Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo métodos cerrados como bisección, posición falsa e incremental, y métodos abiertos como iteración de punto fijo, Newton-Raphson y secante. Explica los algoritmos de cada método y provee ejemplos numéricos para ilustrarlos.
Este documento describe métodos para ajustar curvas a datos experimentales mediante regresión lineal y polinomial. Explica que cuando los datos tienen errores, se necesitan valores intermedios que puedan predecirse a partir de los observados. Detalla las fórmulas para calcular los coeficientes de la recta de regresión lineal que mejor se ajusta a los datos minimizando el error cuadrático medio. También presenta el sistema de ecuaciones para realizar un ajuste polinomial que permite un mejor ajuste agregando más términos polinomiales.
El documento describe varios métodos numéricos para la diferenciación e integración numérica. Introduce fórmulas para calcular la derivada primera y segunda utilizando 2 y 3 puntos, así como métodos para la integración numérica como el método de Simpson y métodos de cuadratura de Gauss. Finalmente, presenta una práctica de implementación del método de Simpson.
Este documento presenta el método de la bisección para encontrar las raíces reales de una ecuación. Explica que el método requiere un intervalo inicial donde la función cambia de signo, garantizando la existencia de una raíz. Luego, calcula el punto medio del intervalo y evalúa la función allí, descartando la mitad del intervalo donde no cambia el signo. Repite este proceso biseccionando iterativamente hasta alcanzar la precisión deseada. Finalmente, muestra un ejemplo resuelto paso a paso usando Excel y Visual Basic para implementar
Este documento describe diferentes métodos numéricos para calcular las raíces de ecuaciones no lineales, incluyendo el método gráfico, bisección, falsa posición, punto fijo, Newton-Raphson y secante. Explica que la mayoría de estos métodos trabajan de forma iterativa mediante aproximaciones sucesivas hasta alcanzar la precisión deseada para la raíz. Luego profundiza en cada método, detallando sus pasos y propiedades como la convergencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de errores y métodos numéricos. Explica conceptos como modelos matemáticos, soluciones analíticas y numéricas, y tipos de errores. También describe la importancia de los métodos numéricos en ingeniería y áreas donde se aplican. Finalmente, introduce conceptos básicos sobre errores y software de cálculo numérico.
El documento describe el problema general de interpolación polinómica de Hermite, donde se busca un polinomio que interpola los valores de una función y sus derivadas en diferentes puntos. Se presenta la fórmula general para el polinomio interpolador de Hermite y un ejemplo de cálculo del polinomio para una función dada en tres puntos con sus derivadas primeras.
The Newton-Raphson method is an iterative method used to find approximations of the roots of a function. It requires an initial guess value and uses the tangent line of the function at that x-value to estimate a better root approximation. The method takes the first derivative of the function to determine the slope of the tangent line and finds where it intersects the x-axis as the next estimate. This process is repeated, using the new estimate as the next initial guess, until convergence is reached. The Newton-Raphson method is quadratically convergent, meaning it rapidly finds better approximations as it approaches the true root.
Este documento describe métodos para ajustar curvas a datos experimentales mediante regresión lineal y polinomial. Explica que cuando los datos tienen errores, se necesitan valores intermedios que puedan predecirse a partir de los observados. Detalla las fórmulas para calcular los coeficientes de la recta de regresión lineal que mejor se ajusta a los datos minimizando el error cuadrático medio. También presenta el sistema de ecuaciones para realizar un ajuste polinomial que permite un mejor ajuste agregando más términos polinomiales.
El documento describe varios métodos numéricos para la diferenciación e integración numérica. Introduce fórmulas para calcular la derivada primera y segunda utilizando 2 y 3 puntos, así como métodos para la integración numérica como el método de Simpson y métodos de cuadratura de Gauss. Finalmente, presenta una práctica de implementación del método de Simpson.
