. La constante C causa un desplazamiento vertical de la gráfica de la antiderivada.
Este documento explica los conceptos básicos de la antiderivación o integración indefinida. Define la antiderivada como la función inversa de la derivada, y explica que mientras una función solo tiene una derivada, tiene muchas antiderivadas que difieren solo en una constante. También describe la notación de la integral indefinida y algunas técnicas básicas de integración como la integración por partes y el cambio de variable.
Métodos fundamentales de economía matemática parte 1Deisy Borja
Este documento habla sobre la importancia de resumir textos de forma concisa para captar la idea principal. Explica que un buen resumen debe identificar la idea central y los detalles más relevantes del documento original en una o dos oraciones como máximo.
Este documento presenta una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales que incluyen: 1) clasificar ecuaciones diferenciales por tipo, orden y grado, 2) obtener soluciones generales y particulares dado condiciones iniciales, 3) resolver ecuaciones homogéneas, exactas, de Bernoulli y Euler, y 4) usar métodos como series de potencias y coeficientes indeterminados. Contiene más de 10 ejercicios de cada tipo para practicar diferentes métodos de resolución de ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales para resolver. Incluye clasificar ecuaciones diferenciales por tipo, orden y grado, obtener soluciones generales y particulares, resolver ecuaciones diferenciales homogéneas, exactas, lineales y no lineales usando diferentes métodos como separación de variables, coeficientes indeterminados, series de potencias y métodos de Euler, Bernoulli entre otros.
Este documento contiene las soluciones a un examen parcial de cálculo 1. Resuelve 6 problemas que involucran funciones, límites, derivadas, gráficas y ecuaciones. En el primer problema, grafica la composición de dos funciones y calcula un límite. En el segundo, calcula dos límites. En el tercero, deriva una función y encuentra otra derivada. El cuarto analiza el dominio, asintotas y grafica de una función. El quinto prueba la existencia de una raíz y encuentra ecuaciones tangentes.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas. En la primera sección se piden derivadas de funciones dadas. La segunda sección contiene ejercicios sobre derivadas de funciones implícitas. La tercera sección incluye problemas más complejos sobre derivadas de funciones compuestas y derivadas de orden superior.
Este documento presenta varios problemas relacionados con el estudio de la continuidad de funciones. En particular, analiza las asíntotas de diferentes funciones, estudia la continuidad de funciones dadas y determina los valores necesarios de constantes para que funciones sean continuas. Proporciona las soluciones detalladas a cada uno de los problemas planteados.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento trata sobre álgebra de funciones y combinación de funciones. Explica conceptos como funciones polinómicas de grado mayor o igual a dos, funciones racionales, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y gráficas de funciones. También cubre temas como la inversa de una función, raíces racionales de polinomios, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.
1. El documento presenta varios temas relacionados con el cálculo diferencial de funciones reales de variable real, incluyendo: estudiar la derivabilidad y calcular la derivada de funciones dadas, estudiar la derivabilidad en puntos específicos, demostrar propiedades sobre límites y derivadas de funciones. Se plantean diversos ejercicios para aplicar estos conceptos.
1) El documento presenta la definición formal de derivada y algunos ejemplos de cálculo de derivadas.
2) Explica conceptos como derivadas laterales y la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
3) Finalmente, provee fórmulas para derivar funciones especiales como polinomios, funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas.
a) Resume el documento sobre ejercicios de cálculo integral propuestos por el profesor Antonio Chong. Incluye 11 problemas que abarcan conceptos como integral definida, suma de Riemann, funciones continuas e integrables.
Este documento presenta 20 ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Los ejercicios incluyen calcular límites, estudiar la continuidad de funciones, determinar valores para que funciones sean continuas, y graficar funciones.
