.

1. Linea de tiempo de Electromagnetismo

3. CORRIENTE.
La corriente promedio es una cantidad escalar que se define como la variación de carga por
unidad de tiempo, es decir:
Densidad volumétrica de corriente
Es así que con la medición de la corriente se tiene que definir una nueva unidad que se conoce
como el Ampere, el cual es:
Si ∆t→0 entonces se tiene la derivada, quedando ahora la corriente instantánea como:
Se trata de un vector que se representa por y cuya dirección es la misma que la del flujo de
cargas, se define como la rapidez con la que fluye la carga por unidad de superficie perpendicular
al flujo.
!
J
I =
Δq
Δt
I =
dq
dt
Ampere =
Coulomb
segundo

4. Solo podrán pasar por el área A en el tiempo ∆t las partículas que estén dentro del volumen del
prisma, el cual es:
Volumen = Ad con
!
A⋅
!
v = proyección de la velocidad en la dirección del área
Consideremos un caso en el cual en promedio hay N partículas por cm3, todas moviéndose con el
mismo vector velocidad y transportando la misma carga q.
!
v
!
v
q
d
A
!
A⋅
!
v = Avcosθ con d = Δt vcosθ
( ) ⇒ Volumen =
!
A⋅
!
v
( )Δt
Nk = Concentración media de partículas por unidad de volumen
I =
qNk
!
A⋅
!
v
( )Δt
Δt
⇒ I = qNk
!
A⋅
!
v
( )
⇒ I =
qn
Δt
con n = NkVolumen

5. Si se tienen distintos tipos de partículas en el conjunto que difieren en la carga, en el vector
velocidad o en ambas cosas. Cada una contribuirá a la corriente a través de A. Denotando cada
clase por el subíndice k, la clase k-ésima tiene carga qk en cada partícula, se mueve con velocidad
vk y está presente en cada una con concentración media Nk partículas de esta clase por metro
cúbico, la que podemos establecer de manera formal:
I = N1
q1
A1
!
v1
+ N2
q2
A2
!
v2
+...=
!
A⋅ Nk
qk
!
vk
k
∑
A la magnitud vectorial representada por la sumatoria la llamaremos densidad de corriente:
!
J = Nk
qk
!
vk
k
∑ = Densidad de corriente
Por lo que la corriente tendrá siempre la forma:
I =
!
J ⋅
!
A
Si la densidad de corriente se define de manera continua:
I =
!
J ⋅d
!
A
∫
I =
!
A⋅ qNk
!
v
( ) con
!
J = qNk
!
v ⇒ I =
!
J ⋅
!
A
Reagrupando términos nos queda.

6. La dirección o sentido de la corriente se define como la del flujo de cargas positivas. Si las
partículas en movimiento estuvieran cargadas negativamente; por ejemplo, si fueran electrones, la
dirección de J sería opuesta a la dirección de su movimiento.
La razón de esto es que suponiendo que la región alrededor de un punto fuera originalmente
neutra, es decir que tuviera iguales cantidades de carga positiva y negativa, entonces si hubiera
cierto número de cargas negativas que estuvieran saliendo de la región, esta adquiriría un exceso
de cargas positivas, lo cual tiene un efecto neto equivalente a la entrada de cargas positivas a la
región.
El término Nk en la densidad de corriente es una densidad de partículas por unidad de volumen:
Nk
=
n
volumen
con n = número total de partículas
Por lo que:
Nk
qk
=
nq
volumen
⇒ Nk
qk
= ρ = densidad volumetrica de carga
Es decir que la densidad de corriente es:
!
J = ρ
!
v

7. Ecuación de continuidad
Supóngase que en la figura con un volumen Vol que está limitado
por la superficie cerrada A y que tanto la superficie como el
volumen son constantes y que el objeto porta una carga constante
(cada punto representa una carga), pero constante, en este sentido
significa que la cantidad de carga que entra al volumen es igual a
la carga que sale del volumen, es decir se trata de un equilibrio
dinámico. En este caso, la razón total a la que la carga está
fluyendo hacia fuera a través de la superficie A debe ser igual a la
razón a la que la carga total dentro del volumen Vol está
disminuyendo, dado que el total debe ser constante. Por tanto, si
Q es la carga total en el volumen Vol, se tiene que:
−
dQ
dt
=
!
J ⋅d
!
A
A
"
∫ en donde la carga es: Q = ρ dτ
∫ con dτ = diferencial de volumen
Por el teorema de Gauss tenemos que:
!
J ⋅d
!
A = ∇⋅
!
J dτ
Volumen
∫
Área
"
∫
Es decir: −
∂
∂t
ρ dτ
Vol
∫ = ∇⋅
!
J dτ
Vol
∫ ⇒
∂ρ
∂t
+ ∇⋅
!
J
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dτ
Vol
∫ = 0
Finalmente:
∂ρ
∂t
+ ∇⋅
!
J = 0 Ecuación de continuidad.

8. Corrientes de conducción.
Por medio de la experimentación se encuentra que si se aplica una diferencia de potencial inicial a
un conductor existirán corrientes en el, pero que si se retira este voltaje las corrientes decaen, con
lo que el conductor llega a un equilibrio electrostático. También se encuentra que es posible
mantener una corriente constante en un conductor por medio de una diferencia de potencial
constante, solo si se le suministra energía continuamente al sistema desde una fuente externa. Por
tanto, en algún lugar se está realizando un trabajo sobre estas cargas en movimiento cuando
circulan por las trayectorias cerradas de los circuitos ordinarios. Si se realiza un trabajo total Wq
sobre una carga q cuando ésta transita por una trayectoria cerrada, la relación entre ambos recibe
el nombre de fuerza electromotriz, ξ, o simplemente, fem, de manera que se tiene:
fem = ξ =
Wq
q
=
1
q
!
Fq
⋅d
!
s
c
"
∫ =
!
E ⋅d
!
s
c
"
∫
Dado que se ejercerán fuerzas sobre las cargas en movimiento, deberá existir cierta relación
funcional y , por tanto debe existir una relación del tipo.
⃗
J ⃗
E
!
J =
!
J(
!
E)
Se ha observado experimentalmente que cuando se aplica un campo eléctrico a un conductor, pasa
una corriente. Podemos considerar que la diferencia de potencial V, debida al campo eléctrico, es
la fuente del movimiento. La cantidad de corriente que pasa por un material, para determinada
diferencia de potencial depende de las propiedades geométricas de este.
Resistencia.