Este documento presenta el método de la bisección para encontrar las raíces reales de una ecuación. Explica que el método requiere un intervalo inicial donde la función cambia de signo, garantizando la existencia de una raíz. Luego, calcula el punto medio del intervalo y evalúa la función allí, descartando la mitad del intervalo donde no cambia el signo. Repite este proceso biseccionando iterativamente hasta alcanzar la precisión deseada. Finalmente, muestra un ejemplo resuelto paso a paso usando Excel y Visual Basic para implementar
Este documento describe diferentes métodos numéricos para calcular las raíces de ecuaciones no lineales, incluyendo el método gráfico, bisección, falsa posición, punto fijo, Newton-Raphson y secante. Explica que la mayoría de estos métodos trabajan de forma iterativa mediante aproximaciones sucesivas hasta alcanzar la precisión deseada para la raíz. Luego profundiza en cada método, detallando sus pasos y propiedades como la convergencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de errores y métodos numéricos. Explica conceptos como modelos matemáticos, soluciones analíticas y numéricas, y tipos de errores. También describe la importancia de los métodos numéricos en ingeniería y áreas donde se aplican. Finalmente, introduce conceptos básicos sobre errores y software de cálculo numérico.
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The Newton-Raphson method is an iterative method used to find approximations of the roots of a function. It requires an initial guess value and uses the tangent line of the function at that x-value to estimate a better root approximation. The method takes the first derivative of the function to determine the slope of the tangent line and finds where it intersects the x-axis as the next estimate. This process is repeated, using the new estimate as the next initial guess, until convergence is reached. The Newton-Raphson method is quadratically convergent, meaning it rapidly finds better approximations as it approaches the true root.
This document discusses fixed point iteration, a numerical method for finding the zeros of a function. It uses the example of finding the fixed point of the function g(x)=mx/(m-1) for different slope values of m. For m<1, the fixed point iteration converges monotonically to the fixed point, while for m>1 it diverges monotonically away from the fixed point. This simple linear example illustrates the general behavior for continuous mapping functions - convergence when the slope of g(x) is less than 1, and divergence when it is greater than 1.
The document describes the Metodo de Thomas method for solving systems of linear equations. It involves setting up the equations in a triangular matrix format with coefficients Aij and then solving for the variables Xj. The method results in a lower triangular matrix L with coefficients Lij that can be used to solve for the variables.
Este documento presenta los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como normas vectoriales y matriciales, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cómo implementar estos métodos numéricamente en software como MATLAB para aproximar la solución de sistemas.
Este documento describe métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica el método de Jacobi, Gauss-Seidel y sobrerrelajación, indicando que los métodos iterativos son más eficientes para matrices grandes y dispersas, con un coste por iteración de O(n2) o menor. También establece condiciones sobre la matriz para garantizar la convergencia de los métodos, como ser estrictamente diagonalmente dominante para Jacobi o simétrica definida positiva para sobrerrelajación.
Este documento describe métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica el método de Jacobi, Gauss-Seidel y sobrerrelajación, indicando que los métodos iterativos son más eficientes para matrices grandes y dispersas, con un coste por iteración de O(n2) o menor. También establece condiciones como que la matriz sea estrictamente diagonalmente dominante o simétrica definida positiva para garantizar la convergencia de los métodos.
The document describes a system of linear equations in matrix form. There are 4 equations (A1=, A2=, A3=, A4=) with 4 unknowns (X1, X2, X3, X4). The coefficients of the equations are provided in a 4x4 matrix and the constant terms are provided in a column vector. The document also shows the steps to solve the system of equations using matrix multiplication and inversion to obtain the solutions for the unknowns X1, X2, X3, X4.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.
Este documento presenta los apuntes de un curso de programación y métodos numéricos. Incluye secciones sobre elementos del sistema operativo Unix como ingresar al sistema, archivos y directorios, órdenes básicas, shells, editores, el sistema X Windows, internet, impresión y compresión. También incluye una breve introducción a C++ cubriendo la estructura básica de un programa, tipos de variables, operadores, control de flujo y más. El documento provee información detallada sobre el uso de la computadora y programación para estudiantes
La Ley de Darcy establece que el caudal que atraviesa un medio poroso es proporcional al gradiente hidráulico y a la sección del medio. Esta ley se deriva de los experimentos realizados por Henry Darcy en 1856 usando permeámetros. La constante de proporcionalidad es la conductividad hidráulica, una propiedad característica del material poroso. La Ley de Darcy tiene algunas limitaciones como su validez solo para flujos laminares.