Este documento presenta un quiz de cálculo vectorial con 5 preguntas. Cada pregunta contiene 1 o 2 partes y vale 1 punto. Se pide resolver las preguntas y sustentar las respuestas con procesos matemáticos para obtener la máxima puntuación. Se da una hora y media para completar el quiz.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento presenta las soluciones a 5 problemas de cálculo. La solución al primer problema demuestra que el producto cartesiano de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto. La segunda solución prueba que una función dada es una métrica. La tercera prueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La cuarta demuestra que un límite es cero. Y la quinta que un límite, cuando existe, es único.
Las principales diferencias entre bienes y servicios son que los bienes son tangibles mientras que los servicios son intangibles, y los clientes participan en los procesos de servicio pero no en la producción de bienes. Además, la demanda de servicios es más difícil de predecir y los servicios no pueden almacenarse como inventario físico. Las habilidades para administrar servicios, como las interacciones con clientes, son también críticas.
Este documento presenta las reglas básicas de diferenciación, incluyendo la regla de la potencia, el teorema de la función constante, la regla del múltiplo constante de una función y la regla de la suma. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla y cita un libro de cálculo como fuente de información.
Este documento presenta las reglas de diferenciación para productos y cocientes. La regla del producto establece que la derivada del producto de dos funciones es la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. La regla del cociente establece que la derivada del cociente de dos funciones es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el denominador al cuadrado. Se proveen ejemplos para ilustrar cada regla.
En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función.
En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales.
Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x)
Con respecto a cambios en la variable independiente.
Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.
Si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor real, entonces Δx denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δx) y f(x) se le conoce como error propagado.
A la razón ER = Δ푦/푦 se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.
El documento presenta una investigación sobre integrales impropias. Tiene como objetivo general explicar de manera didáctica el tema de integrales impropias y como objetivos específicos analizar diferentes situaciones donde se utiliza el método, y comprender el concepto de límite de funciones. Explica conceptos como límite, definición de integral impropia, tipos de integrales impropias convergentes y divergentes, y presenta ejemplos para ilustrar el cálculo de integrales impropias.
El documento explica que cuando se integra una diferencial indefinidamente, se obtiene una familia de curvas cuya ecuación contiene una constante de integración C. Esta constante C puede tomar cualquier valor pero si hay condiciones iniciales solo puede tomar un valor en particular. La constante C causa un desplazamiento vertical de la gráfica de la antiderivada.
Este documento explica los conceptos básicos de la antiderivación o integración indefinida. Define la antiderivada como la función inversa de la derivada, y explica que mientras una función solo tiene una derivada, tiene muchas antiderivadas que difieren solo en una constante. También describe la notación de la integral indefinida y algunas técnicas básicas de integración como la integración por partes y el cambio de variable.
Métodos fundamentales de economía matemática parte 1Deisy Borja
Este documento habla sobre la importancia de resumir textos de forma concisa para captar la idea principal. Explica que un buen resumen debe identificar la idea central y los detalles más relevantes del documento original en una o dos oraciones como máximo.
Este documento presenta una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales que incluyen: 1) clasificar ecuaciones diferenciales por tipo, orden y grado, 2) obtener soluciones generales y particulares dado condiciones iniciales, 3) resolver ecuaciones homogéneas, exactas, de Bernoulli y Euler, y 4) usar métodos como series de potencias y coeficientes indeterminados. Contiene más de 10 ejercicios de cada tipo para practicar diferentes métodos de resolución de ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales para resolver. Incluye clasificar ecuaciones diferenciales por tipo, orden y grado, obtener soluciones generales y particulares, resolver ecuaciones diferenciales homogéneas, exactas, lineales y no lineales usando diferentes métodos como separación de variables, coeficientes indeterminados, series de potencias y métodos de Euler, Bernoulli entre otros.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejercicios prácticos de derivación de diferentes funciones compuestas.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales. Incluye reglas básicas para derivar funciones como sumas, productos, cocientes, funciones compuestas y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Luego, proporciona 18 ejercicios de derivación de funciones como x3, 1/x, x4 + 3x2 - 6 y raíces cuadradas compuestas. El objetivo es practicar el cálculo de derivadas a través de ejemplos.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos de derivadas de funciones compuestas, racionales y trascendentes.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejercicios prácticos de derivación de diferentes funciones compuestas.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejercicios prácticos de derivación de diferentes funciones compuestas.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales. Incluye reglas básicas de derivación como la derivada de sumas, productos, cocientes, funciones compuestas y funciones trigonométricas. Luego, proporciona 18 ejercicios de derivación de funciones como x3, 1/x, x4 + 3x2 - 6 y raíces cuadradas que deben resolverse aplicando dichas reglas. El objetivo es practicar el cálculo de derivadas a través de ejemplos.
