Derivas resueltas

Problemas resueltos de derivadas
Derivada de una constante
Derivada de las potencias
Derivada del producto de una función por una constante
Derivada de la suma
Derivada del producto
Derivada del cociente
Segunda derivada y derivadas de orden superior
Derivadas de las funciones trigonométricas
• Derivada del seno
La regla de la cadena
Problemas de razones de cambio
Problemas de aplicación de máximos y mínimos

Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2010

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1

DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Si c es una constante y si f(x) = c, entonces
f’ (x) = 0

Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123
f(x) = 5
f’ (x) = 0

DERIVADA DE LAS POTENCIAS
La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos

Si n es un entero negativo y x ≠ 0
d ⎛ n⎞ n -1
⎜x ⎟ = n x
dx ⎝ ⎠


f(x) = x8

d 8
dx
( )
x = 8 x 8 -1

f ' (x ) = 8 x 7


f(x) = x

d
(x ) = x1-1
dx

f ' (x ) = x 0
f’ (x) = 1

Derivada del producto de una función por una constante
Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por

g (x) = c f(x)

y si f ’existe, entonces

g’ (x) = c f ’ (x)


f(x) = 5 x7

d
dx
( )
5 x 7 = 5 (x )7
d
dx

2

f ' (x ) = 5 (7 ) x 7-1
f ' (x ) = 35 x 6

DERIVADA DE LA SUMA
Si f y g son funciones y si h es la función definida por

h(x) = f(x) + g(x)

y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces

h’ (x) = f’ (x) + g’ (x)


f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5

d
dx
( )
7 x 4 - 2 x 3 + 8 x + 5 = 7 (x )4 - 2
d
dx
d (x )3
dx
+8
d
dx
(x ) + d (5)
dx

f ' (x ) = 7 (4 )(x )4-1 - 2 (3)(x )3-1 + 8 (1)(x )1-1 + 0

f ' (x ) = 28 (x )3 - 6 (x )2 + 8 (x )0 + 0

f ' (x ) = 28 x 3 - 6 x 2 + 8

Calcular la derivada

y = 3 x -4 + 3 x 4

y' =
( ) ( )
d 3x - 4 d 3x 4
+
dx dx
-4 -1 4 -1
y’= (3) (-4) x + (3) (4) x

-5
y’= -12x + 12x 3

ordenando
12
y' = 12x 3 -
x5

DERIVADA DEL PRODUCTO
Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la
derivada de la primera.

Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es,
d
(uv ) = u dv + v du
d dx dx
La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.

3

’ ’ ’
En notación prima, (u v) = u v + v u


Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2)

Primer termino = (2x3 – 4x2)
Segundo termino = (3x5 + x2)

h ' (x ) =
[( )(
d 2 x 3 - 4x 2 3 x 5 + x 2 )]
dx
(
h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2
d
dx
) [ ](
3 x5 + x2 + 3 x5 + x2
d
dx
2 x3 − 4 x2 ) [ ]
( )[ ]( )[
h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 (5) x 5-1 + 2 x 2-1 + 3 x 5 + x 2 2 (3) x 3-1 - 4 (2 ) x 2-1 ]
h ' ( x) = ⎛ 2x 3 - 4x 2 ⎞ ⎡ 15 x 4 + 2 x ⎤ + ⎛ 3x 5 + x 2 ⎞ ⎡6 x 2 - 8 x ⎤
⎜ ⎟⎢
⎝ ⎠⎣ ⎥ ⎜
⎦ ⎝
⎟⎢
⎠⎣ ⎥
⎦

Resolviendo el polinomio

h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4 x 4 - 8 x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3

h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4x 4 - 8x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3

Reduciendo términos semejantes
h ' ( x) = 48 x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3

Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131

Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x)

Primer termino = (3 x – 2 x2)
Segundo termino = (5 + 4 x)

f ' (x ) =
[( )
d 3 x - 2 x 2 (5 + 4 x ) ]
dx
(
f ' ( x) = 3 x - 2 x 2 )
d
dx
[
[5 + 4 x ] + (5 + 4 x ) d 3 x − 2 x 2
dx
]
(
f ' ( x) = 3 x - 2 x 2 )[ 4] + (5 + 4 x ) [3 - 2 * 2 x 2-1 ]
(
f ' ( x) = 3x - 2x 2 )[ 4] + (5 + 4x ) [3 - 2 * 2x1 ]
[ ]
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + (5 + 4 x ) [3 - 4 x ]

[ ](
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 + 12 x - 20 x - 16 x 2 )

4

[ ](
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 - 8 x - 16 x 2 )
f ' ( x) = 12x - 8x 2 + 15 - 8x - 16x 2
f ' ( x) = 4 x - 24 x 2 + 15

Ordenando
f ' ( x) = - 24 x 2 + 4 x + 15

Ejemplo # 2 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 132

Hallar la derivada de y = (1 + x - 1) (x - 1)

Primer termino = (1 + x - 1)
Segundo termino = (x - 1)

f ' (x ) =
[( )
d 1 + x - 1 (x − 1) ]
dx

(
f ' ( x) = 1 + x - 1 ) dx [x − 1] + (x - 1) dx [1 + x - 1 ]
d d

(
f ' ( x) = 1 + x - 1 ) dx [x − 1] + (x - 1) [1 + x - 1-1 ]
d

f ' ( x) = ⎛1 + x - 1 ⎞ [1] + (x - 1) ⎡- 1 x - 2 ⎤
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎢
⎣ ⎥
⎦

( )
f ' ( x) = 1 + x - 1 + (x - 1) - x - 2 [ ]
( ) [
f ' ( x) = 1 + x - 1 + - 1 x - 1 + x - 2 ]
f ' ( x) = 1 + x - 1 - x - 1 + x - 2

f ' ( x) = 1 + x - 2
2
f ' ( x) = 1 + 1 = x + 1
x2 x2

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 4
Hallar la derivada de f(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 - 1)

Primer termino = (x2 – 2x + 1)
Segundo termino = (x3 - 1)

f ' (x ) =
[( )(
d x 2 - 2 x + 1 x3 − 1 )]
dx

(
f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1 ) dx [x 3 − 1]+ (x 3 − 1) dx [ x 2 - 2 x + 1]
d d

5

( )[ ] ( )[ (2) x 2-1 - 2 x1-1 + 1]
f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1 (3) x 3-1 + x 3 − 1

f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[(3) x 3-1 ]+ (x 3 − 1)(2) [ x1 - 2 x 0 ]

f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[3x 2 ]+ (x 3 − 1)[ 2 x - 2]


( ) [
f ' ( x) = 3 x 4 - 6 x 3 + 3 x 2 + 2 x 4 - 2 x - 2 x 3 + 2 ]

f ' ( x) = 3x 4 - 6x 3 + 3x 2 + 2x 4 - 2x - 2x 3 + 2


f ' ( x) = 5 x 4 - 8 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 2

Problema 5
Hallar la derivada de f(x) = (x3 – 3 x) (2 x2 + 3 x + 5)

Primer termino = (x3 – 3 x)
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 5)

f ' (x ) =
[( )(
d x 3 - 3x 2 x 2 + 3 x + 5 )]
dx

(
f ' ( x) = x 3 - 3 x ) dx [2 x 2 + 3 x + 5]+ (2 x 2 + 3 x + 5) dx [ x 3 - 3 x ]
d d

(
f ' ( x) = x 3 - 3 x )[(2) x 2-1 + 3 x1-1 ]+ (2 x 2 + 3 x + 5)[ (3) x 3-1 - 3 x1-1 ]
f ' ( x) = (x 3 - 3 x )[4 x + 3] + (2 x 2 + 3 x + 5)[ 3 x 2 - 3]

[ ](
f ' ( x) = 4 x 4 - 12 x 2 + 3 x 3 - 9 x + 6 x 4 + 9 x 3 + 15 x 2 - 6 x 2 - 9 x - 15 )
f ' ( x) = 4x 4 - 12x 2 + 3x 3 - 9x + 6x 4 + 9x 3 + 15x 2 − 6x 2 - 9x - 15

f ' ( x) = 10 x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 - 18 x - 15

Problema 6
Hallar la derivada de f(x) = (x – 1) (x2 – 3 x + 2)

Primer termino = (x – 1)
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 2)

6

f ' (x ) =
[ (
d (x - 1) 2 x 2 + 3 x + 2 )]
dx
f ' ( x) = (x - 1 )
d 2
dx
[
x − 3 x + 2 + x2 − 3 x + 2
d
dx
](
[ x - 1] )
[ ](
f ' ( x) = (x - 1 ) (2) x 2-1 − 3 x 1-1 + x 2 − 3 x + 2 [ x - 1] )
(
f ' ( x) = (x - 1 ) [2 x − 3] + x 2 − 3 x + 2 [1] )
[
f ' ( x) = 2x 2 − 2x - 3x + 3 + x 2 − 3x + 2 ]( )
[
f ' ( x) = 2x 2 − 5 x + 3 + x 2 − 3 x + 2 ]( )
f ' ( x) = 2x 2 - 5x + 3 + x 2 - 3x + 2

f ' ( x) = 3 x 2 - 8 x + 5

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136.
Problema 7
⎛ 1 ⎞
Hallar la derivada de f(x) = x 5 − 3 x ⎜
⎜ 2⎟⎟ ( )
⎝x ⎠
Primer termino = (x5 – 3 x)
⎛ 1 ⎞
Segundo termino = ⎜ ⎟
⎜ 2⎟
⎝x ⎠
⎡
(
d ⎢ x5 - 3 x )⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟⎤⎥
⎝ ⎠⎦
f ' (x ) = ⎣
dx

(
f ' ( x) = x 5 - 3 x ) dx ⎡⎢ x12 ⎤⎥ + ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dx [ x 5 - 3x ]
d d
⎣ ⎦ ⎝ ⎠

(
f ' ( x) = x 5 - 3 x ) dx [x - 2 ]+ ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dx [ x 5 - 3 x ]
d d
⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞ d ⎡ 5
f ' ( x) = ⎛ x 5 - 3x ⎞ (- 2 ) ⎡ x - 2 -1 ⎤ + ⎜
⎜ ⎟ ⎟ x - 3x ⎤
⎝ ⎠ ⎢
⎣ ⎥ ⎜ 2
⎦ ⎝x ⎟ dx ⎢
⎣ ⎥
⎦
⎠

( ) [ ⎛ 1 ⎞
f ' ( x) = x 5 - 3 x (- 2) x - 2-1 + ⎜
⎜ 2 ⎟ (5) x - 3 x
⎟
5-1
]1-1
[ ]
⎝x ⎠

( )[ ⎛ 1
f ' ( x) = x 5 - 3 x - 2x - 3 + ⎜
⎜ 2 ] ⎞
[
⎟ 5 x4 -3
⎟ ]
⎝x ⎠


7

( ⎡ 2 ⎤ ⎛ 1
f ' ( x) = x 5 - 3 x ⎢- ⎥+⎜
⎜ )
⎣ x3 ⎦ ⎝ x2
⎞
[
⎟ 5 x4 -3
⎟
⎠
]
⎡- 2 x5 + 6 x ⎤ ⎛ 5 x4 - 3 ⎞
f ' ( x) = ⎢ ⎥+⎜ ⎟
⎢ x3 ⎜ x2 ⎟
⎥ ⎝
⎣ ⎦ ⎠

⎡ - 2x 5 + 6x + 5x 5 - 3x ⎤
f ' ( x) = ⎢ ⎥
⎢
⎣ x3 ⎥
⎦


⎡3 x5 + 3 x ⎤
f ' ( x) = ⎢ ⎥
⎢
⎣ x3 ⎥
⎦

3 x5 3x
f ' ( x) = +
x3 x3

3
f ' ( x) = 3 x 2 +
x2

Problema 14
Hallar la derivada de f(x) = 3 x x + 3 ( )
6
f(x) = x 2 * x 3 + 3 3 x

6
f(x) = x 5 + 3 3 x
5 1
f(x) = x 6 + 3 x 3

Se convierte en una suma

⎡ 5⎤ ⎡ 1 ⎤
' d ⎢ 6⎥ d ⎢ ⎥
f ( x) = x + 3x3
dx ⎢ ⎥ dx ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 -2
' 5 - 1
f ( x) = x 6 + * 3 x 3
6 3


-1 -2
' 5
f ( x) = x 6 + x 3
6

5 1
f ' ( x) = +
1 2
6x 6 x3
8

Problema 16

Hallar la derivada de h(x) = (x2 – 1)2
h(x) = (x2 – 1) (x2 – 1)

Primer termino = (x2 – 1)
Segundo termino = (x2 – 1)

h ' (x ) =
[(
d x2 - 1 x2 −1 )( )]
dx

( ) dx [x 2 − 1]+ (x 2 − 1) dx [ x 2 - 1]
h ' ( x) = x 2 - 1
d d

h ' ( x) = ⎛ x 2 - 1⎞ [2x ] + ⎛ x 2 − 1⎞ [ 2x ]
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠


(
h ' ( x) = 2 x 2 - 1 [2 x ] )

(
h ' ( x) = x 2 - 1 [4 x ] )
Problema 17
Hallar la derivada de h(s) = (s3 – 2)2

h(s) = (s3 – 2) (s3 – 2)

Primer termino = (s3 – 2)
Segundo termino = (s3 – 2)

h ' (s ) =
[(
d s3 - 2 s3 − 2 )( )]
dx

( ) [
h ' (s) = s 3 - 2
d 3
dx
s − 2 + s3 − 2
d 3
dx
s -2 ]( ) [ ]
( )[ ] (
h ' (s) = s 3 - 2 3s 2 + s 3 − 2 3 s 2 )[ ]

(
h ' (s) = 2 s 3 - 2 3 s 2 )[ ]

(
h ' (s) = s 3 - 2 6 s 2 )[ ]
9

Problema 20

Hallar la derivada de f(x) = (x2 – x) (x2 + 1) (x2 + x + 1)

Primer termino = (x2 – x)
Segundo termino = (x2 + 1)
Tercer termino = (x2 + x + 1)

f ' (x ) =
[
d (x 2 - x )(x 2 + 1)(x 2 + x + 1) ]
dx

( )(
f ' ( x) = x 2 + 1 x 2 + x + 1 ) dx [x 2 − x ]+ (x 2 − x )(x 2 + x + 1) dx [ x 2 + 1]+ (x 2 - x )(x 2 + 1) dx (x 2 + x + 1)
d d d

f ' ( x) = ⎜ x 2 + 1 ⎞ ⎛ x 2 + x + 1⎞ [2x − 1 ] + ⎛ x 2 − x ⎞ ⎛ x 2 + x + 1⎞ [ 2x ] + ⎛ x 2 - x ⎞ ⎛ x 2 + 1⎞ (2x + 1)
⎛ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


( ) ( )( ) ( )(
f ' ( x) = x 4 + x 2 + x 3 + x + x 2 + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1) )

( ) ( )( ) (
f ' ( x) = x 4 + 2x 2 + x 3 + x + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1) )( )

( ) ( )( ) (
f ' ( x) = 2x 5 + 4x 3 + 2x 4 + 2x 2 + 2x - x 4 - 2x 2 - x 3 - x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1) )( )
( ) ( )( ) ( )( )
f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (x 4 − x 3 + x 3 - x 2 + x 2 - x ) [ 2x ] + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1)

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1)

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 4 - x 3 + x 2 - x ) (2x + 1)

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - 2x 4 + 2x 3 - 2x 2 + x 4 - x 3 + x 2 - x )

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x )

f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + 2x 5 - 2x 2 + 2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x

f ' ( x) = 6 x 5 + 4 x 3 - 3 x 2 - 1

10

Problema 21

Hallar la derivada de f(x) = (3x3 + 4x) (x - 5) (x + 1)

Primer termino = (3x3 + 4x)
Segundo termino = (x - 5)
Tercer termino = (x + 1)

f ' (x ) =
[( )
d 3 x 3 + 4 x (x − 5)(x + 1) ]
dx

f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1)
d
dx
[ ]( d
dx
) ( d
dx
)
3x 3 + 4x + 3x 3 + 4x (x + 1) [ x - 5] + 3x 3 + 4x (x - 5) ( x + 1)

[ ]( ) ( )
f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1) 9 x 2 + 4 + 3 x 3 + 4 x (x + 1) [ 1] + 3 x 3 + 4 x (x - 5)( 1)

f ( x) = (x - 5x + x - 5 )[9x + 4 ]+ (3x
' 2 2 3
+ 4 x )(x + 1) + (3 x 3 + 4 x )(x - 5)

( )[ ]( ) (
f ' ( x) = x 2 - 4x - 5 9x 2 + 4 + 3x 3 + 4x (x + 1) + 3x 3 + 4x (x - 5))
f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 45x 2 + 4x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5)

f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5)

f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 3 + 4x )(x - 5)

f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x )

f ' ( x) = 9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 + 3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x + 3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x

f ' ( x) = 15x 4 - 48x 3 - 33x 2 - 32x - 20

Problema 10.35 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
( )( )
Derivar y = 2x 2 2-x

Primer termino = (2x 2 )
Segundo termino = ( 2-x )
y ' (x ) =
[( )(
d 2x 2 2-x )]
dx

( ) dx [ 2 − x ]+ ( 2 − x ) dx [ 2x 2 ]
y ' = 2x 2
d d

( ) dx [2 − x]1 2 + ( 2 − x ) dx [ 2x 2 ]
y ' = 2x 2
d d

La derivada interna es (-1)

11

( ) 1 * (- 1)* [2 − x]- 1 2 + ( 2 − x )[ 4x]
y ' = 2x 2
2

Cancelando términos semejantes
( )
y ' = - x 2 [2 − x ]- 1 2 + 2 − x [ 4x ] ( )
y' =
- x2
+ ( 2−x )[ 4x]
(2 - x )1 2

- x 2 + 2 - x [4x ] 2 − x
y' =
(2 - x )1 2

- x 2 + (2 - x ) [4x ]
y' =
(2 - x )1 2

- x 2 + 8x - 4x 2 8x - 5x 2
y' = =
(2 - x )1 2 2-x

⎛ ⎞
Derivar f (x ) = (x ) ⎜ 3 - 2x 2 ⎟
⎝ ⎠

Primer termino = x
⎛ ⎞
Segundo termino = ⎜ 3 - 2x 2 ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎛ ⎞⎤
d ⎢( x )⎜ 3 - 2x 2 ⎟⎥
⎝ ⎠⎦
f ' (x ) = ⎣
dx
d ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ d
f ' (x ) = (x )
dx ⎢
3 − 2 x 2 ⎥ + ⎜ 3 − 2x 2
⎜ ⎟ dx [ x ]
⎟
⎣ ⎦ ⎝ ⎠

12 ⎛ ⎞ d
⎟ dx [ x ]
d ⎡
f ' (x ) = (x ) 3 − 2x 2 ⎤ + ⎜ 3 − 2x 2
⎜ ⎟
dx ⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎝ ⎠

La derivada interna es (- 4x)
-1 2 ⎛ ⎞ d
f ' (x ) = (x ) 1 * (- 4x ) ⎡3 − 2x 2 ⎤
⎢ ⎣ ⎥ ⎦
+ ⎜ 3 − 2x 2
⎜ ⎟ dx [ x ]
⎟
2 ⎝ ⎠

[
f ' (x ) = - 2x 2 3 − 2 x 2 ]-1 2 + ⎛⎜⎝ ⎞
3 − 2x 2 ⎟
⎠
- 2x 2 ⎛ ⎞
f ' (x ) = + ⎜ 3 − 2x 2 ⎟
3 - 2x 2 ⎝ ⎠