Este documento describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales que surgen en la simulación numérica de yacimientos. Explica métodos directos como el método de eliminación de Gauss, el cual transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior a través de operaciones de eliminación. También cubre algoritmos de banda y técnicas para matrices dispersas que son útiles para este tipo de sistemas.
Este documento presenta una introducción al simulador WinBOAST. Explica que es un simulador isotérmico de flujo de Darcy de tres fases que permite modelar yacimientos con propiedades que dependen de la presión. Describe los requisitos y limitaciones del simulador como el número máximo de celdas, pozos y tablas. Finalmente, introduce los conceptos de modelamiento geométrico usando cajas apiladas y cómo se definen y varían las dimensiones de las celdas en cada dirección.
Este capítulo describe los principios básicos del flujo de agua en el suelo y presenta la ecuación general de flujo de Richards. Se revisan los métodos para resolver esta ecuación y se discuten las condiciones de validez, como la histéresis y la dependencia de la conductividad hidráulica de factores como la temperatura y la salinidad. Finalmente, se aplica la ecuación general al riego por goteo.
Este documento presenta una evaluación comparativa de tres herramientas de software libre para cálculo numérico: Octave, Scilab y Scipy. Se realizó una encuesta a usuarios para determinar las características más importantes, como funcionalidades básicas y fiabilidad. Luego, cada herramienta fue evaluada en aspectos como funcionalidades, facilidad de uso y mantenimiento, asignando una calificación del 1 al 3. Los resultados mostraron que todas cumplen con funcionalidades básicas, pero varían en funcionalidades avanzadas
El documento habla sobre diferentes formas de clasificar y organizar términos relacionados con gas y agua en yacimientos petroleros. Explica conceptos como gas libre, gas disuelto, presión, saturación e implícito/explícito en el método IMPES de simulación de yacimientos. También menciona aproximaciones como asumir presión capilar constante y reorganizar términos.
Este documento presenta el modelo diferencial y numérico para simular flujos multifásicos en yacimientos de petróleo. El modelo diferencial consta de ecuaciones fundamentales para el petróleo, agua y gas, así como relaciones de saturación, presiones capilares y permeabilidades relativas. El modelo numérico discretiza espacialmente las ecuaciones diferenciales usando diferencias finitas. Esto permite simular la producción de petróleo, agua y gas en yacimientos.
Este trabajo estudia diferentes métodos de enmallado para simulación numérica de yacimientos, incluyendo mallas cartesianas, cilíndricas, curvilíneas, híbridas, Voronoi y corner point geometry. Se establecen criterios para determinar cuándo ciertos tipos de enmallado pueden ser más favorables. Se valida la información teórica con una simulación de un modelo sintético usando dos simuladores comerciales.
El documento describe diferentes técnicas numéricas para la simulación de yacimientos, incluyendo la aproximación por diferencias finitas, los esquemas explícito e implícito, y los métodos para resolver sistemas de ecuaciones tridiagonales. Explica cómo aplicar estas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de conducción de calor en una dimensión.
Este documento describe cómo usar Microsoft Excel para resolver problemas típicos de álgebra lineal, como sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo usar las funciones MINVERSA y MMULT de Excel para calcular la inversa de una matriz y realizar productos matriciales, respectivamente, lo que permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. También menciona la función MDETERM para calcular determinantes y verificar si una matriz es singular. El documento provee un ejemplo numérico completo para ilustrar el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones a través
This document discusses fixed point iteration, a numerical method for finding the zeros of a function. It uses the example of finding the fixed point of the function g(x)=mx/(m-1) for different slope values of m. For m<1, the fixed point iteration converges monotonically to the fixed point, while for m>1 it diverges monotonically away from the fixed point. This simple linear example illustrates the general behavior for continuous mapping functions - convergence when the slope of g(x) is less than 1, and divergence when it is greater than 1.