11. La resistencia eléctrica, R, de un material, es una medida de la facilidad con que la carga fluye
dentro del material. Se define la resistencia eléctrica como la relación del voltaje (diferencia de
potencial) a través del material a la corriente que pasa por él:
R =
V
I
Las unidades de resistencia son volts/Ampere, pero se definió una unidad aparte del S.I., llamada
el Ohm (Ω), como la oposición al paso de los electrones a través de un volumen de material con
una superficie transversal A y longitud L, por el cual pasa una corriente de 1 Ampere cuando se
aplica una diferencia de potencial de 1 volt.
1Ω = 1
Volt
Ampere
El primero en estudiar la resistencia de diversos materiales, sistemáticamente fue Georg Simon
Ohm. En 1826, publicó sus resultados experimentales, consistentes en que, para muchos
materiales, incluyendo la mayor parte de los metales, la resistencia es constante, dentro de un
amplio margen de diferencia de potencial. Este enunciado se conoce como la ley de Ohm.
Cuando la resistencia de un material es constante entre unos límites de diferencia de potencial,
decimos que el material es ohmico.
Corr
iente
Voltaje
V = IR

12. Resistividad y conductividad.
Podemos imaginar que la resistencia al flujo de carga en un conductor es el resultado de choques
de los portadores de carga en movimiento con los electrones de la red cristalina. Cuando se
duplica la longitud del alambre, el número de choques aumenta al doble, así, la resistencia Ri de
un conductor es proporcional a su longitud L.
L1, R1, ε L2, R2, ε
Con A2=A1 y L2>L1 entonces R2>R1
Al revés, si se duplica el área de la sección transversal de un conductor, entonces puede pasar por
él, el doble de corriente, por consiguiente, la resistencia Ri de un conductor de determinado
material es inversamente proporcional al área A de su sección transversal.
A1, R1, ε A2, R2, ε
Con L2=L1 y A2>A1 entonces R1>R2

13. Combinando esos dos resultados para definir la resistividad ρr de un material, mediante la ecuación:
R = ρr
L
A
⇒ ρr
= R
A
L
Con esta definición, y con la dependencia de R respecto a L y a A, qué se acaba de establecer, ρr no
depende de las dimensiones del conductor, sino solo del tipo de material.
El reciproco de la resistividad es la conductividad. σr
=
1
ρr
De la ecuación proveniente de la ley de Ohm, y de la definición de resistividad se tiene:
V = IR ⇒ V = Iρr
L
A
⇒
V
L
= ρr
I
A
En donde
V
L
=
!
E y
I
A
=
!
J
Por tanto: E = ρr
J ⇒
!
E = ρr
!
J
Así:
!
J = σr
!
E
Esta ecuación es un resultado general, y no se limita a materiales ohmicos, para los cuales ρr y σr
no varían con V o con E.

14. Con la dependencia de R respecto a L y a A, que acabamos de establecer, ρr no depende de las
dimensiones del conductor, sino sólo del tipo de: material. Las unidades de la resistividad son ohm-
metro (Ω-m): en la tabla aparecen valores característicos para diversos materiales.
RESISTIVIDADES, CONDUCTIVIDADES Y COEFICIENTES DE TEMPERATURA (a 20°C )
Material
Resistividad, ρr (Ω-m) Conductividad, σr (Ω-m)-1
Coef. temperatura
𝜶
(°C)-1
Conductores
Elementos
Aluminio 2.82 x 10-8 3.55x107 0.0039
Plata 1.59 x 10-8 6.29x107 0.0038
Cobre 1.72 x 10-8 5.81x107 0.0039
Hierro 10.0 x 10-8 1.0x107 0.0050
Tungsteno 5.6 x 10-8 1.8x107 0.0045
Platino 10.6 x 10-8 1.0x107 0.0039
Aleaciones
Nicromo 100 x 10-8 0.1x107 0.0004
Manganina 44 x 10-8 0.23x107 0.00001
Latón 7 x 10-8 1.4x107 0.002
Semiconductores
Carbón (grafito) 3.5 x 10-5 2.9x104 -0.0005
Germanio (puro) 0.46 2.2 -0.048
Silicio (puro) 640 1.6x10-3 -0.075
Aisladores
Vidrio 1010 a 1014 10-14 a 10-10
Hule de neopreno 109 10-9
Teflón 1014 10-14

15. Modelo de electrones libres.
Paul Drude en 1900, propuso un modelo clásico sencillo, conocido como el modelo de los
electrones libres o modelo de Drude, en el cual unos 25 años antes de la mecánica cuántica se da
una descripción cualitativamente correcta de la resistividad.
Iniciaremos con la idea de que los sólidos contienen electrones “libres”, que se pueden mover
dentro del material y transportar carga. La densidad de los electrones libres, ( ),
depende del material, y cómo vemos, es responsable de las diferencias entre conductores,
aisladores y semiconductores.
ne Ne ÷ Vol
El modelo postula que los electrones libres forman un gas de partículas independientes a la
temperatura T.
Cuando se produce una corriente, los electrones se aceleran debido a un campo eléctrico aplicado,
pero los choques con los átomos o los iones que forman la red cristalina del sólido los
desaceleran. En sentido general, hay fuerzas de resistencia que actúan sobre los electrones.
La fuerza de resistencia más sencilla es la proporcional a la velocidad de los electrones, de modo
que la segunda ley de Newton para el movimiento de los electrones:
m
!
a = q
!
E − b
!
v
En la cual m es la masa del electron.
La constante b debe tener dimensiones de masa/tiempo, y la representaremos mediante m/τ,
siendo τ una cantidad con dimensiones de tiempo.

16. Es razonable utilizar a τ como el tiempo promedio entre choques, porque son los choques los que
impiden el movimiento de los electrones.
La aceleración disminuye a cero cuando la velocidad alcanza la velocidad terminal, vd. Cuando la
aceleración es cero se tiene:
q
!
E − b
!
vd
= 0 ⇒
!
vd
=
q
b
!
E con b =
m
τ
⇒
!
vd
=
q
!
Eτ
m
Si se trata de electrones, el sentido de la velocidad de desplazamiento es contrario al campo eléctrico,
que es lo adecuado para los portadores de carga negativa.
Así de:
!
J = Ne
q
!
vd se tiene:
!
J = qNe
q
!
Eτ
m
⇒
!
J =
Ne
q2
τ
m
!
E
Comparando con
!
J = σr
!
E ⇒ σr
=
Ne
q2
τ
m
= conductividad
Las cantidades q y m son independientes del tipo de material.
El tiempo promedio entre colisiones τ puede expresarse en términos del camino libre medio λ y de
la velocidad cuadrática media, vrms de los electrones en el “gas” de electrones libres mediante la
ecuación
λ = vrms
τ
En donde vrms no es necesariamente igual a vd de hecho: vd
≠ vrms

17. !
J =
Ne
q2
m
1
Ne
σ
3kT
m
!
E ⇒
!
J =
q2
σ 3mkT
!
E
vrms
=
3kT
m
; λ =
1
Ne
σ
con σ = sección eficáz de dispersión de Rutherford
λ = vrms
τ ⇒ τ =
λ
vrms
⇒ τ =
1
Ne
σ
3kT
m
σr
=
q2
σ 3mkT
= conductividad
Las expresiones para vrms y λ dadas por la teoría cinética de los gases son:
En donde k es la constante de Boltzmann y m es la masa de la molécula del gas que se trate.
Sustituyendo en la densidad de corriente se tiene:
Finalmente la conductividad se puede escribir como:

18. Potencia eléctrica.
Para calcular la energía perdida por unidad de tiempo (potencia perdida) cuando una corriente pasa
por un material, veamos que le pasa a una carga pequeña, dq, que se mueve a través de una
diferencia de potencial V. El cambio de energía potencial de la carga (dU), que es igual al trabajo
efectuado (dW) por la fuerza eléctrica debido a la diferencia de potencial, está expresado por
dU=Vdq. Por lo tanto, la potencia que es la rapidez a la cual la fuerza que impulsa a la carga gasta
energía es:
P =
dW
dt
⇒ P = V
dq
dt
⇒ P = VI
I =
V
R
⇒ P = V
V
R
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ P =
V 2
R
V = IR ⇒ P = (IR)I ⇒ P = I2
R
A esta forma de potencia se le llama calentamiento óhmico o efecto Joule.