1) El documento introduce el concepto de integral como la operación inversa a la derivación. La integral indefinida de una función f(x) se representa mediante el símbolo ∫ f(x) dx.
2) Se presentan las reglas básicas para calcular integrales, incluyendo sumas algebraicas, funciones elevadas a exponentes constantes, funciones trigonométricas y logarítmicas.
3) Se proveen ejemplos detallados para aplicar estas reglas al cálculo de diferentes integrales indefinidas. Finalmente, se proponen ejerc
Este documento presenta una serie de 20 problemas relacionados con funciones reales de una variable real. Los problemas cubren temas como derivadas, rectas tangentes y normales, puntos críticos, asintotas y áreas/volúmenes óptimos. El documento proporciona una guía práctica para aplicar conceptos de cálculo en una variedad de problemas matemáticos y de ingeniería.
Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo integral. Incluye problemas sobre técnicas básicas de integración como sustituciones, integración por partes e integración trigonométrica. El documento evalúa integrales definidas e indefinidas de funciones como racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Ejercicios Propuestos De Antiderivadas%2528ejercicio%2 B12%2 By%2 Bmiscelaneo...diarmseven
Este documento presenta una lista de ejercicios de cálculo integral propuestos por el profesor Ing. Antonio Chong Escobar para su clase de cálculo integral en la Escuela Superior Politécnica del Litoral. Incluye 18 problemas de antiderivadas que involucran funciones trigonométricas, exponenciales y racionales.
Este documento es el examen final de Cálculo II de la Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico. Contiene 6 ejercicios que evalúan diferentes habilidades de cálculo como evaluar integrales, encontrar antiderivadas, derivar funciones y hallar derivadas de orden superior. Los ejercicios cubren temas como integrales definidas, funciones trigonométricas, logaritmos y funciones inversas.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas difieren entre sí en una constante arbitraria. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes, sustitución y descomposición de fracciones para integrales racionales.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas. En la primera sección se piden derivadas de funciones dadas. La segunda sección contiene ejercicios sobre derivadas de funciones implícitas. La tercera sección presenta ejercicios sobre derivadas de orden superior. El documento concluye con ejercicios adicionales sobre derivadas de funciones compuestas, logarítmicas y trigonométricas.
El documento resume los conceptos básicos de cálculo como la derivada de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como las derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones de derivadas a problemas de máximos, mínimos y razones de cambio. Finalmente, incluye los datos personales del autor.
El documento resume los principales temas sobre derivadas de funciones que incluyen: derivada de constantes, potencias, suma, producto, cociente, funciones trigonométricas y cadenas. Además, presenta ejemplos resueltos de aplicación de estas reglas y problemas sobre máximos y mínimos. El autor es Erving Quintero Gil, ingeniero electromecánico de Bucaramanga, Colombia, quien ofrece sus datos de contacto para cualquier consulta.
Este documento contiene 34 ejercicios sobre cálculo vectorial. Los ejercicios involucran el cálculo de derivadas parciales de primer y segundo orden, gradientes, direcciones de máxima y mínima variación, ecuaciones de planos y rectas tangentes y normales. Los ejercicios cubren una variedad de funciones de dos y tres variables.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas de funciones. En 3 oraciones o menos:
1) Define la derivada de una función como el límite de la razón de cambio de la función cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero. 2) Presenta las derivadas de funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. 3) Explica las reglas para calcular derivadas de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones.