The document describes the Metodo de Thomas method for solving systems of linear equations. It involves setting up the equations in a triangular matrix format with coefficients Aij and then solving for the variables Xj. The method results in a lower triangular matrix L with coefficients Lij that can be used to solve for the variables.
Este documento presenta los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como normas vectoriales y matriciales, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cómo implementar estos métodos numéricamente en software como MATLAB para aproximar la solución de sistemas.
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Este documento describe métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica el método de Jacobi, Gauss-Seidel y sobrerrelajación, indicando que los métodos iterativos son más eficientes para matrices grandes y dispersas, con un coste por iteración de O(n2) o menor. También establece condiciones como que la matriz sea estrictamente diagonalmente dominante o simétrica definida positiva para garantizar la convergencia de los métodos.
The document describes a system of linear equations in matrix form. There are 4 equations (A1=, A2=, A3=, A4=) with 4 unknowns (X1, X2, X3, X4). The coefficients of the equations are provided in a 4x4 matrix and the constant terms are provided in a column vector. The document also shows the steps to solve the system of equations using matrix multiplication and inversion to obtain the solutions for the unknowns X1, X2, X3, X4.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.
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La Ley de Darcy establece que el caudal que atraviesa un medio poroso es proporcional al gradiente hidráulico y a la sección del medio. Esta ley se deriva de los experimentos realizados por Henry Darcy en 1856 usando permeámetros. La constante de proporcionalidad es la conductividad hidráulica, una propiedad característica del material poroso. La Ley de Darcy tiene algunas limitaciones como su validez solo para flujos laminares.
Este documento describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales que surgen en la simulación numérica de yacimientos. Explica métodos directos como el método de eliminación de Gauss, el cual transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior a través de operaciones de eliminación. También cubre algoritmos de banda y técnicas para matrices dispersas que son útiles para este tipo de sistemas.
Este documento presenta una introducción al simulador WinBOAST. Explica que es un simulador isotérmico de flujo de Darcy de tres fases que permite modelar yacimientos con propiedades que dependen de la presión. Describe los requisitos y limitaciones del simulador como el número máximo de celdas, pozos y tablas. Finalmente, introduce los conceptos de modelamiento geométrico usando cajas apiladas y cómo se definen y varían las dimensiones de las celdas en cada dirección.
Este capítulo describe los principios básicos del flujo de agua en el suelo y presenta la ecuación general de flujo de Richards. Se revisan los métodos para resolver esta ecuación y se discuten las condiciones de validez, como la histéresis y la dependencia de la conductividad hidráulica de factores como la temperatura y la salinidad. Finalmente, se aplica la ecuación general al riego por goteo.
Este documento presenta una evaluación comparativa de tres herramientas de software libre para cálculo numérico: Octave, Scilab y Scipy. Se realizó una encuesta a usuarios para determinar las características más importantes, como funcionalidades básicas y fiabilidad. Luego, cada herramienta fue evaluada en aspectos como funcionalidades, facilidad de uso y mantenimiento, asignando una calificación del 1 al 3. Los resultados mostraron que todas cumplen con funcionalidades básicas, pero varían en funcionalidades avanzadas
El documento habla sobre diferentes formas de clasificar y organizar términos relacionados con gas y agua en yacimientos petroleros. Explica conceptos como gas libre, gas disuelto, presión, saturación e implícito/explícito en el método IMPES de simulación de yacimientos. También menciona aproximaciones como asumir presión capilar constante y reorganizar términos.
Este documento presenta el modelo diferencial y numérico para simular flujos multifásicos en yacimientos de petróleo. El modelo diferencial consta de ecuaciones fundamentales para el petróleo, agua y gas, así como relaciones de saturación, presiones capilares y permeabilidades relativas. El modelo numérico discretiza espacialmente las ecuaciones diferenciales usando diferencias finitas. Esto permite simular la producción de petróleo, agua y gas en yacimientos.
