Este documento presenta 20 ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Los ejercicios incluyen calcular límites, estudiar la continuidad de funciones, determinar valores para que funciones sean continuas, y graficar funciones.
EL INFINITO es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.
Vamos a empezar con un ejemplo interesante.
• Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?
• Respuesta: ¡No lo sabemos!
¿Por qué no lo sabemos?
La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea.
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1. Relación de ejercicios de límites y continuidad
1 x3
2 x + 7 x+2 3x 2 − 1
∗ 1º) lim ∗ 2º) lim 2
x → − 2 1 − x x → + ∞ 3 x + 5
−1 x
2 x − 5 x−4 4x − x 2 x 3 −1
∗ 3º) lim ∗ 4º) lim
x → 4 3 x − 6 x → − ∞ x − 2 x 2
1 −1
2 x − 5 ( x − 4 )2 2x + 3 x2
∗ 5º) lim ∗ 6º) lim 2
x → 4 3 x − 6 x → 0 7 x + 3
x + 2x 4 − 7x 2 x − x3 + x
7º) lim ∗ 8º) lim
x→ −2 2 x + 18 + x x →0 4x 2 + x
25 − x 2
9º) lim 10º) lim 2 x − 4 x 2 − 5
x→ 5 2 x → +∞
x− x + x−5
− 2 x 2 + 3x + 2
x<2
4 − x2
∗ 11º) Sea la función f ( x) = −3
3 x − 4 x − 2
x≥2
x − 1
Calcula lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) : lim f ( x)
x→ 2 x → +∞ x → −∞ x→0 x→ 4
(N ota: D ibuja los resultados obtenidos en los ejercicios señalados con ∗)
12) Estudia la continuidad de las siguientes funciones
x2
2 x≤0
x + x
1
2
(a) Función del ejercicio 11 (b) f(x) = 2 x −3 x 0< x≤3
x−3
x>3
x 2 − 16
2. x
2 x ≤ −1
x −1
21
(c) f(x) = 4 x − x −2 −1 < x < 2
x−2
x≥2
x 2 − 3x
(d) Función parte entera de x:
13) Calcula las asíntotas de las siguientes funciones y dibuja su posición respecto de
ellas:
−1
2x3 1 x 2 ( x −1)
(a) f(x) = (b) f(x) =
x 2 − 25 2
x2 + a x2 − a
14) Halla el valor de “a” para que se cumpla: lim − (Sol: a = 3)
x → +∞ x − a x+a
x 2 + ax + b
15) Determina el valor de “a” y “b” para que se cumpla: lim (Sol: a = 4 ; b = -12)
x→2 x2 − 4
x2 + x − 2
16) Calcula “a” para que f ( x) = sea discontinua en x = 3 (Sol: a = 6)
x2 − x − a
17) Considera la gráfica siguiente:
3. (a) Calcula los siguientes límites:
lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x)
x → −∞ x → +∞ x → −4 x → −2 x→0 x→3
(b) Estudia su continuidad y clasifica sus discontinuidades
(c) Calcula sus asíntotas
18) Calcula “k” para que la siguiente función tenga una sola D.E. en x = 2:
x 2 − 2x
f ( x) = (Sol: k= -2)
x 2 − 2x 2 + x + k
19) Calcula “k” para que las siguientes funciones sean continuas:
x 2 + 5x
x≠5
a. f ( x) = x 2 + 4 x − 5 (Sol: k= 5/4)
k x=5
6x + 6
x < −1
b. f ( x) = x 2 − 1 (Sol: k=- 1)
2 x + k x ≥ −1
x 2 −1 x≤0
20) Calcula “a” y “b” para que sea continua: f ( x ) = ax + b 0< x<2
x2 + 2
x≥2
x +1
3
(Sol: a = y b = -1)
2