El documento presenta información sobre el cálculo de derivadas implícitas. Explica que es posible derivar funciones dadas implícitamente mediante la derivación de ambos lados de la ecuación. Muestra ejemplos de cómo calcular la derivada implícita y derivar funciones implícitas como y=4x^2.
1. 1
Reglas de Diferenciación
del texto de Alpha C. Chiang
Métodos Fundamentales de Economía Matemática
Función de una variable-de forma y = f ( x ) donde f significa cualquier función. En
economía, generalmente, suponemos que las funciones son continuamente
diferenciables. k es un constante.
dy dk
1. Regla de la función constante y = f ( x ) = k
! = =0
dx dx
dy
2. Regla de la función potencial y = f ( x ) = kx n = f "( x ) = knx n#1
! dx
dy !
• Ejemplo 1 y = 7x " 3 3$1
= ( 7 # 3) x = 21x 2
dx
1 1 3
! dy $ 1 ' *1 7 *
• Ejemplo 2 y = 7x 4 " = & 7 # !x 4 = x 4
)
dx % 4( 4
! dy 1
3. Regla de la función logaritmo natural (base de ‘e’). y = ln x " =
dx x
dy f #( x )
La versión general y = ln f ( x ) "
! =
dx f ( x )
4. Regla de la función exponencial y = e x " !dy = e x
dx
dy
La versión general y = e f ( x) "
! = f #( x )e f ( x)
dx
!
Dos o más funciones de la misma variable- f ( x ),g( x ),h ( x ) son funciones.
!
d [ f ( x ) ± g( x )] df ( x ) dg( x )
1. Regla de la suma y = f ( x ) ± g( x ) = ± = f "( x ) ± g"( x )
! dx dx dx
dy
• Ejemplo 1 y = 7x 4 + 2x 3 " 3x + 37 # = 28x 3 + 6x 2 " 3
dx
! dy
• Ejemplo 2 y = ax 2 + bx + c "
! = 2ax + b
dx
dy
• Ejemplo 3 y = ax " + bx # + c $
! = "ax " %1 + #bx # %1
dx
!
2. Regla del producto y = f ( x ) g( x )
d [ f ( x ) g( x )]
! = f ( x ) dg( x ) + g( x ) df ( x ) = f ( x ) g"( x ) + g( x ) f "( x )
dx dx dx
! dy
• Ejemplo 1 y = (2x + 3)( 3x ) " 2
= (2x + 3)(6x ) + (2)( 3x 2 ) = 18x 2 + 18x o, en
dx
este caso podemos multiplicar primer, y después tomamos la derivada.
! dy
y = (2x + 3)( 3x 2 ) = 6x 3 + 9x 2 " = 18x 2 + 18x . Pero, en algunos casos no se
dx
!
puede.
!
2. 2
• La regla sirve en los casos de más que 2 funciones. Si y = f ( x ) g( x ) h ( x )
d [ f ( x ) g( x ) h ( x )] dg( x ) df ( x ) dh ( x )
= f ( x ) h( x ) + g( x ) h ( x ) + g( x ) f ( x ) =
dx dx dx dx
f ( x ) h ( x ) g"( x ) + g( x ) h ( x ) f "( x ) + g( x ) f ( x ) h"( x )
!
f ( x) dy g( x ) f #( x ) $ f ( x ) g#( x )
3. Regla de cociente y = " = 2
! g( x ) dx [g( x )]
• Ejemplo 1 y =
(2x " 3) # dy = ( x + 1)2 " (2x " 3)1 = 5
2 2
( x + 1) dx ( x + 1) ( x + 1)
!
• Ejemplo 2 y =
(ax 2 + b) " dy = cx2ax # (ax 2 + b)c = c(ax 2 # b) = ax 2 # b
2
cx dx (cx ) c2x2 cx 2
!