12

⎛ ⎞⎛ ⎞
- 2 x 2 + ⎜ 3 - 2x 2 ⎟ ⎜ 3 − 2 x 2 ⎟
f ' (x ) = ⎝ ⎠⎝ ⎠
3 − 2x 2

f
2
' (x ) = - 2 x + 3 - 2x
2 ( )
3 − 2x 2

- 2 x 2 + 3 - 2x 2
f ' (x ) =
3 − 2x 2
3 - 4x 2
f ' (x ) =
3 − 2x 2

Ejemplo # 6 Leythold.
Hallar la derivada de hx) = (2x 3 – 4x2) (3x5 + x2)

Primer termino = (2x 3 – 4x2)
Segundo termino = (3x5 + x2)
(
h ' ( x) = 2x 3 - 4x 2
d
) dx [
](
3x 5 + x 2 + 3x 5 + x 2 ) dx [ 2x 3 - 4x 2 ]
d

h ' ( x) = (2x 3 - 4x 2 )[ 4 + 2 x ]+ (3x 5 + x 2 )[ 6x 2 - 8x ]
15x

[ ] [
h ' ( x) = 30x 7 - 60x 6 + 4 x 4 - 8x 3 + 18x 7 + 6x 4 - 24x 6 - 8x 3 ]
h ' ( x) = 30x 7 + 18x 7 - 60x 6 - 24 x 6 + 4x 4 + 6x 4 - 8x 3 - 8x 3

h ' ( x) = 48x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3

Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #19
Hallar la derivada de f(s) = 3 s 3 - s 2 ( )
( )
f(s) = 3 s 3 - s 2 = 3s 3 − 3s 2

f ' (s) = 3 3s 2 − 2 3s

f ' (s) = 3 * s(3s − 2)

Problema #20
Hallar la derivada de g(x) = (2x2 + 5) (4x – 1)

Primer termino = (2x2 + 5)

13

Segundo termino = (4x – 1)

(
g ' (x ) = 2x 2 + 5 ) dx [4x − 1] + (4x − 1) dx [ 2x 2 + 5]
d d

( )
g ' (x ) = 2x 2 + 5 [4] + (4 x − 1) [ 4x ]

g ' (x ) = 8x 2 + 20 + 16 x 2 − 4 x

g ' (x ) = 24x 2 + 20 − 4 x

Problema #21
Hallar la derivada de f(x) = (2x4 - 1) (5x3 + 6x)

Primer termino = (2x4 - 1)
Segundo termino = (5x3 + 6x)

(
f ' (x ) = 2x 4 − 1) dx [5x3 + 6x]+ (5x3 + 6 x) dx [ 2x 4 - 1]
d d

( )[ ]( )[ ]
f ' (x ) = 2x 4 − 1 15 x 2 + 6 + 5 x 3 + 6 x 8x 3

(
f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40 x 6 + 48 x 4 )
f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40x 6 + 48 x 4

f ' (x ) = 76x 6 − 15 x 2 + 60 x 4 − 6

Problema #22
Hallar la derivada de f(x) = (4x2 + 3)2
f(x) = (4x2 + 3) * (4x2 + 3)

Primer termino = (4x2 + 3)
Segundo termino = (4x2 + 3)

(
f ' ( x) = 4x 2 + 3 ) dx [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dx [ 4x 2 + 3]
d d

( ) ( )
f ' ( x) = 4x 2 + 3 [8x ] + 4x 2 + 3 [ 8x ]

( )
f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ]


14

( )
f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ]
f ' ( x) = 64 x 3 + 48x

Problema # 23
Hallar la derivada de G(y) = (7 – 3y3)2
G(y) = (7 – 3y3) * (7 – 3y3)

Primer termino = (7 – 3y3)
Segundo termino = (7 – 3y3)

( ) dx [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dx [ 4x 2 + 3]
f ' ( x) = 4x 2 + 3
d d

f ' ( x) = (4x 2 + 3 )[8x ] + (4x 2 + 3)[ 8x ]

(
f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ] )
( )
f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ]

f ' ( x) = 64 x 3 + 48x

Problema #24
Hallar la derivada de F(t) = (t3 – 2t + 1) (2t2 + 3t)

Primer termino = (t3 – 2t + 1)
Segundo termino = (2t2 + 3t)

(
F ' (t ) = t 3 − 2t + 1
d
dx
) [ ](
2t 2 + 3t + 2t 2 + 3t
dx
) [
d 3
t − 2t + 1 ]
( ) ( )[
F ' (t ) = t 3 − 2t + 1 [4t + 3] + 2t 2 + 3t 3t 2 − 2 ]
[ ][
F ' (t ) = 4t 4 - 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t ]
F ' (t ) = 4t 4 − 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t

F ' (t ) = 10t 4 − 12t 2 - 8t + 12t 3 + 3

Ejemplo Calculo Purcell pag 111.

15

Hallar la derivada de F(x) = (3x2 - 5) (2x4 - x)

Primer termino = (3x2 - 5)
Segundo termino = (2x4 - x)

(
F ' ( x) = 3x 2 − 5 ) dx [2x 4 - x ]+ (2x 4 - x ) dx [ 3x 2 − 5]
d d

( )[ ](
F ' ( x) = 3x 2 − 5 8x 3 - 1 + 2x 4 - x [ 6x ])
F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2

F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2

F ' ( x) = 36x 5 - 40x 3 - 9x 2 + 5

Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 23

Hallar la derivada de f(x) = (x) (x2 + 1)

Primer termino = (x)

f ' ( x) = (x ) [
d 2
dx
]( )
x +1 + x2 +1
d
dx
[ x]

f ' ( x) = (x ) [2x ] + (x 2 + 1)[ 1]


f ' ( x) = 2x 2 + x 2 + 1


f ' ( x) = 2x 2 + x 2 + 1

f ' ( x) = 3x 2 + 1

Problema # 24
Hallar la derivada de y = (3x) (x3 - 1)

Primer termino = (3x)
Segundo termino = (x3 - 1)

y ' = (3x )
d 3
dx
[ ]( )
x -1 + x3 -1
d
dx
[ 3x ]

16

[ ]( )
y ' = (3x ) 3x 2 + x 3 - 1 [ 3]

y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3

y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3
y ' = 12x 3 − 3

Problema # 26
Hallar la derivada de y = (- 3x + 2)2
y = (- 3x + 2) (- 3x + 2)

Primer termino = (- 3x + 2)
Segundo termino = (- 3x + 2)

y ' = (- 3x + 2 )
d
[- 3x + 2] + (- 3x + 2) d [ - 3x + 2]
dx dx
y ' = (- 3x + 2 ) [- 3] + (- 3x + 2 ) [ - 3]

y ' = 2 (- 3x + 2 ) [- 3]

y ' = (- 3x + 2 ) [- 6]
y ' = 18x - 12

Problema # 27
Hallar la derivada de y = (x2 + 2) (x3 + 1)

Primer termino = (x2 + 2)

y ' (x ) =
[( )(
d x 2 + 2 x3 + 1)]
dx

( ) dx [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dx [ x 2 + 2]
y' = x 2 + 2
d d

y ' = (x 2 + 2 )[3x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 2x ]

y ' = 3x 4 + 6 x 2 + 2x 4 + 2 x

y ' = 3x 4 + 6 x 2 + 2x 4 + 2 x

17

y ' = 5x 4 + 6 x 2 + 2 x

Problema # 28
Hallar la derivada de y = (x4 - 1) (x2 + 1)

Primer termino = (x4 - 1)

y ' (x ) =
[( )(
d x4 - 1 x2 + 1 )]
dx

( ) dx [x 2 + 1]+ (x 2 + 1) dx [ x 4 − 1]
y' = x 4 −1
d d

y ' = (x 4 − 1)[2x + 1] + (x 2 + 1)[ 4x 3 ]

( ) (
y ' = x 4 − 1 [2x + 1] + x 2 + 1 4x 3 )[ ]
y ' = 2x 5 - 2x + 4x 5 + 4x 3
y ' = 6x 5 - 2x + 4x 3

Problema # 29
Hallar la derivada de y = (x2 + 17) (x3 – 3x + 1)

Primer termino = (x2 + 17)
Segundo termino = (x3 – 3x + 1)

h ' (x ) =
[( )( )]
d x 2 + 17 x 3 − 3 x + 1
dx

( ) dx [x 3 − 3x + 1]+ (x 3 - 3x + 1) dx [ x 2 + 17]
y ' = x 2 + 17
d d

y ' = (x 2 + 17 )[3x 2 − 3]+ (x 3 - 3x + 1)[ 2x ]

y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x

y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x
y ' = 5x 4 + 42x 2 - 3x 2 - 51 + 2x

Problema # 30
Hallar la derivada de y = (x4 + 2x) (x3 +2x2 + 1)

Primer termino = (x4 + 2x)

18

Segundo termino = (x3 +2x2 + 1)

( ) dx [x 3 + 2x 2 + 1]+ (x 3 + 2x 2 + 1) dx [ x 4 + 2x]
y ' = x 4 + 2x
d d

y ' = (x 4 + 2 x )[3x 2 + 4x ]+ (x 3 + 2x 2 + 1)[ 4x 3 + 2]

y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2

y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2
y ' = 7x 6 + 12x 3 + 12x 5 + 12x 2 + 2

Problema # 31
Hallar la derivada de y = (5x2 -7) (3x2 -2x + 1)

Primer termino = (5x2 -7)
Segundo termino = (3x2 -2x + 1)

( ) dx [3x 2 - 2x + 1]+ (3x 2 − 2x + 1) dx [ 5x 2 − 7]
y ' = 5x 2 - 7
d d

y ' = (5x 2 - 7 )[6x - 2] + (3x 2 − 2x + 1)[ 10x ]

y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x

y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x
y ' = 60x 3 - 32x - 30x 2 + 14

Problema # 32
Hallar la derivada de y = (3x2 +2x) (x4 - 3x + 1)

Primer termino = (3x2 +2x)
Segundo termino = (x4 - 3x + 1)

(
y ' = 3x 2 + 2x ) dx [x 4 - 3x + 1]+ (x 4 − 3x + 1) dx [ 3x 2 + 2x]
d d

y ' = (3x 2 + 2x )[4x 3 - 3]+ (x 4 − 3x + 1)[ 6x + 2]

y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2


19

y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2
y ' = 18x 5 + 10x 4 - 27x 2 - 6x + 2

Sección 3.2 Calculo Thomas.
Problema # 13
Hallar la derivada de y = (3 - x2) (x3 - x + 1)

Primer termino = (3 - x2)
Segundo termino = (x3 - x + 1)

( ) dx [x 3 - x + 1]+ (x 3 − x + 1) dx [ 3 - x 2 ]
y' = 3 - x 2
d d

y ' = (3 - x 2 )[3x 2 - 1]+ (x 3 − x + 1)[ - 2x ]

y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x

y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x
y ' = 12x 2 - 5x 4 - 3 - 2x

Sección 3.2 Calculo Thomas.
Problema # 14
Hallar la derivada de y = (x - 1) (x2 + x + 1)

Primer termino = (x - 1)
Segundo termino = (x2 + x + 1)

y ' = (x - 1 ) [
d 2
dx
](
x + x +1 + x2 + x +1
d
dx
)[ x - 1]
( )
y ' = (x - 1 ) [2x + 1] + x 2 + x + 1 [ 1]

y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1

y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1
y ' = 3x 2

Hallar la derivada de y = (x3 - 1) (x3 + 1)

Primer termino = (x3 - 1)

y ' (x ) =
[( )(
d x 3 - 1 x3 + 1 )]
dx

20

( ) dx [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dx [ x 3 - 1]
y' = x3 -1
d d

y ' = (x 3 - 1 )[3 x 3 -1 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 3 -1 ]
y ' = (x 3 - 1 )[3 x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 2 ]

y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2

y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2
y' = 6 x5

DERIVADA DEL COCIENTE

Si u y v son diferenciables en x y v(x) ≠ 0, entonces el cociente u/v es diferenciable en x, y
du dv
v -u
d ⎛u⎞ dx dx
⎜ ⎟=
dx ⎝ v ⎠ (v )2

Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 17
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
2x + 5
y=
3x - 2
⎛ 2x + 5 ⎞
d⎜ ⎟
y' = ⎝3x -2⎠
dx
(3x - 2)⎡ d(2x + 5) ⎤ - (2x + 5)⎡ d(3x - 2) ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
y' = ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦
(3x - 2)2
y' =
(3x - 2)[2] - (2x + 5)[3]
(3x - 2)2
6x - 4 - 6x _ 15
y' =
(3x - 2)2
- 19
y' =
(3x - 2)2

Problema 18
2x + 1
y=
x 2 -1

21

⎛ 2x + 1 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
y' = ⎝ x - 1 ⎠
dx
⎡ d ⎛ x 2 - 1⎞ ⎤
⎜ ⎟⎥
⎛x 2 - 1⎞ ⎡ d(2x + 1) ⎤ - (2x + 1)⎢ ⎝ ⎠
⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥
y' = ⎣ ⎦
2
⎛ x 2 - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛x 2 - 1⎞[2] - (2x + 1)[2](x )2 −1
⎜ ⎟
y' = ⎝ ⎠
2
⎛ x 2 - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

y' =
( )
x 2 - 1 [2] - (2x + 1) [2] (x )

(x 2 - 1)2
2x 2 - 2 - (2x + 1)(2x )
y' =
(x 2 - 1)2
2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x
y' =
2
⎛ x 2 - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x
y' =
2
⎛ x 2 - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
- 2x 2 - 2 - 2x
y' =
2
⎛ x 2 - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
- 2 ⎛ x 2 + x + 1⎞
⎜ ⎟
y' = ⎝ ⎠
2
⎛ x 2 - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

Problema 19

x2 - 4
g(x ) =
x + 0,5
⎛ x2 - 4 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ x + 0,5 ⎟
g' (x ) = ⎝ ⎠
dx
⎡ 2 ( ⎤ ) ( ⎢ )
(x + 0,5)⎢ d x - 4 ⎥ - x 2 - 4 ⎡ d(x + 0,5)⎤
⎥
⎢ dx ⎥
⎣ ⎦ ⎣ dx ⎦
g' (x ) =
(x + 0,5)2

22

g' (x ) =
( )(
(x + 0,5)[2] x 2 -1 - x 2 - 4 [1] )
(x + 0,5)2

g' (x ) =
(
(x + 0,5)[2](x ) - x 2 - 4 )
(x + 0,5)2

g(x )' =
(x + 0,5)(2x ) - x 2 + 4
(x + 0,5)2

2x 2 + x - x 2 + 4
g' (x ) =
(x + 0,5)2
x2 + x + 4
g' (x ) =
(x + 0,5)2

Problema 20

t 2 -1
f (t ) =
t2 + t - 2
⎛ t 2 -1 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
t +t -2⎠
f ' (t ) = ⎝
dx
⎡ d ⎛ t 2 - 1⎞ ⎤ ⎡ d⎛ t 2 + t - 2 ⎞ ⎤
⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎢ ⎜ ⎝
⎟⎥
⎠ - ⎛ t 2 - 1⎞ ⎢ ⎝
⎜ ⎟⎥
⎠
⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎢ dx ⎥ ⎝ ⎠⎢ dx ⎥
f ' (t ) = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2]⎛ t 2 -1 ⎞ - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t )2 −1 + 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
f ' (t ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2](t ) - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t ) + 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
f ' (t ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ t 2 + t - 2 ⎞(2t ) - ⎛ t 2 - 1⎞(2t + 1)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
f ' (t ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

23

2t 3 + 2t 2 - 4t - 2t 3 + 2t - t 2 + 1
f ' (t ) =
2
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

f ' (t ) =
t 2 - 2t + 1
=
(t - 1)(t - 1) = (t - 1)(t - 1)
2 [(t + 2)(t - 1)]2 (t + 2)2 (t - 1)2
⎛ t 2 + t - 2⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

f ' (t ) =
1
(t + 2)2


5
y=
x2
y = 5x -2

y' =
( )
d 5x - 2
dx

y’= (-2) (5) x -2-1

y’= -10x -3

10
y' = -
x3

Otra forma (aplicando cocientes)

5
y=
x2
⎛ 5 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
y' = ⎝ ⎠
x
dx
⎡ d⎛ x 2 ⎞ ⎤
⎜ ⎟
⎡ d(5) ⎤ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥
x2 ⎢ ⎥ - 5⎢ ⎥
⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥
⎢
⎣ ⎥
⎦
y' =
2
⎛x2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

x 2 [0] - 5⎡2 x 2 -1 ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦
y' =
⎛x2 ⎞ ⎛x2 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

24

x 2 [0] - 5[2 x ]
y' =
(x 2 )(x 2 )
- [10x ] - 10
y' = =
x4 x3

- 10
y' =
x3

1
y=
3x 2

1 -2
y= x
3

⎛1 ⎞
d⎜ x - 2 ⎟
y' = ⎝ ⎠
3
dx

y’= (-2) (1/3) x -2-1

y’= - 2/3 x -3
2
y' = -
3 x3

Otra forma (aplicando cocientes)
1
y=
3x 2
⎛ 1 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
y' = ⎝ ⎠
3x
dx
⎡ d⎛ 3x 2 ⎞ ⎤
⎜ ⎟⎥
2 ⎡ d(1) ⎤ - 1⎢ ⎝ ⎠
3x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥
⎢
⎣ ⎥
⎦
y' =
2
⎛ 3x 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

[ ]
3x 2 [0] - 1 (2 )(3)x 2 -1
y' =
(3x 2 )(3x 2 )
(3x 2 )[0] - 1[(2)(3)(x)]
y' =
(3x 2 )(3x 2 )

25

- 1[6x ] - 6x -2
y' = = =
9x 4 9x 4 3x 3

-2
y' =
3x 3

Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129
Ejemplo 2

2 x3 + 4
f (x ) =
x2 +1

⎛ 2 x3 + 4 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
f ' (x ) = ⎝ x +1 ⎠
dx
⎡ d⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ ⎤ ⎡ d⎛ x 2 + 1⎞ ⎤
⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟⎥
⎛ x 2 + 1⎞ ⎢ ⎝
⎜ ⎟⎢
⎠ - ⎛ 2 x3 + 4⎞ ⎢ ⎝ ⎠
⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎢ dx ⎥ ⎝ ⎠⎢ dx ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
f ' (x ) =
2
⎛ x 2 + 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛x 2 + 1⎞ [2] (3)(x )3-1 - ⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ [2] (x )2 −1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
f ' (x ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
⎛ x 2 + 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

⎛ x 2 + 1⎞ 6 x 2 - ⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ 2 x
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
f ' (x ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
⎛ x 2 + 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
6 x 4 + 6 x 2 - 4 x 4 - 8x
f ' (x ) =
2
⎛ x 2 + 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

2 x 4 + 6 x 2 - 8x
f ' (x ) =
2
⎛ x 2 + 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

Ejemplo 3
3
x =
x5

26

⎛ 3 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ 5⎟
x' = ⎝
x ⎠
dx
⎡ d⎛ x 5 ⎞ ⎤
⎜ ⎟
5 ⎡ d (3) ⎤ - (3) ⎢ ⎝ ⎠ ⎥
x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥
⎢
⎣ ⎥
⎦
x '=
2
⎛ x5 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

x 5 [0] - (3) ⎡(5)x 5 -1 ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦
y' =
⎛x ⎟⎜ ⎟
⎜
5 ⎞ ⎛ x5 ⎞
⎝ ⎠⎝ ⎠

- (3) ⎡(5)x 4 ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦
y' =
⎛ x5 ⎞ ⎛ x5 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
- 15 x 4
y' =
⎛ x5 ⎞ ⎛ x5 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

- 15 - 15
y' = =
x ⎛ x5 ⎞ x
6
⎜ ⎟
⎝ ⎠

2
y=
(x + 1)2
⎛ 2 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ ( x + 1)2 ⎟
y' = ⎝ ⎠
dx
⎡ 2⎤
(x + 1)2 ⎡ d(2) ⎤ - 2 ⎢ d (x + 1)
⎢ ⎥ ⎥
⎣ dx ⎦ ⎢
⎣
dx ⎥
⎦
y' =
2
⎡(x + 1)2 ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦
(x + 1)2 (0) - 2⎡(2)(x + 1)2 −1 ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
y' =
[(x + 1)]4

- 2[(2 )(x + 1)]
y' =
[(x + 1)]4
- 4(x + 1) -4
y' = =
(x + 1)4 (x + 1)3

27

-4
y' =
(x + 1)3

x
y=
x 2 −1
⎛ x ⎞
d⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
y' = ⎝ x −1⎠
dx
⎡ d ⎛ x 2 − 1⎞ ⎤
⎜ ⎟⎥
⎛ x 2 − 1⎞ ⎡ d(x ) ⎤ - x ⎢ ⎝
⎜ ⎟⎢
⎠
⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ dx ⎥ ⎢⎦ dx ⎥
⎢
⎣ ⎥
⎦
y' =
2
⎛ x 2 − 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

⎛ x 2 − 1⎞ [1] - x ⎡(2 ) x 2 -1 ⎤
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎢
⎣ ⎥
⎦
y' =
2
⎛ x 2 − 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

x 2 - 1 - x [2x ]
y' =
2
⎛ x 2 − 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
reduciendo términos semejantes
x 2 - 1 - 2x 2
y' =
(x 2 − 1)2
- ⎛ x 2 + 1⎞
⎜ ⎟
-1 - x 2 ⎝ ⎠
y' = =
2 2
⎛ x 2 − 1⎞
⎜ ⎟ ⎛ x 2 − 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x 2 +1
y' = -
2
⎛ x 2 − 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

28

SEGUNDA DERIVADA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

30

La derivada y’ = dy/dx es la primera derivada (derivada de primer orden) de y con respecto a x. la
derivada en si bien puede ser una función diferenciable.

