Ecuaciones Diferenciales parte 2

1. Ecuaciones diferenciales 2

2. Problemas de valor inicial
Al determinar una solución particular de una
ecuación dif., si todas las condiciones del
problema se refieren a un mismo valor x, se
denomina problema con condiciones o
valores iniciales o problema de Cauchy.
dx2
d 2
y
 
y  0; y(1)  3, y (1) 2

3. Problemas de contorno
Al determinar una solución particular de una
ecuación dif., sí las condiciones dadas se refieren a
valores diferentes, de la x, se denominan problemas
con condiciones de contorno.
y(3)  2
dx2
d 2
y
 y  0; y(1)  3,

4. Ecuación diferencial a variables
separables
Una ecuación diferencial de la forma:
(1)
En la que el segundo miembro se descompone en
producto de dos factores, uno sólo dependiente de x y
otro sólo de y, se dice que es una ecuación de
variables separables.
y  f x, y
(2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 ℎ(𝑦)

5. Resolución de una ecuación
diferencial a variables separables
hy 0
y  f x, y
y x C
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 ℎ(𝑦)
1
ℎ(𝑦)
dy  gxdx
1
ℎ(𝑦)
dy  gxdx

6. Ecuación diferencial lineal de
primer orden
Una ecuación diferencial de primer orden es de la
forma:
(1)
Forma estándar
(2)
a1 (x)
dx
 a0 (x) y  g(x)
dy
dy  P(x) y  f (x)
dx
1
a (x) a (x)
P(x) 
a0 (x)
f (x) 
g(x)
a (x)  0 x I  R
1
1

7. Solución de la ecuación diferencial
lineal de primer orden
Debemos hallar una solución de la ecuación (2) en
un intervalo I sobre el cual P y f sean continuas.
Supongamos que en I la ecuación lineal
tiene como solución (x)
Entonces
Sea A(x) una primitiva de P(x) o sea A(x) P(x)
𝑑𝜙
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝜙 = 𝑓(𝑥) (3)

8. Sea (x) eA(x) (factor integrante)
Multiplicamos (3) por
deA(x)
(x) e f (x)
dx
A(x)
Sea B(x) una primitiva de
(x)
P(x)(x)  eA(x)
f (x)
A(x)(x)  eA(x)
f (x)
eA( x) d(x)
 eA( x)
dx
eA(x) d(x)
 eA(x)
dx
eA( x)
f (x)
entonces B(x)  eA(x)
f (x)

9. Pero
O sea
siendo
Si las derivadas son iguales entonces las
primitivas difieren en una constante
deA(x)
(x) B (x)
dx

A(x)  P(x) dx B(x)  eA(x)
f (x) dx
eA(x)
(x)  B(x) C
deA(x)
(x)
dx
e f (x)
A(x)
𝑦𝑔 = 𝜙 𝑥 = 𝑒−𝐴 𝑥
𝐵 𝑥 + 𝐶𝑒−𝐴 𝑥

10. Ya que
 A(x)
yh Ce
f (x) 0 B(x)  eA( x)
f (x) dx  0
x I  R
Solución de la ecuación dif. lineal
homogénea de primer orden
dx
dy
 P(x) y 0

11. Ecuación diferencial de Bernoulli
La ecuación diferencial de la forma:
n  , n 0  n  1
dx
dy
 P(x) y  f (x) yn
es una ecuación de Bernoulli.
z  y1n
y la ec. dif. se reduce a una ec. dif. lineal
Para resolverla se realiza la sustitución

12. dx
yn
yn
dy
 P(x)
y
 f (x)
1
z  y1n
así
Se resuelve para z
z (1 n)yn
y
yn
y P(x) y1n
 f (x)
dx
dy
 P(x) y  f (x) yn
1 n
z
yn
y 
 P(x) z  f (x)
1 n
z
z 1nP(x) z  1nf (x)
y1n
(x)
z   (x)