Funciones de variables diferentes- x, y,w,z son variables y f ( y ),g( x ),h ( w ) son
funciones.
!
! dz dz dy !
1. Regla de la cadena z = f ( y ) y = g( x ) " = = f #( y ) g#( x ) También
dx dy dx
podemos obtener este resultado con la sustitución de g( x ) en la función
dz
z = f ( y ) = f [ g( x )] " = f #[ g( x )] g#( x ) = f #( y ) g#( x )
! dx
dz
• Ejemplo 1 z = 3y 2 y = 2x + 5 " ! = (6y )(2) = 12y = 12(2x + 5) = 24 x + 60
dx
17
! • Ejemplo 2 z = ( x + 3x " 2) Sea que y = ( x 2 + 3x " 2) # z = y17 Entonces
2
dz dy
= 17y16 = 2x + 3
dy! dx
dz dz dy 16
!= = (17y16 )(2x + 3)! 17( x 2 + 3x " 2) (2x + 3)
=
dx dy dx
!
Usos en economía (funciones de una variable).
• Función de producción donde hay nada más un factor de producción, digamos el
! dy
trabajo. y = f ( l) " = f #( l) la derivada es el producto marginal de trabajo
dl
• Función de consumo en el modelo keynesiano tradicional. Consumo actual es
una función de ingreso actual (la única variable) y una cantidad fija, se
dC
!denomina consumo autónomo. C = C + c (Y ) " = c#(Y ) La derivada es la
dY
propensión marginal de consumo. Típicamente, en los cursos introductorias de
dC
macro, la función c (Y ) es lineal (c es constante) tanto que c (Y ) = cY " = c.
dY
!
! !
3. 3
• Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma
dQd
Qd = Q( P ) , P es el precio del producto. = Q"( P ) La elasticidad de
dP
dQd P
demanda respecto el precio (del mismo bien) es " d =
dP Qd
! • Tasas de crecimiento. Una variable y cambio con tiempo t. Escribimos
!
dy
y = f (t) "
dy
= f #( t ) La tasa de cambio (o crecimiento) de y es dt = f "( t ) .
dt ! y f (t )
Obsérvense que podemos escribir la función y = f ( t ) en logaritmos
ln y = ln f ( t ) y usamos la regla de logaritmos para obtener la tasa de
! dy !
d ln y f "( t )
crecimiento. = = dt !
dt f (t) y
!
Funciones de más de una variable-Derivadas Parciales
Las reglas ! arriba aplican con cambios de la notación. Es importante señalar que la
por
derivada parcial muestra el efecto de un cambio incremental de una de las variables
explicativas tiene en el valor de la función, manteniendo todas las otras variables
constantes.
Concepto: Consideremos una función y = f ( x1, x 2 x 3 ,K, x n ) donde las variables
xi, i = 1, 2, … n, son todas independientes entre sí. Supongamos que una de las
variables xi, digamos x2, cambia y mientras todas las otras permanecen constantes. La
nueva función es y + "y = f ( x1, x 2 + "x 2 , x 3 ,K, x n ) . El cociente incremental es
!
"y f ( x1, x 2 + "x 2 , x 3 ,K, x n ) # f ( x1, x 2 , x 3 ,K, x n ) "y %y
= y lim $ = f 2 es la derivada
"x 2 "x 2 "x 2 #0 "x
2 %x 2
parcial de y con respecto a x2.
!
"y
! • Ejemplo 1 y = f ( x1, x 2 ) = 3x12 + x1 x!+ 4 x 2
2
2
# f1 ( x1, x 2 ) # f1 = 6x1 + x 2
"x1
"y
# f 2 ( x1, x 2 ) # f 2 = x1 + 8x 2
"x 2
!
!