' 2
y ' ' = dy = d ⎡ dy ⎤ = d y
dx dx ⎢ dx ⎥ dx 2
⎣ ⎦

Se llama la segunda derivada (derivada de segundo orden ) de y con respecto a x.

Ejemplo 4

Encuentre todas las derivadas.

f (x) = 8 x4 + 5 x3 – x2 + 7
‘
f (x) = 8 (4) x4 - 1 + 5 (3) x3-1 – (2) x2-1 + 0
‘
f (x) = 32 x3 + 15 x2 – 2 x

‘‘
f (x) = 32 (3) x3-1 + 15 (2) x2-1 – 2 x1-1
‘‘
f (x) = 96 x2 + 30 x – 2

‘‘‘
f (x) = 96 (2) x2-1 + 30 x1-1 – 0
‘‘‘
f (x) = 192 x + 30

4
f (x) = 192 x1-1 + 0
4
f (x) = 192

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

DERIVADA DEL SENO
En pocas palabras, la derivada del seno es el coseno.
d
(sen x ) = cos x
dx


y = x3 sen x

Aplicando la derivada del producto
Primer termino = (x3)
Segundo termino = (sen x)

y' =
(
d x 3 sen x )
dx
( )
y' = x3
d
[sen x ] + (sen x ) d x 3 [ ]
y ' = (x 3 )[cos x ] + (sen x ) [3x 2 ]
dx dx

y ' = x 3 cos x + 3x 2 senx

31


y = (x sen x)3
d (x sen x )3
y' =
dx
y' = x3( ) d
dx
[sen x ]3 + (sen x )3 d x 3
dx
[ ]
d (x sen x )
y ' = 3[x sen x ]3 −1
dx
d (x sen x )
y ' = 3[x sen x ]2
dx
Aplicando derivada del producto
⎡ d (senx ) ⎛ d ( x ) ⎞⎤
y ' = 3[x sen x ]2 ⎢(x ) + (senx )⎜ ⎟⎥
⎣ dx ⎝ dx ⎠⎦
y ' = 3[x sen x ]2 [(x ) cos x + (senx )(1)]
y ' = 3[x sen x ]2 [x cos x + senx]

Otra forma (aplicando la derivada interna)

y = (x sen x)3
y = x3 (sen x)3

Aplicando la derivada del producto
Segundo termino = (sen x)3

y' =
[
d x 3 (senx )3 ]
dx
y' = x3( )d
dx
[sen x ]3 + (sen x )3 d x 3
dx
[ ]
( ) [ ]
y ' = x 3 3(cos x ) [sen x ]3 - 1 + (sen x )3 3 x 3 - 1

La derivada interna de (sen x)3 es: cos x
y ' = 3 x 3 (cos x ) [sen x ]2 + (sen x )3 3 x 2

y ' = 3 x 3 (cos x ) sen 2 x + 3x 2 sen 3 x

Factor común
y ' = 3 x 2 sen 2 x[x cosx + sen x ]


y = sen x
y = sen x = (sen x )1 2

32

y' =
[
d (sen x )1 2 ]
dx
d[(sen x )]
y' = (sen x )1 2 −1
1
2 dx

y' =
1
(sen x )1 2 −1 * (1)cos x
2
y' = (sen x ) − 1 2 (cos x )
1
2
y' =
1
(cos x )
2(sen x )1 2
cos x cos x
y' = =
2(sen x )1 2 2 sen x
cos x
y' =
2 sen x


ln x
y=
x −1
⎛ x ⎞
d⎜ ⎟
y' = ⎝ x −1⎠
dx
(x - 1)⎡ d(ln x )⎤ - ln x ⎡ d(x - 1)⎤
⎢ dx ⎥ ⎢ dx ⎥
y' = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[x − 1] 2

(x - 1) ⎛ 1 ⎞ ⎡ d(x )⎤ - ln x [1]
⎜ ⎟⎢
y' = ⎝ x ⎠ ⎣ dx ⎥ ⎦
[x − 1] 2

(x - 1) ⎛ 1 ⎞ [1] - ln x
⎜ ⎟
y' = ⎝x⎠
[x − 1]2
⎛ x -1⎞
⎜ ⎟ - ln x
(x - 1) - x ln x
y' = ⎝
x ⎠
= x =
(x - 1) - x ln x = x - 1 - x ln x
[x − 1] 2 (x - 1)2 x (x - 1)2 x (x - 1)2
x - 1 - x ln x
y' =
x (x - 1)2


y = tag (2x + 1)

33

d [tag (2x + 1)]
y' =
dx
y ' = sec 2 (2x + 1) [2x + 1]
d
dx
y ' = sec 2 (2x + 1) [2]

y ' = 2 sec 2 (2x + 1)

Calcular la derivada 1
y' = tag x * = tag x sec x
cos x
1 y' = sec x tag x
y=
cos x
1
y= = sec x Otra forma (utilizando el exponente)
cos x 1
y=
d(sec x ) cos x
y' =
= (cos x )−1
dx 1
d(x )
y=
y' = sec x tag x cos x
dx d(cos x )−1
y' = sec x tag x (1) y' =
dx
y' = sec x tag x
d (cos x )
y' = (- 1)(cos x )-1 -1
dx
Otra forma (utilizando el cociente) d(cos x )
y=
1 y' = (- 1)(cos x )- 2
dx
cos x
-1 d (cos x )
⎛ 1 ⎞ y' =
d⎜
⎝ cos x ⎠
⎟ (cos x ) dx
2
y' =
* (- sen x )
-1
dx y' =
⎡ d(1) ⎤ ⎡ d(cos x ) ⎤ (cos x )2
cos x ⎢ ⎥ - 1⎢ ⎥
y' = ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ y' =
sen x
(cos x )2 (cos x )2
cos x [0] - 1[− sen x ] y' =
sen x
=
sen x 1
y' = *
(cos x )(cos x ) cos x cos x
(cos x )2
y' = tag x sec x
- 1[− sen x ] sen x sen x 1
y' = = = *
(cos x )2 cos x (cos x ) cos x cos x

Hallar la derivada de y = (x5) (esen x)

Segundo termino = (esen x)

y' =
[ ( )]
d (x )5 e senx
dx

y' = x5( ) dx [e senx ]+ (esen x ) dx [x 5 ]
d d

34

⎡ d (senx ) ⎤ ⎛ sen x ⎞ ⎡ 5 -1 ⎤
y ' = ⎢⎛ x 5 ⎞ ⎛ e senx ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜e ⎟ (5) ⎢ x
⎣⎝ ⎠⎝ ⎠ dx ⎥ ⎝ ⎦ ⎠ ⎣ ⎥
⎦

⎡ d (x ) ⎤
y ' = ⎢⎛ x 5 ⎞ ⎛ e senx ⎞ (cos x )
⎜ ⎟⎜ ⎟ + 5 ⎛ e sen x ⎞ ⎡ x 4 ⎤
⎜ ⎟⎢ ⎥
⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dx ⎥ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

y ' = ⎡⎛ x 5 ⎞ ⎛ e senx ⎞ (cos x )(1)⎤ + 5 ⎛ e sen x ⎞ ⎡ x 4 ⎤
⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

y ' = x 5 (cos x ) ⎛ e sen x ⎞ + 5x 4 ⎛ e sen x ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y ' = x 4 ⎛ e sen x ⎞ [x cos x + 5]
⎜ ⎟
⎝ ⎠


y = sen 1 - 2 x
y = sen 1 - 2 x = sen (1 - 2x )1 2
⎡ 1 2⎤
d ⎢ sen⎛1 - 2 x ⎞ ⎥
⎜ ⎟
⎢ ⎝ ⎠ ⎥
y' = ⎣ ⎦
dx
⎡ 1 2⎤
d ⎢⎛1 − 2 x ⎞ ⎥
⎜ ⎟
1 2 ⎢⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦
y' = cos ⎛1 - 2 x ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ dx

⎛ d ⎛1 − 2 x ⎞ ⎞
⎜1 ⎜ ⎟⎟
y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎝ ⎠⎟
⎜2 dx ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

⎛1 ⎞
y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎛ − 2 x ln 2 ⎞ ⎟
⎜ ⎟
⎝2 ⎝ ⎠⎠

⎛
y' = cos 1 - 2 x ⎜
1
⎜ 2 1 - 2x(
⎞
− 2 x ln 2 ⎟
⎟ )( )
⎝ ⎠

⎛ ⎛ - 2 x ln 2 ⎞ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
y' = cos 1 - 2 x ⎜⎝ ⎠⎟
(
⎜ 2 1 - 2x ⎟
⎜
)⎟
⎝ ⎠

⎛ - 2 x ln2 ⎞ ⎛ cos 1 - 2 x
⎜ ⎟⎜
⎞
⎟
⎝ ⎠⎜⎝
⎟
⎠
y' =
2 1- 2x

35


y = cos x
y = cos x = cos (x )1 2
d ⎡cos (x )1 2 ⎤
⎢ ⎥
y' = ⎣ ⎦
dx
⎛1⎞
y' = - sen (x )1 2 ⎜ ⎟ (x )1 2 − 1
⎝2⎠

⎛1⎞
y' = - sen x ⎜ ⎟ (x )- 1 2
⎝2⎠
⎛1⎞⎛ 1 ⎞
y' = - sen x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2⎠⎝ x ⎠
- sen x
y' =
2 x


y = (x) (sen x)3

Segundo termino = (sen x)3

y' =
[
d (x )(senx )3 ]
dx

y ' = (x )
d
dx
[ ]
(sen x )3 + (sen x )3 d [x ]
dx

y ' = (x )(cos x )3
d
dx
[ ]
(x )3 + (sen x )3 [1]

[ ]
y ' = (x )(cos x )3 (3)(x )3 −1 + (sen x )3

y ' = (x )(cos x )3 [(3)(x )2 ]+ (sen x )3

y ' = 3 (x )(x )2 (cos x )3 + (sen x )3

y ' = 3 x 3 (cos x )3 + (sen x )3


y = ln [sen (x2 + 5)]

36

y
[( ( 2
' = d ln sen x + 5 )]
dx
⎛ 1 ⎞ ⎡ d (sen (x 2 + 5) ⎤
y' = ⎜ ⎟⎢
⎝ (
⎜ sen x 2 + 5 ⎟ ⎢
⎠⎣ ) dx ⎥
⎦
⎥

⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎟ ⎡cos ⎛ x 2 + 5 ⎞(2 )(x )2 −1 ⎤
'= ⎜ 1
y ⎜ ⎟
⎜ sen⎛ x 2 + 5 ⎞ ⎟ ⎢
⎜ ⎟⎟⎣
⎝ ⎠ ⎥
⎦
⎜
⎝ ⎝ ⎠⎠

⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎟ ⎡cos ⎛ x 2 + 5 ⎞(2 )(x )⎤
1
y' = ⎜ ⎜ ⎟
⎜ sen⎛ x 2 + 5 ⎞ ⎟ ⎢
⎜ ⎟⎟⎣
⎝ ⎠ ⎥
⎦
⎜
⎝ ⎝ ⎠⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ 2x ⎜ cos ⎛ x + 5 ⎞ ⎟ ⎟
2
⎜ ⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎟
y' = ⎜
⎜ ⎛ 2 ⎞ ⎟
⎜ sen⎜ x + 5 ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎠
⎝

(
2x cos x 2 + 5 )
y' =
(
sen x 2 + 5 )
(
y ' = (2x ) cot x 2 + 5 )

1+ x2
y = ln
1− x2
⎛ 1+ x2 ⎞
d⎜ ln ⎟
⎜ 2⎟
1− x ⎠
y' = ⎝
dx
⎡ ⎛1+ x2 ⎞⎤
⎢d⎜ ⎟⎥
⎢ ⎜1 − x2 ⎟⎥
⎢ ⎝ ⎠⎥
1
y' =
1+ x 2 ⎢ dx ⎥
⎢ ⎥
1- x2 ⎢ ⎣
⎥
⎦

⎡ ⎛1 + x2 ⎞ ⎤
⎢ d⎜ ⎟⎥
⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎜1 − x2 ⎟ ⎥
y' = ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎥
⎜ 2 ⎟⎢ dx ⎥
⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦

37

⎡ ⎛ d ⎛1 + x 2 ⎞ ⎞ ⎛ d ⎛1 - x 2 ⎞ ⎞ ⎤
⎢⎛ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎥
⎝ ⎠ ⎟ - ⎛1 + x 2 ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟
⎢ ⎜1 - x ⎞ ⎜
2
⎟ ⎜ ⎟ ⎥
⎢ ⎝ ⎠⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠⎜ dx ⎟⎥
⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
y' = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥
⎜ 2⎟ ⎢ 2 ⎥
⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎛1 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎥
⎢ ⎝ ⎠ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ 2 -1 - ⎛1 + x 2 ⎞ (− 2 )(x )2 −1 ⎤
⎛ 2⎞
⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x ) ⎜ ⎟ ⎥
y' = ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥
⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥
⎝1+ x ⎠⎢ ⎛1 - x ⎟
⎜
2⎞
⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎡ ⎤
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2)(x ) ⎥
y' = ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥
⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥
⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎛1 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎡ ⎤
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2 x ) ⎥
y' = ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥
⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥
⎝ 1+ x ⎠ ⎛1 - x ⎟2⎞
⎢ ⎜ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎡ ⎤
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) + ⎜1 + x ⎟ (2 x ) ⎥
y' = ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥
⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥
⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎛1 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 2x - 2x 3 + 2x + 2x 3 ⎤
y' = ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜1 + x 2 ⎟ ⎢
⎝ ⎠⎢⎣ 1- x2( )
2 ⎥
⎥
⎦
⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 4x ⎤
y' = ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜1+ x2 ⎟ ⎢
⎝ ( )2⎥
⎠ ⎢ 1- x2 ⎥
⎣ ⎦
4x - 4x 3
y' =
2
⎛1 + x 2 ⎞ ⎛1 − x 2 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠


y = e1 x

d ⎛ e1 x ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
y' =
dx
⎛1⎞
d⎜ ⎟
y' = ⎛ e1 x ⎞ ⎝ ⎠
x
⎜ ⎟
⎝ ⎠ dx

38

d ⎛ x −1 ⎞
⎜ ⎟
y' = ⎛ e1 x ⎞ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠ dx

y' = ⎛ e1 x ⎞ (- 1)(x )-1-1
⎜ ⎟
⎝ ⎠

( )
y' = e1 x (- 1)(x )- 2

- e1 x
y' =
x2

LA REGLA DE LA CADENA
Si y = f(u) es función derivable de u y
u = g(x) es función derivable de x
entonces y = f(g(x)) es función derivable de x, con

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

d
[f (g(x ))] = f ' (g(x )) g ' (x ) ’
dx

Sección 3.5 Ejemplo # 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 139
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

y = (x2 + 1)3

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

Se halla primero

dy
du

dy d ⎛ 2 3
= ⎜ x + 1⎞
⎟
du du ⎝ ⎠

3 −1
= (3) ⎛ x 2 + 1⎞
dy
⎜ ⎟
du ⎝ ⎠
2
= (3) ⎛ x 2 + 1⎞
dy
⎜ ⎟
du ⎝ ⎠

Después se halla

du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (x2 + 1)

39

y = (x2 + 1)3 = (u)3

d ⎛ x 2 + 1⎞
⎜ ⎟
= ⎝ ⎠ = 2x 2 -1
du
dx dx

du
= 2 x 2 -1
dx

du
= 2x
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

2
= (3) ⎛ x 2 + 1 ⎞ (2x )
dy
⎜ ⎟
dx ⎝ ⎠

dy ⎛ 2 2
= ⎜ x + 1 ⎞ (6x )
⎟
dx ⎝ ⎠

Problema # 25

y = (2x + 1)2

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

Se halla primero

dy
du

dy d
= (2 x + 1)2
du du

= (2 )(2 x + 1)2 −1
dy
du

= (2 )(2 x + 1)
dy
du

Después se halla

du
la función interior u = (2 x + 1)

y = (2 x + 1)2 = (u)2

40

du d (2 x + 1)
= = 2x 1-1
dx dx

du
= 2 x0
dx

du
= 2
dx
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

= (2 )(2x + 1 )(2 )
dy
dx

= 4 (2 x + 1 )
dy
dx

Derivar s = (t2 – 3)4

Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (2t)

s’ = 4 *(t2 – 3)3 *(2t)
s’ = (t2 – 3)3 (8t)

Derivar y = (1 – 5x)6

Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (-5)

y ’ = 6 *(1 – 5x)5 * (- 5)
y ’ = (1 – 5x)5 (- 30)

Derivar y = (3x – x3 + 1)4

Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (3 – 3x2 )

y ’ = (3x – x3 + 1)4
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * (3 – 3x2 )

Factor común 3
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * 3 * (1 – x2 )

y ’ = 12 (3x – x3 + 1)3 (1 – x2 )

Derivar y = (3 + 4x – x2 )1/2

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

41

Se halla primero

dy
du

1
dy d ⎛
= 2⎞2
⎜3 + 4 x - x ⎟
du du ⎝ ⎠

1
dy ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1
2⎞2
= ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟
du ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠

1
dy ⎛ 1 ⎞ ⎛ −
= ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟ 2⎞ 2
du ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
dy ⎜ 1 ⎟
=⎜
du 12⎟
⎜ 2⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞
⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠

Después se halla

du
la función interior u = (3 + 4x – x2 )

y = (3 + 4x – x2 )1/2 = (u)1/2

d⎛ 3 + 4 x - x 2 ⎞
⎜ ⎟
du
= ⎝ ⎠
dx dx
du
= 4x1 -1 - 2 x 2 -1
dx

du
= 4x 0 - 2 x1
dx

du
= 4-2x
dx

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

⎡ ⎤
⎢ ⎥
dy ⎢
=
1 ⎥ (4 - 2x )
dx ⎢ ⎛ 12⎥
⎢ 2⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞
⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦

42

⎡ ⎤
⎢ ⎥
dy ⎢ 4 - 2x ⎥= 2 (2 - x )
=
dx ⎢ 12⎥ 12
⎢ 2⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎥ (2 ) ⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞
⎜ ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠

dy
=
(2 - x )
dx 12
⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS
Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un numero racional, entonces

⎛ du ⎞
= n [u (x )]n -1 ⎜ ⎟
dy
dx ⎝ dx ⎠
O lo que es lo mismo

u = n [u ]n -1 u '
d ⎡ n⎤
dx ⎢ ⎥
⎣ ⎦


f (x) = (3x – 2x2)3

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

Se halla primero

dy
du

3
⎜ 3x - 2x ⎞
dy d ⎛ 2
= ⎟
du du ⎝ ⎠

3 −1
dy
= (3) ⎛ 3x - 2x 2
⎜ ⎞
⎟
du ⎝ ⎠
2
= (3) ⎛ 3x - 2x 2 ⎞
dy
⎜ ⎟
du ⎝ ⎠

Después se halla

du
la función interior u = (3x – 2x2)

y = (3x – 2x2)3 = (u)3

43

d⎛ 3x - 2x 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 3 x1-1 - 2 (2 )x 2 -1
du
=
dx dx

du
= 3 -4x
dx

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

2
= (3) ⎛ 3x - 2x 2 ⎞ (3 - 4x )
dy
⎜ ⎟
dx ⎝ ⎠

dy ⎛ 2
= ⎜ 3x - 2x 2 ⎞
⎟ (9 - 12x )
dx ⎝ ⎠


2
y = 3 ⎛ x 2 + 2⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
23
y = ⎛ x 2 + 2⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

Se halla primero

dy
du

dy d ⎛ 2 23
= ⎜ x + 2⎞
⎟
du du ⎝ ⎠

dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 2 3 −1
=⎜ ⎟⎜x + 2 ⎞
⎟
du ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 −1 3
=⎜ ⎟⎜x + 2 ⎞ ⎟
du ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
dy 2 2
= =
13
3 3 ⎛ x 2 + 2⎞
du
3 ⎛ x 2 + 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Después se halla

du
la función interior u = (x2 + 2)

44

y = (x2 + 2)2/3 = (u)2/3

d⎛ x 2 + 2 ⎞
⎜ ⎟
du ⎝ ⎠
= = 2 x 2 -1 + 0
dx dx

du
= 2x
dx

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

⎡ ⎤
dy ⎢
=
2 ⎥ (2x )
dx ⎢ 3 2 ⎥
⎣3 x + 2 ⎦

dy 4x
=
dx 3
3 x2 + 2


g(t ) =
-7
(2t - 3)2
-2
g(t) = (-7) (2t – 3)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero: du

dy d
= (− 7 )(2t - 3)− 2
du du

= (- 7 )(- 2 )(2t - 3 )− 2 −1
dy
du

= (14 )(2t - 3 )− 3
dy
du

dy 14
=
du (2t - 3)3

du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (2t - 3)

45

-2 -2
y = (2t - 3) = (u)

du d(2t - 3 )
= = 2 t1-1 - 0
dx dx

du
= 2
dx

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy ⎡ 14 ⎤
=⎢ ⎥ (2 )
dx ⎢ (2t - 3)3 ⎥
⎣ ⎦

dy 28
=
dx (2t - 3)3


f (x ) = x 2 1 - x 2
12
f (x ) = x 2 ⎛1 - x 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
12
Segundo termino = ⎛1 - x 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
d ⎡ 12 12 d
f ' (x ) = (x )2 1- x2 ⎤ + ⎛1 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎡ x2⎤
dx ⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎝ ⎠ dx ⎢
⎣ ⎥
⎦

La derivada interna de (1 – x2) es (- 2x)

La derivada de (x2) es (2x)

⎛1⎞ 1 2 -1 12
f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤
⎢ ⎥
+ ⎛1 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ [2x ]
⎝2⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎛1⎞ -1 2 12
f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤
⎢ ⎥
+ ⎛1 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ [2x ]
⎝2⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

f ' (x ) =
(x )2 (− 2 x ) + ⎛ 1 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ (2x )
2 1- x2 ⎝ ⎠

f ' (x ) =
(x )2 (− x ) + ⎛ ⎞
⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x )
1- x2 ⎝ ⎠

46

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
- x 3 + ⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x ) ⎜ 1 - x 2 ⎟
f ' (x ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1- x2
- x 3 + ⎛1 - x 2 ⎞ (2x )
⎜ ⎟
f ' (x ) = ⎝ ⎠
1- x2
- x 3 + 2x - 2x 3
f ' (x ) =
1- x2

- 3x 3 + 2x 2x - 3x 3
f ' (x ) = =
1- x 2 1- x2
(x ) ⎛ 2 - 3x 2 ⎞
⎜ ⎟
f ' (x ) = ⎝ ⎠
1- x2


f (x ) =
x
3 2
x +4
En este caso se utiliza la derivada del producto

−1 3
f (x ) = (x ) ⎛ x 2 + 4 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−1 3
Segundo termino = ⎛ x 2 + 4 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
-1 3 -1 3 d
f ' (x ) = (x ) ⎡ x 2 + 4⎤
d
+ ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟ [ x]
dx ⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎝ ⎠ dx

La derivada interna de (x2 + 4) es (2x)

La derivada de (x) es (1)

⎛ 1⎞ -1 3 -1 -1 3
f ' (x ) = (x ) ⎜ − ⎟ ( 2x ) ⎡ x 2 + 4 ⎤
⎢ ⎥
+ ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟ [1]
⎝ 3⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎛ - 2x ⎞ ⎡ 2 -4 3 -1 3
f ' ( x ) = (x ) ⎜ ⎟ ⎢x + 4 ⎤⎥
+ ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠
⎛ - 2 x2 ⎞ -4 3 -1 3
f ' (x ) = ⎜ ⎟ ⎡x 2 + 4 ⎤ + ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
⎜ 3 ⎟⎢ ⎣ ⎥
⎦ ⎝ ⎠
⎝ ⎠

47

⎛ ⎞
⎜ 2 ⎟
' (x ) = ⎜ -2x ⎟ 1
f ⎜ 43 ⎟ +
⎜ 3 ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎛ x 2 + 4⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ - 2 x2 ⎟
f ' (x ) = ⎜
1
⎟ +
⎜ 3⎛ 2 ⎞ ⎟ 3 ⎛ x 2 + 4⎞
4
⎜ 3 ⎜ x + 4⎟ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠
⎝
− 2 x2
f ' (x ) =
1
+
4 3⎛ 2
3 3 ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ x + 4⎞
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− 2 x 2 + ⎡3 ⎛ x 2 + 4 ⎞⎤
⎢ ⎜ ⎟⎥
' (x ) = ⎣ ⎝ ⎠⎦ - 2x 2 + 3x 2 + 12
f =
3 3 ⎛ x 2 + 4⎞
4
3 3 ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎝
⎟
⎠
⎝ ⎠
x 2 + 12
f ' (x ) =
3 3 ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠


f (x ) =
x
3 2
x +4
f (x ) =
x
13
⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
En este caso se utiliza la derivada del cociente

⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ x ⎟
d⎜
13⎟
⎜ ⎛ x 2 + 4⎞ ⎟
⎜⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎠
f ' (x ) = ⎝
dx
⎡ 13⎤
⎢d ⎛ x + 4⎞ ⎥
2
1 3 ⎡ d(x ) ⎤ ⎜ ⎟
⎛ x 2 + 4⎞ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥
⎜
⎝
⎟
⎠ ⎢ dx ⎥ - (x ) ⎢ ⎥
⎣ ⎦ dx
⎢ ⎥
y' = ⎣ ⎦
2
⎡ 2 1 3⎤
⎢⎛ x + 4 ⎞ ⎥
⎜ ⎟
⎢⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦
La derivada interna de (x2 + 4) es (2x)

La derivada de (x) es (1)

48

⎡ ⎛ 2 ⎞⎤
13 1 3 -1 ⎢d ⎜ x + 4⎟ ⎥
⎛ x 2 + 4 ⎞ [1] - (x ) ⎛ 1 ⎞ ⎛ x 2 + 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎢ dx ⎥
y' = ⎣ ⎦
2
⎡ 2 1 3⎤
⎢⎛ x + 4 ⎞ ⎥
⎜ ⎟
⎢⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦

13 1 3 -1
⎛ x 2 + 4 ⎞ [1] - (x ) ⎛ 1 ⎞ ⎛ x 2 + 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ [2x ]
⎝ ⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠
y' =
2
⎡ 2 1 3⎤
⎛ x + 4⎞ ⎥
⎢⎜ ⎟
⎢⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦

13 ⎛x⎞ -2 3
⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟ - ⎜ ⎟ ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟ [2x ]
⎝ ⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠
y' =
2
⎡ 2 1 3⎤
⎛ x + 4⎞ ⎥
⎢⎜ ⎟
⎢⎝
⎣
⎠ ⎥
⎦
1 3 ⎛ 2 x2 ⎞ -2 3
⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟ - ⎜ ⎟ ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ 3 ⎟⎝ ⎠
y' = ⎝ ⎠
2
⎡ 2 1 3⎤
⎛ x + 4⎞ ⎥
⎢⎜ ⎟
⎢⎝
⎣
⎠ ⎥
⎦
⎛ ⎞ ⎡ 23 13 ⎤
⎢3 ⎛ x + 4 ⎞ ⎛ x 2 + 4⎞
2 - 2x 2 ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ x 2 + 4⎞
13 ⎜ 2 x2 ⎟ ⎢ ⎝
⎣
⎠ ⎝ ⎠ ⎥
⎦
⎜ ⎟ - ⎜ ⎟
⎝ ⎠ 23 23
⎜ 3 ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎟ 3 ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
y' = ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ = ⎝ ⎠
23 23
⎡ x 2 + 4⎤ ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎝ ⎠
Producto de extremos es igual al producto de medios
⎡3⎛ x 2 + 4 ⎞ - 2x 2 ⎤
⎢ ⎜
⎣ ⎝
⎟
⎠ ⎥
⎦
23
3 ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 3 x 2 + 12 - 2x 2
y' = = =
23 23 23
⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟ 3⎛ x 2 + 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x 2 + 12
y' = =
43
⎛ x 2 + 4⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠


2
⎛ 3x - 1 ⎞
y=⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ x + 3⎠

49

2
⎛ 3x - 1 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
f ' (x ) = ⎝ x + 3⎠
dx
⎛ 3x - 1 ⎞
Es necesario hallar la derivada interna de ⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ x + 3⎠
⎛ 3x - 1 ⎞ d ⎛ 3x - 1 ⎞
= (2) ⎜
dy ⎟ ⎜ ⎟
dx ⎜ 2 ⎟ dx ⎜ 2 ⎟
⎝ x + 3⎠ ⎝ x + 3⎠
dy ⎛ 6x - 2 ⎞ d ⎛ 3x - 1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
=⎜
dx ⎜ x 2 + 3 ⎟ dx ⎜ x 2 + 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡⎧ ⎫⎤
⎢ ⎪ ⎛ x 2 + 3 ⎞ (3x - 1) - (3x - 1) ⎛ x 2 + 3 ⎞ ⎪⎥
d d
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
dy ⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢ ⎪ ⎝
⎟ ⎨ ⎠ dx dx ⎝ ⎠ ⎪⎥
=⎜ ⎬⎥
⎜ 2
dx ⎝ x + 3 ⎠ ⎪⎟⎢ 2
⎢⎪ ⎛ x 2 + 3⎞ ⎪⎥
⎜ ⎟ ⎪⎦
⎣ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭
⎡ ⎤
⎛ x 2 + 3 ⎞ (3) - (3x - 1)(2x ) ⎥
dy ⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢ ⎜
⎝
⎟
⎠
=⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ 2 ⎟ ⎥
dx ⎝ x + 3⎠ ⎢ ⎛ x 2 + 3⎞
2
⎢ ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎡ ⎤
dy ⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢ 3x 2 + 9 - 6x 2 + 2x ⎥
=⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ 2 ⎟ ⎥
dx ⎝ x + 3⎠ ⎢ ⎛ x 2 + 3⎞
2
⎢ ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎡ ⎤
⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢ ⎥
dy ⎟⎢ - 3x 2 + 9 + 2x ⎥
=⎜
⎜ 2 ⎟ 2 ⎥
dx ⎝ x + 3⎠ ⎢ ⎛ x 2 + 3⎞
⎢ ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎡ ⎤
⎢
⎛ 3x - 1 ⎞ - 3x 2 + 9 + 2x ⎥
= (2 )⎜
dy ⎟⎢ ⎥
dx ⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥
⎝ x + 3⎠
⎢ ⎛ x + 3⎞
2
⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦

⎡ ⎤
⎢ 2 + 9 + 2x ⎥
= (2)(3x - 1) ⎢
dy - 3x ⎥
dx ⎢ 3 ⎥
⎢ ⎛ x + 3⎞
2 ⎥
⎜ ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
(2)(3 x - 1) ⎛ - 3x 2 + 9 + 2x ⎞
⎜ ⎟
dy
= ⎝ ⎠
dx 3
⎛ x 2 + 3⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠


50

⎛ ⎞
Derivar f (x ) = (x - 1) ⎜ x 2 − 2x + 2 ⎟
⎝ ⎠
Primer termino = (x – 1)
⎛ ⎞ 12
Segundo termino = ⎜ x 2 − 2 x + 2 ⎟ = ⎛ x 2 - 2x + 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f ' (x ) = (x - 1 )
d 2
dx
[
x - 2x + 2
12 ⎛
⎝
] ⎞ d
+ ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟ [ x - 1]
⎠ dx

La derivada interna es (2x - 2)

[
f ' (x ) = (x - 1 ) * (2x - 2 ) x 2 - 2x + 2
1
2
-1 2 ⎛
⎝
] ⎞
+ ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟[ 1]
⎠

f ' (x ) =
(x - 1)(2 x − 2) ⎛ ⎞
+ ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟
2 x 2 - 2x + 2 ⎝ ⎠

⎛ ⎞
(x - 1)(2 x − 2) + 2 x 2 - 2x + 2 ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟
f ' (x ) = ⎝ ⎠
2 x 2 - 2x + 2

f
(
' (x ) = (x - 1)(2 x − 2 ) + 2 x - 2x + 2
2 )
2 x 2 - 2x + 2

2x 2 - 2x - 2x + 2 + 2x 2 - 4x + 4
f ' (x ) =
2 x 2 - 2x + 2
4x 2 - 8x + 6
f ' (x ) =
2 x 2 - 2x + 2

2(2x 2 - 4x + 3)
f ' (x ) =
2 x 2 - 2x + 2

2 x 2 - 4x + 3
f ' (x ) =
x2 - 2 x + 2

Sección 3.5 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 141
Descomposición de una función compuesta

y = f(g(x)) u = g(x) Y = f(u)
1 1
y= u=x+1 y=
x +1 u
y = sen 2x u = 2x y = sen u
y = 3x 2 − x + 1 u = 3x2 –x + 1 y= u
y = tg2 x u = tg x y = (u)2

51

Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Completar la tabla siguiendo el modelo del ejemplo 2

y = f(g(x)) u = g(x) y = f(u)
y = (6x - 5)4 u = 6x -5 y = (u)4
1 1
y= u=x+1 y=
x +1 u

y = x2 −1 u = x2 - 1 y= u
2 ⎛ 3x ⎞
⎛ 3x ⎞
y=⎜ ⎟ u =⎜ ⎟ y = (u )2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
y = (x2 - 3x + 4)6 u = (x2 - 3x + 4) y = (u)6
y = (5x - 2)3/2 u = (5x - 2) y = (u)3/2

Problema # 7
3
y = (2x - 7)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero: du

dy d
= (2x - 7 )3
du du

= (3)(2x - 7 )3 −1
dy
du
= (3)(2x - 7 )2
dy
du
du
la función interior u = (2x – 7)

y = (2x – 7)3 = (u)3

du d (2x - 7 )
= = 2 x1-1 - 0
dx dx

du
= 2
dx

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

52

= (3)(2x - 7 )2 (2 )
dy
dx

= (2x - 7 )2 (6 )
dy
dx

Problema # 8
4
y = (3 x2 + 1)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy
Se halla primero du

dy d
=
du du
3x 2 + 1(4
)
dy
du
(
= (4 ) 3 x 2 + 1
4 −1
)
dy
du
(
= (4 ) 3 x 2 + 1
3
)
du
la función interior u = (3 x2 + 1)

y = (3 x2 + 1)4 = (u)4

(
du d 3 x 2 + 1
=
)
= 2 (3) x 2 -1 + 0
dx dx

du
= 6x
dx
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy
dx
( 3
= (4 ) 3 x 2 + 1 (6x ) )
dy
dx
( 3
= 3 x 2 + 1 (24x ) )
Problema # 9

53

4
g (x) = 3 (9x - 4)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du

3 (9 x - 4 )4
dy d
=
du du

= (3)(4 )(9 x - 4 )4 −1
dy
du
= (12 )(9 x - 4 )3
dy
du
du
la función interior u = (9 x - 4)

y = (9x - 4)4 = (u)4

du d (9x - 4 )
= = 9 x1-1 - 0
dx dx

du
= 9
dx
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

= (12 )(9x - 4 )3 (9 )
dy
dx

= (9 x - 4 )3 (108 )
dy
dx

Problema # 10
3
f (x) = 2 (x2 - 1)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du

dy d ⎛ 2 ⎞ 3
= 2 ⎜ x - 1⎟
du du ⎝ ⎠

54

3 −1
= (2 )(3) ⎛ x 2 - 1⎞
dy
⎜ ⎟
du ⎝ ⎠
2
= (6 ) ⎛ x 2 - 1⎞
dy
⎜ ⎟
du ⎝ ⎠
du
la función interior u = ( x2 - 1)

y = (x2 - 1)2 = (u)2

d ⎛ x 2 - 1⎞
⎜ ⎟
du ⎝ ⎠
= = 2 x 2 -1 - 0
dx dx

du
= 2x
dx

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

2
= (6 ) ⎛ x 2 - 1 ⎞ (2 x )
dy
⎜ ⎟
dx ⎝ ⎠

2
= ⎜ x - 1 ⎞ (12 x )
dy ⎛ 2
⎟
dx ⎝ ⎠

Problema # 11

Hallar la derivada
1
y=
x−2

⎛ 1 ⎞
d⎜ ⎟
y' = ⎝ x -2⎠
dx

(x − 2 ) d
(1) - (1) d (x - 2)
y' = dx dx
(x - 2) 2

y' =
(x − 2)(0) - (1)(1)
(x - 2)2
−1
y' =
(x - 2)2

55

Problema # 12

Hallar la derivada
1
s (t) =
t 2 + 3t − 1

⎛ 1 ⎞
d⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
t + 3t - 1 ⎠
s' = ⎝
dx

⎛ t 2 + 3t − 1⎞ d (1) - (1) d ⎛ t 2 + 3t - 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
s '=⎝ ⎠ dx dx ⎝ ⎠
2
⎛ t 2 + 3t - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

⎛ t 2 + 3t − 1⎞ (0 ) - (1)(2 t + 3)
⎜ ⎟
s '=⎝ ⎠
2
⎛ t 2 + 3t - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

- (2 t + 3)
s' =
2
⎛ t 2 + 3t - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

Problema # 13
2
⎛ 1 ⎞
f (t ) = ⎜ ⎟
⎝ t -3⎠

2
⎛ 1 ⎞
d⎜ ⎟
f ' (t ) = ⎝ t - 3⎠
dx
⎛ 1 ⎞
Es necesario hallar la derivada interna de ⎜ ⎟
⎝ t -3⎠
⎛ 1 ⎞ d ⎛ 1 ⎞
f ' (t ) = (2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ t - 3 ⎠ dx ⎝ t - 3 ⎠
⎛ 2 ⎞ d ⎛ 1 ⎞
f ' (t ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ t - 3 ⎠ dx ⎝ t - 3 ⎠