Este trabajo estudia diferentes métodos de enmallado para simulación numérica de yacimientos, incluyendo mallas cartesianas, cilíndricas, curvilíneas, híbridas, Voronoi y corner point geometry. Se establecen criterios para determinar cuándo ciertos tipos de enmallado pueden ser más favorables. Se valida la información teórica con una simulación de un modelo sintético usando dos simuladores comerciales.
El documento describe diferentes técnicas numéricas para la simulación de yacimientos, incluyendo la aproximación por diferencias finitas, los esquemas explícito e implícito, y los métodos para resolver sistemas de ecuaciones tridiagonales. Explica cómo aplicar estas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de conducción de calor en una dimensión.
Este documento describe cómo usar Microsoft Excel para resolver problemas típicos de álgebra lineal, como sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo usar las funciones MINVERSA y MMULT de Excel para calcular la inversa de una matriz y realizar productos matriciales, respectivamente, lo que permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. También menciona la función MDETERM para calcular determinantes y verificar si una matriz es singular. El documento provee un ejemplo numérico completo para ilustrar el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones a través
1. Outline
Introducci´n
o
M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
´ ´
Metodos Numericos
´
Solucion de Ecuaciones No Lineales:
raices de ecuaciones
Luis E. Sierra1
Universidad Industrial de Santander
Escuela Ingenier´ de Petr´leos
ıa o
Bucaramanga 16 Nov 2007
1
Ing. Petr´leos LuisE.Sierra@yahoo.co.uk
o
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
2. Outline
Introducci´n
o
M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
CONTENIDO
1 Introducci´n
o
2 M´todos Cerrados
e
Gr´fico
a
Bisecci´n
o
Falsa Posici´n
o
M´todo incremental
e
3 M´todos Abiertos
e
Iteraci´n de Punto Fijo
o
Newton-Raphson
Secante
Ra´ M´ltiples
ıces u
4 Sistema de Ecuaciones no Lineales
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
3. Outline
Introducci´n
o
M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Introducci´n
o
Determine la raiz de
f (x) = log (x) − sen(x)
f (x) = sen(x)tan(x) − |x|
√
f (x) = x − cos(x)
f (x) = 10 ∗ cos(x) − x
Lo puede hacer de forma expl´cita ?
ı
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
4. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
M´todos Cerrados
e
Aprovecha el cambio de signo de la funci´n en la vecindad de la
o
ra´
ız.
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
5. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
M´todo gr´fico
e a
Empleando herramientas de visualizaci´n de funciones como
o
gnuplot.
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
6. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
M´todo de bisecci´n
e o
Es un m´todo que se basa en el teorema del valor intermedio
e
Suponga que f (x) es una funci´n continua en [a, b] con f (a) y
o
f (b) de signos diferentes. Entonces existe un n´mero p en (a, b)
u
t.q. f (p) = 0
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
7. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
De forma iterativa lo que se hace es:
Calcular un valor medio en el intervalo [ai , bi ] designado por
ai + bi
pi = (1)
2
Si f (pi ) = 0 entonces p = pi , listo
De lo contrario evaluar los signos de f (pi ) y f (bi ) si son
opuestos entonces p ∈ [pi , bi ] y se hace ai+1 = pi y bi+1 = bi
y se calcula Pi+1
De no cumplirse el literal anterior entonces ai+1 = ai y
bi+1 = pi y calcular pi+1
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
8. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Ejercicio
√
Determinar la raiz para f (x) = x − cos(x) en el intervalo [0, 1.5]
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
9. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Ejercicio
√
Determinar la raiz para f (x) = x − cos(x) en el intervalo [0, 1.5]
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
10. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Algoritmo
Entrada a, b, TOL, Numero iteraciones No
Paso 1: tome i=1, FA=f(a)
Paso 2: Mientras i<=No haga paso 3-6
Paso 3: Tome p=(a+b)/2; calcular p
FP=f(p)
Paso 4: Si FP=0 o (b-a)/2<TOL entonces
salida p Parar
Paso 5: Si FA*FP>0 entonces tome a=p;
(Calcular ai,bi)
FA=FP
Paso 6: Si no tomar b=p
Paso 7: Salida
Implementar en c++ empleando el editor gvim y el
compilador g++
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
11. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
M´todo de la Falsa Posici´n o Interpolaci´n lineal
e o o
Es un m´todo que a diferencia del m´todo de bisecci´n considera
e e o
las magnitudes de las funciones f (ai y f (bi ). para ubicar una falsa
posici´n de la raiz por medio de una l´
o ınea recta. De aqu´ su
ı
nombre.