19. Problema.- Una carga total Q se distribuye uniformemente en una esfera de radio a. La esfera
empieza a girar alrededor de uno de sus diámetros con una velocidad angular constante w.
Supóngase que la distribución de carga, no se afecta con la rotación; encontrar J en todos los
puntos dentro de la esfera. (expresarlo en coordenadas esféricas con el eje polar en coincidencia
con el eje de rotación). Encontrar la corriente total que pasa por un semicírculo de radio a fijo en
el espacio con su base sobre el eje de rotación.
Eje de rotación
Solución: La velocidad angular está dada por:
!
w = wo
k̂
La velocidad lineal es:
!
v =
!
w×
!
r
Sustituyendo las relaciones de la velocidad se tiene:
!
v = (wo
k̂) × (rêr
)
En donde se están mezclando coordenadas cilíndricas con coordenadas esféricas, por lo que el
producto cruz de estos dos vectores unitarios es:
k̂ × êr
= sinθêϕ
con êϕ
= −sinϕˆ
i + cosϕ ĵ

20. Es decir que la velocidad es:
!
v = wo
rsinθêϕ
La densidad volumétrica de carga esta dada por:
ρ =
Q
volumen
Al ser una esfera, esta densidad de carga es:
ρ =
Q
4
3
πa3
=
3Q
4πa3
Obteniéndose la relación de la densidad de corriente como:
⃗
J = ρ ⃗
v
!
J =
3Q
4πa3
wo
rsinθêϕ
La corriente estará dada por: I =
!
J ⋅d
!
A
A
∫

21. Siendo el diferencial de área escalar: dA = rdrdθ
Así el vector diferencial de área es: d
!
A = rdrdθêϕ
Y la corriente es, utilizando la definición para una función de densidad de corriente continua:
I =
3Qwo
4πa3
A
∫ rsinθ(êϕ
⋅êϕ
)rdrdθ ⇒ I =
3Qwo
4πa3
r2
0
a
∫ dr sinθ
0
π
∫ dθ
I =
Qwo
4πa3
r3
|0
a
( ) −cosθ |0
π
( ) ⇒ I =
Qwo
2π
r
dr
dθ
dl
A
d
!
dl = rsin(dθ) = rdθ
con
!
J = densidad de corriente puntual ⇒ I = corriente en toda el área de una hoja semicircular

22. Efectos de los campos magnéticos
En 1600, William Gilbert, médico inglés, llevó a cabo un estudio sistemático de fenómenos
eléctricos y magnéticos, y sugirió que la brújula se comporta como lo hace porque la tierra es, en
sí, una gigantesca piedra imán. En realidad, nuestro empleo de las palabras “polos norte y sur
magnéticos” en relación con los imanes en barra provienen de la relación entre el magnetismo
con los polos geográficos norte y sur, por parte de Gilbert.
El magnetismo no se relacionó con la electricidad sino hasta 1820, cuando André Ampére llevó
a cabo experimentos propios y los trabajos de Hans Christian Oersted para demostrar que se
generan los magnetos cuando se mueven las cargas eléctricas. De hecho, los fenómenos
eléctricos y magnéticos son aspectos de las interacciones de objetos con carga eléctrica.
En base a nuestra experiencia con las cargas eléctricas podríamos sentirnos tentados a llegar a la
conclusión de que un imán de barra contiene “cargas magnéticas” o monopolos magnéticos en
cada extremo y que, de alguna manera los podríamos separar.
Los experimentos demuestran que esto no es posible; si se cortara un imán recto en dos partes,
terminaríamos con dos imanes rectos, y no con dos cargas magnéticas separadas.
Imanes y campos magnéticos
Cuando dos imanes rectos se acercan entre sí, se hacen evidentes las fuerzas entre ellos, fuerzas
magnéticas. Los imanes rectos tienen una orientación o eje, en determinada posición se atraen
entre sí, y en otras se repelen, y en otras ejercen pares entre sí. En forma arbitraria, identificamos
al extremo de un imán que es atraído hacia un punto muy cercano al polo sur geográfico, como
polo sur, S, y al otro extremo, polo norte, N. Si usamos dos imanes de barra identificados de este
modo, veremos que el extremo N de uno atrae al extremo S del otro mientras, mientras que los
dos extremos N o S se repelen entre sí, esto quiere decir que el polo sur geográfico es en realidad
un polo norte magnético.

23. Fuerzas magnéticas sobre una carga eléctrica.
Los experimentos indican que las cargas eléctricas, al igual que los imanes rectos, sienten fuerzas
en presencia de campos magnéticos; esto es, que esos campos los aceleran. Este fenómeno es
posible observarlo en el laboratorio con un osciloscopio. Cuando un imán se coloca cerca del haz
del osciloscopio, este haz se desvía. Esta desviación permite medir las fuerzas magnéticas sobre
el haz.
Campos magnéticos en el espacio exterior.
En el espacio exterior existen campos magnéticos debidos a la presencia de nubes de polvo
galáctico cargadas, supernovas, cuásares, etc, a través de nuestra galaxia, por ejemplo la
intensidad del campo magnético es del orden de 10-10 T (Tesla es la unidad del campo magnético).
Las partículas cargadas (rayos cósmicos) se generan y aceleran a causa de diversos procesos
estelares.
Si la cantidad de movimiento de estas partículas cargadas es menor que determinado valor crítico,
Pc, se desvían formando círculos gigantescos dentro de la galaxia, debido a las fuerzas magnéticas
sobre ellas. Los rayos cósmicos con cantidad de movimiento mayor que Pc, se mueven en un
círculo cuyo radio de curvatura es mayor que que el radio de la galaxia y, por consiguiente se
escapan. Así podemos detectar más rayos cósmicos que lleguen a la tierra con cantidades de
movimiento menores que Pc, que con mayores.

24. El arreglo inútil

25. Campos magnéticos.
Durante la década de 1819 a 1829, Hans Christian Oersted
descubrió que las corrientes eléctricas pueden influir sobre las
brújulas. Antes de este descubrimiento solo había la sospecha
de una relación entre la electricidad y el magnetismo. Oersted
al igual que André Marie Ampere, demostraron pronto que, los
alambres con corriente eléctrica ejercen fuerzas entre sí. Como
esos alambres son eléctricamente neutros, las fuerzas no son
eléctricas.
Los hechos experimentales que se tenían eran:
1. La magnitud de la fuerza dependía de las dimensiones de los circuitos y de la distancia entre ellos.
2. La fuerza producida por la interacción de los circuitos era perpendicular a ambos.
3. Si se hace variar las dimensiones de un circuito, conservando el otro constante, la fuerza
también varia, de tal manera que sí aumentaba la dimensión aumentaba la fuerza.
'
r
!
r
!
R
!
c’
I’
'
s
d
!
c
s
d
! I
Con estos hechos se obtuvo la ley
experimental básica que se conoce como la
ley de Ampere y que se escribe como sigue:
!
Fc−c'
=
µo
4π
Id
!
s × I 'd
!
s '× R̂
( )
!
R
2
c'
"
∫
c
"
∫
!
Fc−c'
= I d
!
s ×
c
"
∫
µo
4π
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
I 'd
!
s '×
!
R
( )
!
R
3
c'
"
∫
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
con
!
R =
!
r −
!
r '
Donde µo = 4π x 10-7 Newton/Ampere2
µo = permeabilidad del espacio libre.