⎧ ⎫
⎪ (t - 3) dx (1) - (1) dx (t - 3) ⎪
d d
⎛ 2 ⎞⎪ ⎪
f ' (t ) = ⎜ ⎟⎨ ⎬
⎝ t -3⎠ ⎪ (t - 3)2 ⎪
⎪
⎩ ⎪
⎭

56

⎛ 2 ⎞ ⎧ (t - 3)(0) - (1)(1) ⎫
⎪ ⎪
f ' (t ) = ⎜ ⎟⎨ ⎬
⎝ t -3⎠ ⎪
⎩ (t - 3) 2 ⎪
⎭
⎛ 2 ⎞ ⎧ (t - 3)(0) - (1) ⎫
⎪ ⎪
f ' (t ) = ⎜ ⎟⎨ ⎬
⎝ t - 3 ⎠ ⎪ (t - 3)
⎩
2 ⎪
⎭
⎛ 2 ⎞ ⎧ - (1) ⎫
⎪ ⎪
f ' (t ) = ⎜ ⎟⎨ ⎬
⎝ t - 3 ⎠ ⎪ (t - 3)2 ⎪
⎩ ⎭
⎛ 2 ⎞ ⎛ -1 ⎞
f ' (t ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ t - 3 ⎠ ⎜ (t - 3)2
⎝
⎟
⎠

f ' (t ) =
-2
(t - 3)(t - 3)2
f ' (t ) =
-2
(t - 3)3

Problema # 14
-4
y=
(t + 2)2
la derivada del cociente (Recomendable utilizar la regla del exponente)

⎡ -4 ⎤
d⎢ ⎥
⎢ (t + 2 )2 ⎥
y'= ⎣ ⎦
dx
Es necesario hallar la derivada interna de (t + 2)

⎧ ⎫
⎪ (t + 2) (- 4 ) - (- 4) (t + 2 ) 2 ⎪ ⎡ d
d d
⎪ ⎪ ⎤
y' = ⎨ ⎬⎢ (t + 2 )⎥
dx dx
⎪ ⎡( t + 2 ) 2 ⎤
2 ⎪⎣ dx ⎦
⎪
⎩ ⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎪
⎭

⎧ ⎛ d ⎞⎫
⎪ (t + 2)(0 ) - (- 4)(2)(t + 2)⎜ dx (t + 2 )⎟ ⎪
⎪
y' = ⎨ ⎝ ⎠ ⎪[1]
⎬
⎪ [t + 2]4 ⎪
⎪
⎩ ⎪
⎭
⎧ 8(t + 2)(1) ⎫
⎪ ⎪
y' = ⎨ ⎬
⎪ [t + 2] ⎭
⎩
4 ⎪
8 (t + 2 )
y' =
(t + 2)4
8
y' =
(t + 2)3

57

Problema # 14
-4
y=
(t + 2)2
(Recomendable utilizar la regla del exponente)
-2
y = - 4 (t + 2)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du

- 4 ( t + 2 )− 2
dy d
=
du du

= (- 4 )(- 2 )(t + 2 )− 2 −1
dy
du
= (8)(t + 2 )− 3
dy
du
du
la función interior u = ( t + 2)
-2 -2
y = (t + 2) = (u)

du d (t + 2 )
= = x1-1 + 0
dx dx

du d (t + 2 )
= = 1
dx dx

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

= (8)(t + 2 )- 3 (1)
dy
dx

= (8)(t + 2 )- 3
dy
dx
dy 8
=
dx (t + 2 )3

Problema # 15

58

f (x ) =
3
( x 3 - 4)
-1
F (x) = 3 (x3 - 4)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du

dy d ⎛ 3 ⎞ −1
= 3 ⎜ x - 4⎟
du du ⎝ ⎠

−1−1
= (3)(- 1) ⎛ x 3 - 4 ⎞
dy
⎜ ⎟
du ⎝ ⎠
−2
= (- 3) ⎛ x 3 - 4 ⎞
dy
⎜ ⎟
du ⎝ ⎠
du
la función interior u = (x3 - 4)
-1 -1
y = (x3 - 4) = (u)

d⎛ x 3 − 4 ⎞
⎜ ⎟
du
= ⎝ ⎠ = (3) x 3-1 − 0
dx dx

d⎛ x 3 − 4 ⎞
⎜ ⎟
= ⎝ ⎠ = 3 x2
du
dx dx

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

= (8)(t + 2 )- 3 (1)
dy
dx

= (8)(t + 2 )- 3
dy
dx
dy 8
=
dx (t + 2 )3

Problema # 17


59

f(x) = x2 (x - 2)4

(Recomendable utilizar la regla del producto)

⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
f ' (x ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du

d ⎛ 2
f ' (x ) = ⎜ x (x - 2 ) ⎞
4
⎟
du ⎝ ⎠

d ⎛ d ⎛ 2⎞
f ' (x ) = x 2 ⎜ (x - 2 )4 ⎞ + (x − 2 )4
⎟ ⎜x ⎟
du ⎝ ⎠ dx ⎝ ⎠

f ' (x ) = x 2 (4 )(x − 2 )4 -1 + (x − 2 )4 (2 )(x )2 −1

f ' (x ) = 4x 2 (x − 2 )3 + (x − 2 )4 (2 )(x )

f ' (x ) = 4x 2 (x − 2 )3 + (2 x )(x − 2 )4
Factor común

2x(x – 2)3

f ' (x ) = ⎡ 2x (x − 2 )3 ⎤ [2x + (x − 2 ) ]
⎢
⎣ ⎥
⎦
f ' (x ) = ⎡2x (x − 2 )3 ⎤ [2x + x - 2 ]
⎢
⎣ ⎥
⎦
f ' (x ) = ⎡ 2x (x − 2 )3 ⎤ [3x - 2 ]
⎢
⎣ ⎥
⎦
f ' (x ) = (2x )(x - 2 )3 [3x - 2 ]

Problema # 19


f (t ) = 1 - t
f (t ) = 1 - t = (1 - t )1 2


⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
f ' (t ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
dy
Se halla primero du

60

d ⎛
f ' (t ) = ⎜ (1 - t )1 2 ⎞
⎟
du ⎝ ⎠

⎛1⎞
f ' (t ) = ⎜ ⎟ (1 - t )−1 2 −1
⎝2⎠

⎛1⎞
f ' (t ) = ⎜ ⎟ (1 - t )−1 2
⎝2⎠
⎛ ⎞
f ' (t ) = ⎜ ⎟
1
⎜ 2 (1 - t )1 2 ⎟
⎝ ⎠
du
la función interior u = (1 - t)

f (t ) = (1 - t )1 2
f (t ) = (u )1 2
du d (1 - t )
= = −1
dx dx


dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy
=
1
(- 1)
dx 2 (1 - t )1 2

dy -1
=
dx 2 (1 - t )1 2
dy -1
=
dx 2 1 - t

PROBLEMAS DE RAZONES DE CAMBIO

Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas
(fig. 3.27). El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de 30 cm/seg. Cuando su radio es
120 cm. A que ritmo esta creciendo el área total A de la zona perturbada.?

si el radio de la onda circular concéntrica es r, el radio crece
a ritmo constante de 30 cm/seg. Luego la razón de cambio
del radio es:

dr cm
= 30
dt seg

61

r = 120 cm.

dA
Calcular dt cuando el radio = 120 cm.

Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario
utilizar una ecuación que relacione el área de la onda
circular con el radio.

A = π r2

Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

= (2 ) π r
dA dr
dt dt

Pero:
dr cm
= 30
dt seg
r = 120 cm.

Reemplazando

= (2 ) π r
dA dr
dt dt

cm 2
= (2 ) π (120 )(30 )
dA
dt seg
cm 2
= (7200 ) π
dA
dt seg
dA cm 2
= 22619,46
dt seg

Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4,5 cm3/min. Hallar la razón de cambio del radio
cuando este es de 2 cm.

Si el radio del globo es r, su volumen V crece 4,5 cm3/min. Luego la razón de cambio del volumen
dV cm 3
= 4,5
dt min.

dr

Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el
volumen del globo con el radio.
4 3
V= π r 3 cm
3 min.

62

= (3) π r 2
dV 4 dr
dt 3 dt

Cancelando términos semejantes.
= (4 ) π r 2
dV dr
dt dt

dr
Despejamos dt
1 dV dr
=
4 π r 2 dt dt

dV cm 3
Pero: dt
= 4,5 radio = 2 cm.
min.

Reemplazando

1
(4,5) = dr
4 π (2 )2 dt
4,5 dr
=
4 π (4 ) dt
dr 4,5
=
dt 50,265
dr cm
= 0,089
dt min

Problema # 5
El radio de un círculo crece 2 cm/min. Hallar la razón de cambio del área cuando
a) r = 6 cm
b) r = 24 cm

dr cm
=2
dt min
A = π r2


= (2 ) π r
dA dr
dt dt

Pero:
dr cm
=2
dt min
r = 6 cm

Reemplazando

63

= (2 ) π r
dA dr
dt dt

cm 2
= (2 ) π (6 )(2 )
dA
dt min
dA cm 2
= 24 π
dt min

b) r = 24 cm

el área del circulo es:

A = π r2


= (2 ) π r
dA dr
dt dt

Pero:
dr cm
=2
dt min
r = 24 cm

Reemplazando

= (2 ) π r
dA dr
dt dt

cm 2
= (2 ) π (24 )(2 )
dA
dt min
dA cm 2
= 96 π
dt min

Problema # 5
El radio de una esfera crece 2 cm/min.. hallar la razón de cambio del área cuando
a) r = 6 cm.
b) r = 24 cm.

dr cm
=2
dt min
el área de la esfera es:

A = 4 π r2 (cm)2


= (2 ) 4 π r
dA dr
dt dt

64

Pero:
dr cm
=2
dt min
r = 6 cm

Reemplazando

= (2 ) 4 π r
dA dr
dt dt

cm 2
= (2 ) 4π (6 )(2 )
dA
dt min
dA cm 2
= 96 π
dt min

b) r = 24 cm.

dr cm
=2
dt min
el área de la esfera es:

A = 4 π r2 (cm)2


= (2 ) 4 π r
dA dr
dt dt

Pero:
dr cm
=2
dt min
r = 24 cm

Reemplazando

= (2 ) 4 π r
dA dr
dt dt

2
dA
= (2) 4π (24 )(2) cm
dt min
dA cm 2
= 384 π
dt min

Problema # 9
Un globo esférico se hincha a razón de 20 pies3/min. Como varia el radio en el instante en que el
radio es
a) 1 pie
b) 2 pies?

65

a) 1 pie
dV pies 3
= 20
dt min.
dr
Calcular dt cuando el radio = 1 pie.

4 pie 3
V= π r3
3 min.

= (3) π r 2
dV 4 dr
dt 3 dt

= (4 ) π r 2
dV dr
dt dt
dr
Despejamos dt
1 dV dr
=
4 π r 2 dt dt

dV pies 3
Pero: dt
= 20 radio = 1 pie.
min.

Reemplazando
1
(20 ) = dr
4 π (1)2 dt

5 dr
=
π dt

d r 5 pies
=
dt π seg
b) 2 pies?

dV pies 3
= 20
dt min.
dr
Calcular dt cuando el radio = 2 pie.

4 pie 3
V= π r3
3 min.

66

= (3) π r 2
dV 4 dr
dt 3 dt

= (4 ) π r 2
dV dr
dt dt
dr
Despejamos dt
1 dV dr
=
4 π r 2 dt dt

dV pies 3
Pero: dt
= 20 radio = 2 pie.
min.

Reemplazando
1
(20 ) = dr
4 π (2 )2 dt

5 dr
=
4π dt

dr 5 pies
=
dt 4 π seg

Problema # 10
La formula para el volumen de un cono es:

π 2
V= r h
3
dv
Hallar la razón de cambio del volumen dt
dr pulg.
si dt
=2
min y h = 3 r cuando:
a) r = 6 pulg.
b) r = 24 pulg.

a) r = 6 pulg.
El volumen del cono es: h=3r
π
V = r2 h
3
h=3r
r
se reemplaza
π 2
V= r h
3
π
V= (r )2 (3 r )
3

67

3π 3
V= (r )
3

V = π r3

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h

= (3) π r 2
dV dr
dt dt
dr pulg.
r= 6 pulg.
=2
dt min

= (3) π (6 )2 (2 )
dV
dt
dV pulg 3
= 216 π
dt min

b) r = 24 pulg.

El volumen del cono es:
π 2
V= r h
3
h=3r

se reemplaza
π 2
V= r h
3
π
V= (r )2 (3 r )
3
3π 3
V= (r )
3

V = π r3


= (3) π r 2
dV dr
dt dt
dr pulg.
r= 6 pulg.
=2
dt min

= (3) π (6 )2 (2 )
dV
dt
dV pulg 3
= 216 π
dt min

68

Problema # 11
Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies3/min. El diámetro de la base del cono es
aproximadamente tres veces su altura. A que ritmo esta cambiando la altura del montón cuando
su altura es 15 pies?

dV pies 3
= 10
dt min

h = 15 pies.

El diámetro de la base del cono = 3 altura del cono

como el diámetro = 2 radio h = 15 pies

2 radio = 3 altura del cono

altura del cono = 1/3 * 2 radio r

2
h = r
3
Despejamos el radio

3
r = h
2
Elevamos al cuadrado
2
⎛3 ⎞
r2 = ⎜ h⎟
⎝2 ⎠
9 2
r2 = h
4

el volumen del cono es:
π 2
V= r h
3
Pero:
9 2
r2 = h
4
se reemplaza
π 2
V= r h
3
π ⎛9 ⎞
V = ⎜ h 2 ⎟ (h )
3 ⎝4 ⎠

3π 3
V= h
4
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
3π 2 d h
= (3)
dV
h
dt 4 dt

69

Reduciendo términos semejantes.
d V 9π 2 d h
= h
dt 4 dt

dh
Despejamos dt

dh 4 dV
=
dt 9π h 2 dt

Pero: h = 15 pies.

dV pies 3
= 10
dt min

dh 4 dV
=
dt 9π (h )2 dt
dh
=
4
(10 )
dt 9π (15)2
dh 40 40 8 8 pies
= = = =
dt 9π (15)2 (9 )π (225 ) (9 ) π (45) 405 π min.
dh 8 pies
=
dt 405 π min.

Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
En una fábrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia abajo de 20 m. de altura y 5
metros de radio, al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el nivel del
liquido esta a 10 m de altura. Hallar:
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
5m

5m

r
r 20 m
20 m

10 m 10 m

A que velocidad sube el nivel del liquido, cuando h = 10 metros?

dV m3
=1
dt min
Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA)
h = 20 metros
r = 5 metros

70

h=4r
Despejando r
h
r =
4
2
⎛h ⎞
r2 = ⎜ ⎟
⎝4 ⎠
h2
r2 =
16
π 2
V= r h
3
Pero:
h2
r2 =
16
se reemplaza
π ⎛ h2 ⎞
V= ⎜ ⎟h
3 ⎜ 16 ⎟
⎝ ⎠
π 3
V= h
48

π
= (3) h 2
dV dh
dt 48 dt

dV π 2 dh
= h
dt 16 dt

dh
Despejamos dt

dh 16 d V
=
dt π h 2 dt
Pero: h = 10 m.

dV m3
=1
dt min

dh 16 d V
=
dt π h 2 dt
dh
=
16
(1)
dt π (10 )2

71

dh 16 16 16 m
= = = = 0,05
dt π (10 )2 π (100 ) 314,15 min.
dh m
= 0,05
dt min.
El nivel del líquido sube a razón de 0,05 m/min.

h=4r

dh dr
=4
dt dt
dr
Despejamos dt
1 dh dr
=
4 dt dt
dh m
Pero: dt
= 0,05
min.
dr 1 dh
=
dt 4 dt
= (0,05 )
dr 1
dt 4
dr m
= 0,0125
dt min

A que velocidad aumenta el área de la superficie libre del liquido?

La superficie libre del líquido es:

A = π r2

= (2 ) π r
dA dr
dt dt
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
5m
Pero:
dr m
= 0,0125
dt min
Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA)

20 5 r
= 20 m
10 r
Despejando 10 m
20 r = 50

50
r=
20
5
r = metros
2

Reemplazando

72

= (2 ) π r
dA dr
dt dt

⎛5⎞ m2
= (2 ) π ⎜ ⎟ (0,0125 )
dA
dt ⎝2⎠ min
m2
= π (5)(0,0125 )
dA
dt min
m2
= π (5)(0,0125 )
dA
dt min
dA m2
= 0,196
dt min
la superficie libre del liquido aumenta a razon de 0,196 m2/min.

A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior?

P=2πr

dP dr
= 2π
dt dt
Pero:
dr m
= 0,0125
dt min

Reemplazando
dP dr
= 2π
dt dt
= 2 π (0,0125 )
dP
dt
dP m
= 0,078
dt min
El perímetro de la superficie libre aumenta a velocidad constante de 0,078 m/min.

A que velocidad aumenta el área mojada ?

POR PITAGORAS

L = h2 + r2

El área mojada por el liquido es:
A= πrL
A =π r h2 + r2
12
A =π r ⎛h2 + r2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

73

dA ⎧ ⎡ ⎛ 1 ⎞ 2
dt ⎩ ⎣ ⎝ 2 ⎠
(
= ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟ h + r 2 )
1 2 -1 ⎛
⎜ 2h
⎝
dh
dr
dr ⎞
+ 2r ⎟ + h 2 + r 2
dt ⎠
( ⎜ ⎟⎥ ⎬)
1 2 ⎛ dr ⎞⎤ ⎫
⎝ dt ⎠⎦ ⎭
dA ⎧ ⎡ ⎛ 1 ⎞ 2
dt ⎩ ⎣ ⎝ 2 ⎠
(
= ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟ h + r 2 )
-1 2 ⎛
⎜ 2h
⎝
dh
dr
dr ⎞
+ 2r ⎟ + h 2 + r 2
dt ⎠
( )
1 2 ⎛ dr ⎞ ⎤ ⎫
⎜ ⎟ ⎥⎬
⎝ dt ⎠ ⎦ ⎭

⎧ ⎡ dh dr ⎤⎫
⎪ ⎢ ⎛ 1 ⎞ 2h dt + 2r dt
dA ⎪
= ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟ + h2 + r2 (⎜ ⎟ ⎥⎬ )
1 2 ⎛ dr ⎞ ⎥ ⎪
⎪
dt ⎪ ⎢ ⎝ 2 ⎠ 2
⎪ ⎢
⎩ ⎣
h + r2(12
) ⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
⎥⎪
⎦⎭
⎧ ⎡ dh dr ⎤⎫
⎪ ⎢ ⎛ 1 ⎞ h dt + r dt
dA ⎪
= ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟(2 )
dt ⎪ ⎢ ⎝ 2 ⎠
+ h2 + r2 ( ⎜ ⎟ ⎥⎬ )
1 2 ⎛ dr ⎞ ⎥ ⎪
⎪
⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
h2 + r2
⎪ ⎢
⎩ ⎣ ⎥⎪
⎦⎭
⎧ ⎡ dh dr ⎤⎫
+r
dA ⎪ ⎢ dr ⎞ ⎥ ⎪
h
⎪ ⎛ ⎪
= ⎨π ⎢(r ) dt dt + h 2 + r 2 ⎜ ⎟ ⎥⎬
dt ⎪ ⎢ h2 + r2 ⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
⎪ ⎢
⎩ ⎣ ⎥⎪
⎦⎭

pero:

L = h2 + r2
L2 = 102 + 2,52 r = 2,5 m
L2 = 100 + 6,25
L2 = 106,25
L = 106,25
10 m
L= 10,3 metros L

h 2 + r 2 = 10,3 metros
r = 2,5 metros
h = 10 metros

dh m
= 0,05
dt min.

dr m
= 0,0125
dt min

reemplazar
⎧ ⎡ dh dr ⎤⎫
dA ⎪⎪ ⎢ h dt + r dt ⎛ dr ⎞ ⎥ ⎪
⎪
= ⎨π ⎢(r ) + h 2 + r 2 ⎜ ⎟ ⎥⎬
dt ⎪ ⎢ h2 + r2 ⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
⎪ ⎢
⎩ ⎣ ⎥⎪
⎦⎭

74

⎧ ⎡ ⎤⎫
dA ⎪ ⎢
(10 ) dh + (2,5) dr dr ⎞ ⎥ ⎪
⎪
= ⎨π ⎢(2,5) dt dt + (10,3) ⎛ ⎟ ⎪
⎜ ⎥⎬
dt ⎪ ⎢ 10,3 ⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪
⎪ ⎢
⎩ ⎣ ⎥⎪
⎦⎭

dA ⎧ ⎡
= ⎨π ⎢(2,5 )
(10 )(0,05) + (2,5)(0,0125 ) + (10,3)(0,0125 ) ⎤ ⎫
dt ⎩ ⎣ ⎥⎬
10,3 ⎦⎭
dA ⎧ ⎡
= ⎨π ⎢(2,5 )
(0,5) + (0,031) + (0,128 ) ⎤ ⎫
dt ⎩ ⎣ ⎥⎬
10,3 ⎦⎭
dA ⎧ ⎡
= ⎨π ⎢(2,5 )
(0,531) + (0,128 ) ⎤ ⎫
dt ⎩ ⎣ ⎥⎬
10,3 ⎦⎭

= {π [(2,5)(0,051) + (0,128 ) ]}
dA
dt

= {π [(0,128 ) + (0,128 ) ]}
dA
dt
= {π [(0,256 ) ]}
dA
dt

dA m2
= 0,8
dt min

El área mojada aumenta a razón de 0,8 m2/min

Un globo sonda de forma esférica se eleva pero pierde gas a razón de 4 cm3/seg.
Con que rapidez disminuye el radio, cuando su diámetro es de 4 metros.
Si el radio del globo es r, su volumen V decrece 4 cm3/seg. Luego la razón de cambio del
dV cm 3
=4
volumen dt seg.
dr
Calcular dt cuando el diámetro = 4 m.
Por lo tanto el radio = 2 metros.= 200 cm

4 cm 3
V= π r3
3 min.