f (b) f (a)
tan(θ) = b−p = − p−a
af (b)−bf (a)
p= f (b)−f (a)
f (b)(b − a)
p=b− (2)
f (b) − f (a)
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
12. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Algoritmo
Entrada a, b, TOL, No
Paso 1: Tome i=2;
qa=f(a); qb=f(b);
PAso 2: Mientras i<=No haga paso 3-7
Paso 3: Tome p=b-qb(b-a)/(qb-qa). (Calcula pi)
Paso 4: Si |p-pi|<TOL entonces
Salida (p)(procedimiento termindo
exitosamente). Parar
Paso 5: Tome i=1+1
pi=p; qi=f(pi)
Paso 6: Si qi*qb<0 entonces tome a=p;
qa=qb;
Paso 7 Tome b=p;
qa=qi
Paso 8: SALIDA (El metodo supero las No iteraciones.
Termino sin exito) Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
Luis E. Sierra Soluci´n de
o
13. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Falsa posici´n modificado
o
Determinar la raiz de f (x) = x 10 − 1 en el intervalo [0, 1.3]
empleando bisecci´n y falsa posici´n. Observar que ocurre.
o o
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
14. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Falsa posici´n modificado
o
Determinar la raiz de f (x) = x 10 − 1 en el intervalo [0, 1.3]
empleando bisecci´n y falsa posici´n. Observar que ocurre.
o o
modidicaci´n
o
En este m´todo se divide a la mitad el valor de la funci´n en el
e o
punto del intervalo que se esta presentando estancamiento
Implementar esta condici´n en el c´digo de falsa
o o
posici´n y evaluar el ejercicio. Qu´ observa?
o e
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
15. Outline
Gr´fico
a
Introducci´n
o
Bisecci´n
o
M´todos Cerrados
e
Falsa Posici´n
o
M´todos Abiertos
e
M´todo incremental
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
M´todo de busqueda incremental
e
Realizar busquedas incrementales evaluando el signo de la funci´n
o
Si existen multiple raices, dependiendo de la longitud del
incremento las puede pasar por alto
La soluci´n parcial es evaluar f (a) y
o
f (b) para identificar la presencia de
m´ximos o m´
a ınimos en el intervalo.
Es necesario complementar con gr´ficas
a
y comprensi´n del problema f´
o ısico.
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
16. Outline
Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
M´todos Abiertos
e
Son m´todos que parten de un valor o intervalo que no
e
necesariamente contiene la raiz.
Estos m´todos pueden converger o diverger.
e
Si el m´todo converge por lo general lo hace m´s r´pido que los
e a a
m´todos cerrados.
e
Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
o
17. Outline
Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteraci´n de Punto Fijo
o
Punto fijo
Un punto fijo de una funci´n g es un n´mero k para el cual
o u
g(k)=k. Ej. g (x) = x 2 − 2; g(-1)=-1 y g(2)=2
Emcontrar ra´ y puntos fijos son equivalentes en el sentido que:
ıces
Para encontrar una ra´ f(p)=0, podemos definir una funci´n g
ız o
con punto fijo en p de diversas formas donde solo algunas
convergen. Si la funci´n g tiene punto fijo en p entonces la funci´n
o o
definida por f(x)=x-g(x) tiene cero en p.