26. Problema.- Una circunferencia de radio a se encuentra sobre el plano xy con su centro en el
origen. Conduce una corriente I’ que circula en el sentido contrario a las manecillas del reloj
cuando es vista desde los valores positivos de z hacia el origen. Una corriente I muy larga es
paralela al eje x, y está dirigida en el sentido positivo de x, intersectando el eje z positivo a una
distancia b del origen. Encontrar la fuerza total sobre el circuito c que conduce a I.
Solución: Los vectores r, r’ están dados por:
!
r ' = acosα ˆ
i + asenα ĵ ⇒ d
!
r ' = −asenα ˆ
i + acosα ĵ
( )dα ⇒ d
!
r ' = d
!
s '
!
r = xˆ
i + bk̂ ⇒ d
!
r = d
!
s = dxˆ
i ⇒
!
r −
!
r ' = x − acosα
( )ˆ
i − asenα ĵ + bk̂
Así el producto cruz se expresa como:
d
!
s '×
!
r −
!
r '
( )=
ˆ
i ĵ k̂
−asenαdα acosαdα 0
x − acosα −asenα b
d
!
s '×
!
r −
!
r '
( )= ˆ
i abcosα
( )dα − ĵ −absenα
( )dα + k̂ a2
sen2
α − acosα x − acosα
( )
⎡
⎣
⎤
⎦dα
d
!
s '×
!
r −
!
r '
( )= abcosαdα ˆ
i + absenαdα ĵ + a2
sen2
α − acosα x − acosα
( )
⎡
⎣
⎤
⎦dαk̂
La multiplicación con signos da:
I’
b
I

27. La fuerza expresada por la ley de Ampere es según su definición:
!
Fc−c'
= I d
!
s ×
c
"
∫
µo
4π
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
I 'd
!
s '×
!
R
( )
!
R
3
c'
"
∫
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
con
!
R =
!
r −
!
r '
!
F = I dxˆ
i
−
L
2
L
2
∫ ×
µo
I '
4π
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
abcosαdα ˆ
i + absenαdα ĵ + a2
sen2
α − acosα x − acosα
( )
⎡
⎣
⎤
⎦dαk̂
x − acosα
( )
2
+ a2
sen2
α + b2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
0
2π
∫
Al hacer el producto cruz, se tiene:
!
F =
µo
II '
4π
dx
−
L
2
L
2
∫
absenαdαk̂ + a2
sen2
α − acosα x − acosα
( )
⎡
⎣
⎤
⎦dα(− ĵ)
x − acosα
( )
2
+ a2
sen2
α + b2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
0
2π
∫
Dividiendo la integral en dos partes, se tiene que la primera es:
!
A1
= dx
−
L
2
L
2
∫
absenαdαk̂
x2
− 2axcosα + a2
+ b2
⎡
⎣
⎤
⎦
3
2
0
2π
∫

28. Integrando respecto a α
!
A1
= dx
−
L
2
L
2
∫
b
2x
x2
− 2axcosα + a2
+ b2
⎡
⎣
⎤
⎦
−
1
2
−
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
0
2π
Evaluando en los límites
!
A1
=
b
x
dx
−
L
2
L
2
∫
1
x2
− 2ax + a2
+ b2
−
1
x2
− 2ax + a2
+ b2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 0
Quedando la fuerza magnética como:
!
F = −
µo
II '
4π
dx
−
L
2
L
2
∫
a2
sen2
α − acosα x − acosα
( )
⎡
⎣
⎤
⎦dα
x − acosα
( )
2
+ a2
sen2
α + b2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
2
0
2π
∫ ĵ

29. Integremos respecto a x
A2
= −
acosα x − acosα
( )dx
x − acosα
( )
2
+ a2
sen2
α + b2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
2
−
L
2
L
2
∫
A2
= −
1
2
acosα
x − acosα
( )
2
+ a2
sen2
α + b2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
1
2
−
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
Realizando la integral
quedando
A2
= acosα
1
x − acosα
( )
2
+ a2
sen2
α + b2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥−
L
2
L
2
A2
= 0
Si L→∞

30. La fuerza magnética queda ahora como:
!
F = −
µo
II '
4π
dx
−
L
2
L
2
∫
a2
sen2
αdα
x − acosα
( )
2
+ a2
sen2
α + b2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
2
0
2π
∫ ĵ
Integremos respecto a x
A3
=
dx
x − acosα
( )
2
+ a2
sen2
α + b2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
2
−
L
2
L
2
∫
Hagamos: m2
= a2
sen2
α + b2
θ
x − acosα
( )
2
+ m2
x − acosα
m
tanθ =
x − acosα
m
mtanθ = x − acosα
dx = msec2
θdθ

31. Así la integral A3 se puede escribir como:
A3
=
msec2
θdθ
m2
tg2
θ +1
( )
⎡
⎣
⎤
⎦
3
2
−
L
2
L
2
∫ ⇒ A3
=
msec2
θdθ
m3
sec3
θ
−
L
2
L
2
∫
Simplificando e integrando:
A3
=
1
m2
cosθ dθ
−
L
2
L
2
∫ ⇒ A3
=
sinθ
m2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
L
2
L
2
Regresando a la variable original x de integración:
A3
=
1
m2
x − acosθ
x − acosθ
( )
2
+ m2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥−
L
2
L
2
Evaluando en los límites:
A3
=
1
m2
L
2
− acosθ
L
2
− acosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+ m2
−
−
L
2
− acosθ
−
L
2
− acosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+ m2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

32. A3
=
1
m2
L
2
− acosθ
L
2
− acosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 1+
m2
L
2
− acosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+
L
2
+ acosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
L
2
+ acosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 1+
m2
L
2
+ acosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
A3
=
1
m2
1
1+
m2
L
2
− acosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+
1
1+
m2
L
2
+ acosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
Si L→∞ A3
=
2
m2
⇒ A3
=
2
a2
sen2
α + b2
Quedando la fuerza magnética entre el círculo y la circunferencia como:
!
F = −
µo
II '
4π
2a2
sen2
αdα
a2
sen2
α + b2
( )
0
2π
∫ ĵ ⇒
!
F = −µo
II '
a2
sen2
αdα
2π a2
sen2
α + b2
( )
0
2π
∫ ĵ

33. !
F = −µo
II '
a2
sen2
αdα
2π a2
sen2
α + b2
( )
0
2π
∫ ĵ
Para hacer esta integral utilizaremos métodos numéricos:
Integrales aproximadas utilizando la Regla de Simpson.
Definimos la integral
f(α)=a^2 sen(α)^2/(2 π (a^2 sen(α)^2+b^2))
Realizamos la integral, ya que se puede, de modo exacto con:
IF1=Integral(f(x), 0, 2 π)
IF2=SumaTrapezoidal(f(x), 0, 2 π, 100)
Definimos dos deslizadores a y b los dos positivos de 1 hasta 5.
Otro modo es utilizando un comando propio de GeoGebra, que es propiamente la Regla de Simpson.
!
F = −µo
II ' 1−
b
a2
+ b2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ĵ
Compare estos valores con: c=1-b/sqrt(a^2+b^2)

34. Ley de Biot-Savart
Esta ley lleva el nombre de los físicos que la formularon en 1819, Jean Baptiste Biot y Felix Savart.
En esta abstracción de la ley de Ampere se indica que si solo tomamos un elemento de corriente este
producirá un campo magnético que influirá sobre cualquier otro elemento de corriente.
La dirección del campo producido por un elemento de corriente estará dado por la ley de la mano
derecha.
Si una corriente se desplaza en línea recta, las líneas de campo serán perpendiculares a esta
corriente, de tal manera que sí el pulgar indica la trayectoria de la corriente, los demás dedos de la
mano seguirán las líneas de campo.
!
Fc−c'
= I d
!
s ×
c
"
∫
µo
4π
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
I 'd
!
s '×
!
R
( )
!
R
3
c'
"
∫
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
con
!
R =
!
r −
!
r '
Así la ley de Biot-Savart se expresa como:
!
B =
µo
4π
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
I 'd
!
s '×
!
r −
!
r '
( )
!
r −
!
r '
3
c'
"
∫ ⇒
!
Fc−c'
= I d
!
s ×
!
B
c
"
∫
El nombre formal del campo es el de inducción magnética.
!
B