= (3) π r 2
dV 4 dr
dt 3 dt

= (4 ) π r 2
dV dr
dt dt
dr
Despejamos dt

75

1 dV dr
=
4 π r 2 dt dt

dV cm 3
=-4
Pero: dt seg. radio = 200 cm.

Reemplazando

1
(- 4 ) = dr
4 π (200 )2 dt


-1 dr
=
π (40000 ) dt
dr -1
=
dt 125663,706
dr cm
= 7,95 x 10 - 6
dt seg

Una esfera de metal se dilata por el calor. En un instante dado su radio es de 10 cm. y aumenta a
razón de 3 cm /min.

A que velocidad aumenta el volumen ?
Si el radio del globo es r, su radio r crece 3 cm/min. Luego la razón de cambio del radio
dr cm
=3
dt min.
dV
Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del
globo con el radio.
4 cm 3
V= π r3
3 min.

= (3) π r 2
dV 4 dr
dt 3 dt

= (4 ) π r 2
dV dr
dt dt
dr cm
Pero: dt
=3 radio = 10 cm.
min.

Reemplazando

= (4 ) π r 2
dV dr
dt dt

76

3
= (4 ) π (10 )2 (3) cm
dV
dt min

= (4 ) π (10 )2 (3)
dV
dt

= (4 ) π (100 )(3)
dV
dt
cm 3
= (1200 ) π
dV
dt min
dV cm 3
= 3769,91
dt min
El volumen aumenta a 3769,91 cm3/min.

A que velocidad aumenta la superficie?

Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el área del globo
con el radio.

La superficie de la esfera es:

A = 4 π r2

= (2 )(4 ) π r
dA dr
dt dt
= (8) π r
dA dr
dt dt

Pero:
dr cm
=3
dt min.
cuando el radio = 10 cm.

Reemplazando

= (8) π r
dA dr
dt dt

2
dA
= (8) π (10 )(3) cm
dt min
2
= (240 ) π
dA cm
dt seg
dA cm 2
= 753,98
dt seg
La superficie aumenta a razón de 753,98 cm2/seg.

77

Se arroja arena en un montón cónico a razón de 2 m3/min. Hallar la razón de cambio de la altura
del montón cuando su altura es 1,5 metros. Supóngase que el radio del cono es igual a su altura.

h = 1,5 metros

radio del cono = altura del cono

r=h
h
dV m3
=2
dt min

π 2 r
V= r h
3
radio del cono = altura del cono

r=h

r2 = h2

se reemplaza
π 2
V= r h
3
π
V= (h )2 (h )
3
π
V= (h )3
3


π
= (3) (h )2
dV dh
dt 3 dt

dV dh
=π h2
dt dt

dh
Despejamos dt
dh 1 dV
=
dt π h 2 dt
radio del cono = altura del cono = 1,5 metros
dV m3
=2
dt min

dh
=
1
(2)
dt π (1,5 )2

78

dh 2 2 metros
= = = 0,2829
dt π (2,25 ) 7,068 min.

Una cinta transportadora vierte arena en un piso horizontal formando un montón de forma cónica
en el que por el coeficiente de rozamiento de los granos siempre la altura es igual a la tercera
parte del diámetro de la base.
Si la cinta descarga arena a razón de 720 dm3/min. Y la salida del punto de descarga esta a 5
dm. Sobre el nivel del piso, calcular la velocidad de variación de la altura del cono, en el momento
en que alcanza el nivel del orificio.

dV dm 3
= 720
dt min

h = 5 dm.

altura del cono = 1/3 del diámetro de la base

como el diámetro = 2 radio

altura del cono = 1/3 * 2 radio
h = 5 dm.
2
h = r
3
Despejamos el radio

3
r = h r
2
2
⎛3 ⎞
r2 = ⎜ h⎟
⎝2 ⎠
9
r2 = h2
4
π 2
V= r h
3
Pero:
9 2
r2 = h
4
se reemplaza
π 2
V= r h
3
π ⎛9 2⎞
V= ⎜ h ⎟ (h )
3 ⎝4 ⎠
3π 3
V= h
4

79

3π 2 d h
= (3)
dV
h
dt 4 dt

d V 9π 2 d h
= h
dt 4 dt

dh
Despejamos dt

dh 4 dV
=
dt 9π h 2 dt

h = 5 dm.
dV dm 3
= 720
dt min

dh 4 dV
=
dt 9π (h )2 dt
dh
=
4
(720 )
dt 9π (5)2
dh 2880 2880 2880 dm
= = = = 4,07
dt 9π (5)2 (9 )π (25) 706,85 min.

De un tubo sale arena a razón de 16 dm3 / seg. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo
cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base con que rapidez aumenta la pirámide cuando
tiene 4 dm. De altura?

dV dm 3
= 16
dt seg
h = 4 dm.

altura del cono = 1/4 del diámetro de la base
h = 4 dm.
como el diámetro = 2 radio

altura del cono = 1/4 * 2 radio

1
h = r r
2
Despejamos el radio

r =2h
r 2 = (2 h )2
r2 = 4 h2


80

π 2
V= r h
3
Pero:
r2 = 4 h2

se reemplaza
π 2
V= r h
3
π
V = ⎛ 4 h 2 ⎞ (h )
⎜ ⎟
3⎝ ⎠

4π 3
V= h
3

4π 2 d h
= (3)
dV
h
dt 3 dt

dV dh
= 4π h2
dt dt

dh
Despejamos dt

dh 1 dV
=
dt 4 π h 2 dt

h = 4 dm.
dV dm 3
= 16
dt seg

dh 1 dV
=
dt 4 π h 2 dt
dh
=
1
(16 )
dt 9π (4 )2

dh 16 16 1 1 dm
= = = = = 0,035
dt 9π (4 )2 (9 )π (16 ) (9 ) π 28,27 seg.

Una cortadora de madera vierte aserrín seco sobre un piso horizontal a razón de 2800 cm3/hora.
el cual va formando una pila cónica.
El aserrín tiene un coeficiente interno de rozamiento de 3 lo que corresponde a un ángulo
constante con la horizontal de 600.
Calcular la velocidad a la cual crecen el radio y la altura del cono de aserrín cuando la altura es de
1,2 metros?

81

El volumen de aceite contenido en el cono
Para un radio ( r) y una altura ( h) es:

π 2
V= r h
3
Como el ángulo de la base es constante = 600 la relacion
Entre la altura ( h) y elredio ( r) es:

h
μ = tag 60 0 =
r
h h = 1,2 m
3=
r
h
r= Ө = 600
3
h 2
r2 = ( ) r
3

h2
r2 =
3

se reemplaza
π 2
V= r h
3
2
π ⎛h⎞
V= ⎜ ⎟ (h )
3 ⎝3⎠

π
V= h3
9
π
= (3) h 2
dV dh
dt 9 dt


dV π 2 dh
= h
dt 3 dt

dh
Despejamos dt

dh 3 dV
=
dt π h 2 dt

h = 1,2 m = 120 cm.
dV cm 3
= 2800
dt hora

82

dh
=
3
(2800 )
dt π (120 )2
dh 8400 8400
= =
dt π (14400 ) 45238,934
dh cm
= 0,1856
dt hora

h
μ = tag 60 0 =
r
h
μ= 3=
r
h= 3r


dh dr
= 3
dt dt

dr
Despejar dt

dr 1 dh
=
dt 3 dt
Pero:

dh cm
= 0,1856
dt hora
dr
=
1
(0,1856 )
dt 3
dr cm
= 0,1071
dt hora
La altura aumenta a razón de 0,185 cm/hora y el radio aumenta a 0,1071 cm/hora

En una fabrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia debajo de 20 metros de
altura y 5 metros de radio. Al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el
nivel del liquido esta a 10 metros de altura
Hallar: a que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt?
A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido?
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior.
A que velocidad aumenta el área mojada?

A que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt?

el volumen del liquido es:
π 2
V= r h ecuación 1
3

83

Por semejanza de triángulos

20 5 5m
=
h r
20 r = 5 h

4r= h h = 20 m.

Despejando el radio (r)
h
r=
4
2
⎛h⎞ h2
r2 = ⎜ ⎟ =
⎝4⎠ 16
h2
r2 = Ecuación 2
16
5m
Reemplazando la ecuación 2 en ecuación 1.
π 2
V= r h
3
π ⎛ h2 ⎞
⎜ ⎟h r
V= h = 20 m
3 ⎜ 16 ⎟
⎝ ⎠
h2
V =π h
48

π
V= h3
48

π
= (3) h 2
dV dh
dt 48 dt

dV π 2 dh
= h
dt 16 dt

dh
Despejamos dt

dh 16 dv
=
dt π h 2 dt
dv m3
Cuando h= 10 metros dt
=1
min
dh
=
16
(1)
dt π (10 )2

84

dh 16 16
= =
dt π 100 314,15
dh m
= 0,05
dt min

A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido?

La superficie libre del líquido es:

A = π r2
h2
Pero:
r2 =
16
h2
A =π
16

⎛ π ⎞ dh
= (2 ) ⎜ ⎟ h
dA
dt ⎝ 16 ⎠ dt

d A ⎛ π ⎞ dh
= ⎜ ⎟h
dt ⎝ 8 ⎠ dt
dh m
Cuando h = 10 metros dt
= 0,05
min
d A ⎛π ⎞
= ⎜ ⎟ (10 )(0,05 )
dt ⎝ 8 ⎠

d A ⎛ 1,5707 ⎞
=⎜ ⎟
dt ⎝ 8 ⎠

dA m2
= 0,196
dt min
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior.

p=2πr

h
pero;
r=
4

h
p=2 π
4

h
p= π
2
dp π dh
=
dt 2 dt

dh m
Pero
= 0,05
dt min

85

π
dp
= (0,05 )
dt 2
dp m
= 0,078
dt min

A que velocidad aumenta el área mojada?
h
r= r
4
10
r=
4
r = 2,5 metros

l2 = r2 + h2 l
h = 10 m
l = r2 +h2

l2 = 2,52 + 102

l2 = 6,252 + 100

l2 = 106,25

l= 106,25
l = 10,3 cm.

A=πrl

Pero:
l = r2 +h2

A = π (r ) r2 +h2

h h2
Pero:
r= r2 =
4 16
⎛ 2 ⎞
⎛h⎞ ⎜h ⎟ 2
A =π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +h
⎝ 4 ⎠ ⎜ 16 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞
⎛ h ⎞ ⎜ 17 h ⎟
A =π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎜ 16 ⎟
⎝ ⎠
⎛ h ⎞ ⎛ 17 ⎞
A = π ⎜ ⎟ (h )⎜ ⎟
⎝4⎠ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
π ⎛ 2⎞
A= ⎜ h ⎟ 17
16 ⎝ ⎠

86

π
= (2 ) (h ) 17
dA dh
dt 16 dt
dA π
= (h ) 17
dh
dt 8 dt

Pero h = 10 metros
dh m
Pero dt
= 0,05
min

dA π
= (10 ) 17 (0,05)
dt 8
dA 129,53
= (0,05)
dt 8
= 16,191 (0,05)
dA
dt
dA m2
= 0,8095
dt seg.

La generatriz de un cono circular recto mide 4 metros y su ángulo en el vértice es 2Ө.
Si Ө aumenta a razón de 2 0/seg. Calcular a que velocidad cambia el volumen cuando el angulo
mitad Ө es de 300.

Los valores de r y h en función de la generatriz y del ángulo Ө son:
r
sen θ =
4
r = 4 sen Ө

r2 = (4 sen Ө)2

r2 = 16 sen2 Ө (ecuación 1)

h
cos θ =
4
h = 4 cos Ө (ecuación 2)
r

El volumen del cono es:
Reemplazar:

π 2 h
V= r h l = 4 m.
3

V=
3
π
(16 sen 2 θ )(4 cos θ ) 2Ө

V=
64 π
3
(sen 2 θ )(cos θ )
Derivada de un producto

87

dV 64 π
dt
=
3
[ ( )]
(2)(sen θ )(cos θ )(cos θ ) + (- sen θ ) sen 2θ dθ
dt

dV ⎡ 64 π
=⎢
dt ⎣ 3 3
( )
(2)(sen θ )(cos θ )2 - 64π sen θ sen 2θ ⎤ dθ
⎥ dt
⎦

dV ⎡128 π
=⎢ (sen θ )(cos θ )2 - 64π sen 3 θ ⎤ dθ
⎥ dt
dt ⎣ 3 3 ⎦

Pero Ө = 300

dθ grados
=2
dt seg
2π rad 3600
X 20
0,0349065 rad.

dV ⎡128 π
=⎢ (sen 30 )(cos 30 )2 - 64π sen 3 30 ⎤ dθ
⎥ dt
dt ⎣ 3 3 ⎦

⎡ 2 3⎤
dV ⎢128 π ⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞ 64π ⎛ 1 ⎞ ⎥
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ - ⎜ ⎟ (0,0349065 )
dt ⎢ 3 ⎝ 2 ⎠⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ 3 ⎝2⎠ ⎥
⎣ ⎦
dV ⎡128 (3) π 64π ⎛ 1 ⎞⎤
= ⎜ ⎟ (0,0349065 )
dt ⎢ 24 3 ⎝ 8 ⎠⎥
-
⎣ ⎦

dV ⎡ 384 π 64 π ⎤
= - (0,0349065 )
dt ⎢ 24
⎣ 24 ⎥⎦
dV ⎡ 320 π ⎤
= (0,0349065 )
dt ⎢ 24 ⎥
⎣ ⎦

= 41,887 (0,0349065 )
dV
dt

dV m3
= 1,46
dt seg

Un tanque en forma de cono circular recto tiene el vértice hacia abajo, su radio superior es de 80
cm y su altura es 1,4 metros.

Esta parcialmente lleno de aceite y presenta un escape por el fondo y el aceite sale a una
velocidad proporcional a la raíz cuadrada de la altura y a las características del orificio e igual a :

m3
0,08 h
min
Calcular la velocidad de descenso del nivel de aceite en el tanque en el momento en que la altura
del liquido sea de 50 cm?

88

El volumen de aceite contenido en el cono
Para un radio ( r) y una altura ( h) es: .80 m

π 2
V= r h
3

h = 1,4 m.

r h
=
0,8 1,4
1,4 r = 0,8 h
0,8 h
r=
1,4
0,80 m
r = 0,571428 h

r 2 = (0,571428 h) 2

r 2 = 0,3265 h 2 h = 1,4 m
r
reemplazando

π 2 h
V= r h
3
V=
π
3
(0,3265 h 2 )h
V = 0,3419 h 3
derivamos

= 0,3419 (3) h 2
dV dh
dt dt

dV dh
= 1,0257 h 2
dt dt

Pero h = 0,5 metros
dV
= 0,08 h
dt
dV
= 0,08 0,5
dt
= 0,08 (0,7071)
dV
dt
dV m3
= 0,056
dt min
dV dh
= 1,0257 h 2
dt dt
0,056 = 1,0257 (0,5)2
dh
dt

89

dh 0,056 0,056 m
= = = 0,2184
dt 1,0257 (0,25 ) 0,2564 min

Dos lados de un triangulo miden 4 y 5 metros y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de
0,06 rad/seg. Calcule la rapidez con que el área y la altura del triangulo se incrementan cuando el
ángulo entre los lados es de π/3.

dθ rad
= 0,06
dt seg

π 1800
π/3. x

π
(180 )
x= 3 = 60 0
π
h
sen θ =
5
Despejamos la altura del triangulo

h = 5 sen Ө ecuación 1

El área del triangulo es:
5m
A = (base )(altura )
1 h
2
A = (4 )(h )
1 Ө
2
4m
A = (4 )(5 sen θ )
1
2


A = 10 sen Ө

dA dθ
= 10 cos θ
dt dt
Pero:
Ө = 600
dθ rad
= 0,06
dt seg

dA dθ
= 10 cos θ
dt dt
= 10 cos 60 (0,06 )
dA
dt
dA
= 0,6 cos 60
dt

90

= 0,6 (0,5 )
dA
dt
dA m2
= 0,3
dt seg

h = 5 sen Ө ecuación 1

dh dθ
= 5 cos θ
dt dt
Pero:
Ө = 600
dθ rad
= 0,06
dt seg

dh dθ
= 5 cos θ
dt dt
= 5 cos 60 (0,06 )
dh
dt
dh
= 0,3 cos 60
dt
= 0,3 (0,5 )
dh
dt
dh m
= 0,15
dt seg

Problema 27 calculo Larson Edic 8
Un campo de béisbol tiene forma cuadrada de 90 pies de lado. Un jugador que dista 30 pies de la
tercera base esta corriendo a 28 pies/seg.
A que ritmo esta cambiando su distancia al punto de recepción?