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o
18. Outline
Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
se garantiza existencia y unicidad del punto fijo con el siguiente
teorema
Teorema de punto fijo
Sea g ∈ C [a, b] t.q g (x) ∈ [a, b] para toda x en [a,b]. Adem´s
a
suponer que existe g en (a,b) y una constante 0 < k < 1 t.q
g (x) ≤ k para toda x ∈ (a, b)
Entonces la sucesi´n definida por pn = g (pn−1 ) con n ≥ 1
o
converge al unico valor fijo p en [a,b]
´
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o
19. Outline
Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Algoritmo
Entrada f(x),po, No
Paso 1 Tome i=1
Paso 2 Mientras i<=No haga paso 3-6
Paso 3 Definimos la funci’on g(x) (Despejando f(x)
convenientemente para que x=g(x) y g’(x)<1)
p=g(po)
Paso 4 Si |p-po| < TOL
Salida (p) Termina exitosamente
Paso 5 Tome i=1+1
Paso 6 po=p
Paso 7 Salida Supero las iteraciones No
Terminado sin exito
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o
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Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
M´todo de Newton-Raphson
e
Si aproximamos la funci´n f(x) por la serie de Taylor
o
2
f (x) = f (˜) + f (˜)(x − x ) + f (ε)(˜) (x−˜)
x x ˜ x 2
x
2
f (p) = 0 = f (˜) + f (˜)(p − x ) + f (ε)(˜) (p−˜)
x x ˜ x 2
x
f (˜)
x
El termino (p − x )2 es bastante peque˜o entonces: p ≈ x −
˜ n ˜ f (˜)
x
f (pn−1 )
pn = pn−1 − (3)
f (pn−1 )
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o
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Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
convergencia
El siguiente teorema de convergencia para el m´todo de Newton
e
muestra la importancia de la elecci´n de po
o
Teorema
Sea f ∈ C [a, b]. Si p ∈ [a, b] t.q. f(p)=0 y f (p) = 0 entonces
existe δ > 0 t.q. el m´todo de Newton genera una sucesi´n [pn ]∞
e o n=1
converge a p para cualquier aproximaci´n inicial p0 ∈ [p − δ, p + δ]
o
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o
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Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
M´todo de la secante
e
Es una modificaci´n al m´todo de Newton para superar la
o e
condici´n que f (x) = 0. Para esto:
o
f (pn−1 ) − f (pn−2 )
f (pn−1 ) ≈
pn−1 − pn−2
Remplazando en el m´todo de Newton-Raphson obtenemos
e
f (pn−1 )(pn−1 − pn−2 )
pn = pn−1 − (4)
f (pn−1 ) − f (pn−2 )
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o
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Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Secante modificado
f (pn−1 + δpn−1 ) − f (pn−1 )
f (pn−1 ) ≈
δpn−1
Remplazando en la en el m´todo de Newton-Raphson obtenemos
e
δpn−1 f (pn−1 )
pn = pn−1 − (5)
f (pn−1 + δpn−1 ) − f (pn−1 )
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Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Ra´ m´ltiples
ıces u
Teorema
La funci´n f ∈ C m [a, b] tiene un cero de multiplicidad m en p y
o
(a,b) si y s´lo si f (p) = f (p) = ... = f m−1 (p) = 0 pero fm (p) = 0
o
La funci´n tiene ra´ sencilla en p si f(p)=0 pero f (p) = 0
o ız
.
Si tiene multiples ra´ f(x) se puede escribir como
ıces
f (x) = (x − p)m q(x), donde el limx→p q(x) = 0
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o
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Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Ra´ m´ltiples pares no presentan cambio de signo
ıces u
Figure: exp(x)(x − 1)2
Figure: exp(x)(x − 1)3
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Iteraci´n de Punto Fijo
o
Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
El m´todo de Newton-Raphson en los puntos de raices multiples
e
disminuye su velocidad de converegencia de un orden cuadr´tico a
a
uno lineal Para mantener un orden cuadr´ico es necesario que:
a
f (pi−1 )
pi = pi−1 − m
f (pi−1 )
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Iteraci´n de Punto Fijo
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Introducci´n
o
Newton-Raphson
M´todos Cerrados
e
Secante
M´todos Abiertos
e
Ra´ıces M´ltiples
u
Sistema de Ecuaciones no Lineales
El m´todo de Newton-Raphson en los puntos de raices multiples
e
disminuye su velocidad de converegencia de un orden cuadr´tico a
a
uno lineal Para mantener un orden cuadr´ico es necesario que:
a
f (pi−1 )
pi = pi−1 − m
f (pi−1 )
.