35. Problema.- Considérese una corriente filamental I’. Calcular la inducción magnética B(r),
producida por una longitud finita de la misma.
I’
r
!
ρ
!
'
r
!
k
z ˆ
!
r = ρêρ
+ zk̂ ;
!
r ' = z'k̂ ⇒
!
r −
!
r ' = ρêρ
+ z − z'
( )k̂
d
!
r ' = d
!
s ' = dz'k̂ ⇒ d
!
s '×
!
r −
!
r '
( )= dz'k̂ × ρêρ
+ z − z'
( )k̂
⎡
⎣
⎤
⎦
d
!
s '×
!
r −
!
r '
( )= ρdz' k̂ × êρ
( )+ dz' z − z'
( ) k̂ × k̂
( )
êρ
× êφ
= êk
= k̂
êφ
× êk
= êρ
êk
× êρ
= êφ
d
!
s '×
!
r −
!
r '
( )= ρdz'êφ
⇒
!
B
!
r
( )=
µo
4π
I 'd
!
s '×
!
r −
!
r '
( )
!
r −
!
r '
3
c'
"
∫
Así la ley de Biot-Savart se puede escribir como:
!
B
!
r
( )=
µo
I '
4π
ρdz'êφ
ρ2
+ z'2
( )
3
2
− L1
L2
∫ ⇒
!
B
!
r
( )=
µo
I 'ρêφ
4π
dz'
ρ2
+ z'2
( )
3
2
− L1
L2
∫

36. θ
ρ2
+ z'2
z'
ρ
tanθ =
z'
ρ
⇒ ρtanθ = z' ⇒ dz' = ρsec2
θdθ
A =
dz'
ρ2
+ z'2
( )
3
2
− L1
L2
∫ ⇒ A =
ρsec2
θdθ
ρ2
+ ρ2
tan2
θ
( )
3
2
− L1
L2
∫
A =
ρsec2
θdθ
ρ3
sec3
θ
− L1
L2
∫ ⇒ A =
1
ρ2
cosθ dθ
− L1
L2
∫
A =
1
ρ2
senθ − L1
L2
⇒ A =
1
ρ2
z'
ρ2
+ z'2
− L1
L2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
La inducción magnética será entonces:
!
B
!
ρ
( )=
µo
ρI 'êφ
4πρ2
L2
ρ2
+ L2
2
−
−L1
ρ2
+ L1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟

37. Sacando del radical L1 y L2 y simplificando se tiene:
!
B
!
ρ
( )=
µo
I 'êφ
4πρ
L2
L2
2 ρ2
L2
2
+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
L1
L1
2 ρ2
L1
2
+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Factorizando L1 y L2 nos queda:
!
B
!
ρ
( )=
µo
I 'êφ
4πρ
1
ρ2
L2
2
+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
1
ρ2
L1
2
+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Si L1 y L2 →∞ se obtiene la inducción magnética para una línea de corriente infinita:
!
B
!
ρ
( )=
µo
I '
2πρ
êφ
Se puede observar como el resultado obtenido para la línea de corriente cumple con la ley de la mano
derecha.

38. Problema.- Considérese una corriente I’ que circula por el perímetro de un circulo de radio a,
calcular la inducción magnética B(r), generada por la corriente I’, en cualquier punto sobre el eje z.
I’
r
!
'
r
!
!
r = zk̂ ;
!
r ' = acosα ˆ
i + asenα ĵ ⇒
!
r −
!
r ' = −acosα ˆ
i − asenα ĵ + zk̂
d
!
r ' = −asenα ˆ
i + acosα ĵ
( )dα = d
!
s '
d
!
s '×
!
r −
!
r '
( )=
ˆ
i ĵ k̂
−asenαdα acosαdα 0
−acosα −asenα z
El resultado del producto cruz es:
d
!
s '×
!
r −
!
r '
( )= zacosαdα ˆ
i + zasenαdα ĵ + a2
dαk̂
Aplicando la ley de Biot-Savart obtenemos:
!
B =
µo
I '
4π
zacosαdα ˆ
i + zasendα ĵ + a2
dαk̂
a2
+ z2
( )
3
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
0
2π
∫

39. Esta integral se puede dividir en tres integrales escribiéndose como:
!
B =
µo
I '
4π a2
+ z2
( )
3
2
zacosα dα ˆ
i
0
2π
∫ + zasendα ĵ
0
2π
∫ + a2
dαk̂
0
2π
∫
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Al realizar las dos primeras integrales y evaluarlas en sus límites obtenemos que estas son cero, y la
última es:
!
B =
µo
I '
4π
a2
k̂
a2
+ z2
( )
3
2
α 0
2π
⇒
!
B =
µo
I 'a2
k̂
2 a2
+ z2
( )
3
2
Si z = 0 obtenemos la inducción magnética en el centro de la circunferencia la cual es:
!
B =
µo
I '
2a
k̂
A1
= zacosα dα = 0
0
2π
∫ ; A2
= zasendα
0
2π
∫ = 0

40. Problema.- Dos corrientes infinitamente largas son paralelas entre sí y al eje z. Una de ellas de
corriente I1 intersecta el plano xy en (x1, y1) y la otra I2 lo intersecta en (x2, y2). Encontrar la
inducción magnética B(r) resultante producida por ellas en un punto de campo (x, y, z).
I1 I2
x1
x2
y1 y2
Para la corriente I1
...........(1)
!
B
!
ρ
( )=
µo
I '
2πρ1
êφ
con ρ1
= x − x1
( )
2
+ y − y1
( )
2
; ρ2
= x − x2
( )
2
+ y − y2
( )
2
êφ
= −senφˆ
i + cosφ ĵ
senφ =
y − y1
ρ1
; cosφ =
x − x1
ρ1
Sustituyendo en la ecuación (1) para una línea de corriente
!
B1
=
µo
I1
2πρ1
−
y − y1
ρ1
ˆ
i +
x − x1
ρ1
ĵ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒
!
B1
=
µo
I1
2πρ1
2
− y − y1
( )ˆ
i + x − x1
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦

41. De la misma manera, para la corriente I2 se tiene
!
B2
=
µo
I1
2πρ2
2
− y − y2
( )ˆ
i + x − x2
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦
Usando el principio de superposición obtenemos
!
Btotal
=
µo
2π
I1
− y − y1
( )ˆ
i + x − x1
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦
ρ1
2
+
I2
− y − y2
( )ˆ
i + x − x2
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦
ρ2
2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
!
Btotal
=
µo
2π
I1
− y − y1
( )ˆ
i + x − x1
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦
ρ1
2
+
I2
− y − y2
( )ˆ
i + x − x2
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦
ρ2
2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
!
Btotal
=
µo
2π
I1
− y − y1
( )ˆ
i + x − x1
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦
x − x1
( )
2
+ y − y1
( )
2
+
I2
− y − y2
( )ˆ
i + x − x2
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦
x − x2
( )
2
+ y − y2
( )
2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪

42. Problema.- En el circuito que se muestra en la figura, las líneas curvas son semicírculos con centro
común C. Las porciones rectas son horizontales. En cierto instante, una carga puntual q, situada en
C tiene una velocidad v en dirección vertical hacia abajo. Encontrar la fuerza magnética sobre q.
C
a b
z
!
r = zk̂ ;
!
r1
' = bcosα ˆ
i + bsenα ĵ ⇒ d
!
r1
' = −bsenα ˆ
i + bcosα ĵ
( )dα
!
v
q
q
!
v
!
r2
' = acosα ˆ
i + asenα ĵ ⇒ d
!
r2
' = −asenα ˆ
i + acosα ĵ
( )dα
!
r3
' = y + a
( ) ĵ ⇒ d
!
r3
' = dyĵ ;
!
r4
' = y − a
( ) ĵ ⇒ d
!
r4
' = dyĵ
Haciendo los respectivos productos cruz para cada diferencial ds⃗ y para cada diferencia
vectorial (r⃗-r⃗i’), obtenemos:
d
!
s1
'×
!
r −
!
r1
'
( )= zbcosαdα ˆ
i + zbsenαdα ĵ + b2
dαk̂ ; d
!
s3
'×
!
r −
!
r3
'
( )= zdyˆ
i
d
!
s2
'×
!
r −
!
r2
'
( )= zacosαdα ˆ
i + zasenαdα ĵ + a2
dαk̂ ; d
!
s4
'×
!
r −
!
r4
'
( )= zdyˆ
i

43. Aplicando el principio de superposición queda como:
!
B =
µo
I
4π
zbcosαdα ˆ
i + zbsenαdα ĵ + b2
dαk̂
( )
b2
+ z2
( )
3
2
0
π
∫
+
zacosαdα ˆ
i + zasenαdα ĵ + b2
dαk̂
( )
a2
+ z2
( )
3
2
π
0
∫
+
zdyˆ
i
y2
+ z2
( )
3
2
−b
−a
∫ +
zdyˆ
i
y2
+ z2
( )
3
2
a
b
∫
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
Si z = 0
!
B =
µo
I
4π
dαk̂
b
0
π
∫ +
dαk̂
a
π
0
∫
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒
!
B =
µo
I
4π
1
b
π −
1
a
π
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ k̂ ⇒
!
B =
µo
I
4
a − b
ab
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ k̂
La fuerza ejercida sobre una carga que viaja en un campo magnético, está dada por la expresión
de Lorentz:
!
F = q
!
E +
!
v ×
!
B
( ) dado que
!
E = 0 ⇒
!
F = q
!
v ×
!
B
Y que para las condiciones del problema es:
!
F = qv −ˆ
i
( )×
µo
4
a − b
ab
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ k̂
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒
!
F =
qµo
I
4
a − b
ab
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ĵ

44. Angulo Sólido
Sea S una función de superficie cualquiera cuya normal es n y r es el vector de posición referido a
una esfera unitaria con centro en el origen, sea W la superficie subentendida entre un ángulo sólido
dΩ asociada al vector unitario radial, de tal manera que W es perpendicular a er.
S
W
n
r
dΩ
1
α
θ
Por tanto:
n̂⋅
!
r = n̂
!
r cosθ ⇒ cosθ =
n̂⋅
!
r
!
r
=
n̂⋅
!
r
r
El ángulo formado entre las superficies S y W es α, el cual es:
θ + 90 +α + 90 = 360 ⇒ α = 180 −θ
Por lo que se tiene que la relación angular entre las superficies es:
cosα =
dW
dS
⇒ cosα = cos(180 −θ)
S
W
n
r
dΩ
1
!
θ

45. d
!
S = n̂dS ⇒ dW =
d
!
S ⋅
!
r
r
Sea dΩ la superficie subtendida por un radio unitario, es decir que dΩ juega el papel de una
superficie angular y se le conoce como el diferencial de ángulo sólido, por lo que la relación
angular entre las superficies W y la lateral r2 estará dada por:
sendΩ =
dW
r2
⇒ dΩ =
dW
r2
De donde el diferencial de ángulo sólido queda expresado como:
dΩ =
d
!
S ⋅
!
r
r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
r2
⇒ dΩ =
d
!
S ⋅
!
r
r3
Si dS representa el diferencial de superficie de una esfera, el ángulo sólido se expresará como:
dΩ
∫ =
d
!
S ⋅
!
r
r3
∫ ⇒ dΩ
∫ = 4π
El coseno de la diferencia de dos ángulos es:
cos(180 −θ) = cos180cosθ + sen180senθ ⇒ cosα = −cosθ si θ > 90 ⇒ cos −θ
( )= −cosθ
Quedando dW como: dW = dS cosθ ⇒ dW =
n̂⋅
!
r
r
dS

46. Forma integral de la ley de Ampere
Existen dos integrales que son muy importantes en electromagnetismo, la integral de área (o flujo
del vector que pasa por dicha área) y la integral de línea. En su aplicación a la teoría
electromagnética se plantea ¿Cuál es la suma de todas las líneas de inducción magnética que
pasan por un circuito cerrado C? que en su forma integral es:
!
B⋅d
!
s =
µo
4π
I 'd
!
s '×
!
r −
!
r '
( )
!
r −
!
r '
3
C'
"
∫
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
C
"
∫
C
"
∫ ⋅d
!
s
En donde representamos para efectos de notación:
d
!
s = d
!
r y d
!
s ' = d
!
r '
Modificando la expresión de la integral de línea obtenemos:
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ =
µo
I '
4π
d
!
s ⋅ d
!
s '×
!
r −
!
r '
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦
!
r −
!
r '
3
C'
"
∫
C
"
∫

47. En donde: d
!
s × d
!
s ' = d
!
r × d
!
r ' = d
!
S
Así la doble integral es la integral de ángulo sólido:
d
!
s × d
!
s '
( )⋅
!
r −
!
r '
( )
!
r −
!
r '
3
C'
"
∫
C
"
∫ = dΩ
C
"
∫ ⇒ dΩ
C
"
∫ = 4π
Al integrar el ángulo sólido obtenemos:
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ =
µo
I 'encerrada
4π
dΩ
C
"
∫
Teniendo en cuenta que el triple producto escalar es tiene la propiedad de la ciclicidad.
!
A⋅
!
B ×
!
C
( )=
!
C ⋅
!
A×
!
B
( ) ⇒
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ =
µo
I '
4π
d
!
s × d
!
s '
( )⋅
!
r −
!
r '
( )
!
r −
!
r '
3
C'
"
∫
C
"
∫
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ = µo
I 'encerrada

48. De este importante resultado obtenemos también la siguiente información: sabemos que una integral
cerrada de línea da lugar a una integral abierta de área, por lo que:
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ = ∇ ×
!
B
( )⋅d
!
A
A
∫
Y la corriente es:
I ' =
!
J '⋅d
!
A
A
∫ ⇒ ∇ ×
!
B
( )⋅d
!
A
A
∫ = µo
!
J '⋅d
!
A
A
∫
Si los límites de integración son los mismos obtenemos:
∇ ×
!
B = µo
!
J '
Que generalizando es:
∇ ×
!
B = µo
!
J

49. Algunas aplicaciones de la forma integral de la ley de Ampere
Problema.- Suponga que la corriente I se encuentra distribuida uniformemente sobre la sección
circular de radio a de un cilindro infinitamente largo, como se muestra en la figura. Hallar la
inducción magnética B dentro y fuera del cilindro.
I
Aplicando la integral de línea alrededor del
cilindro, pero por fuera del mismo:
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ = µo
Iencerrada
⇒ 2πρB = µo
I
Quedando
!
B =
µo
I
2πρ
Con la dirección asociada, dada
por la ley de la mano derecha
!
B =
µo
I
2πρ
êφ
con ρ > a
Si queremos conocer la inducción magnética dentro del cilindro, tenemos que aplicar el hecho de
que la corriente se distribuye uniformemente en todo el volumen del cilindro, y por tanto, la
densidad de corriente J estará dada por:
!
J =
Itotal
A
k̂ ⇒
!
J =
Itotal
πa2
k̂

50. Así la corriente que pasa por una zona específica del cilindro es:
Iefectiva
=
!
J ⋅d
!
A
∫ ⇒ Iefectiva
=
Itotal
πa2
k̂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ dAk̂
( )
∫
dA = ρdφdρ
Así nuestra corriente efectiva es:
Iefectiva
=
I
πa2
ρ dφ dρ
∫ ⇒ Iefectiva
=
I
πa2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ πρ2
La inducción adentro del cilindro es:
!
B =
µo
2πρ
Iρ2
a2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ êφ
⇒
!
B =
µo
Iρ
2πa2
êφ
En donde la condición ahora está dada por: ρ < a, es decir en el interior del cilindro.