• Ejemplo 2 y = f ( x1, x 2 ) = ( x1 + 4 )( 3x1 + 2x 2 )
"y
! # f1 = 1( 3x1 + 2x 2 ) + ( x1 + 4 ) 3 = ( 3x1 + 2x 2 ) + ( 3x1 + 12) = 6x1 + 2x 2 + 12 o
"x1
podemos multiplicar antes y = ( x1 + 4 )( 3x1 + 2x 2 ) = 3x12 + 12x1 + 2x1 x 2 + 8x 2 y
!
después, tomamos la derivada parcial. De modo parecido, la segunda derivada
"y
! parcial es # f 2 = 0( 3x1 + 2x 2 ) + ( x1 + 4 )2 = ( 3x1 + 12) = 2x1 + 8
"x 2
!
• Ejemplo 3 y =
( x1 + 4) "y ( 3x1 + 2x 2 )1# ( x1 + 4 ) 3
= =
2x 2 #12
2 2
! (3x1 + 2x 2 ) "x1 (3x1 + 2x 2 ) (3x1 + 2x 2 )
! !
4. 4
Varios ejemplos del uso de derivadas parciales en economía.
• Función de producción de dos o más factores de producción.
#y #y
y = f ( l,k ) " = f l , = f k la primera derivada parcial (en este caso) es el
#l #k
producto marginal de trabajo y la segunda es el producto marginal de capital.
• Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma
"Q d
! Qd = Q( P,Y ) , P es el precio del producto y Y es ingreso. = QP La
"P
#Q d P
elasticidad de demanda respecto el precio (del mismo bien) es "d =
#P Q d
! !
Diferencial total-una derivada, total o parcial, es el cociente de dos cambios. A veces,
queremos ver el cambio de la variable dependiente cuando hay uno o más cambios
infinitesimales de las variables explicativas. !
En el caso de la función de una variable explicativa y = f ( x ) la diferencial total es
dy = f "( x ) dx Los símbolos dy y dx se llaman las diferenciales de y y x,
respectivamente.
• Ejemplo-función de consumo (versión lineal) en el modelo keynesiano
!
C = C + cY " dC = cdY En esta forma, podemos decir que un cambio
! específico (pequeño) de Y por la propensión marginal de consumo (constante en
este caso, modelo lineal) produce un cambio de C
!
En el caso de la función de más que una variable explicativa como y = f ( x1, x 2 ) la
"y "y
diferencial total es dy = f1 ( x1, x 2 ) dx1 + f 2 ( x1, x 2 ) dx 2 = dx1 + dx 2
"x1 "x 2
• Ejemplo-función de producción de Cobb-Douglas. !
y = l" k1#" $ dy = "l" #1k1#" dl + (1# " ) l" k #" dk Obsérvense que los términos
antes de dl y dk son los productos marginales de trabajo y capital,
!
respectivamente.
• Modelo Keynesiano tradicional (cruz keynesiana lineal)
! 1 c
Y = C + c (Y " T ) + G + I + N X # Y =
1" c
(C + G + I + NX ) " 1" c T
1 c
Escribimos la diferencial total dY = (dC + dG + dI + dNX ) " 1" c dT . Los
1" c
1 "c
! términos son los multiplicadores de gastos autónomos y impuestos
1" c 1" c
(de cuota fija)
!
Derivada total-Consideremos una función y = f ( x1, x 2 ,z) donde las variables xi, i = 1, 2
!
son funciones de la otra variable z. Así, las variables explicativas no son independientes
dy
entre sí. x1 = g( z) x 2 = h ( z) . Queremos determinar .
dz
!
"y "y "y
1. dy = dx1 + dx 2 + dz
"x1 "x 2 "z
!
!
!
5. 5
dy "y dx1 "y dx 2 "y
2. Dividimos por dz = + + En palabras, la expresión
dz "x1 dz "x 2 dz "z
muestra que hay tres formas que la variable z afecta la variable y. Dos
indirectos, pos sus efectos en las otras variables x2 y x2 y el efecto
directo.
! dx dx
3. Obsérvense: dx1 = g"dz # 1 = g" dx 2 = h"dz # 2 = h"
dz dz
!