2 BASE
Por Pitágoras
S2 = X2 + 902


dS dx X = 30 pies
2S = 2x
dt dt
3 BASE
dS dx 1 BASE
S = x
dt dt S

Despejamos

dS x d x 90 pies 90 pies
=
dt S dt

Por Pitágoras
S2 = X2 + 902

91

Pero X = 30 metros

S2 = X2 + 902
S2 = 302 + 902
S2 = 900 + 8100
S2 = 9000

S= 9000
S = 94,868 pies
dx pies
= 28
dt seg

dS x dx
=
dt S dt
dS
=
30
(28)
dt 94,868
dS pies
= 8,85
dt seg

Sección 3.7 Problema 29 calculo Larson Edic 5 Pág. 160
Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/seg. Alejándose de una farola cuya bombilla esta a
una altura de 15 pies. Sobre el suelo (véase la figura). Cuando el hombre esta a 10 pies de la
base de la farola

dx pies
= 5
dt seg

A que velocidad se mueve el extremo de su sombra?
dy
=
dt

A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra? 15 pies
y – x es la longitud de la sombra
6 pies


15 6 x y-x
=
y y-x y
15 (y – x) = 6 y
15 y – 15x) = 6 y
15 y – 6 y = 15x
9 y = 15x

Despejamos y
y=
15
(x )
9
y = (x )
5
3

92

dy 5 dx
=
dt 3 dt
Pero:
dx pies
= 5
dt seg

= (5)
dy 5
dt 3
d y 25 pies
=
dt 3 seg
A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra?

d (y - x ) d y d x
= -
dt dt dt

Pero:
d y 25 pies
=
dt 3 seg
dx pies
= 5
dt seg
d (y - x ) 25
= -5
dt 3

d (y - x ) 25 15 10 pies
= - =
dt 3 3 3 seg
d (y - x ) 10 pies
=
dt 3 seg

Si Angélica mide 1,80 metros de altura y se aleja de la luz de un poste de alumbrado público, que
esta a 9 metros de altura, a razón de 0,6 metros por segundo, entonces:
Con que rapidez aumenta la longitud de su sombra cuando Angélica esta a 7,2 metros del poste, a
9 metros?
dy
Con que rapidez se mueve el extremo de su sombra?
=
dt
Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su
sombra mide 1,8 metros de largo?

dx m
= 0,6
dt seg
y – x es la longitud de la sombra 9m

Por semejanza de triángulos 1,8 m

Ө
9 1,8
=
y y-x x y-x

9 (y – x) = 1,8 y y

93

9 y – 9x) = 1,8 y
9 y – 1,8 y = 9 x
7,2 y = 9 x

Despejamos y
y=
9
(x )
7,2
y = 1,25 (x )

dy dx
= 1,25
dt dt
Pero:
dx m
= 0,6
dt seg

= 1,25 (0,6 )
dy
dt
dy m
= 0,75
dt seg
Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su
sombra mide 1,8 metros de largo?

La longitud de la sombra es: ver grafica
y – x = 1,8 metros
opuesto
tg θ =
adyacente

1,8
tg θ =
y-x
1,8 m
1,8
y-x = Ө
tg θ
y - x = 1,8 (tg θ )−1 y-x

opuesto
tg θ =
adyacente
1,8
tg θ = =1
1,8
tg Ө = 1

Ө = arc tg 1

Ө = 450

d (y - x ) dθ
= (- 1) sec 2 θ
dt dt

94

d (y ) d x dθ
- = (- 1) sec 2 θ
dt dt dt
Pero;
dx m
= 0,6
dt seg
dy m
= 0,75
dt seg
dθ
0,75 - 0,6 = (- 1)(sec θ )2
dt
dθ
0,15 = (- 1)(sec θ )2
dt
dθ
DESPEJAMOS dt

0,15 dθ
- =
sec 2 θ dt
Pero Ө = 450
0,15 dθ
- =
(sec 45)2 dt
dθ
- 0,15 (cos 45 )2 =
dt
dθ
= - 0,15 (0,7071)2
dt
dθ
= - 0,15 (0,5 )
rad
dt seg
dθ rad
= 0,075
dt seg


d (y - x ) d y d x
= -
dt dt dt

Pero:
dy pies
= 0,75
dt seg
dx m
= 0,6
dt seg
d (y - x )
= 0,75 - 0,6
dt

d (y - x ) m
= 0,15
dt seg

95

Ejemplo # 4 calculo Larson pag. 155 edic 5.
Un avión vuela a 6 millas de altitud en línea recta hacia la posición de un radar. Sea S la distancia
en millas entre el avión y el radar. Si S esta decreciendo a razón de 400 millas por hora cuando S
es 10 millas. Cual es la velocidad del avión?

S = 10 millas 6 millas

x

dS millas
= - 400
dt hora

dx
S = 10 millas.
dt

Por el teorema de Pitágoras
S2 = X2 + 62
102 = X2 + 62
100 = X2 + 36
100 - 36 = X2
X2 = 64
X = 8 millas

S2 = X2 + 62
Derivando implícitamente con respecto a x

dS dx
2s =2x
dt dt
dS dx
s = x
dt dt

s dS dx
=
x dt dt

reemplazando
10
(- 400) = dx
8 dt
dx millas
= - 500
dt hora
millas
Luego la velocidad es de 500
hora

Problema 3.31 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca)

96

Un avión bombardero vuela horizontalmente hacia su objetivo a una velocidad de 800 km/hora. Y
a 8 km de altura.
a) A que velocidad se aproxima a su blanco cuando dista horizontalmente 10 km de el?
b) A que velocidad gira el angulo de mira en ese momento?

S 8 km

X = 10 km

S2 = X2 + 82
S2 = 102 + 82
S2 = 100 + 64
S2 = 164
S = 2 41

8
tg θ =
x

x
ctg θ =
8
x
θ = arc ctg (rad)
8

S2 = X2 + 82
Derivando implícitamente con respecto a x
dS dx
2s =2x
dt dt
dS dx
s = x
dt dt

dS x dx
=
dt s dt
dx km
Pero = - 800 x = 8 km.
dt hora

dS x dx
=
dt s dt
dS
=
10
(- 800)
dt 2 41

97

dS - 4000 - 4000 km
= = = 625
dt 41 6,4 hora

Derivando implícitamente con respecto a t
x
ctg θ =
8
- csc 2 θ dθ = 1 d x
dt 8 dt

dθ - 1 d x ⎛ rad ⎞
= ⎜ ⎟
dt 8 csc 2 θ dt ⎝ hora ⎠

8
sen θ =
s
s
csc θ =
8
2
⎛s⎞
csc 2 θ = ⎜ ⎟
⎝8⎠

s2
csc 2 θ = pero: S2 = 164
64
164
csc 2 θ =
64
dθ - 1 d x ⎛ rad ⎞
= ⎜ ⎟
dt 8 csc 2 θ dt ⎝ hora ⎠
dθ - 1 dx
=
dt ⎛ 164 ⎞ dt
8⎜ ⎟
⎝ 64 ⎠
dθ
=
-1
(- 800)
dt ⎛ 164 ⎞
8⎜ ⎟
⎝ 64 ⎠

dθ
=
-1
(- 800)
dt ⎛ 164 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 8 ⎠

dθ 800
=
dt ⎛ 164 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 8 ⎠
dθ 6400 rad
= = 39,02
dt 164 hora

Dos aviones vuelan a la misma altura en dos rutas paralelas distantes 50 km siempre en dirección
Este. Sus velocidades respectivas son 240 km/hora. y 180 km/hora. A las 12:00 horas, uno de
ellos esta al norte del otro.

Con que velocidad se separan a las 14:00 horas.
Pasado un tiempo t, la distancia entre los aviones es la grafica de vuelo.

98

X = Xa - Xb

50 km S

X es la diferencia de recorrido lineal entre los aviones a causa de la diferencia de velocidades

km
Va = 240 Xa = 240 km/hora * 2 horas = 480 km
hora

km
Vb = 180 Xb = 180 km/hora * 2 horas = 360 km
hora

X = Xa - Xb = 480 km - 360 km = 120 km.

X = 120 km.

S2 = X2 + 502

S2 = 1202 + 502
S2 = 1202 + 502
S2 = 14400 + 2500
S2 = 16900
S = 130 km

S2 = X2 + 502

dS dx
2s =2x
dt dt
dS dx
s = x
dt dt

dS x dx
=
dt s dt
dx km
Pero: = 60 X = 120 km. S = 130 km
dt hora

dS
=
120 km
(60) km
dt 130 km hora
dS 7200 km
=
dt 130 hora

dS km
= 55,38
dt hora

99

Los dos brazos de un puente levadizo giran hacia arriba alrededor de un eje comun. La longitud
del mas corto es de 3 metros y la del mas largo es de 4 metros y giran a la misma velocidad de 5
rad/seg.

Hallar a que velocidad se acercan o separan las dos extremidades cuando ambos marcan un
angulo de 45 grados con la horizontal?

Ver la grafica
Ө + β + Ө = 1800
a
2Ө + β = 1800

2Ө = 1800 - β β c=3m
b=4m
Derivando implícitamente con respecto a t Ө Ө
2Ө = 1800 - β

dθ dβ
2 =-
dt dt
dθ rad
= 5
dt seg

Reemplazando

dβ
2 (5) = -
dt
dβ rad
= - 10
dt seg

2Ө + β = 1800
Pero Ө = 450

2(45) + β = 1800

90 + β = 1800

β = 1800 -900

β = 900

dθ rad
= 5
dt seg
b = 4 metros
c = 3 metros

Aplicando ley de coseno

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos β

a2 = 42 + 32 – 2 (4) (3) cos β

a2 = 16 + 9 – 24 cos β

a2 = 25 – 24 cos β

100

a= 25 - 24 cosβ

a = (25 - 24 cosβ ) 1 2

a = (25 - 24 cosβ ) 1 2
da ⎛1⎞ dβ
= ⎜ ⎟ (25 - 24 cos β )- 1 2 (- (- 24 senβ ))
dt ⎝ 2 ⎠ dt

da ⎛1⎞ dβ
= ⎜ ⎟ (25 - 24 cos β )- 1 2 (24 senβ )
dt ⎝ 2 ⎠ dt

dβ
= (25 - 24 cos β )- 1 2 (12 senβ )
da
dt dt

da
=
(12 sen β ) dβ
dt (25 - 24 cos β )1 2 dt
Pero:
β = 900

dβ rad
= - 10
dt seg

Reemplazar

da
=
(12 sen β ) dβ
dt (25 - 24 cos β )1 2 dt
da
=
(12 sen 90) (- 10)
dt (25 - 24 cos 90)1 2
da
=
(12 ) (- 10)
dt (25 )1 2
d a (12 )
= (- 10)
dt 5

d a − 120
=
dt 5

da m
= - 24
dt min
Los extremos de los brazos se aproximan uno al otro a razón de 24 m/min.

101

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Sección 3.7 calculo Larson edic 8 Pág. 218
Ejemplo #1 Determinación del volumen máximo
Un fabricante quiere diseñar una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial
de 108 pulg2 como se muestra en la figura. Que
Dimensiones producirá una caja con un volumen
máximo?

Debido a que la caja tiene una base cuadrada,
su volumen es:

V=x*x*h
V = x2 * h Ecuación 1

El área de la superficie de la caja es:

A = (área de la base) + (área de los cuatro lados)

A = x * x + 4 (x * h)

A = x2 + 4 x h = 108 pulg2

x2 + 4 x h = 108

Despejamos h
x2 + 4 x h = 108

4 x h = 108 – x2

108 - x 2
h= Ecuación 2
4x

Reemplazamos Ecuación 2 en la ecuación 1

V = x2 * h Ecuación 1
108 - x 2
V = x2 ( )
4x

Simplificando
108 - x 2
V=x( )
4
108x - x 3 108x x 3
V= = -
4 4 4
Simplificando
x3
V = 27x -
4

dV
Derivar
dx
dV 3 x2
= 27 -
dx 4

Se iguala la derivada a cero.

102

3x2
27 - =0
4

Despejando x
3x2
27 =
4
3 x 2 = 108
108
x2 = = 36
3
x = ± 36

x = 6 pulg.

Si x = 6 se halla el volumen
x3
V = 27x -
4

V = 27(6) -
(6)3 = 162 - 216 = 162 - 54 = 108
4 4
V = 108 pulg3

se reemplaza el valor de x = 6 para hallar h
A = x2 + 4 x h = 108

x2 + 4 x h = 108

(6)2 + 4 (6) h = 108

(6)2 + 4 (6) h = 108

36 + 24h = 108

24h = 108 - 36

24h = 72
72
h= =3
24

h = 3 pulg.

V=x*x*h
Las dimensiones de la caja es = 6pulg. * 6 pulg. * 3 pulg.

Ejemplo # 2 Determinación de la distancia mínima.
Que puntos sobre la grafica de y = 4 – x2 son mas cercanos al punto (0,2)?

La figura muestra que hay dos puntos a una distancia mínima del punto (0,2). La distancia entre el
punto (0,2) y el punto (x, y) sobre la grafica de y = 4 – x2 esta dada por:

d= (x - 0)2 + (y - 2)2 Ecuación 1

103

La ecuación,
y = 4 – x2 Ecuación 2

se reemplaza la ecuac. 2 en la ecuac. 1.
d = (x - 0 )2 + (y - 2 )2

2
d= (x )2 + ⎛ 4 - x 2 - 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
d= (x )2 + ⎛ 2 - x 2
⎜
⎞
⎟
⎝ ⎠

d = x 2 + 4 - 4x 2 + x 4

d = x 4 - 3x 2 + 4

f (x) = x4 – 3x2 + 4

Se deriva la parte interna del radical

f ’(x) = 4x3 – 6x

Se iguala la derivada a cero.

4x3 – 6x = 0

2x (2x2 – 3) = 0

Resolviendo
2x = 0
x=0

2x2 – 3 = 0
2x2 = 3

3
x2 =
2
3
x=±
2
Las tres raíces son :

3 3
x =0, , -
2 2
x = 0 produce un máximo.

3 3
x= y x= - producen una distancia mínima.
2 2

En la ecuación, se reemplaza los dos valores de x para encontrar el valor de y.
y = 4 – x2 Ecuación 2
y = 4 – x2
3
pero x =
2

104

3
x2 =
2
3
y= 4-
2
5
y=
2

Los puntos mas cercanos son:
⎛ 3 5⎞ ⎛ 3 5⎞
⎜ , ⎟ y ⎜− , ⎟
⎜ 2 2⎟ ⎜ 2 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Problema 3 calculo Larson edic 8
Encontrar dos números positivos, que la suma es S y el producto = 192 es un máximo?

x = es un numero
y = el otro numero

S = x + y ecuación 1

x * y = 192 ecuación 2

Despejamos la y
192
y= ecuación 3
x

Se reemplaza la ecuación 3 en la ecuación 1

192
S= x +
x
S = x + 192 x - 1
ds
Derivamos
dx

= 1 + (- 1)(192 ) x - 2
ds
dx

ds 192
=1-
dx x2

Iguala la derivada a cero
192
1- =0
x2
192
1=
x2
X2 = 192
x = 192

192
y= ecuación 3
x
Reemplazando x = 192

105

192 192 192 192 192 192
y= = = = = 192
x 192 192 * 192 192
y = 192
S es un mínimo cuando x = y = 192

Encontrar dos números positivos. El segundo numero es el reciproco del primero y la suma es un
minimo?

x = es un numero
1
es el reciproco
x

1
S= x + = x + x -1
x
ds
Derivamos
dx

= 1 + (- 1) x - 2
ds
dx

ds 1
=1-
dx x2

1
1- =0
x2
1
1=
x2
x2 = 1

x=1

se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

ds 1
=1-
dx x2
d2 s
= - (- 2 )
1
d x2 x3

d2 s 2
= > 0 cuando x = 1
dx 2 x3

Cuando la segunda derivada es positiva, se encuentra un mínimo.

Si x = 1

1 1
= =1
x 1

106

1
La suma es un mínimo cuando x = 1 y =1
x

Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene el perímetro = 100 metros y un área
máxima.

El perímetro = 2x + 2y

2x + 2y = 100
y

x + y = 50 x
despejamos y

y = 50 – x ecuación 1

área del rectángulo = x * h
A = x * y ecuación 2

Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2

A=x*y

A = x * (50 – x)

A = 50x – x2

dA
Derivamos
dx

dA
= 50 - 2x
dx


50 – 2x = 0
50 = 2x
50
x = = 25
2


dA
= 50 - 2x
dx
d2 A
= -2
d x2

d2 A
= - 2 < 0 cuando x = 25
d x2

Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un MAXIMO.

107

Si x = 25
x + y = 50 25 + y = 50

y = 25

el área es máxima cuando x = y = 25 metros

Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene 64 pies2 de área y un perímetro mínimo.

área del rectángulo = x * h
A=x*y
x * y = 64 y

despejamos y
x
64
y= ecuación 1
x
El perímetro = 2x + 2y

P = 2 x + 2 y ecuación 2


P=2x+2y
P = 2 x + (2 )
64
x
128
P=2x+
x
dP
Derivamos
dx

= 2 + (- 1)(128)(x )- 2
dP
dx
dP 128
=2−
dx x2


128
2− =0
x2

128 128
2= x2 =
x2 2
X2 = 64 x= 64 = 8


dP 128
=2−
dx x2
d2 P
= - (- 2 )(128) (x )− 3
dx 2

108

d 2 P 256
=
dx 2 x3

d 2 P 256
= > 0 cuando x = 8
d x2 x3

Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un MINIMO.

64
y=
x
64
y=
8
y = 8 pies

el PERIMETRO es mínimo cuando cuando x = y = 8 metros

Se desea construir un tanque metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica vertical,
abierto por su parte superior y de un volumen dado. Calcular las dimensiones del radio y de la
altura para emplear en su construcción la menor cantidad de material posible.

la lamina metálica empleada en la construcción de la pared
lateral y el fondo del tanque deberá tener la menor área posible. r

Esta área será:
A = π r2 + 2 π r h ecuación 1

El volumen es: h
V = π r2 h

Despejamos h
V
h= ecuación 2
π r2

A = π r2 + 2 π r ecuación 1
V
A =π r2 + 2 π r
π r2

V
A =π r2 + 2
r
A =π r 2 + 2 V r -1

dA
Derivamos
dr
= 2π r + 2 (- 1)V r - 2
dA
dr
dA
= 2π r - 2 V r - 2
dr

109

dA 2V
= 2π r -
dr r2
2V
2π r - =0
r2

2V
2π r =
r2
2π r 3 = 2 V
π r3 = V

Despejamos r
V
r3 =
π
V
r=3
π
1
⎛ V ⎞3
r=⎜ ⎟
⎝π ⎠
2
2 =⎛V ⎞3
r ⎜ ⎟
⎝π ⎠

Se halla el valor de h reemplazando el valor de r2
V
h= ecuación 2
π r2

V
h=
2
⎛V⎞3
π⎜ ⎟
⎝π ⎠
3 2
-
V V (V )− 2 3 V3 3 V1 3 V1 3 3 V 3 V
h= = = = = = =
(V )2 3 π (π )(π )− 2 3 π 3 3- 2 3 π1 3 3π π
π
(π )2 3 (π )2 3
V
h= 3
π

dA 2V
= 2π r -
dr r2
dA
= 2π r - 2 V r - 2
dr

d2 A
= 2 π - (- 2 )(2 ) (V )(r )− 3
dr 2

110

d2 A V
= 2π + 4
dr 2 r3

d2 A V V
= 2π + 4 > 0 cuando r = 3
d r2 r3 π
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un MINIMO.
2
h= 3
V
y r=3
V 2 =⎛V ⎞3
r ⎜ ⎟
π π ⎝π ⎠

La superficie (A) de la lamina es:
A = π r2 + 2 π r h ecuación 1
2 3 1 3 1 3
⎛V⎞ ⎛V⎞ ⎛V⎞
A =π ⎜ ⎟ + 2π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝π ⎠ ⎝π ⎠ ⎝π ⎠

2 3 2 3
⎛V⎞ ⎛V⎞
A =π ⎜ ⎟ + 2π ⎜ ⎟
⎝π ⎠ ⎝π ⎠

2 3
⎛V⎞
A = 3π ⎜ ⎟
⎝π ⎠

El área de la lámina metálica es mínima cuando;
V
r=h= 3
π

Se desea construir un depósito metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica
vertical, con dos tapas y se dispone de una lamina rectangular de superficie dada A.