51. Problema.- Suponga que se tiene un plano infinito sobre el cual se distribuye uniformemente una
corriente, con una densidad superficial de corriente K = Koêi. Hallar la inducción magnética B⃗.
K saliendo
B
!
B
!
l
La densidad de corriente está
dada en A/m
Ienc
= Ko
l
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ = µo
Iencerrada
⇒ 2Bl = µo
Ko
l
!
B =
µo
Ko
2
ĵ
!
B = −
µo
Ko
2
ĵ
En la parte de arriba
En la parte de abajo
Así la inducción magnética está dada por:
I =
!
Ke
t
( )⋅d
!
l
∫ con
!
Ke
t
( )= corriente enlazada ⇒
!
Ke
t
( )=
!
K t
( )× ên
!
Ke
t
( )= Ko
ˆ
i × k̂ ⇒
!
Ke
t
( )= −Ko
ĵ
I = −Ko
ĵ
( )⋅d
!
l
∫ ⇒ I = −Ko
ĵ
( )⋅ ĵdy
( )
0
−l
∫ ⇒ I = Ko
l

52. Problema.- Solenoide ideal infinitamente largo. Calcule la inducción magnética B para n espiras
puestas de manera apiladas.
Bo
Bi
Bo
Bi
La densidad de corriente estará dada por: K = nI
n = número de vueltas por unidad de longitud
Bi
l − Bo
l = µo
Kl ⇒ Bi
− Bo
= µo
nI
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ = µo
Iencerrada
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ = Bi
l − Bo
l ⇒
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ = µo
Kl ⇒ Bi
l − Bo
l = µo
Kl
La inducción magnética Bi en el interior y Bo en el exterior del solenoide son
independiente a la distancia perpendicular a la superficie en las que se
midan, por tanto son constantes, y dado que Bo en el infinito es cero,
entonces en las inmediaciones del solenoide también es cero, por lo que:
!
Bi
= µo
nIk̂

53. Problema.- Bobina toroidal. Este es el caso de una corriente I en un conductor que se arrolla
uniformemente, es decir, con ángulo de inclinación constante alrededor de un anillo toroide.
Para una trayectoria en C1 Ienc = 0
Para una trayectoria en C2 Ienc = NI
Para una trayectoria en C3 Ienc = 0
!
B⋅d
!
s
C
"
∫ = µo
Iencerrada
!
B⋅ êϕ
ρdϕ
( )
C
"
∫ = 2πρBϕ
⇒ Bϕ
=
µo
Ienc
2πρ
⇒
!
Bϕ
=
µo
NI
2πρ
êϕ

54. Problema.- Una larga varilla de cobre de 8 cm de diámetro tiene un agujero cilíndrico no coaxial,
como se ve en el diagrama, en toda su longitud. Este conductor transporta una corriente de 900 A,
circulando hacia adentro del papel. Se quiere conocer el modulo dirección y sentido del campo
magnético en el punto P que está sobre el eje del cilindro exterior (en el centro del cilindro grande).
8 cm
a
b
4 cm
2j
r
!
R
!
P
Para un cilindro sólido el campo está dado por
!
B =
µo
I
2πρ
êφ
con
!
R =
!
r − 2 ĵ
La corriente efectiva que fluye en el cilindro macizo es:
Ia
=
Iπa2
π a2
− b2
( )
⇒ Ia
=
Ia2
a2
− b2
( )
La corriente que fluye por el cilindro hueco es:
Ib
=
Iπb2
π a2
− b2
( )
⇒ Ib
=
Ib2
a2
− b2
( )

55. De tal manera que la corriente total que fluye por el cilindro es:
Ia
− Ib
= I ⇒ I =
Ia2
a2
− b2
−
Ib2
a2
− b2
Para un punto fuera del cilindro macizo, la inducción magnética es:
!
B1
= −
µo
Ia2
2πr a2
− b2
( )
eφ
+
µo
Ib2
2π
!
r − 2 ĵ a2
− b2
( )
e'φ
Para un punto dentro del cilindro macizo y fuera del hueco:
.............(1)
!
B2
= −
µo
Ia2
2πr a2
− b2
( )
πr2
πa2
eφ
+
µo
Ib2
2π
!
r − 2 ĵ a2
− b2
( )
e'φ
Simplificando queda:
!
B2
= −
µo
Ir
2π a2
− b2
( )
eφ
+
µo
Ib2
2π
!
r − 2 ĵ a2
− b2
( )
e'φ .............(2)

56. Para un punto dentro del cilindro macizo y dentro del hueco:
!
B3
= −
µo
Ir
2π a2
− b2
( )
eφ
+
µo
Ib2
2π
!
r − 2 ĵ a2
− b2
( )
π
!
r − 2 ĵ
2
πb2
e'φ
quedando:
!
B3
= −
µo
Ir
2π a2
− b2
( )
eφ
+
µo
I
!
r − 2 ĵ
2π a2
− b2
( )
e'φ
Para el punto P que se tiene, se utiliza la expresión (2), obtenida para el cilindro (fuera del hueco)
con r = 0.
!
B4
=
µo
Ib2
2π
!
r − 2 ĵ a2
− b2
( )
e'φ
.............(3)
Si el cilindro fuera concéntrico (coaxial) se tendría que:
!
R =
!
r ; êφ
= ê'φ

57. !
B1
= −
µo
Ia2
2πr a2
− b2
( )
eφ
+
µo
Ib2
2πr a2
− b2
( )
eφ
⇒
!
B1
= −
µo
I
2πr
eφ
Y la expresión (1) se modifica como:
El signo negativo es por el sentido de la corriente. La expresión (2) se modifica como:
!
B2
= −
µo
Ir
2π a2
− b2
( )
eφ
+
µo
Ib2
2πr a2
− b2
( )
eφ
⇒
!
B2
=
µo
I
2π a2
− b2
( )
eφ
r −
b2
r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Y la tres queda como:
!
B3
= −
µo
Ir
2π a2
− b2
( )
eφ
+
µo
Ir
2π a2
− b2
( )
eφ
⇒
!
B3
= 0

58. Problema.- Cuatro alambres de cobre, largos y paralelos, están colocados de tal forma que sus
secciones transversales forman un cuadrado de 20 cms de lado. Por cada alambre circula una
corriente de 20 A, en el sentido mostrado en la figura ¿cuál es la magnitud y dirección de la
inducción magnética B en el centro del cuadro?
I1
I2
I3
I4
P
20
20
20
20
Así la inducción magnética para cada línea de corriente estará dada por:
!
B1
=
µo
I1
2πr1
−senφ1
ˆ
i + cosφ1
ĵ
( )
Si trazamos un sistema de coordenadas centrado en la corriente I1 se tiene que ϕ se define como:
ϕ1 = 315
Para la corriente I2 se tiene:
!
Bi
=
µo
Ii
2πρi
êφ
!
B2
=
µo
I2
2πr2
−senφ2
ˆ
i + cosφ2
ĵ
( ) ϕ2 = 45