otra opci´n es tomar u(x) = ff (x) entonces
o (x)
pi = pi−1 − u(pp−1 )/u (p − 1), donde las ra´ de u(x) son las
ıces
ra´ de f(x), remplanzando se obtiene:
ıces
f (pi−1 )f (pi−1 )
pi = pi−1 − (6)
[f (pi−1 )]2 − f (pi−1 )f (pi−1 )
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o
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Introducci´n
o
M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Sistema de Ecuaciones No Lineales
Un sistema de ecuaci´nes es no lineal si no se puede expresar cada
o
una de sus ecuaciones como
f (x) = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn
f1 (x1 , x2 , x3 , ..., xn = 0
f2 (x1 , x2 , x3 , ..., xn = 0
.
fn (x1 , x2 , x3 , ..., xn = 0
.
Haciendo la expanci´n por series de Taylor:
o
n
∂fi
fi (x + ∆x) = fi (x) + ∆xj + O(∆x 2 )
∂xj
j=1
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o
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Introducci´n
o
M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Truncando la serie y colocando de forma matricial
f(x + ∆x) = f(x) + J(x)∆x = 0
∂fi
donde J(x) es la matriz jacobiana Jij = ∂xj
∂fi fi (x + ej h) − fi (x)
≈
∂xj h
∆x = ej h
h es un peque˜o incremento
n
ej vector unitario en la direcci´n xj
o
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o
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Introducci´n
o
M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Pasos para el m´todo de Newton
e
1 Estimat un vector soluci´n x
o
2 Evaluar f(x)
3 Computar la matriz jacobiana J(x)
4 Plantear el sistema de ecuaciones y solucionar para ∆X
5 Calcular el nuevo vector x y repetir el paso 2-5 hasta alcanzar
el criterio de parada
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Introducci´n
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M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Ejemplo
Determine el punto de intersecci´n entre el circulo x 2 + y 2 = 3 y la
o
hip´rbola xy=1
e
f1 (x, y ) = x 2 + y 2 − 3 = 0
f2 (x, y ) = xy − 1 = 0
∂f1 /∂x ∂f2 /∂y 2x 2y
J(x, y ) = =
∂f2 /∂x ∂f2 /∂y y x
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Introducci´n
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M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
El sistema de ecuaciones lineales J(x)∆x = −f(x) relacionadas con
el m´todo de Newton-Raphson es:.
e
2x 2y ∆x −x 2 − y 2 + 3
=
y x ∆y −xy + 1
Tomando el vector de valores iniciales
estimado de x = [x0 y0 ] = [0.5 1.5]
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o
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Introducci´n
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M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
1ra itiraci´n: Sustituimos x0 = 0.5, y0 = 1.5 en la ecuaci´n
o o
anterior
1.0 3.0 ∆x 0.50
=
1.5 0.5 ∆y 0.25
Solucionamos el sistema para obtener ∆x1 = ∆y1 = 0.125
Entonces
x1 = 0.5 + 0.125 = y y1 = 1.5 + 0.125 = 1.625
2da iteraci´n: Los valores de x1 y y1 son sustituidos en el sistema
o
1.250 3.250 ∆x −0.031250
=
1.625 0.625 ∆y −0.015625
Entonces ∆x2 = ∆y2 = −0.00694 y
x2 = x1 + ∆x2 = 0.625 − 0.00694 = 0.61806
y2 = y1 + ∆y2 = 1.625 − 0.00694 = 1.61806
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o
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Introducci´n
o
M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Bibliograf´
ıa
BURDEN Richard L. & FAIRES Douglas J.
An´lisis Num´rico. 7ed Thomson Learning M´xico 2002
a e e
CHAPRA Steven C. & CANALE Raymound P.
M´todos Numericos para ingenieros. 4ed. McGrawHill M´xico 2002
e e
.
Beamer LaTeX
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o
35. Outline
Introducci´n
o
M´todos Cerrados
e
M´todos Abiertos
e
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Nunca consideres el estudio como una obligaci´n, sino como
o
una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso
mundo del saber
Albert Einstein
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o