Sin tener en cuenta los sobrantes de material, determinar el radio y la altura del cilindro que
permitan obtener un tanque de capacidad máxima.

El volumen es: r
V = π r2 h ecuación 1

Esta área será:
A = π r2 + π r2 + 2 π r h
A = 2 π r2 + 2 π r h h

Despejamos h
A - 2 π r2 = 2 π r h

2π r h = A - 2π r2
A - 2π r 2
h= ecuación 2
2π r

V = π r2 h ecuación 1

111

A - 2π r 2
V =π r2 ( )
2π r

A - 2π r 2
V=r( )
2
A r - 2π r 3
V=
2
A r 2 π r3
V= -
2 2
Ar
V= - π r3
2

dV
Derivamos
dr
dV A
= - 3π r2
dr 2

A
- 3π r2 = 0
2

A
= 3π r2
2

Despejamos r
A
r2 =
2(3 π )

A A
r2 = r=
6π 6π


dV A
= - 3π r2
dr 2

d2 V d2 V
= - (2 )(3 π )(r ) = - 6π r
d r2 dr 2

d2 V A A
= - 6 π r < 0 cuando r =
d r2 2 6π

Se halla el valor de h reemplazando el valor de A
A
r2 =
6π

Despejamos A
112

A = 6 π r2

Despejamos h

A - 2π r 2
h= ecuación 2
2π r
A 2π r2
h= -
2π r 2π r

A
h= -r
2π r

6π r2
h= -r
2π r

h =3r -r

h=2r

h = diámetro

El volumen será máximo cuando la altura (h) del cilindro sea iguala al diámetro.

Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para ello
una lamina metálica cuadrada de 120 cm. De lado, recortando un cuadrado pequeño en cada
esquina y doblando los bordes hacia arriba.
Determinar la longitud de los lados para obtener una caja de volumen máximo.

El volumen de la caja será:
V = Área de la base * altura

V = (120 – 2 x) * (120 - 2x) * x x

V = (120 – 2 x)2 * x 120 cm
120 - 2x

x
dV x 120 - 2x x
Derivamos
dx
120 cm
= (2 )(120 - 2x )(- 2x ) + (1) (120 - 2x )2
dV
dx
= - 4x (120 - 2x ) + (120 - 2x )2
dV
dx

= - 480x + 8x 2 + (120 )2 - (2 )(120 )(2 x ) + (2x )2
dV
x
dx

dV
= - 480x + 8x 2 + 14400 - 480x + 4x 2
dx 120 - 2x 120 - 2x

dV
= 12 x 2 - 960 x + 14400
dx

113

12 x 2 - 960 x + 14400 = 0

Cancelando términos semejantes, se divide toda la ecuación por 12
x 2 - 80 x + 1200 = 0

Dos números que multiplicados sean 1200 y que restados sean - 80

(x - 60) * (x - 20) = 0

(x - 60) = 0

x = 60 esta solución no es posible, ver la grafica.

(x - 20) = 0

x = 20 cm


dV
= 12 x 2 - 960 x + 14400
dx

d2 V
= (2 )(12 x ) - 960
dx 2

d2 V
= 24 x - 960
d x2

d2 V
= 24 x - 960 < 0 cuando x = 20
d x2
Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un volumen MAXIMO.

El lado de la caja es = 120 -2x (ver la grafica).
El lado de la caja es = 120 - 2 * 20
El lado de la caja es = 120 - 40
El lado de la caja es = 80 cm

V = Área de la base * altura

V = (120 – 2 x) * (120 - 2x) * x

V = (120 – 2 x)2 * 20
V = (120 – 2 *20)2 * 20
V = (120 – 40)2 * 20
V = (80)2 * 20
V = 6400 * 20
V = 128000 cm3
La caja de volumen máximo, tiene base 80 cm * 80 cm y una altura de 20 cm.

114

Un granjero quiere bordear un área de 1500.000 pies2 en un campo rectangular y entonces
dividirlo a la mitad con un bordo paralelo aun lado del rectángulo. Como puede hacerlo para
minimizar el costo de la borda?

A = 1500.000 pies2

El área del campo rectangular es:
A=x*y
1500.000 = x * y

Despejamos y
1500.000
y = ecuación 1
x

La longitud total de la cerca es: (ver la grafica).
L = 2 y + 3 x ecuación 2
x = ancho
Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2

L = 2 y + 3 x ecuación 2 y = largo

⎛ 1500.000 ⎞
L =2⎜ ⎟+3x
⎝ x ⎠
L = 3000.000 x - 1 + 3 x

dL
Derivamos
dx

= (- 1)(3000.000 )(x )− 2 + 3
dL
dx
d L - 3000.000
= +3
dx x2

- 3000.000
+3=0
x2
3000.000
=3
x2

3000.000 = 3 x2

1000.000 = x2
x = 1000.00
x = 1000 pies.

1500.000
y = ecuación 1
x
1500.000
y =
1000
y = 1500 pies

115


d L - 3000.000
= +3
dx x2
dL
= - 3000.000 x - 2 + 3
dx
d2 L
= (- 2 )(- 3000,000 )(x )- 3
dx 2

d 2 L 6000.000
=
d x2 x3

d 2 L 6000.000
=
dx 2 x3
d 2 L 6000.000
= > 0 cuando x = 1000
d x2 x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un volumen MINIMO.

Para minimizar los costos de la borda es necesario que tengan las siguientes medidas
x = 1000 pies. y = 1500 pies

Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000 cm3
encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.


V = Área de la base * altura h

V = (x) * (x) * h

32000 = (x)2 * h x
x
Despejamos h
32000
h= ecuación 1
x2

El área de la caja es:
A = x2 + 4 x h ecuación 2

Reemplazamos ecuación 1 en la ecuación 2.
32000
A = x2 + 4 x ( )
x2
Simplificando
32000
A = x2 + 4 ( )
x
A = x 2 + 128000 x - 1

dA
Derivamos
dx
= 2 x + (- 1)(128000)(x )− 2
dA
dx
116

dA 128000
=2x-
dx x2

128000
2x- =0
x2
128000
2x=
x2
2 x3 = 128000

Simplificando
x3 = 64000
x = 3 64000

x = 40 cm

32000
h= ecuación 1
x2

32000 32000
h= = = 20 cm
(40)2 1600
h = 20 cm

Se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

dA 128000
=2x-
dx x2
dA
= 2 x - 128.000 x - 2
dx
d2 A
= (2 ) - (- 2)(128.000 )(x )- 3
dx 2

d2 A 512000
= 2+
d x2 X3

d2 A 512.000
= 2+ > 0 cuando x = 40
d x2 x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un volumen MINIMO.

Para que el material usado sea mínimo las medidas son:
x = 40 cm y h = 20 cm

Un ganadero tiene 200 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares
adyacentes (ver la figura). Que dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada
será un máximo.

La longitud total de la cerca es: (ver la grafica).
L = 200 pies

117

L = 2 x + 2 x + 3y
200 = 2 x + 2 x + 3y
200 = 4 x + 3y

Despejamos y
200 = 4 x + 3y
200 - 4 x = 3y

200 - 4x
y = ecuación 1
3

El área del campo rectangular es:
A = 2x * y ecuación 2


A = 2x * y ecuación 2

⎛ 200 - 4 x ⎞
A = (2 x ) * ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
400 x - 8x 2
A =
3
400 x 8 x 2
A = -
3 3

dA
Derivamos
dx

d A 400 ⎛ 8 ⎞
= - ⎜ ⎟ (2 )(x )
dx 3 ⎝ 3⎠
d A 400 ⎛ 16 ⎞
= - ⎜ ⎟ (x )
dx 3 ⎝ 3⎠

400 ⎛ 16 ⎞
- ⎜ ⎟ (x ) = 0
3 ⎝ 3⎠
400 ⎛ 16 ⎞
= ⎜ ⎟ (x )
3 ⎝ 3⎠

400 =16 x
400
x= = 25
16

x = 25 pies.

200 - 4x
y = ecuación 1
3

200 - 4 (25) 200 - 100 100
y = = =
3 3 3

118

100
y = pies
3


d A 400 ⎛ 16 ⎞
= - ⎜ ⎟ (x )
dx 3 ⎝ 3⎠

d 2 A - 16
=
d x2 3

d 2 A - 16
= < 0 cuando x = 25
d x2 3

Para que el área sea máxima es necesario que tengan las siguientes medidas
100
x = 25 pies. y = pies
3

Un paquete rectangular que se va a enviar por un servicio postal puede tener una longitud y un
perímetro que tiene máximo de 108 pulg. Ver la figura. Determinar las dimensiones del paquete de
volumen máximo que puede enviarse. (Suponer que la sección transversal es cuadrada).

x es el lado del paquete que es cuadrado.
y es la longitud del paquete

el perímetro del paquete es:
P = 108 pulg.
4x + y = 108

Despejamos y
4x + y = 108
y = 108- 4 x ecuación 1

el volumen del paquete es:
V = x2 y ecuación 2

V = x2 y ecuación 2

V = x2 * (108 – 4x)
V = 108 x2 – 4 x3

dV
Derivamos
dx

= (2 )108 x - 4 (3) x 2
dV
dx

dV
= 216 x - 12 x 2
dx

119

216 x - 12 x 2 = 0

108 x – 6 x2 = 0

54 x – 3 x2 = 0

18 x – x2 = 0
x (18 – x) = 0

x = 0 el cual no tiene sentido

(18 – x) = 0
x = 18 pulg.

y = 108 - 4 x ecuación 1
y = 108 - 4 (18)
y = 108 - 72
y = 36 pulg.


dV
= 216 x - 12 x 2
dx

d2 V
= 216 - 24 x
d x2

d2 V
= 216 - 24 x < 0 cuando x = 18
d x2

El volumen es máximo cuando x = 18 pulg. y y = 36 pulg.

Una página rectangular contendrá 30 pulg2 de texto impreso. Los márgenes de cada lado son de 1
pulg. Encontrar las dimensiones de la página de manera tal que se use la menor cantidad de
papel.

El área de la parte escrita
A=x*y x+2
30 = x * y
1 pulg
Despejamos y x
30
y= ecuación 1
x Y+2 y
El área de la página es:
A = (x + 2) * (y + 2) ecuación 2
1 pulg
A = (x + 2) * (y + 2) ecuación 2
1 pulg 1 pulg

120

⎛ 30 ⎞
A = (x + 2 ) * ⎜ + 2 ⎟
⎝ x ⎠
A = (x + 2 ) * ⎛ 30 x - 1 + 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dA
Derivamos
dx
= (1 ) * ⎛ 30 x - 1 + 2 ⎞ + (- 1) 30 x - 2 (x + 2)
dA
⎜ ⎟
dx ⎝ ⎠
dA ⎛
= ⎜ 30 x - 1 + 2 ⎞ − 30 x - 2 (x + 2 )
⎟
dx ⎝ ⎠
⎛ 30 ⎞
d A 30
= +2 −⎜ ⎟ (x + 2)
dx x ⎜ 2⎟
⎝x ⎠
d A 30 30 x + 60
= +2 −
dx x x2

30 30 x + 60
+2 − =0
x x2
30 + 2 x 30 x + 60
− =0
x x2
30 + 2 x 30 x + 60
=
x x2
30 x + 60
30 + 2 x =
x
x (30 + 2 x) = 30 x + 60

30 x + 2 x2 = 30 x + 60

2 x2 = 60

x2 = 30

x = 30 pulg.

30
y= ecuación 1
x
30
y=
30
30 30 30 30
y= =
30 ( 30 ) 30
y = 30 pulg.


d A 30 30 x + 60
= +2 −
dx x x2

121

dA 30 x 60
= 30 x - 1 + 2 − -
dx x2 x2

= 30 x - 1 + 2 − (30 x ) ⎛ x - 2 ⎞ - (60 ) x - 2
dA
⎜ ⎟
dx ⎝ ⎠
= 30 x - 1 + 2 − (30 ) ⎛ x -1 ⎞ - (60 ) x - 2
dA
⎜ ⎟
dx ⎝ ⎠
= 2 - (60 ) x - 2
dA
dx
d2 A
= - (- 2) 60 x
d x2
d2 A
= 120 x
d x2

d2 A
= 120 x > 0 cuando x = 30
d x2
Cuando la segunda derivada es POSITIVO, se encuentra un MINIMO.

la mínima área se consigue cuando x = 30 pulg. y y = 30 pulg.

Ejemplo # 3 Hallando el área mínima.
Una pagina rectangular ha de contener 96 cm2 de texto Los márgenes superior e inferior tienen 3
cm de anchura y los laterales 2 cm. Que dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel
requerido.
y +4
El área de la parte escrita = 96 cm2
A=x*y 3 cm
96 = x * y
y
Despejamos y
96
y= ecuación 1
x x+6
x

El área de la página es:
A = (x + 6) * (y + 4) ecuación 2

3 cm
A = (x + 6) * (y + 4) ecuación 2
⎛ 96 ⎞
A = (x + 6 ) * ⎜ + 4 ⎟ 2 cm
⎝ x ⎠ 2 cm

A = (x + 6 ) * ⎛ 96 x
⎜
-1 + 4⎞
⎟
⎝ ⎠
dA
Derivamos
dx
= (1 ) * ⎛ 96 x - 1 + 4 ⎞ + (- 1) 96 x - 2 (x + 6 )
dA
⎜ ⎟
dx ⎝ ⎠
dA ⎛
= ⎜ 96 x - 1 + 4 ⎞ − 96 x - 2 (x + 6 )
⎟
dx ⎝ ⎠

122

⎛ 96 ⎞
d A 96
= + 4 −⎜ ⎟ (x + 6 )
dx x ⎜ 2⎟
⎝x ⎠
d A 96 96 x + 576
= +4 −
dx x x2
dA 96 x 576
= 96 x - 1 + 4 − -
dx x2 x2
= 96 x - 1 + 4 − 96 x (x )- 2 - 576 (x )- 2
dA
dx

= 96 x - 1 + 4 − 96 (x )- 1 - 576 (x )- 2
dA
dx

96 96 x + 576
+4 − =0
x x2

96 + 4 x 96 x + 576
− =0
x x2
96 + 4 x 96 x + 576
=
x x2
96 x + 576
96 + 4 x =
x

x (96 + 4 x) = 96 x + 576

96 x + 4 x2 = 96 x + 576

4 x2 = 576

x2 = 144

x = 12 cm.
96
y= ecuación 1
x
96
y=
12
y = 8 cm.


= 96 x - 1 + 4 − 96 (x )- 1 - 576 (x )- 2
dA
dx
= 4 - 576 (x )- 2
dA
dx

d2 A
= - (- 2 )(576 ) x - 2 -1
dx 2

123

d2 A
= 1152 x - 3
dx 2

d 2 A 1152
= > 0 cuando x = 12
d x2 x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVO, se encuentra un MINIMO.

la mínima área se consigue cuando x = 12 cm. y y = 8 cm.

Las dimensiones de la pagina deben ser:

x + 6 = 12 + 6 = 18 cm
y + 4 = 8 + 4 = 12 cm.

Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un triangulo
equilátero de 10 cm de lado., si la base del rectángulo coincide con la base del triangulo.

El área del rectángulo es:
A = x y ecuación 1

En el triangulo equilátero la altura h es:
Por Pitágoras
x
2 2 2
10 = h + 5

102 - 52 = h2

100 - 25 = h2
10 cm h 10 cm 10 cm
h2 = 75
h = 75 = 25 * 3 h
y
h =5 3 y

Por figuras semejantes: x x x
h y 5− x
= 2 2 2 5−
5 x 2
5− 5 cm 5 cm
2 5 cm
10 cm
(h ) ⎛ 5 - x ⎞ = 5 y
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
Pero h = 5 3

( ) ⎛ x⎞
5 3 ⎜5 - ⎟ = 5 y
⎝ 2⎠

⎛ x⎞
3 ⎜ 5 - ⎟ = y ecuación 2
⎝ 2⎠

Reemplazar la ecuación 2 en la ecuación1

A=xy ecuación 1

124

A = (x ) ( 3 )⎛ 5 - x ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
3x 2
A= 5 3x-
2
dA
Derivamos
dx
dA
dx
( ) ⎛ 3⎞
= 5 3 - (2 ) ⎜ ⎟( )
⎜ 2 ⎟x
⎝ ⎠
dA
dx
(
= 5 3 - 3x )( )
( )( )
5 3 - 3 x =0
(5 3 ) = ( 3 x )
x = 5 cm

⎛ x⎞
3 ⎜ 5 - ⎟ = y ecuación 2
⎝ 2⎠
⎛ 5⎞
3 ⎜5 - ⎟ = y
⎝ 2⎠
⎛ 5⎞
3⎜ ⎟=y
⎝ 2⎠


dA
dx
(
= 5 3 - )( 3x )
d2 A
= - 3
d x2

d2 A
= - 3 < 0 cuando x = 5
d x2

⎛ 5⎞
la máxima área se consigue cuando x = 5 cm. y 3⎜ ⎟=y
⎝ 2⎠
el área del rectángulo es :
A = x y ecuación 1

⎛ 5⎞
A = (5) 3 ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎛ 25 ⎞ 2
A= 3⎜ ⎟ cm
⎝ 2 ⎠

Determinar el área del mayor rectángulo que puede inscribirse en una circunferencia de radio R.

125

X
En el triangulo rectángulo por el teorema de
Pitágoras

2 2 y R
⎛x⎞ ⎛ y⎞
R2 =⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 2
⎝2⎠ ⎝ 2⎠ Y

Despejamos y y
2
2 2
2⎛x⎞ ⎛ y⎞
R -⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎝ 2⎠
2 2 x
2 2 ⎛x⎞ ⎛ y⎞ x
R -⎜ ⎟ =⎜ ⎟ 2
2 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2
x2 y2
R2 - =
4 4
4 2 x 2
y2
R - =
4 4 4

4 R 2 - x 2 = y2

y = 4R 2 - x 2


A=XY

Reemplazando
A = x y = (x ) 4R 2 - x 2

(
A = (x ) 4R 2 - x 2 )1 2
dA
Derivamos
dx
dA
dx
(
= 4R 2 - x 2
12 ⎛1⎞
) (
+ ⎜ ⎟(x ) 4R 2 - x 2 - 1 2 (- 2x )
⎝2⎠
)
dA
(
= 4R 2 - x 2
12 ⎛1⎞
)
- ⎜ ⎟ (x )
(2x )
dx ⎝2⎠ 4R 2 - x 2
12
( )
Igualando a cero

(4R 2 - x 2 )1 2 - ⎛⎜⎝ 1 ⎞⎟⎠ (x ) (2x ) =0
2
(4R 2 - x 2 )1 2

126

(4R 2 - x 2 )1 2 = ⎛⎜⎝ 1 ⎞⎟⎠ (x ) (2x )
2
(4R 2 - x 2 )1 2
(4R 2 - x 2 )1 2 (4R 2 - x 2 )1 2 = ⎛⎜⎝ 1 ⎞⎟⎠ (x )(2x )
2

(4R 2 - x 2 ) = ⎛⎜⎝ 1 ⎞⎟⎠ (x )(2x )
2
(4R - x ) = x 2
2 2

4R 2 = x 2 + x 2

4R 2 = 2 x 2

2 R2 = x2

x= R 2

REEMPLAZAMOS
y = 4R 2 - x 2

y = 4R 2 - R 2 ( )2
y = 4R 2 - 2(R )2

y = 2(R )2

y=R 2


A=XY

Reemplazando

(
A= R 2 R 2 )( )
A = 2R2

127

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