59. Para la corriente I3 se tiene:
!
B3
= −
µo
I3
2πr3
−senφ3
ˆ
i + cosφ3
ĵ
( )
ϕ2 = 225
Para la corriente I4 se tiene:
!
B4
= −
µo
I4
2πr4
−senφ4
ˆ
i + cosφ4
ĵ
( ) ϕ2 = 135
Sustituyendo los valores de los ángulos y
teniendo además que para 45° se tiene que cos45 =
1
2
= sen45
!
B1
=
µo
I1
2πr1
sen45ˆ
i + cos45 ĵ
( )
!
B2
=
µo
I2
2πr2
−sen45ˆ
i + cos45 ĵ
( )
!
B3
= −
µo
I3
2πr3
sen45ˆ
i − cos45 ĵ
( )
!
B4
= −
µo
I4
2πr4
−sen45ˆ
i − cos45 ĵ
( )

60. Con las condiciones del problema de que I=I1=I2=I3=I4 =20 A
r1
= r2
= r3
= r4
=
0.2
2
Por el principio de superposición
!
Btotal
= 8×10−5
ĵ Teslas
1 Tesla = 1
N
A⋅m
⇒ 1 Tesla = 104
Gauss
!
F = q
!
E +
!
v ×
!
B
( ) si
!
E = 0 ⇒
!
F = q
!
v ×
!
B ⇒
!
F = q
!
v
!
B sinθê⊥
!
B =
N
q
!
v
⇒
!
B =
N
Coulomb
( ) m
seg
⇒
!
B =
N
Coulomb
seg
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ m
⇒
!
B =
N
Am
!
Btotal
= 0.8 ĵ Gauss
!
Btotal
=
4µo
I
2πr
cos45 ĵ ⇒
!
Btotal
=
4 × 4π ×10−7
× 20
2π
0.2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ĵ

61. Problema.- Dos alambres largos, separados por una distancia d, transporta corrientes iguales y
antiparalelas I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la inducción
magnética?
I1
I2
P
R
d
r1
r2
!
B =
µo
I
2πr
−senφˆ
i + cosφ ĵ
( )
r = r1
= r2
= R2
+
d
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
senφ =
d
2
R2
+
d
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
⇒ senφ =
d
4R2
+ d2
= b
ϕ1 ϕ2
cosφ =
R
R2
+
d
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
⇒ cosφ =
2R
4R2
+ d2
= a

62. !
B1
=
µo
I
2πr
+bˆ
i + aĵ
( ) ;
!
B2
=
µo
−I
( )
2πr
−bˆ
i + aĵ
( )
!
Btotal
=
!
B1
+
!
B2
=
µo
I
2πr
+b+ b
( )ˆ
i + a − a
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦ ⇒
!
Btotal
=
µo
I
2πr
2b
( )ˆ
i
!
Btotal
=
µo
I
π
4R2
+ d2
2
d
4R2
+ d2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ
i
Simplificando, nos queda que la inducción magnética es:
!
Btotal
=
2µo
I
π 4R2
+ d2
( )
ˆ
i

63. Problema.- Un solenoide de 200 vueltas y de 25 cm de longitud tiene un diámetro de 10 cm y
transporta una corriente de 0.3 A ¿cuál es la magnitud de la inducción magnética B en las
vecindades del centro del solenoide?
Sabemos que para un solenoide ideal la inducción está dada por:
Se tienen las siguientes características geométricas
N = 200, l = 0.25 mts ⇒ n = 200/0.25 = 800 vueltas/mts
!
B = µo
nI
!
B = 4π ×10−7
800
( ) 0.3
( ) ⇒
!
B = 3×10−4
Teslas
!
B = 3 Gauss

64. Problema.- Una partícula cargada q está viajando en el espacio 3D xyz, y de pronto entra a una zona
de campo magnético constante B que está dirigido según el eje z. Dar argumentos que justifiquen
que la trayectoria es una hélice cuyo eje está en la dirección de B.
Solución: Según la fuerza de Lorentz
En donde la inducción magnética tiene la dirección del eje z
Sabemos también que la velocidad está en el espacio 3D xyz, es decir:
De tal manera que la fuerza de Lorentz queda como:
!
F = q
!
v ×
!
B
!
B = Bo
k̂
!
v = vx
ˆ
i + vy
ĵ + vz
k̂
!
F = qBo
vx
ˆ
i + vy
ĵ + vz
k̂
( )× k̂ ⇒
!
F = qBo
vx
ˆ
i × k̂
( )+ vy
ĵ × k̂
( )+ vz
k̂ × k̂
( )
⎡
⎣
⎤
⎦
!
F = qBo
−vx
ĵ + vy
ˆ
i
( ) donde
!
F = m
!
a
Igualando y despejando la aceleración:
!
a =
qBo
m
vy
ˆ
i − vx
ĵ
( ) con
!
a = ax
ˆ
i + ay
ĵ

65. Viendo la aceleración como una variación de velocidad respecto del tiempo, la podemos expresar
como:
.............(1)
.............(2) .............(3)
Se puede ver que las ecuaciones (1) y (2) están “acopladas”.
ax
=
dvx
dt
⇒ ax
=
qBo
m
vy
⇒ !
vx
=
qBo
m
vy
⇒ !
vx
= wvy
!
vy
= −wvx
!
vz
= 0
El método para resolver ecuaciones acopladas es multiplicar a la ecuación (2) por el imaginario i y la
sumamos a la ecuación (1).
!
vx
+ i!
vy
= wvy
− iwvx
⇒ !
vx
+ i!
vy
= iw
vy
i
− vx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Racionalizando el denominador
Que se puede escribir como:
!
vx
+ i!
vy
= iw −ivy
− vx
( ) ⇒ !
vx
+ i!
vy
= −iw vx
+ ivy
( )
!
v = −iwv

66. La solución a esta ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, es una función exponencial
de la forma:
v = Ae−iwt
con A = vo
e−iα
⇒ v = vo
e
−i wt+α
( )
Quedando las componentes de la velocidad como:
Y la posición de la partícula cargada es:
vx
= vo
cos wt +α
( ) ; vy
= vo
sen wt +α
( ) con vo
= vx
2
+ vy
2
= cte.
x = xo
+
vo
w
sen wt +α
( ) ; y = yo
+
vo
w
cos wt +α
( ) con xo
, yo
,zo
( )= 0,0,0
( )
!
r =
vo
w
sen wt +α
( )ˆ
i +
vo
w
cos wt +α
( ) ĵ ⇒
!
r =
vo
w
⇒
!
r =
vo
m
qBo
z = zo
+ voz
t ⇒ z = voz
t
!
r =
vo
m
qBo
sen wt +α
( )ˆ
i + cos wt +α
( ) ĵ
⎡
⎣ ⎤
⎦ + voz
tk̂
La posición de la partícula por efecto del campo magnético se puede escribir como:
El vector de posición total es:
Se tiene además que la partícula se
puede mover sobre el eje z con:

67. ^ B^K8I^O:^4.;I^'^^/^5%9'NP^^0J^#PAUJ^6%8ZL(J^:;:LBB^/^#SCX
V^?;D^O:'^^/;9%'KQ^8LE^;J^;CB):KJ^^^^6@BJ^6OT^/BJ^T^;@OJLJ^J@X
BJ^8KA^J[^?;F^ ^ :L7LB;^